quy-nap-nhu-the-nao

Quy nạp như thế nào Trang 1 Tủ chuyên đề Toán học QUY NẠP NHƯ THẾ NÀO? Nguyễn Ngọc Duy – MT131 HCMUT 06/03/2014 Trong cuộc sống hằng ngày, hẳn không ít lần bạn gặp trường hợp như sau Cô giáo bắt gặp 5[.]

QUY NẠP NHƯ THẾ NÀO? Nguyễn Ngọc Duy – MT131 HCMUT 06/03/2014 Trong sống ngày, hẳn khơng lần bạn gặp trường hợp sau: - Cô giáo bắt gặp em ăn lớp, sau báo với thầy chủ nhiệm “Cái lớp thầy ăn lớp thế?” - Bạn nam dạo qua trước cổng trường, nhìn thấy nhiều bạn nữ xinh xắn, kể lại cho tụi bạn: “Con gái trường xinh ghê mày!” Những trường hợp mơ tả trực quan cho hình thức quy nạp, mà cụ thể hai trường hợp trên, cô giáo bạn nam phát biểu quy nạp mệnh đề, rút quan sát thấy mệnh đề với số trường hợp Tuy nhiên, em ăn lớp khơng có nghĩa lớp ăn lớp; bạn nữ cổng khơng đồng nghĩa bạn cịn lại bên trường xinh Như vậy, phát biểu quy nạp đưa cách chủ quan, chưa đưa quy luật đắn hoàn toàn Để phát biểu quy nạp xác, ta cần chứng minh ta phát biểu Như thế, ta cần biết tới phép chứng minh quy nạp Xuất phát từ việc nhìn nhận vấn đề cách đơn điệu, chiều để suy tính chất tồn bộ, tổng thể, phép chứng minh quy nạp đòi hỏi suy đoán ban đầu để đưa phát biểu quy nạp hợp lý; sau đó, ta sử dụng phép tương đương, hệ thống tiên đề, định lý có sẵn để làm rõ phát biểu quy nạp hay sai Phát biểu quy nạp đúng, phát biểu với trường hợp, sai có trường hợp sai Xét ví dụ sau: Ví dụ Với gen gây bệnh X, bệnh lây lan di truyền cách, hai người kết với nhau, mà có hai có gen gây bệnh X, tồn trai họ mang gen gây bệnh X A (Nam không bệnh) B (Nữ bệnh) kết hôn Hỏi Con trai em trai chị gái anh ba trai cháu đích tơn A có bị bệnh hay khơng? Gọi người cấp thấp A người con, cháu (ruột, họ), chắt, Gọi người cấp cao A người anh chị em, cha mẹ, ông bà, Thay phải nhức đầu gia phả gia đình A, B, ta cần xác định được, đối tượng cần xác định bệnh có phải cấp cao A, B hay không Và ta xác định khơng Nhận thấy tồn trai A, B bị bệnh X, suy đốn tồn trai cấp thấp A, B bị bệnh X Vậy ta chứng minh điều Trước hết, phát biểu quy nạp (giả thiết quy nạp) với trường hợp đời thứ Giả sử giả thiết đến đời thứ k, tức A (Nam) kết hôn với B (Nữ) mà hai bị bệnh X, người trai đời thứ đến đời thứ k bị bệnh X Với người nam đời thứ k, xét trai họ, giả thiết quy nạp với đời thứ nhất, nên họ kết hơn, toàn trai họ (đời thứ k+1) bị bệnh X Như vậy, giả thiết quy nạp tới đời thứ k+1 Cứ lặp lại thế, ta dãy vô hạn đời khẳng định đắn giả thiết quy nạp, đồng thời tồn trường hợp dãy vơ hạn bao gọn Vậy toàn trai cấp thấp A, B bị bệnh X, nghĩa người nhắc đến đề bị bệnh  Quy nạp Trang Tủ chuyên đề Toán học Ví dụ đưa dài dịng, lại định hướng ban đầu minh họa rõ nét phương pháp chứng minh quy nạp Quy nạp hữu nơi sống, từ đời thực, tồn Toán học Toán học suy luận kích thích bước nhanh chóng tư quy nạp, giúp người làm việc logic hơn, mang đến phát triển xác cho xã hội Từ Ví dụ 1, ta hình dung rõ bước phép chứng minh quy nạp, cụ thể sau: Phát biểu giả thiết mà ta suy đoán Chứng minh giả thiết quy nạp với một vài trường hợp Giả sử giả thiết quy nạp với n=k Chứng minh giả thiết quy nạp với n=k+1 