Tiểu luận Cơ sở toán học của việc dạy học Toán ở tiểu học VẬN DỤNG QUY TẮC SUY LUẬN VÀ PHÉP QUY NẠP KHÔNG HOÀN TOÀN TRONG TOÁN LỚP 5 Chuyên đề: CƠ SỞ TOÁN HỌC CỦA VIỆC DẠY HỌC TOÁN Ở TIỂU HỌCTrong cuộc sống hằng ngày, mỗi chúng ta ai cũng có sự so sánh, phán đoán, suy lý trên cơ sở các ý niệm, khái niệm về hiện tượng, sự vật xung quanh. Đó chính là tư duy lôgic. Tư duy lôgic là suy nghĩ, nhận xét, đánh giá một cách chính xác, lập luận có căn cứ. Như vậy tính lôgic là bắt buộc đối với mọi khoa học. Toán học là một nghành khoa học lí thuyết được phát triển trên cơ sở tuân thủ nghiêm ngặt các quy luật của tư duy lôgic hình thức. Có nghĩa là khi xây dựng Toán học, người ta dùng các quy tắc suy luận, suy diễn, phép quy nạp… để làm cơ sở, nói rõ hơn là phương pháp tiên đề. Theo phương pháp đó, xuất phát từ các khái niệm nguyên thuỷ và các tiên đề rồi dùng các quy tắc lôgic để định nghĩa các khái niệm khác và chứng minh các vấn đề khác. Với lứa tuổi Tiểu học, tư duy của các em chuyển dần từ trực quan hình tượng đến tư duy trừu tượng. Tư duy của các em còn mang tính cụ thể, gắn liền với thực tế, ít có khả năng khái quát. Trong khi đó, Toán là môn học có tính trừu tượng và khái quát cao, không dễ gì lĩnh hội được. Điều này gây trở ngại trong quá trình tiếp cận toán học mang tính nền móng, làm tiền đề cho việc phát triển năng lực học toán sau này, để giúp các em biết phân tích, suy luận và giải quyết các tình huống xảy ra trong học tập và trong cuộc sống. Như vậy, một trong những nhiệm vụ quan trọng bậc nhất của việc giảng dạy toán học ở trường Tiểu học đó là Dạy suy nghĩ. Phải có sự suy nghĩ chính xác thì mọi hoạt động mới mang lại hiệu quả như mong muốn được. Hoạt động học tập môn toán lại càng cần đến sự suy nghĩ chính xác tối đa. Do đó, việc rèn luyện khả năng tư duy lôgic cho học sinh trong quá trình dạy toán là một vấn đề tối thiểu cần thiết và rất đáng để đầu tư công sức. Chương trình Toán Tiểu học nói chung và chương trình Toán lớp 5 nói riêng sử dụng các quy tắc suy luận và phép quy nạp đặc biệt là phép quy nạp không hoàn toàn làm cơ sở cho việc xây dựng các bài học và bài tập cho các em, từ việc hình thành kiến thức đến xây dựng bài tập thực hành và củng cố các kĩ năng làm toán cho học sinh. Muốn các em có phương pháp học và cách trình bày bài toán cần giải thì trước hết người6 dạy phải có hiểu biết nhất định về suy luận, am hiểu về việc vận dụng chúng trong chương trình Toán Tiểu học, để từ đó tìm cách thích hợp mà truyền đạt cho học sinh mình dạy. Nhưng thực tế hiện nay, còn nhiều giáo viên còn lúng túng trong việc vận dụng các quy tắc này vào việc giảng dạy. Giáo viên chỉ dạy toán một cách máy móc, mang tính chất ép buộc, hình thức. Chính vì thế, các tiết học toán trở nên khô khan, nhàm chán và chưa thực sự thu hút các em học sinh. Nhận thức được ý nghĩa, vai trò của việc tìm hiểu, nắm rõ quy tắc suy luận và phép quy nạp không hoàn toàn vào các bài dạy toán ở Tiểu học, tôi mạnh dạn chọn đề tài
PHẦN MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Tư duy lôgic là khả năng so sánh, phán đoán và suy lý dựa trên các khái niệm về hiện tượng xung quanh, đóng vai trò quan trọng trong mọi lĩnh vực khoa học, đặc biệt là Toán học Toán học phát triển dựa trên các quy tắc suy luận và phương pháp tiên đề, giúp định nghĩa và chứng minh các khái niệm Đối với học sinh Tiểu học, tư duy thường mang tính cụ thể và gắn liền với thực tế, khiến việc tiếp cận Toán học trừu tượng trở nên khó khăn Vì vậy, nhiệm vụ quan trọng trong giảng dạy Toán học là "Dạy suy nghĩ", nhằm phát triển khả năng phân tích và giải quyết vấn đề Chương trình Toán Tiểu học, đặc biệt là lớp 5, sử dụng các quy tắc suy luận và phép quy nạp để xây dựng bài học, từ đó củng cố kỹ năng làm toán cho học sinh Rèn luyện tư duy lôgic cho học sinh là một đầu tư cần thiết để nâng cao hiệu quả học tập.
Để dạy Toán Tiểu học hiệu quả, giáo viên cần có hiểu biết vững về suy luận và cách vận dụng chúng trong chương trình giảng dạy Tuy nhiên, nhiều giáo viên hiện nay vẫn còn lúng túng trong việc áp dụng các quy tắc này, dẫn đến việc giảng dạy trở nên máy móc và thiếu sáng tạo Kết quả là, các tiết học Toán trở nên khô khan và không thu hút học sinh Nhận thức được tầm quan trọng của việc nắm rõ quy tắc suy luận và phép quy nạp, tôi quyết định chọn đề tài: “Vận dụng quy tắc suy luận và phép quy nạp không hoàn toàn trong toán lớp 5 tại trường Tiểu học Nguyễn.”
