CHINH-PHUC-TRAC-NGHIEM-CUC-TRI-HAM-SO

Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Nguyễn Phú Khánh Cực trị hàm số MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN CHINH PHỤC CÂU TRẮC NGHIỆM CỰC TRỊ HÀM SỐ Một số cơng thức tính nhanh “thường gặp“ liên quan cực trị hàm số y = ax + bx + c cực trị: ab ≥ a > : cực a < : tiểu đại cực cực trị: ab < a > : cực a < : cực đại, đại, cực tiểu cực tiểu  b ∆   b ∆ b4 b b A(0; c), B  − − ; − ÷, C  − ; − ÷ ⇒ AB = AC = − , BC = − 2a 4a   2a 4a  16a 2a 2a  với ∆ = b − 4ac  −b  ∆ Phương trình qua điểm cực trị: BC : y = − AB, AC : y = ±  ÷ x+c 4a a   b + 8a · Gọi BAC = α , ln có: 8a (1 + cosα ) + b (1 − cosα ) = ⇒ cosα = b − 8a b5 S2 = − 32a 2 Phương trình đường trịn qua A, B, C : x + y − ( c + n ) x + c.n = 0, với b3 − 8a ∆ R = n= − bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác 8ab b 4a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2( m − m + 1) x + 2017m − m có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu A m = 0,5 B m = −0,5 C m = 0,5 m = −0,5 D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2( m − m + 1) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có:  −2(m − m + 1)  < ⇒ ∀m ∈ ¡  −2(m − m + 1)  b hay m − m + = ⇔ (2m − 1)2 = ⇔ 3=2 − 2a 2.1 ⇒ m = 0,5 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2(1 + m ) x + 2017m − 2016 có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu nhỏ A m = B m = C m = m = −1 D m = −1 Hướng dẫn: BC = − Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Với a = 1, b = −2( m + 1) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có:  −2(m + 1)  < ⇒ ∀m ∈ ¡  −2( m + 1)  b BC = − =2 − = m + ≥ ⇒ BC = m = 2a 2.1 ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2mx + 2016m − 2017 có cực trị cho khoảng cách hai cực tiểu cực đại A m = B m = m = C m = D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.( −2m) < ⇒ m > AB = AC = b4 b ( −2m) ( −2m ) − = − = m + m , với AB = AC = 16a 2a 16.12 2.1 m + m = ⇔ m + m − = ⇔ ( m − 1)(m + m + m + 2) = ⇒ m = ⇒ Chọn đáp án C Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = (2m + 1) x + x − 2017m 2018 + 2016 có cực trị tạo thành tam giác ABC thỏa · =− mãn A ∈ Oy cosBAC A m = −2 B m = −1 m = −1 C m = −4 D m = −1 Hướng dẫn: Với a = 2m + 1, b = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: (2m + 1).1 < ⇒ m < − 3 b + 8a + 8.(2m + 1) cosα = ⇒− = ⇔ 144m + 81 = 112m + 49 ⇔ m = −1 b − 8a − 8.(2m + 1) ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2m x + 2016m 2017 + 2018m có cực trị tạo thành tam giác ABC có diện tích s thỏa mãn phương trình (3s + 1) s + s + = 3s + 3s + A m = B m = m = C m = D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.( −2m ) < ⇒ m > (3s + 1) s + s + = 3s + 3s + ⇔ ( s + s + − s )( s + s + − s − 1) = ⇔ s = b5 ( −2 m ) ⇒ − = ⇔ ( m )5 = ⇒ m = 32a 32.1 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2(16 − m ) x + m 2018 − m 2017 có cực trị tạo thành tam giác ABC có diện tích lớn A m = −1 B m = S2 = − Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí C m = −1 m = D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2(16 − m ) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có:  −2(16 − m )  < ⇔ −2 < m <  −2(16 − m )  b5 S= − = − = (16 − m )5 ≤ 1024 ⇒ maxS = 1024 m = 32a 32 ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2m x + m + có cực trị A, B, C cho bốn điểm A, B, C , O nằm đường tròn A m = −1 B m = C m = −1 m = D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2m , c = m + Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1( −2m ) < ⇒ m ≠ ∆ = b − 4ac = −4 2 Phương trình đường tròn qua ∆ A, B, C : x + y − ( c + n ) x + c.n = 0, với m2 O (0;0) thuộc đường tròn: 02 + 02 − ( c + n ) + c.n = ⇒ c.n = n = 1−   hay (m + 