Kết luận giả thiết Sau đây, dần vào Toán học, để hiểu rõ suy luận logic với phép chứng minh chặt chẽ hơn, xác Bắt đầu với ví dụ mà bạn nghĩ “Thật khùng chứng minh điều hiển nhiên này” Đơn giản là, làm quen với quy nạp! Ví dụ Chứng minh     n (tổng n số n) Nhận thấy điều thật hiển nhiên với n=1 n=2 Giả sử điều với n=k, tức là: 1  1   1  k k Ta chứng minh giả thiết với n=k+1 Thực vậy: 1  1    1   1  1 1   k  k 1 k Do giả thiết với n=k+1 Vậy ta có giả thiết xác  Như thế, bạn hiểu sơ qua bước để chứng minh quy nạp chứ? Nói xíu quy nạp mạnh Quy nạp mạnh, nghĩa là, thay bạn giả sử giả thiết bạn đưa với n=k, bạn giả sử giả thiết tới n=k Như thế, khơng phải bạn có kiện với trường hợp n=k, mà bạn có k kiện, từ n=1 đến n=k, dĩ nhiên, điều giúp bạn có nhiều sở để giải toán, cách hiển nhiên, làm trở nên cồng kềnh Do đó, khơng phải tốn dùng quy nạp mạnh, thực uổng phí! Khó lên chút, ta xét tốn cổ: Ví dụ Chứng minh     n  n( n  1) , n  * Trước hết, với n  , ta thấy hiển nhiên mệnh đề Giả sử rằng, giả thiết với n  k , tức là: k ( k  1)    k  Ta chứng minh giả thiết với n  k  Ta có: k (k  1) ( k  1)( k  2)    k  ( k  1)   ( k  1)  2 Vậy giả thiết với n  k  , giả thiết chứng minh  Quy nạp Trang Tủ chuyên đề Toán học Các bước chứng minh có thế, tự chứng minh đẳng thức sau: n(n  1)(2n  1) n (n  1) Bài tập Chứng minh rằng: 13  23   n3  Bài tập Chứng minh rằng: 12  22   n  Đời không mơ, tốn khơng lại đề đơn giản cả, phía vài ví dụ giúp bạn chưa biết, biết qua phương pháp quy nạp – phương pháp chủ đạo chứng minh toán học Sau đây, giải toán phức tạp hơn, đỏi hỏi kỹ cao x  Ví dụ Cho dãy số:  Chứng minh xn  2, n  * x  x  x   n 1 n n Bài toán phức tạp chút so với ví dụ trước Ta thử phân tích cách làm: Nhìn thấy rõ rang xn1  ( xn  1)   , khơng có ý nghĩa Từ phân tích trên, để xn  2n  * , ( xn  1)  1, n  * nghĩa xn  ! Như vậy, để xn1  , xn  , tức điều ta cần chứng minh, đòi hỏi phần tử đứng trước xn 1  Từ đó, ta nghĩ đến phương pháp quy nạp, cách làm cần dùng đến giả thiết cho phần tử trước Nhận xét x1  Giả sử có xk  , ta có: xn1  ( xn  1)     Vậy ta có, xn  2, n  *  Khá đơn giản phải không Ta tiếp vài ví dụ nhé!  x  1, x2  Ví dụ Cho dãy số:  Tìm cơng thức tổng qt dãy số  xn   xn1  xn  Chà, phức tạp xíu Nhận thấy x1  1, x2  , ta dự đốn xn  n Do x3  Thử lại vào công thức truy hồi cho, lại thấy x3  ! Điều sai đây? Thứ sai nhất, phán đốn bạn Bạn nhìn vào kiện đơn ban đầu, đưa dự đoán, mà dự đốn sai, nên bạn cần phải xem xét kỹ chút để dự đốn xác Tính: x3  4, x4  7, x5  11 Có thấy quy luật khơng nhỉ? Nhận thấy x2   1, x3    2, n( n  1) x4     3, x5      Vậy là, ta dự đoán xn       ( n  1)   k (k  1) Dễ nhận thấy giả thiết với n  1, n  Giả sử giả thiết với n  k , tức xk   ( k  1)( k  2) ( k  1)( k  2) ( k  1) k Ta có: xk 1  xk  xk 1    k ( k  1)   1    1 2 n( n  1) Do giả thiết với n  k  , nên ta suy xn   , n  *  Như vậy, phép quy nạp yêu cầu người đối diện với phải có nhanh nhạy phán đốn, đưa giả thiết cách xác tránh thời gian kiểm chứng sai lại tìm giả thuyết khác Mị mẫm khơng thể tránh khỏi, việc làm nhiều tập giúp bạn có khả phán đoán