Mục đích nghiên cứu
Dựa trên nghiên cứu lý luận và thực tiễn, hệ thống bài tập cùng các phép toán và quy tắc suy luận đã được xây dựng nhằm hỗ trợ học sinh lớp 5 tại trường Tiểu học Nguyễn Bá Ngọc trong việc giải quyết các bài toán.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 5 tại trường TH Nguyễn Bá Ngọc
Chương trình môn toán tại lớp 5 cùng một số bài toán được yêu cầu.
Phương pháp nghiên cứu
4.1 Phương pháp nghiên cứu lí luận
Nghiên cứu các lý thuyết về logic toán, các quy tắc suy luận, các phép chứng minh toán học và kiến thức tổ hợp;
4.2 Phương pháp nghiên cứu thực tiễn
Tìm hiểu chương trình môn toán Tiểu học.
Giả thuyết khoa học
Nếu đề xuất được hệ thống bài tập cùng các phép toán và các quy tắc suy luận
7 được sử dụng trong việc giải quyết các bài toán thì sẽ nâng cao năng lực dạy học toán của giáo viên.
NỘI DUNG
CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA QUY TẮC SUY LUẬN VÀ PHÉP QUY NẠP KHÔNG HOÀN TOÀN TRONG TOÁN LỚP 5 TẠI TRƯỜNG TIỂU HỌC
NGUYỄN BÁ NGỌC 1.1 Mệnh đề toán học
Mệnh đề có thể được hiểu là một câu khẳng định có tính chất đúng hoặc sai, trong khi không phải mọi câu đều là mệnh đề Trong khoa học và cuộc sống, câu có thể được phân loại thành hai loại: loại thứ nhất phản ánh tính đúng hoặc sai của một thực tế khách quan, và loại thứ hai không phản ánh tính đúng sai nào Những câu thuộc loại thứ nhất chính là mệnh đề.
Ta có định nghĩa như sau: Mệnh đề là một phát biểu toán học có nội dung hoặc đúng hoặc sai
Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau:
Mỗi mệnh đề chỉ có thể nhận một trong hai giá trị chân lý: 0 hoặc 1 Mệnh đề có giá trị chân lý 1 được coi là đúng, trong khi mệnh đề có giá trị chân lý 0 được xem là sai.
1.1.2 Các phép toán logic mệnh đề
1.1.2.1 Phép phủ định Định nghĩa: Cho mệnh đề p Phủ định của p là một mệnh đề mới mà có nội dung trái ngược với mệnh đề p, đọc là “không p”
Ta có bảng giá trị chân lý:
Mệnh đề toán học
Mệnh đề có thể là một câu, nhưng không phải mọi câu đều là mệnh đề Trong khoa học và cuộc sống, câu có thể chia thành hai loại: loại thứ nhất phản ánh tính đúng hoặc sai của một thực tế khách quan, và loại thứ hai không phản ánh tính đúng hoặc sai nào Các câu thuộc loại thứ nhất chính là mệnh đề, vì vậy, có thể khẳng định rằng "Mệnh đề là một câu khẳng định có tính chất đúng hoặc sai".
Ta có định nghĩa như sau: Mệnh đề là một phát biểu toán học có nội dung hoặc đúng hoặc sai
Thuộc tính cơ bản của một mệnh đề là giá trị chân lý của nó, được quy định như sau:
Mỗi mệnh đề chỉ có một trong hai giá trị chân lý: 0 hoặc 1 Mệnh đề có giá trị chân lý 1 được coi là đúng, trong khi mệnh đề có giá trị chân lý 0 được xem là sai.
1.1.2 Các phép toán logic mệnh đề
1.1.2.1 Phép phủ định Định nghĩa: Cho mệnh đề p Phủ định của p là một mệnh đề mới mà có nội dung trái ngược với mệnh đề p, đọc là “không p”
Ta có bảng giá trị chân lý:
1.1.2.2 Phép hội Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q Hội của p, q là một mênh đề mới có nội dung là “p và q”
Ta có bảng giá trị chân lý: p q p Λ q
1.1.2.3 Phép tuyển Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q.Tuyển của p, q là một mênh đề mới có nội dung là “p hoặc q”
Ta có bảng giá trị chân lý: p q p ν q
1.1.2.4 Phép kéo theo Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q Mệnh đề p kéo theo q là một mệnh đề mới có nội dung là “Nếu có p thì có q”
Ta có bảng giá trị chân lý: p q p ⇒ q
1.1.2.5 Phép tương đương Định nghĩa: Cho hai mệnh đề p, q Mệnh đề p tương đương q là một mệnh đề mới có nội dung là “có p nếu và chỉ nếu có q”
Ta có bảng giá trị chân lý: p q p ⇔ q
1.1.3 Luật của logic mệnh đề
Khái niệm luật: Là một công thức mà luôn nhận giá trị chân lí là 1 đối với mọi bộ giá trị của các biến
Ví dụ Tìm giá trị chân lí của công thức p ^ p
Nhận xét: Giá trị chân lí của công thức p ^ p luôn bằng 1 với mọi bộ giá trị của p
Ta nói: Công thức p ^ p là một luật
1.1.4 Công thức của lô gic mệnh đề
1.1.4.1 Khái niệm về công thức
Giả sử p, q, r là các mệnh đề, chúng được coi là các biến mệnh đề Từ các mệnh đề này, ta có thể sử dụng các phép toán lôgic như -, , , , và để tạo ra những mệnh đề phức tạp hơn, ví dụ như q p hoặc (p q) r Tiếp tục áp dụng các phép toán lôgic, ta có thể xây dựng thêm các mệnh đề mới như (p (p q)) và ((p q) (q p)).