1)  − ÷ = suy m = ±1  m  ⇒ Chọn đáp án C Một số dạng toán hàm số y = ax + bx + c (chứng minh hình học đơn giản) Giả sử hàm số y = ax + bx + c có cực trị:  b ∆   b ∆ A(0; c ), B  − − ; − ÷, C  − ; − ÷ 2a 4a   2a 4a   tạo thành tam giác ABC thỏa mãn kiện: Dữ kiện 1) Tam giác ABC vuông cân A 2) Tam giác ABC · 3) Tam giác ABC có góc BAC =α 4) Tam giác ABC có diện tích S∆ABC = S0 5) Tam giác ABC có diện tích max ( S0 ) Cơng thức thỏa ab < 8a + b3 = 24a + b3 = α 8a + b3 tan = 32a ( S0 ) + b5 = S0 = − b5 32a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 6) Tam giác ABC có bán kính đường tròn nội tiếp r∆ABC = r0 7) Tam giác ABC có độ dài cạnh BC = m0 8) Tam giác ABC có độ dài AB = AC = n0 9) Tam giác ABC có cực trị B, C ∈ Ox 10) Tam giác ABC có góc nhọn 11) Tam giác ABC có trọng tâm O 12) Tam giác ABC có trực tâm O 13) Tam giác ABC có bán kính đường trịn ngoại tiếp R∆ABC = R0 r0 = b2  b3 a 1 + −  a  am02 + 2b =  ÷ ÷  16a 2n02 − b4 + 8ab = b2 − 4ac = b(8a + b3 ) > b2 − 6ac = b3 + 8a − 4ac = b3 − 8a R= 8ab 14) Tam giác ABC điểm O tạo b2 − 2ac = hình thoi 15) Tam giác ABC có O tâm đường b3 − 8a − 4abc = tròn nội tiếp 16) Tam giác ABC có O tâm đường b3 − 8a − 8abc = tròn ngoại tiếp ABC có 17) Tam giác cạnh b3.k − 8a (k − 4) = BC = kAB = kAC 18) Trục hoành chia tam giác ABC b2 = ac thành hai phần có diện tích 19) Tam giác ABC có điểm cực trị cách b2 − 8ac = trục hồnh Dạng tốn 1: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác vng cân A uuu r  b b  uuur  b b2  Chứng minh: AB =  − − ; − ÷, AC =  − ; − ÷ 2a 4a  2a a    uuu r uuur b b4 Từ yêu cầu tốn, ta có: AB AC = ⇔ + = ⇔ 8a + b3 = 2a 16a Ví dụminhhoạ Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = − x + (m − 2015) x + 2017 có cực trị tạo thành tam giác vng cân A A m = 2017 B m = 2014 C m = 2016 D m = 2015 Hướng dẫn: Với a = −1, b = m − 2015 Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: −(m − 2015) < ⇒ m > 2015 Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Tam giác ABC vng cân A khi: Cách 1: 8a + b3 = ⇒ 8.( −1) + ( m − 2015)3 = ⇔ m − 2015 = ⇔ m = 2017 ⇒ Chọn đáp án A Cách 2: A = 900 Hướng giải 1: b3 + 8a cosα = (∗) ,vì cosA = nên (∗) ⇒ 8a + b3 = b − 8a Hướng giải 2: α A 8a + b3 tan = (∗∗) ,vì tan = nên (∗∗) ⇒ 8a + b3 = 2 Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số thực m để hàm số y = x + 2(m + 2016) x − 2017m + 2016 có cực trị tạo thành tam giác vng cân A A m = −2017 B m = 2017 C m = −2018 D m = 2015 Hướng dẫn: a = 1, b = 2( m + 2016) Với Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 2(m + 2016) < ⇒ m < −2016 Từ 8a + b3 = ⇒ 8.1 + 8( m + 2016) = ⇔ m + 2016 = −1 ⇔ m = −2017 ⇒ Chọn đáp án A Dạng toán 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác uuu r  b b  uuur  b  AB = − − ; − Chứng minh:  ÷, BC =  − ;0 ÷ 2a 4a  2a    Từ yêu cầu toán, ta có: b b4 2b AB = BC hay − + =− ⇔ b4 + 24ab = ⇔ b3 + 24a = 2a 16a a Ví dụminhhoạ Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + 3( m − 2017) x − 2016 có cực trị tạo thành tam giác A m = 2015 B m = 2016 C m = 2017 D m = −2017 Hướng dẫn: Với a = , b = 3(m − 2017) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 3( m − 2017) < ⇒ m < 2017 Tam giác ABC , : 9 Cách 1: 24a + b = ⇔ 24  ÷+ [ 3( m − 2017) ] = ⇔ m − 2017 = −1 ⇒ m = 2016 8 ⇒ Chọn đáp án B Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Cách 2: A = 600 b3 + 8a (∗) , cosA = b − 8a 3 nên (∗) ⇒ 2b + 16a = b − 8a ⇔ b + 24a = A α = (∗∗) ,vì tan = nên (∗∗) ⇒ 24a + b3 = Hướng giải 2: 8a + b tan 2 Ví dụ 2: Nếu đồ thị hàm số y = x + 2( m − 2020) x − 2017m + 2016 có cực trị tạo thành tam giác giá trị tham số m thuộc khoảng nào? A (2015;2017) B (2016;2018) C (2017;2019) D (2017;2020) Hướng dẫn: Với a = 9, b = 2( m − 2020) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 