tốt nhiều! Quy nạp Trang Tủ chuyên đề Toán học Một tốn nhé: Ví dụ Cho hai dãy số (an ) (bn ) thỏa mãn:    a1 , b1    an1  an  bn   bn 1  bn  an  Chứng minh an  bn  2 n , n  3, n   Thử mò mẫm, yêu cầu chứng minh ta phải chứng minh an  bn lớn đại lượng, mà theo cơng thức đề ra, thể ta phải đụng đến anbn Vì thế, ta tính a2b2 :   1 a2b2   a1    b1     a1b1  4 b1   a1  a1b1    1 a3b3   a2    b2     a2b2  6 b2   a2  a2b2  Do a3  b3  a3b3   2.3 Vậy ta có để cảm thấy ta khơng lạc đường, mà a3  b3 dạng mà đề ra! Gọi mệnh đề P ( n) : an  bn  2n , n  3, n   Với phép thử bên trên, ta có P với n  Giả sử P đến n  k , ta có:  a b  1   ak 1  bk 1   ak     bk    (ak 1  bk 1 )  (ak  bk )   k  k   bk   ak    bk ak   ( ak 1  bk 1 )  8k    4.2( k  1)  ak 1  bk 1  2( k  1) Do đó, ta có P với n  k  , nên ta chứng minh hồn tất tốn  Đi qua vài ví dụ điển hình cho phép chứng minh quy nạp, chẳn ta nắm bắt chắn quy nạp? Vậy bạn qua đường sau đây, nơi mà bạn có biết cười mà chấp nhận, phản biện nhanh nhạy nhìn vấn đề Ví dụ xin chia sẻ lại, thú vị hấp dẫn: Bạn tưởng tượng bạn bạn nam ngồi phịng học tồn nam, có bạn nữ ngồi phòng học Vậy chứng minh phịng chả nam cả! Các bạn không tin nhỉ? Được rồi, gọi mệnh đề P(n): “Trong phịng có n bạn mà có bạn nữ phịng nữ” Dễ có P(1) Giả sử P đến n  k , ta chứng minh P với n  k  Thực vậy, với k  người phòng, chọn k người, có bạn nữ, k người nữ Tiếp đến, loại người từ k người chọn ra, chọn lại người ban đầu chưa chọn, ta lại nhóm k bạn, mà có đến k  bạn nữ, k bạn nữ, hay nói cách khác, phịng nữ Vậy ta có P với n  k  , nên P với trường hợp! Vậy bạn từ nam thành nữ nhé! Bạn nhanh nhạy phát điều chưa nhỉ? Bài chứng minh sử dụng phương pháp quy nạp mạnh Vậy thử lại, hỏi xem trường hợp n  P có xác không? À, với trường hợp n  , ta áp dụng phép chứng minh Như vậy, phép chứng minh “không liên tục” n  , phép chứng minh quy nạp mạnh từ sau khơng cịn xác, đó, bạn Quy nạp Trang Tủ chuyên đề Toán học nam! Phải chi mà P(2) đúng, hồn tồn tự tin khẳng định phòng nữ Như vậy, phải thật cẩn thận dùng phép quy nạp Vì phép quy nạp yêu cầu liên tục mệnh đề từ trường hợp xét riêng trở sau, nên việc kiểm tra cẩn thận hoàn toàn cần thiết cho phép quy nạp Vậy mà thường ngày, chẳng ý xem phép quy nạp làm hay sai? Ta xét ví dụ tồn cụ thể nhé:  x1  1, x2   (n  3)(n  4) Ví dụ Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn:  x  x  x  Tính x5 n n 1  n 1 n2  20 (n  2)  ln e  Khơng có dễ hơn, Dễ có x3  5, x4  11 , x5  26   26  ! 95 14 Đúng khơng bạn? Đừng vội vàng nóng nảy, lại lặp lại ý quan trọng phía trên, để ý, mẫu số (n  3)(n  4) có nghiệm 4, khơng tồn x4 , đó, khơng tồn x5 ! (n  2)2  ln en  20 Một cẩn thận hơn, lại đưa đến kết hoàn tồn khác Kết thúc chun đề này, muốn giới thiệu cách trực quan đến bạn chưa rõ phép quy nạp, nhìn đa chiều quy nạp, quy nạp nơi, lúc Vì thế, làm chủ quy nạp, bạn dễ dàng làm chủ xung quanh mình, logic hóa chất vấn đề Mọi thắc mắc, góp ý, sửa sai, xin bạn vui lòng liên hệ địa chỉ: ngocduy1842@gmail.com, trả lời web: www.mathsharing.wordpress.com Xin cảm ơn bạn Quy nạp Trang Tủ chuyên đề Toán học