Cứ như vậy, ta kiến thiết được một dãy các kí hiệu gọi là công thức của lôgic mệnh đề
Như vậy, mỗi công thức của lôgic mệnh đề là một dãy các kí hiệu thuộc ba loại:
- Các mệnh đề sơ cấp p, q, r
- Các kí hiệu phép toán lôgic -, , , ,
- Các dấu ngoặc ( ) chỉ thứ tự thực hiện các phép toán Đương nhiên, theo định nghĩa ở trên thì:
- Bản thân các mệnh đề sơ cấp cũng là các công thức
- Nếu p, q là các công thức thì P ,qq, pq, pq, pq cũng là công thức
Khái niệm công thức trong lôgic mệnh đề tương tự như biểu thức đại số trong đại số, có thể hiểu đơn giản là biểu thức của lôgic mệnh đề Thuật ngữ "công thức" được sử dụng phổ biến trong các giáo trình lôgic toán, tuy nhiên, nó có thể gây nhầm lẫn khi khiến người đọc nghĩ rằng công thức giống như một đẳng thức, điều này không hoàn toàn chính xác.
Trong đại số, khi gán các giá trị cụ thể cho các biến trong biểu thức, biểu thức đó sẽ cho ra một giá trị xác định.
Chẳng hạn biểu thức (x+y)2 - 5xy sẽ nhận giá trị -1 khi x = 1, y = 2; sẽ nhận giá trị 5 khi x = 4, y = 1 v.v
Trong lôgic mệnh đề, khi thay thế các ký hiệu p, q, r bằng những mệnh đề cụ thể, công thức sẽ chuyển đổi thành một mệnh đề xác định.
1.1.4.2 Giá trị của công thức
Khi thay thế các biến p, q, r trong công thức bằng các mệnh đề cụ thể, công thức sẽ trở thành một mệnh đề xác định Giá trị chân lý của mệnh đề này phụ thuộc vào giá trị chân lý của các mệnh đề p, q, r và kết quả của các phép toán logic thực hiện.
Các phép suy luận thường gặp trong môn Toán tiểu học
Trong phân tích các suy luận của chứng minh toán học, mỗi chứng minh bao gồm nhiều bước thực hiện theo quy tắc nhất định Mỗi bước này nhằm công nhận một mệnh đề nào đó là hệ quả trực tiếp từ những mệnh đề đã được chứng minh hoặc chấp nhận trước đó.
Ta gọi những quy tắc như vậy là các quy tắc suy luận
Ta có định nghĩa sau đây:
Giả sử S1, S2, Sn, T là một dãy hữu hạn các công thức của cùng các biến p, q, , r
Nếu tất cả các bộ giá trị của p, q, , r khiến S1, S2, , Sn nhận giá trị 1 và đồng thời làm cho T cũng nhận giá trị 1, thì T được gọi là hệ quả lôgic của S1, S2, , Sn Điều này có nghĩa là có một quy tắc suy luận từ các tiền đề S1, S2, , Sn tới hệ quả lôgic T của chúng.
Quy tắc suy luận đó được ký hiệu bởi S 1 ,S 2 , ,S n
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng muốn chứng minh T là hệ quả lôgic của S1,
S2, , Sn (tức là chứng minh có quy tắc suy luận bảng chân lí
Chúng ta sẽ lập bảng giá trị cho các công thức S1, S2, , Sn và T trong cùng một bảng Sau đó, tiến hành tính toán tất cả các giá trị của các công thức S1.
S2, , Sn, T với tất cả các bộ giá trị có thể có của các biến (như đã biết nếu có n biến thì có 2 n bộ giá trị, bảng có 2 n dòng)
Khi xem xét bảng, nếu tất cả các bộ giá trị của các biến p, q, , r làm cho S1, S2, , Sn nhận giá trị 1 cũng đồng thời khiến T nhận giá trị 1, thì ta có thể áp dụng quy tắc suy luận cho S1, S2, , Sn.
1.2.2 Một số quy tắc suy luận thường gặp
Dưới đây là một số quy tắc suy luận phổ biến, đặc biệt thường gặp trong lời giải toán ở chương trình tiểu học Việc chứng minh các quy tắc này được thực hiện thông qua việc lập bảng giá trị chân lý.
Quy tắc dạng p, p q q (1) được gọi là quy tắc kết luận
Dạng tổng quát của quy tắc kết luận là:
Theo quy tắc suy luận tổng quát, nếu các mệnh đề p1, p2, , pn đều đúng và mệnh đề (p1 ∧ p2 ∧ ∧ pn) ⇒ q cũng đúng, thì mệnh đề q sẽ đúng Quy tắc này cung cấp một phương pháp kiểm tra hữu ích, thường được áp dụng trong các chứng minh toán học.
“Để chứng minh q là một mệnh đề đúng, nếu đã có công thức p 1 p 2 p n q là đúng thì chỉ cần chứng minh p 1 , p 2 , , p n là các mệnh đề đúng
Việc chứng minh các mệnh đề p1, p2, , pn đúng là những khâu, những mắt xích trong việc chứng minh mệnh đề q đúng
Quy tắc suy luận p q, q r p r (3) được gọi là quy tắc bắc cầu
Quy tắc suy luận bắc cầu ở dạng tổng quát là:
Quy tắc đó nêu lên rằng: “Nếu p suy ra được p 1 , p 1 , suy ra được p 2 , , p n suy ra được q thì p suy ra được q”
Chính nhờ quy tắc này ta có cơ sở để nối các mắt xích suy luận rời rạc thành một chỉnh thể chứng minh
1.2.2.3 Quy tắc suy luận phản chứng
Các quy tắc suy luận p (q q) p q, p q p
14 được gọi là quy tắc suy luận phản chứng
Quy tắc suy luận (5) khẳng định rằng nếu phủ định của mệnh đề p dẫn đến hai mệnh đề phủ định nhau q và q, thì p là mệnh đề đúng Trong khi đó, quy tắc suy luận (6) nêu rằng nếu q là mệnh đề đúng và phủ định của mệnh đề p dẫn đến phủ định của q, thì p cũng đúng Những quy tắc suy luận này là nền tảng cho phương pháp chứng minh phản chứng.
1.2.3 Phép tiền chứng minh ở tiểu học
Trong suy luận diễn dịch, khi kết luận b được rút ra từ các tiền đề a1, a2,…, an thông qua quy tắc suy luận tổng quát, ta gọi b là kết luận lô gic của các tiền đề này Suy luận này được coi là hợp lô gic Nếu tất cả các tiền đề đều đúng, b sẽ trở thành một kết luận chứng minh và suy luận đó được gọi là một chứng minh.