9.2( m − 2020) < ⇒ m < 2020 Hướng giải 1: cosα = 24a + b3 = ⇔ 24.9 + [ 2( m − 2020) ] = ⇔ m − 2020 = −3 ⇒ m = 2017 ⇒ Chọn đáp án B Dạng tốn 3: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo · thành tam giác cân A thỏa mãn BAC =α Chứng minh: uuu r uuur uuu r uuur  b AB AC b b4 b4  cosα = uuu + − − + cosα = r uuur ⇔ AB AC − AB cosα = ⇔ 2a 16a  2a 16a ÷ AB AC  b3 + 8a ⇔ 8a (1 + cosα ) + b (1 − cosα ) = ⇒ cosα = b − 8a Cách khác: Gọi H trung điểm BC , tam giác AHC vng H có: α HC BC α α tan = = ⇒ BC − AH tan = ⇔ 8a + b3 tan = AH AH 2 Ví dụminhhoạ Ví m dụ 1: Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = −3x + ( m − 2015) x + 2016 có cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 A m = −2017 B m = 2015 C m = 2017 D m = 2016 Hướng dẫn: a = − 3, b = m − 2015 Với Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: −3.( m − 2015) < ⇒ m > 2015 Tam giác ABC có góc 1200 , phải có: · α BAC · 8a + b3 tan = với BAC = 1200 ⇒ tan = 2 Nên có 8a + 3b3 = ⇔ 8.( −3) + 3(m − 2015)3 = ⇔ m − 2015 = ⇔ m = 2017 ⇒ Chọn đáp án C Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí m dụ 2: Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = 3x + 2( m − 2018) x + 2017 có cực trị tạo thành tam giác có góc 1200 A m = −2018 B m = −2017 C m = 2017 D m = 2018 Hướng dẫn: Với a = 3, b = 2(m − 2018) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 3.2( m − 2018) < ⇒ m < 2018 Từ 8a + b3 tan 600 = ⇔ 8.3 + 8.( m − 2018) 3.3 = ⇔ m − 2018 = −1 ⇔ m = 2017 ⇒ Chọn đáp án C Dạng tốn 4: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác có diện tích S0 Ví H Chứng minh: Gọi ∆  uuur  b   H  0; − ÷ ⇒ AH =  0; − ÷ 4a  4a    Diện tích S0 = trung điểm BC ln có: 1 b  2b  b5 AH BC ⇒ S02 = − = − ⇔ 32a ( S0 ) + b5 = ÷  16a  a  32a Ví dụminhhoạ Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + x + m − có cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = −2 B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn: Với a = m, b = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m.2 < ⇒ m < Tam giác ABC có diện tích , : 32a ( S0 ) + b5 = ⇔ 32.m 3.1 + 25 = ⇔ m + = ⇒ m = −1 ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + x + 2017 m − 2016 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích A m = −2 B m = C m = D m = −1 Hướng dẫn: Với a = m, b = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m.4 < ⇒ m < 32a ( S0 )2 + b5 = ⇔ 32.m (4 2)2 + 45 = ⇔ m + = ⇔ m = −1 ⇒ Chọn đáp án D Dạng tốn 5: m Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Chứng minh: maxS0 ⇔ ∃maxS02 = − b5 32a Ví dụminhhoạ Ví m dụ : Tìm tất giá trị tham số để hàm số 2 y = x − 2(1 − m ) x + − 2017m + 2016 có cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn A m = B m = C m = −0,5 D m = ±0,5 Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2(1 − m ) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có:  −2(1 − m )  < ⇔ − m > ⇔ −1 < m < b5 nên S0 = (1 − m )5 ≤ ⇒ m = 32a ⇒ Chọn đáp án A S0 = − Dạng tốn 6: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác có góc nhọn Chứng minh: uuu r uuur uuu r uuur AB AC b b4 ·BAC < 90 ⇒ uuu + > ⇔ b(b3 + 8a ) > r uuur > ⇔ AB AC > ⇔ 2a 16a AB AC Ví dụminhhoạ m dụ : Tìm tất giá trị tham số để hàm số 2 y = − x − ( m − 6) x + 2017m + 2016m − có cực trị tạo thành tam giác có góc nhọn A m > −2 B −2 < m < C m < D − < m < Hướng dẫn: Với a = −1, b = −(m − 6) cực ab < , Hàm số có trị tức phải có: −1  −( m − 6)  < ⇔ − < m < Ví { } b(8a + b3 ) > ⇔  −( m − 6)  8.