1.2.4 Suy luận quy nạp Ở tiểu học, chưa sử dụng phương pháp quy nạp toán học vào dạy học kiến thức mới và giải toán Tuy nhiên phép quy nạp hoàn toàn và đặc biệt là phép quy nạp không hoàn toàn (thuộc nhóm các suy luận có lý) thì lại đóng vai trò quan trọng
1.2.4.1 Phép quy nạp không hoàn toàn
Mặc dù phép quy nạp không hoàn toàn đáng tin cậy, nhưng đối với học sinh tiểu học, việc giảng dạy thông qua thực nghiệm là phương pháp đơn giản và dễ hiểu nhất Phương pháp này giúp học sinh tiếp cận gần hơn với các chân lý toán học, cho phép các em giải thích một phần kiến thức mới mà không cảm thấy bị áp lực phải chấp nhận một cách hình thức Mặc dù các kết luận được rút ra chỉ dựa trên một số trường hợp cụ thể, nhưng nó vẫn mang lại giá trị trong quá trình học tập.
Phương pháp "tổng quát hoá" trong tư duy là một kỹ thuật quan trọng, thường được áp dụng trong các tiết dạy "bài mới" ở bậc tiểu học Điều này giúp học sinh phát triển khả năng tư duy logic và liên kết kiến thức một cách hiệu quả.
1.2.4.2 Phép quy nạp hoàn toàn
Cơ sở toán học của phép quy nạp hoàn toàn là: “Nếu hàm mệnh đề (x) xác định trên tập hữu hạn X = {a1, a2,…an} thì ta có đẳng thức: (a1) (a2) … (an)” Mặc dù phép quy nạp hoàn toàn không được sử dụng nhiều ở tiểu học, nhưng nó thường được áp dụng trong những trường hợp cần xem xét tất cả các khả năng có thể xảy ra của một sự kiện nào đó.
Phép suy luận thường liên quan mật thiết đến phép thử - chọn, tức là quá trình xem xét từng trường hợp riêng lẻ và đối chiếu với dữ kiện của bài toán để đưa ra kết luận chính xác.
Suy luận suy diễn là quá trình lập luận trong đó kết luận được rút ra từ các sự kiện đã biết, với nguyên tắc rằng nếu các tiền đề đúng thì kết luận cũng phải đúng Điều này có nghĩa là các sự kiện đã cho yêu cầu kết luận phải được xem là đúng.
Lập luận này khác với lập luận loại suy và lập luận quy nạp, vì các tiền đề chỉ có thể dự đoán một xác suất cao cho kết luận mà không đảm bảo rằng kết luận đó là đúng.
Hình thức suy luận này được sử dụng nhiều trong việc vận dụng kiến thức mới của bài học vào các hoạt động thực hành, luyện tập.
Tổ hợp
Trong Toán học, tổ hợp là phương pháp chọn các phần tử từ một tập hợp lớn hơn mà không quan tâm đến thứ tự Khi số lượng phần tử trong tập hợp nhỏ, có thể dễ dàng đếm được số lượng tổ hợp.
Tổ hợp chập k của n phần tử (C k n) là một tập con của tập hợp mẹ S với n phần tử, bao gồm k phần tử riêng biệt từ S mà không cần sắp thứ tự Số lượng tổ hợp chập k này tương đương với hệ số nhị thức.
Các tổ hợp có thể là tổ chập gồm k phần từ khác nhau lấy từ n phần tử có sự lặp lại hoặc không có sự lặp lại
1.3.2 Một số công thức tính tổ hợp
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n >= 1)
Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n >= 1)
Kết quả của việc chọn k phần tử khác nhau từ n phần tử trong tập hợp A và sắp xếp chúng theo một thứ tự cụ thể được gọi là chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Giả sử A có n phần tử (n >= 1) Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử đã cho
Các dạng toán điển hình trong chương trình môn toán lớp 5
2.1.1 Bài toán liên quan đến quan hệ tỉ lệ
VD1: Một ô-tô trong 2 giờ đi được 90km Hỏi trong 4 giờ ô-tô đó đi được bao nhiêu ki-lô-mét ?
Lời giải: q = “Số ki - lô - mét 1 giờ ô tô đó đi được là: 90 : 2 = 45 (km).” r = “Số ki - lô - mét 4 giờ ô tô đó đi được là: 45 x 4 = 180 (km).”
Phân tích: p = “ô-tô trong 2 giờ đi được 90km” = 1 r = “số ki - lô - mét 4 giờ ô tô đó đi được là x”
Các quy tắc suy luận đã sử dụng: p, p => q q p, q, p ^ q => r r
Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
2.1.2 Bài toán về tỉ số phần trăm
VD2: Lớp em có 14 bạn nam, 16 bạn nữ Tìm tỉ số của số bạn nữ và số HS cả lớp
Lời giải: r = “Số HS cả lớp là: 14 + 16 = 30 (HS)”
18 t = “Tỉ số của số bạn nữ và số HS cả lớp là:
Phân tích: p = “lớp em có 14 bạn nam” = 1 q = “ lớp em có 16 bạn nữ” = 1
30 15 t = “ Tỉ số của số bạn nữ và số HS cả lớp là x”
Các quy tắc suy luận đã sử dụng: p, q, p ^ q => r r p, r, p ^ r => t t
Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
2.1.3 Bài toán về hình học
VD3: Tính diện tích hình tam giác có độ dài đáy là 8cm và chiều cao là 6cm Lời giải: t = “Diện tích hình tam giác đã cho là:
Diện tích của hình tam giác có đáy dài 8cm và chiều cao 6cm được tính bằng công thức: diện tích = (đáy × chiều cao) / 2 Với các thông số đã cho, diện tích hình tam giác này là x.
Quy tắc suy luận đã sử dụng:
19 p, q, r, (p ^ q) ^ r => t t Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
Thửa ruộng hình thang có hai đáy dài 110m và 90,2m, với chiều cao được tính bằng trung bình cộng của hai đáy Để tính diện tích thửa ruộng, ta áp dụng công thức diện tích hình thang: S = (a + b) * h / 2, trong đó a và b là độ dài hai đáy, h là chiều cao.
Lời giải: b = “Chiều cao của thửa ruộng là: (110 + 90,2) : 2 = 100,1 (m)” t = “Diện tích thửa ruộng là:
Thửa ruộng hình thang có độ dài hai đáy lần lượt là 110m và 90,2m Chiều cao của thửa ruộng được tính bằng trung bình cộng của hai đáy Diện tích của hình thang được xác định bằng tổng độ dài hai đáy nhân với chiều cao, sau đó chia cho 2 Do đó, diện tích thửa ruộng là x.
Các quy tắc suy luận đã sử dụng: p, q, p ^ q => b b p, b, r, (p ^ b) ^ r => t t Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
Khối kim loại hình lập phương có cạnh dài 0,75m, với trọng lượng 15kg mỗi đề-xi-mét khối Để tính trọng lượng tổng thể của khối kim loại này, ta cần xác định thể tích của nó và sau đó nhân với trọng lượng mỗi đề-xi-mét khối.
Thể tích của khối kim loại hình lập phương có cạnh dài 0,75m được tính bằng công thức: 0,75 × 0,75 × 0,75, cho kết quả là 0,421875 m³, tương đương với 421,875 dm³ Mỗi đề-xi-mét khối kim loại này nặng 15kg, vì vậy khối kim loại đó có trọng lượng là 5 × 421,875 = 6328,125 kg Thể tích hình lập phương được xác định bằng cách nhân độ dài các cạnh với nhau, và 1 m³ tương đương với 1000 dm³.
Quy tắc suy luận đã sử dụng: p, t, p ^ t => b b q, r, q ^ r => c c c, c => d d
Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
2.1.4 Bài toán về chuyển động đều
2.1.4.1 Bài toán về tính vận tốc
VD6: Một người chạy được 60 m trong 10 giây Tính vận tốc chạy của người đó
Vận tốc chạy của người đó là: 60 : 10 = 6 (m/giây)
Phân tích: p = “ Một người chạy được 60 m trong 10 giây.” = 1 q = “ Vận tốc bằng quãng đường chia cho thời gian.” = 1 r = “ Vận tốc chạy của người đó là x”
Quy tắc suy luận sử dụng: p, q, p ^ q => r r
Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
2.1.4.2 Bài toán về tính quãng đường
VD7: Một người đi xe đạp trong 15 phút với vận tốc 12,6 km/giờ Tính quãng đường đi được của người đó
Lời giải: c = “15 phút = 0,25 giờ” t = “Quãng đường đi được của người đó là:12,6 x 0,25 = 3,15(km).”
Người đó đi xe đạp trong 15 phút với vận tốc 12,6 km/giờ, và quãng đường được tính bằng vận tốc nhân với thời gian Cần lưu ý rằng 1 giờ tương đương với 60 phút, do đó quãng đường đi được của người đó là x.
Các quy tắc suy luận đã sử dụng: p, r, p ^ r => c c
22 b, c, q, (b ^ c) ^ q => t t Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận
2.1.4.3 Bài toán về tính thời gian
VD8: Trên quãng đường 2,5km, một người chạy với vận tốc 10km/giờ Tính thời gian chạy của người đó
Thời gian chạy của người đó là: 2,5 : 10 = 0,25 (giờ)
Để tính toán thời gian chạy của người đó, ta có quãng đường dài 2,5km và vận tốc 10km/giờ Thời gian được xác định bằng cách chia quãng đường cho vận tốc Do đó, thời gian chạy của người đó là x.
Quy tắc suy luận được sử dụng: p, q, r, (p ^ q) ^ r => t t Vậy bài toán trên sử dụng quy tắc kết luận.
Một số nội dung vận dụng phép quy nạp không hoàn toàn trong dạy học toán lớp 5
Trong dạy học ở Tiểu học, phép suy luận quy nạp không hoàn toàn được sử dụng phổ biến và hiệu quả Vì những lí do sau:
Mặc dù kết luận từ phép suy luận không hoàn toàn chắc chắn, học sinh Tiểu học với trình độ hiểu biết còn hạn chế cần trải qua thực nghiệm trong giảng dạy Do đó, phương pháp này trở thành cách tiếp cận chủ yếu, đơn giản và dễ hiểu nhất cho các em.
Mặc dù phép suy luận này chưa cho phép chúng ta chứng minh những chân lý mới, nhưng nó giúp các em tiếp cận gần hơn với những chân lý ấy Nó giải thích một cách hợp lý các kiến thức mới, tránh tình trạng phải thừa nhận kiến thức mới một cách hình thức và hời hợt.
Học sinh Tiểu học thường có đặc điểm tư duy cụ thể, nghĩa là các em thường dựa vào những ví dụ và sự vật cụ thể để hiểu và phát triển tư duy trừu tượng Tư duy của các em gắn liền với những kiến thức đã có, giúp các em hình thành khái niệm một cách rõ ràng và dễ hiểu.
Trong dạy học Toán tiểu học, đặc biệt là toán lớp 5, phương pháp quy nạp không hoàn toàn thường được áp dụng để giới thiệu bài mới Dưới đây là một số cách thức vận dụng phương pháp này trong quá trình giảng dạy toán lớp 5.
2.2.1 Số thập phân Các phép tính với số thập phân
VD1: Bài “So sánh hai số thập phân”
Hoạt động 1: So sánh 2 số thập phân
- GV nêu VD: so sánh 8,1m và 7,9m
- GV đặt vấn đề: Để so sánh 8,1m và 7,9m ta làm thế nào?
- HS không trả lời được GV gợi ý Đổi 8,1m ra cm? 7,9m ra cm?