( −1) +  −( m − 6)  > ⇔ ( m − 6) 8 + ( m − 6)  > ⇒ + ( m − 6)3 < ⇔ −2 < m < ⇒ Chọn đáp án B Dạng toán 7: m Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường tròn nội tiếp r0 Chứng minh: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí S0 = p.r0 ⇒ r0 = S0 S0 = = p AB + BC + CA − − b5 32a b b4 b + +2 − 2a 16a 2a ⇔ r0 = b2  b3 a 1 + −  a   ÷ ÷  Ví dụminhhoạ m dụ 1: Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = x − mx + 2017m + 2015m − 2016 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính đường trịn nội tiếp A m = −2 B m = C m = D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1( − m) < ⇒ m > Tam giác ABC có bán kính đường trịn nội tiếp , phải có: b2 ( −m )2 r0 = ⇔ = ⇔ m2 = + + m3 ⇔ m = 3  1 + − ( − m) b  a 1 + − ÷  ÷ a   ⇒ Chọn đáp án C m Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = x + 2(m + 5) x + 2016m + 2017 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính nội tiếp A m = B m = −4 C m = −7 D m = −7 m = −4 Hướng dẫn: Với a = 1, b = 2( m + 5) Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.2( m + 5) < ⇒ m < −5 Ví ) ( b2 r0 =  m + = −2 4(m + 5)  ⇔  =1⇔  ⇔ m = −7 b m +5 =1 a 1 + − ÷ 1.(1 + − 8( m + 5)   a ÷   ⇒ Chọn đáp án C Dạng toán 8: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính R0 Chứng minh: Gọi H trung điểm BC , AB.BC.CA AH BC = ⇔ R02 AH = AB 4 R0  b b4 b4  b3 − 8a 2R = − + ⇔ R = 16a  2a 16a ÷ 8ab  Ví dụminhhoạ Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Ví dụ 1: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + x + 27m 2016 − 2017 có cực trị tạo thành tam giác nội tiếp đường trịn có bán kính R= A m = −2 B m = −1 m = −2 C m = D m = −1 Hướng dẫn: Với a = m, b = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m.1 < ⇒ m < Tam giác ABC đường trịn có bán kính R = , phải có: 3 b − 8a − 8.m R0 = ⇔ = ⇔ − 8m = m ⇒ m = −1 8ab 8.m.1 ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 2: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx − x + 2017m − 2016 có cực trị tạo thành tam giác có bán kính ngoại tiếp A m = B m = m = C m = −1 D m = Hướng dẫn: Với a = m, b = −2 Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m( −2) < ⇒ m > b3 − 8a ( −2)3 − 8.m ⇔ = ⇔ 1+ m = m ⇒ m = 8ab 8m.( −2) ⇒ Chọn đáp án D R0 = Dạng tốn 9: m Tìm tất giá trị tham số để hàm số y = ax + bx + c có cực trị mà có BC = m0 Chứng minh: − b = m0 ⇔ am02 + 2b = 2a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = m x − mx − 2016m + 1026 có cực trị mà có BC = A m = B m = m = C m > D m = Hướng dẫn: Với a = m , b = −m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m ( −m ) < ⇒ m > am02 + 2b = ⇔ m ( 2) + 2( −m ) = ⇔ m( m − 1) = ⇔ m = ⇒ Chọn đáp án A Dạng tốn 10: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị mà Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí có AB = AC = n0 Chứng minh: − b b4 + = n0 ⇔ 16a 2n02 − b4 + 8ab = 2a 16a Ví dụminhhoạ Ví m dụ : Tìm tất giá trị tham số để hàm 2017 y = mx − mx + 2016m + 2018m − có cực trị mà có AC = 0,75 A m = −1 B m = −1 m = C m = D m ≠ Hướng dẫn: Với a = m, b = −m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m( − m) < ⇒ m ≠ số 16a 2n02 − b4 + 8ab = ⇔ 16.m (0,75) − ( −m ) + 8.m.( −m) = ⇔ m (1 − m ) = ⇒ m = ±1 ⇒ Chọn đáp án B Dạng tốn 11: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox Chứng minh: ∆ B, C ∈ Ox ⇒ y B = yC = ⇔ − = ⇒ ∆ = ⇔ b − 4ac = 4a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = 1008 x − mx + 1008 có cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox A m = −1008 B m = 1008 m = C m = 2016 D m > Hướng dẫn: Với a = 1008, b = −m, c = 1008 Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1008.( −m ) < ⇒ m > b2 − 4ac = ⇔ ( −m) − 4.1008.1008 = ⇔ m = (2016) ⇒ m = 2016 ⇒ Chọn đáp án C Dạng tốn 12: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm Chứng minh: Từ tốn, ln có: Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí   b  b = 3.0 0 +  − − ÷+ − a a b2    ⇒ − + 3c = ⇔ b2 − 6ac =  2 2a  b    b  c + − + c + − + c = 3.0  ÷  ÷   4a    4a  Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + mx − 336m có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm A m < B m = −20 m = −16 C m = −336 D m = −2016 Hướng dẫn: a = 1, b = m , c = − 336 m Với Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.m < ⇒ m < b2 − 6ac = ⇔ m − 6.1.