- HS suy nghĩ tìm cách so sánh
Vậy nếu GV không ghi đơn vị vào GV chỉ ghi 8,1 và 7,9 thì các em sẽ so sánh như thế nào? (8,1 > 7,9)
- GV nói 8,1 là số thập phân; 7,9 là số thập phân
Quá trình tìm hiểu 8,1 > 7,9 là quá trình tìm cách so sánh 2 số thập phân
Hoạt động 2: So sánh 2 số thập phân có phần nguyên bằng nhau
- GV đưa ra ví dụ: So sánh 35,7m và 35,698m
- GV gợi ý để HS so sánh:
- Do phần nguyên bằng nhau, các em so sánh phần thập phân
Khi so sánh hai số thập phân có phần nguyên giống nhau, ta cần xem xét phần thập phân bắt đầu từ hàng phần mười, sau đó là hàng phần trăm, hàng phần nghìn, và tiếp tục cho đến hàng tương ứng Số thập phân nào có giá trị lớn hơn ở hàng tương ứng sẽ được coi là lớn hơn.
Như vậy, GV đã sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn để hướng dẫn HS biết cách so sánh hai số thập phân
VD2: Bài “Nhân một số thập phân với 10, 100, 1000…”
+ Gọi 1 HS lên bảng thực hiện phép nhân, đồng thời cho cả lớp nhân trên vở nháp
- Cho HS so sánh thừa số thứ nhất (27,867 với tích 278,670) nêu sự giống nhau khác nhau?
+ Giống: Đều gồm các chữ số 2; 7; 8 ;6; 7
+ Khác: Dấu phẩy ở tích dịch chuyển sang bên phải 1 chữ số
- GV gợi ý để HS rút ra quy tắc nhân 1 số thập phân với 10
Quy tắc: Muốn nhân 1 số thập phân với 10 ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số thập phân đó sang bên phải 1 chữ số
- GV viết ví dụ 2 lên bảng:
+ GV hướng dẫn HS các bước tương tự như ví dụ 1
- Nêu quy tắc nhân 1 số TP với 10,100,1000 …
Quy tắc: Muốn nhân 1 số thập phân với 10, 100, 1000…ta chỉ việc chuyển dấu phẩy của số đó lần lượt sang bên phải 1, 2, 3 …chữ số
Trong bài viết này, chúng ta không cần xem xét tất cả các trường hợp nhân với 10, 100, 1000,… mà chỉ tập trung vào hai trường hợp cụ thể để rút ra kết luận Giáo viên đã áp dụng phép quy nạp không hoàn toàn để hướng dẫn học sinh cách nhân một số thập phân với 10 và 100.
VD3: Bài “Diện tích hình thang”
Ta hướng dẫn HS hình thành công thức dựa trên một ví dụ cụ thể về hình thang ABCD
- Đính hình thang ABCD lên bảng với các kích thước và yêu cầu tính diện tích hình thang
- Hướng dẫn hình thành công thức:
+ Xác định trung điểm M của cạnh BC rồi cắt rời tam giác ABC
+ Ghép MB với MC sao cho B trùng với C, ta được tam giác ADK
Diện tích hình thang ABCD và diện tích hình tam giác ADK cần được so sánh để hiểu rõ hơn về mối quan hệ giữa chúng Để tính diện tích hình tam giác ADK, ta áp dụng công thức tính diện tích tam giác Sau khi tính toán, ta sẽ so sánh số đo diện tích của hai hình để đưa ra nhận xét chính xác về sự khác biệt và tương đồng giữa chúng.
Để tính diện tích hình thang ABCD, ta cần xem xét cạnh đáy và chiều cao của tam giác ADK, trong đó hai cạnh đáy và chiều cao của hình thang sẽ giúp rút ra công thức tính diện tích.
Diện tích hình thang được tính bằng cách lấy tổng độ dài của hai đáy, nhân với chiều cao, sau đó chia cho hai Công thức này giúp xác định diện tích một cách chính xác và dễ hiểu.
Diện tích hình thang được tính bằng cách sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn Giáo viên đã hướng dẫn học sinh hình thành công thức tính diện tích với các thông số: a, b là cạnh đáy và h là chiều cao.
VD4: Bài “ Diện tích xung quan và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật”
Hình thành khái niệm, cách tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật a) Diện tích xung quanh
- Giới thiệu mô hình hình hộp chữ nhật
? Em hãy nêu các mặt xung quanh của hình
? Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là gì? (Là tổng diện tích bốn mặt bên của hình hộp chữ nhật)
Diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật chính là diện tích của hình chữ nhật Học sinh cần quan sát mô hình triển khai hình hộp chữ nhật để hiểu rõ hơn về mối liên hệ giữa hai hình này.
- Yêu cầu HS tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật
Chiều dài là: 5 + 8 + 5 + 8 = 26 (cm) Chiều rộng là 4 cm
Vậy diện tích xung quanh của hình hộp chữ nhật là: 26 × 4 = 104 (cm 2 )
- Hướng dẫn để HS thấy được 26 cm là chu vi mặt đáy của hình hộp chữ nhật
? Vậy muốn tính diện tích xung quanh hình hộp chữ nhật ta làm như thế nào? (Lấy chu vi đáy nhân với chiều cao ) b) Diện tích toàn phần
- Cách hướng dẫn tương tự phần a
Giáo viên chỉ xem xét một hình hộp chữ nhật cụ thể như trong sách giáo khoa, thay vì tất cả các hình hộp chữ nhật Qua đó, giáo viên áp dụng phép quy nạp không hoàn toàn để giúp học sinh hình thành cách tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình hộp chữ nhật.
2.2.3 Số đo thời gian Toán chuyển động đều
Bài viết này bao gồm hai bài toán: bài toán 1 tập trung vào việc hình thành công thức tính vận tốc, trong khi bài toán 2 yêu cầu học sinh áp dụng công thức để giải quyết một bài toán cụ thể Giáo viên sử dụng phương pháp quy nạp không hoàn toàn cho bài toán 1 nhằm hỗ trợ quá trình học tập của học sinh.
HS hình thành kiến thức mới
GV yêu cầu học sinh dựa vào đề bài để giải quyết bài toán theo kiến thức đã học Học sinh sẽ áp dụng dạng toán rút về đơn vị mà các em đã được học ở lớp 3 để thực hiện việc giải bài.
GV nhận xét và chốt: Ta nói vận tốc trung bình của ô tô hay nói vắn tắt vận tốc của ô tô là 42,5km/ giờ và ghi bảng:
Vận tốc của ô tô là:
+ Vận tốc của ô tô được tính với đơn vị là gì ? (km/ giờ)
+ Vậy vận tốc là gì ? (Là quãng đường đi được trong một khoảng thời gian nhất định)
+ Muốn tìm vận tốc ta làm như thế nào? (Ta lấy quãng đường chia cho thời gian)
- Từ đó hướng dẫn HS rút ra công thức tính vận tốc:
Gọi quãng đường là S, thời gian là t, vận tốc là v , em hãy lập công thức tính vận tốc
Giáo viên đã dựa vào một bài toán cụ thể để xây dựng công thức tính vận tốc cho học sinh, thể hiện việc sử dụng phép quy nạp không hoàn toàn trong quá trình hình thành kiến thức.
Một số bài toán logic/tổ hợp ở tiểu học
Bài toán 1: 20 đội tham gia một giải bóng đá Mỗi đội chơi với đội khác đúng
1 trận Hỏi có tổng cộng bao nhiêu trận đấu?
Cách giải bằng kiến thức được học:
Trong giải bóng đá có 20 đội tham gia, mỗi lượt chơi sẽ diễn ra giữa 2 đội Mỗi đội chỉ thi đấu với đội khác một lần duy nhất Do đó, để tính tổng số trận đấu, ta chỉ cần xác định số cách chọn 2 đội từ 20 đội mà không cần sắp xếp theo thứ tự.
Số trận đấu là: C 2 = 190 (trận)
Hướng dẫn HS Tiểu học:
Trong 20 đội tham gia, mỗi đội phải đấu với 19 đội còn lại nên có số trận tất cả là: 19 x 20 = 380 (trận)
Nhưng vì mỗi đội chỉ chơi với đội khác đúng 1 trận nên số trận đấu là:
Trong một giải đấu với 20 đội, mỗi đội sẽ thi đấu một trận với từng đội khác Cụ thể, đội 1 sẽ thi đấu với 19 đội còn lại, trong khi đội 2 sẽ chỉ còn 18 đội để thi đấu (không bao gồm đội 1).
32 Đội 3 sẽ đấu với 17 đội còn lại ( trừ đội 1, đội 2) Đội 4 sẽ đấu với 16 đội còn lại ( trừ đội 1, đội 2, đội 3)
… (tương tự) Đội 19 sẽ đấu với 1 đội còn lại
Vậy số trận đấu sẽ là: 19 + 18 + 17 + …+ 2+ 1 = 190 (trận)
Bài toán 2: Megan, Nikita, Patsy và Stella sống ở tầng 2, tầng 3, tầng 4 và tầng
5 của một căn hộ 6 tầng, nhưng không theo thứ tự đó Nghề nghiệp của họ là họa sĩ, nghệ sĩ piano, kỹ sư và nhân viên kinh doanh
Megan sống ở tầng cao hơn tầng của Nikita nhưng thấp hơn tầng của Patsy Stella lives on the fifth floor
Nhân viên kinh doanh sống ở tầng cao hơn kỹ sư 1 tầng nhưng thấp hơn tầng của nghệ sĩ piano 1 tầng
Họa sĩ sống ở tầng thấp nhất
Tìm nghề nghiệp của họ và tầng mà họ sống
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận
Stela sống ở tầng 5, trong khi Megan ở tầng 3, cao hơn Nikita ở tầng 2 nhưng thấp hơn Patsy ở tầng 4.
Nikita là họa sĩ sống ở tầng thấp nhất, trong khi Megan, kỹ sư, sống ở tầng 3 Patsy, nhân viên kinh doanh, ở tầng 4, và Stela, nghệ sĩ Piano, sống ở tầng 5 Nhân viên kinh doanh sống ở tầng cao hơn kỹ sư một tầng nhưng thấp hơn nghệ sĩ Piano một tầng.
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng theo dữ kiện đề bài
Tên Tầng 2 Tầng 3 Tầng 4 Tầng 5
Nghề nghiệp Tầng 2 Tầng 3 Tầng 4 Tầng 5
Stela ở tầng 5 và làm Nghệ sĩ Piano
Megan ở tầng 3 và làm kỹ sư
Nikita ở tầng 2 và làm họa sĩ
Patsy ở tầng 4 và làm nhân viên kinh doanh
Để xác định Charles đang ở làng A hay làng B, anh có thể hỏi một người dân bất kỳ: "Nếu tôi hỏi bạn có phải bạn đến từ làng A không, bạn sẽ trả lời như thế nào?" Nếu người dân trả lời "Có", thì Charles đang ở làng A, vì người dân ở làng A luôn nói dối Ngược lại, nếu người dân trả lời "Không", thì Charles đang ở làng B, vì người dân ở làng B luôn nói thật.
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận
Charles chỉ cần hỏi một người dân mà anh gặp: “Tôi đang ở trong làng của anh phải không?” Nếu người đó trả lời "có", anh sẽ biết mình đang ở Làng B, nơi mọi người luôn nói thật Ngược lại, nếu câu trả lời là "không", anh sẽ hiểu mình đang ở Làng A, nơi mọi người luôn nói dối.
34 thì Charles đang ở làng B Nếu câu trả lời là không phải, thì Charles đang ở làng A
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng theo dữ kiện đề bài
Làng A X thì sẽ nói không phải
Làng B X thì sẽ nói phải
Vậy chỉ cần đặt câu hỏi: “Tôi đang ở trong làng của anh phải không?” sẽ biết được Charles đang ở làng nào
Bài toán 4: Andrew, Bryan và Charlie mỗi người lấy 2 tấm thẻ từ một bộ bài được đánh số từ 1 đến 8
Bryan có một tấm thẻ có số gấp đôi so với số trên các tấm thẻ còn lại Tổng số trên các tấm thẻ của Charlie là 9, trong khi tổng số trên các tấm thẻ của Andrew là 7, với hiệu số giữa chúng không bằng 3.
Hỏi 2 tấm thẻ nào không được lấy?
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận thử chọn
Tổng các số trên các tấm thẻ của Andrew là 7 và hiệu của chúng khác 3, nên các số trên 2 tấm thẻ chỉ có thể là 1 và 6 hoặc 3 và 4 Trong trường hợp đầu tiên, Andrew chọn 2 tấm thẻ 1 và 6.
Bryan sở hữu hai tấm thẻ, trong đó một tấm có số gấp đôi số của tấm còn lại Do đó, các cặp số trên hai tấm thẻ của Bryan chỉ có thể là: 2 và 4, hoặc 4 và 8.
+ Nếu Bryan lấy được hai thẻ có số 2 và 4, thì do 2 thẻ của Charlie có tổng các số là 9 không thể xảy ra
+ Nếu Bryan lấy được hai thẻ có số 4 và 8, thì Charlie sẽ lấy được 2 thẻ có số
Vậy trong trường hợp 1: Andrew lấy 2 thẻ số 1 và 6; Bryan lấy 2 thẻ số 4 và 8; Charlie lấy 2 thẻ số 2 và 7 Nên 2 tấm thẻ không được lấy là: 3 và 5
Trường hợp 2: Andrew lấy 2 tấm thẻ 3 và 4
Bryan sở hữu hai tấm thẻ, trong đó một tấm có số gấp đôi tấm còn lại, vì vậy các số trên thẻ của Bryan chỉ có thể là 1 và 2 Đồng thời, tổng số trên hai thẻ của Charlie là 9, điều này là không thể xảy ra.
Vậy chỉ có 2 tấm thẻ không được lấy là: 3 và 5
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng theo dữ kiện đề bài
Charlie Không thể 2 và 7 Không thể
2 thẻ không được lấy x 3 và 5 x
Vậy: Andrew lấy 2 thẻ số 1 và 6; Bryan lấy 2 thẻ số 4 và 8; Charlie lấy 2 thẻ số 2 và 7 Nên 2 tấm thẻ không được lấy là: 3 và 5
Edward, Peter và Leon làm việc trong các lĩnh vực khác nhau: nha sĩ, giáo viên và bộ đội Edward lớn tuổi hơn giáo viên, trong khi Leon không cùng tuổi với giáo viên Đồng thời, Edward và người bộ đội không phải là bạn thân.
Em có thể tìm ra nghề nghiệp của từng người ấy không?
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận
Edward, do lớn tuổi hơn giáo viên và không phải bạn thân với người lính, chỉ có thể theo đuổi sự nghiệp họa sĩ Điều này cũng bởi vì Leon không cùng độ tuổi với Edward.
36 với người là giáo viên và vì Edward đã là họạ sĩ, nên Leon là bộ đội Cuối cùng, Peter làm giáo viên
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng theo dữ kiện đề bài
Nha sĩ Giáo viên Bộ đội
Edward x Không cùng tuổi Không phải bạn thân
Vậy: Edward là Nha sĩ, Leon là Bộ đội và Peter là giáo viên
Bài toán 6: Một chiếc rổ, một chiếc tô bằng thép và một chiếc tô bằng nhựa được sử dụng đựng các loại trái cây khác nhau
Tô bằng nhựa không đựng cam Tô bằng théo không đựng táo Đào không được đựng trong tô bằng nhựa và rổ
Em có thể tìm ra loại dụng cụ nào đựng loại trái cây nào không?
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận
Tô bằng nhựa không phù hợp để đựng cam và đào, vì vậy táo được chứa trong tô nhựa, trong khi cam được đựng trong rổ Đào sẽ được bảo quản trong tô bằng thép.
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng dựa vào dữ kiện đề bài cho
Rổ Tô bằng nhựa Tô bằng thép
Vậy: Đào đựng trong tô bằng thép, táo đựng trong tô bằng nhựa và cam đựng trong rổ
Bài 7: Trong một buổi tập bóng rổ, Harry, Bill và Anthony mỗi người đội một chiếc mũ lưỡi trai có màu khác nhau Anthony không đội mũ màu vàng Mũ của Bill không phải màu vàng, cũng không phải màu trắng Hãy tìm xem các bạn ấy đội mũ màu gì?
Cách giải bằng kiến thức được học: Dùng suy luận
Bill đội mũ màu xanh, vì mũ của anh không phải màu vàng hay trắng Do Anthony không đội mũ màu vàng và Bill đã chọn mũ xanh, nên Anthony đội mũ màu trắng Kết luận, Harry đội mũ màu vàng.
Hướng dẫn HS Tiểu học: hướng dẫn HS lập bảng dựa vào dữ kiện đề bài cho
Vậy: Bill đội mũ màu Xanh, Harry đội mũ màu vàng, Anthony đội mũ màu trắng
KẾT LUẬN
Chương trình Toán Tiểu học, đặc biệt là Toán lớp 5, dựa vào các quy tắc suy luận và phép quy nạp không hoàn toàn để xây dựng bài học và bài tập cho học sinh Giáo viên cần nắm vững các phương pháp và quy tắc này nhằm hướng dẫn và rèn luyện tư duy logic cho học sinh Mặc dù có nhiều phương pháp giải bài toán, nhưng học sinh thường gặp khó khăn trong việc tìm ra hướng giải quyết, dẫn đến nhầm lẫn và thiếu suy luận Do đó, giáo viên cần hiểu rõ bản chất của từng bài dạy để giúp học sinh phát triển khả năng phân tích và áp dụng kiến thức vào thực tiễn Việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp với năng lực học sinh sẽ nâng cao chất lượng giảng dạy và hiệu quả học tập.