( −336m) = ⇔ m(m + 2016) = ⇒ m = −2016 ⇒ Chọn đáp án D Dạng toán 13: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị thành tam giác có trực tâm O Chứng minh: uuu r uuur b b4 b2c OB AC = ⇔ + − = ⇔ b4 + 8ab − 4b2c = ⇔ b3 + 8a − 4ac = 2a 16a 4a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + mx + 504m + có cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trực tâm A m = −12 14 B m = −12 m = −14 C m = 14 D m = 504 Hướng dẫn: Với a = 1, b = m, c = 504m + Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.m < ⇒ m < b3 + 8a − 4ac = ⇔ m + 8.1 − 4.1.(504m + 2) = ⇔ m( m − 2016) = ⇒ m = −12 14 ⇒ Chọn đáp án A Dạng tốn 14: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị gốc tọa độ O lập thành hình thoi uuu r  b b  uuur  b ∆ Chứng minh: AB =  − − ; − ÷, OC =  − ; − ÷ 2a 4a  2a 4a    Theo tốn, ta có: AB = OC b b4 b b4 2b 2c hay − + = − + − + c ⇔ 2ac − b 2c = ⇒ b2 − 2ac = 2a 16a 2a 16a 4a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + mx + có cực trị gốc tọa độ O lập thành hình thoi A m = B m = −4 C m < D m = −16 Hướng dẫn: Với a = 2, b = m, c = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 2.m < ⇒ m < b2 − 2ac = ⇔ m − 2.2.4 = ⇔ m = 16 ⇒ m = −4 ⇒ Chọn đáp án B Dạng tốn 15: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị lập tam giác có O tâm đường trịn nội tiếp uuu r uuu r b b4 b 2c Chứng minh: AB.OB = ⇔ − + − = ⇔ b3 − 8a − 4abc = 2a 16a 4a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + x − có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn nội tiếp A m = −2 B m = C m = −1 D m = Hướng dẫn: Với a = m, b = 2, c = −2 Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m.2 < ⇒ m < b3 − 8a − 4abc = ⇔ 23 − 8.m − 4.m.2.( −2) = ⇔ + 8m = ⇔ m = −1 ⇒ Chọn đáp án C Dạng tốn 16: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn ngoại tiếp Chứng minh: b b4 2b c OA = OB ⇔ c = − + − + c ⇔ b4 − 8ab2c − 8ab = ⇔ b − 8a − 8abc = 2a 16a 4a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = −mx + x − 2m − có cực trị lập tam giác có O tâm đường tròn ngoại tiếp A m = B m = −4 C m = −0, 25 D m = 0, 25 Hướng dẫn: Với a = −m, b = 1, c = −2m − Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: − m.1 < ⇒ m > Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí b3 − 8a − 8abc = ⇔ 13 − 8.( − m) − 8.( − m).1.( −2m − 1) = ⇔ − 16m = ⇒ m = 0,25 ⇒ Chọn đáp án D Dạng tốn 17: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị lập tam giác có cạnh đáy k lần cạnh bên Chứng minh: BC = kAB ⇔ − b b b4 =k − + ⇔ b 3.k − 8a (k − 4) = 2a 2a 16a Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x − 2mx + 2017m − 2016 có cực trị lập tam giác thỏa mãn điều kiện AB = 3BC A m = B m = −2 C m = −4 D m = Hướng dẫn: Với a = 1, b = −2m, k = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: 1.( −2m) < ⇔ m >    2 b3.k − 8a (k − 4) = ⇔ ( −2m)  ÷ − 8.1  ÷ −  = ⇔ m = ⇔ m =  3    ⇒ Chọn đáp án A Dạng tốn 18: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích Chứng minh: Gọi M , N giao điểm đồ thị với trục hoành, ∆AOM : ∆AHB , H S ∆AMN  OA  = trung điểm BC ⇒ ÷ = ⇒ AH = 2OA ⇔ b = ac S ∆ABC  AH  Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = mx + x + có cực trị cho trục hoành chia tam giác ABC thành hai phần có diện tích A m = 0, 25 B m = −0, 25 C m = 0, 25 m = −0, 25 D m = −4 Hướng dẫn: Với a = m, b = 2, c = Hàm số có cực trị ab < , tức phải có: m < ⇒ m < Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí b2 = ac ⇔ ( 2) = m.1 ⇔ m = ⇒ m = −0, 25 ⇒ Chọn đáp án B Dạng tốn 19: Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = ax + bx + c có cực trị cách trục hoành Chứng minh: d ( A, Ox ) = d ( B; Ox ) ⇔ y A = y B ⇔ 4ac − b = 4ac ⇔ b − 8ac = Ví dụminhhoạ Ví dụ : Tìm tất giá trị tham số m để hàm số y = x + mx − 252m có cực trị cách trục hồnh A m = −252 B m = 2016 C m = −2016 D m = m = −2016 Hướng dẫn: Với a = 1, b = m, c = −252m Hàm số có cực trị ab < , tức phải có 1.m < ⇒ m < b2 − 8ac = ⇔ m + 8.1.252m = ⇔ m( m + 2016) = ⇒ m = −2016 ⇒ Chọn đáp án C LIÊN QUAN TIỆM CẬN CỦA ĐƯỜNG CONG Liên quan tiệm cận đường cong Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đồ thị ax + b hàm số y = cx + d Gọi M ( x0 ; y0 ) điểm thuộc đồ thị hàm y= số ax + b , cx + d nên  ax + b  M  x0 ; y0 = ÷ cx0 + d   ax + b d có tiệm cận đứng: ∆1 : x + = 0, cx + d c a tiệm cận ngang ∆ : y − = c d cx0 + d a ad − bc , d = y0 − = Khoảng cách từ M đến ∆1 , ∆ là: d1 = x0 + = c c c c( cx0 + d ) Đồ thị hàm số y = Ta có kết sau: d1.d = cx0 + d ad − bc ad − bc = p , với p = p = const c c( cx0 + d ) c2 d1 + d ≥ p ⇒ d = p , xảy cx0 + d ad − bc = ⇔ ( cx0 + d ) = ad − bc c c( cx0 + d ) Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí Ví dụminhhoạ x+5 điểm M có hồnh độ x0 x +1 cho M cách hai đường tiệm cận A x0 = −5 x0 = −3 B x0 = C x0 = D x0 = x0 = Hướng dẫn: d1 = d ⇔ ( cx0 + d ) = ad − bc ⇔ ( x0 + 1) = −4 ⇔ x0 = −5 x0 = −3 Ví dụ 1: Tìm đồ thị hàm số y = ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 2: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y = 5x + , tích khoảng x +1 cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận bằng: A.1 B C D Hướng dẫn: ad − bc 5.1 − 1.1 p= = =4 c2 12 ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực tham số m để giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ điểm M đến hai đường tiệm cận hàm số x−m y= ? x +1 A m = B m = C m = −2 m = D m = Hướng dẫn: ad − bc p= ⇔ p = + m , d = p c2 d = ⇒ p = hay + m = ⇔ m = −2 m = ⇒ Chọn đáp án C Một số dạng toán liên quan tiệm cận đồ thị hàm số ax + b y= cx + d Dạng toán 1: ax + b Tìm đồ thị hàm số y = điểm M cho khoảng cx + d cách từ điểm M đến ∆1 k > lần khoảng cách từ M đến ∆ Chứng minh: d1 = kd ⇔ cx0 + d ad − bc d =k ⇒ x0 = − ± kp c c( cx0 + d ) c Ví dụminhhoạ 2x − điểm M có hồnh độ x0 2x +1 cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng lần khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí x0 = 2 C x0 = − A x0 = − B x0 = 5 D x0 = − x0 = 2 Hướng dẫn: d p =1 d1 = kd ⇔ x0 = − ± kp → x0 = − ± ⇒ x0 = − x0 = k =4 c 2 ⇒ Chọn đáp án A Dạng tốn 2: ax + b Tìm đồ thị hàm số y = điểm M cho khoảng cách từ cx + d điểm M đến I ngắn nhất, biết I giao điểm hai đường tiệm cận  ax + b   d a  d Chứng minh: M  x0 ; ÷, I  − ; ÷ ⇒ IM = p x0 = − ± p c  cx0 + d   c c  Ví dụminhhoạ 3x + điểm M có hồnh độ x0 x −5 cho khoảng cách từ điểm M đến điểm I ngắn nhất, biết I giao điểm hai đường tiệm cận A x0 = x0 = B x0 = −1 C x0 = −9 D x0 = −9 x0 = −1 Hướng dẫn: d IM = p , p = 16 x0 = − ± p ⇒ x0 = ± ⇒ x0 = x0 = c ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y = Dạng toán 3: ax + b Tìm đồ thị hàm số y = điểm M cho tiếp tuyến cx + d đồ thị hàm số M vng góc với đường thẳng IM , I giao điểm hai đường tiệm cận y0 − y I ad − bc =− ; tiếp x0 − x I ( cx0 + d ) ad − bc tuyến đồ thị hàm số M có hệ số góc: y '( x0 ) = ( cx0 + d ) Chứng minh: Hệ số góc đường thẳng IM k = Theo tốn, ta phải có: y '( x0 ).k = −1 ⇒ ( cx0 + d ) = ad − bc Ví dụminhhoạ x+3 điểm M có hồnh độ x0 x −1 cho tiếp tuyến đồ thị hàm số M vng góc với đường thẳng IM , I Ví dụ: Tìm đồ thị hàm số y = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí giao điểm hai đường tiệm cận A x0 = −3 x0 = B x0 = −5 C x0 = D x0 = −5 x0 = Hướng dẫn: 2 (cx0 + d ) = ad − bc ⇔ ( x0 − 1) = −4 ⇔ x0 = x0 = −3 ⇒ Chọn đáp án A Dạng toán 4: ax + b Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y = ; tiếp tuyến (t ) cx + d đồ thị hàm số M cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A, B diện tích ∆AIB số không đổi, I giao điểm hai đường tiệm cận Chứng minh: (t ) : y − y0 = y '( x0 )( x − x0 )  d 2bc − ad + acx0  2(ad − bc ) (t ) ∩ ∆1 ⇒ A  − ; ÷ ⇒ IA = − c( cx0 + d )  c(cx0 + d )  c 2(cx0 + d )  d + 2acx0 a  (t ) ∩ ∆ ⇒ B  ; ÷ ⇒ IB = , M luôn trung điểm c c c  AB IA IB AB ∆AIB vuông I nên: S∆AIB = IA IB = p S∆AIB = 4R R bán kính đường tròn ngoại tiếp ad − bc minR = p ; AB = c ∆AIB nên Ví dụminhhoạ x −1 ; tiếp tuyến (t ) x−2 đồ thị hàm số M cắt hai đường tiệm cận hai điểm phân biệt A, B Khi diện tích tam giác AIB bao nhiêu, biết I giao điểm hai đường tiệm cận? A 0,5 B C.1 D Hướng dẫn: ad − bc 1.( −2) − 1.( −1) S∆AIB = p, p = = = ⇒ S∆AIB = c2 12 ⇒ Chọn đáp án D x −8 Ví dụ 2: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y = , I giao điểm x +1 hai đường tiệm cận d1 , d khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng, tiệm cận ngang Có phát biểu sau: (1) Khoảng cách IM ngắn M có hồnh độ x0 = −4 x0 = Ví dụ 1: Biết M điểm thuộc đồ thị hàm số y = (2) d1 = 4d M có hồnh độ x0 = −7 x0 = (3) Tích d1.d tổng d1 + d ngắn Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí (4) Tiếp tuyến (t ) đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang A B diện tích tam giác AIB 18 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AIB nhỏ 24 Số phát biểu là: A.1 B C D Hướng dẫn: d IM = p x0 = − ± p = −1 ± ⇒ (1) c d p =9 d1 = kd ⇒ x0 = − ± kp  → x0 = −1 ± ⇒ (2) k =4 c d1.d = p = 9, d1 + d = p = ⇒ (3) sai S∆AIB = IA IB = p = 18; minR = p = 24 ⇒ (4) ⇒ Chọn đáp án C LIÊN QUAN TƯƠNG GIAO CỦA ĐỒ THỊ Liên quan tương giao đồ thị Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến cấp số  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax + bx + cx + d = Khi đó: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng hệ số ta b x2 = − 3a b Thế x2 = − vào phương trình ax + bx + cx + d = ta điều kiện ràng 3a buộc tham số giá trị tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + cx + d cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số nhân Điều kiện cần: Giả sử x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình ax + bx + cx + d = Khi đó: ax + bx + cx + d = a ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) , đồng hệ số ta x2 = − d a Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí d vào phương trình ax + bx + cx + d = ta điều kiện ràng a buộc tham số giá trị tham số Điều kiện đủ: Thử điều kiện ràng buộc tham số giá trị tham số để phương trình ax + bx + cx + d = có nghiệm phân biệt Thế x2 = −  Tìm điều kiện để đồ thị hàm số y = ax + bx + c cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập thành cấp số cộng Ta có: ax + bx + c = (1) , đặt t = x ≥ , có : at + bt + c = (2) Để (1) có nghiệm phân biệt (2) có hai nghiệm phân biệt dương, ∆ >  tức là: t1 + t2 > t t > 1 Khi (1) có nghiệm phân biệt − t2 ; − t1 ; t1 ; t2 lập thành cấp số cộng khi: t2 − t1 = t1 − ( − t1 ) ⇔ t2 = t1 ⇔ t2 = 9t1 Theo b b 9b c ; t2 = − định lý Vi – et t1 + t2 = − suy t1 = − , kết hợp t1.t2 = nên có: a 10a 10a a 2 9ab = 100a c Tóm lại: Hàm số y = ax + bx + c cắt trục hoành điểm phân biệt có b2 − 4ac >  − b >  a hoành độ lập thành cấp số cộng, điều kiện cần đủ là:  c > a 9ab = 100a c  Ví dụminhhoạ Ví dụ 1: Tìm cơng sai d để đồ thị hàm số y = x − 3mx + 2mx − 4m + 16 cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số cộng A d = 2 B d = −2 C d = −2 D d = − Hướng dẫn: b a = 1, b = −3m ⇒ x2 = − =m 3a x2 = m có: m − 3m.m + 2m.m − 4m + 16 = ⇔ m − m + 2m − = ⇔ ( m − 2)( m − m + 4) = ⇒ m = Với m = x − x + x + = ⇔ ( x − 2)( x − x − 4) = ⇔ x = 2, x = ± 2 { } Vậy, x ∈ − 2;2;2 + 2 lập cấp số cộng có cơng sai d = 2 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ hàm số Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí y = x − (3m + 1) x + (5m + 4) x − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số nhân A m = −2 B m = C m = D khơng có m Hướng dẫn: d a = 1, d = −8 ⇒ x2 = − = a x2 = có: − (3m + 1)2 + (5m + 4)2 − = ⇒ m = Với m = x − x + 14 x − = ⇔ ( x − 2)( x − x + 4) = ⇔ x = 2, x = 1, x = Vậy, x ∈ { 1;2;4} lập cấp số nhân ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực m để đồ thị hàm số y = − x + 2( m + 2) x − 2m − cắt trục hoành điểm phân biệt có hồnh độ lập cấp số nhân A m = −13 B m = C m = D m ≠ −1 Hướng dẫn: a = −1; b = 2(m + 2); c = −2m − [ 2( m + 2)] − 4( −1)( −2m − 3) > b2 − 4ac >     − 2( m + 2) >  − < m ≠ −1  m = − b >    a −1 ⇔ ⇔  m = ⇒ 13  m = − c − m −   >0   >0 13  a  −1  m = −  9ab = 100a c  2 9.( − 1) 2( m + 2) = 100.( − 1) ( − m − 3) [ ]   ⇒ Chọn đáp án C Một số cơng thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan đến tương ax + b giao đường thẳng y = kx + p đồ thị hàm số y = cx + d ax + b Giả sử d : y = kx + p cắt đồ thị hàm số y = điểm phân biệt M , N cx + d ax + b cho ta phương trình có dạng: Ax + Bx + C = thỏa điều cx + d kiện cx + d ≠ , có ∆ = B − AC Khi đó: uuuu r 1) M ( x1 ; kx1 + p ), N ( x2 ; kx2 + p ) ⇒ MN = ( x2 − x1; k ( x2 − x1 )) ⇒ MN = (k + 1) ∆2 A Chú ý: MN tồn ∆, k = const 2) OM + ON = (k + 1)( x12 + x22 ) + ( x1 + x2 )2kp + p uuuu r uuur 3) OM ON = ( x1 x2 )(1 + k ) + ( x1 + x2 )kp + p Với kx + p = 4) OM = ON ⇔ ( x1 + x2 )(1 + k ) + 2kp = Ví dụminhhoạ Ví dụ 1: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí 2x − điểm phân biệt M , N cho MN = x +1 A m = −2 m = 10 B m = C m = D khơng có m Hướng dẫn: 2x − 2x + m = ⇔ x + mx + m + = 0, x ≠ −1 có ∆ = m − 8m − 16 x +1 ∆ Với k = 2, A = MN = ( k + 1) = ( m − 8m − 16) A ( m − 8m − 16) = ⇔ m − 8m − 20 = ⇔ m = −2 m = 10 thỏa Ta có: ∆>0 ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 2: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị 2x + hàm số y = điểm phân biệt M , N cho MN ngắn x+2 A m = −2 B m = C m = D m = Hướng dẫn: 2x + −x + m = ⇔ x − (m − 4) x − 2m + = 0, x ≠ −2 có ∆ = m + 12 x+2 ∆ Với k = −1, A = MN = ( k + 1) = 2.∆ , MN ngắn tồn A ∆ Ta có: ∆ = m + 12 ≥ 12 ⇒ ∆ = 12 m = 0, MN = ⇒ Chọn đáp án B Ví dụ 3: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y = mx − m + cắt đồ 2x thị hàm số y = điểm phân biệt M , N cho MN = x −1 A m = −2 B m = C m = D m = Hướng dẫn: 2x mx − m + = ⇔ mx − 2mx + m − = 0, x ≠ có ∆ = 8m > ⇒ m > x −1 Với k = m, A = m 8m 1  MN = ( m + 1) =  m + ÷ MN = ⇔ m + = (m − 1)2 = ⇔ m = m m m  ⇒ Chọn đáp án C Chú ý: 1 Do m > nên m + ≥ ⇒ MN ≥ ⇒ MN = m = ⇒ m = m > m m m Ví dụ 4: Tìm tất giá trị thực để đường thẳng d : y = x + m cắt đồ thị x+2 hàm số y = điểm phân biệt M , N cho ∆OMN vuông 2x − O A m = −1 B m = C m = D m = −4 Hướng dẫn: x+2 x+m= ⇔ x + (2m − 3) x − 2m − = 0, x ≠ có ∆ = 4m + 4m + 25 2x − hàm số y = Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/ Truy cập Website : hoc360.net – Tải tài liệu học tập miễn phí uuuu r uuur ∆OMN vuông O OM ON = ⇔ ( x1 x2 )(1 + k ) + ( x1 + x2 )kp + p = 2m − )1.m + m = ⇔ m = −4 Với k = 1, A = 2, p = m có: ( −m − 1)(1 + ) + ( − ⇒ Chọn đáp án D Ví dụ 5: Tìm tất giá trị thực m để đường thẳng d : y = − x + m cắt đồ thị x −1 hàm số y = điểm phân biệt M , N cho ∆OMN cân O 2x A m = 0, 25 B m = C m = D m = −4 Hướng dẫn: x −1 −x + m = ⇔ x − (2m − 1) x − = 0, x ≠ có ∆ = 4m − 4m + 2x ∆OMN cân O nên có OM = ON ⇔ ( x1 + x2 )(1 + k ) + 2kp =  2m −  Với k = −1; A = 2, p = m có:  ÷(1 + ) + 2.1.m = ⇔ 4m − = ⇔ m =   ⇒ Chọn đáp án A Ví dụ 6: Tìm tất giá trị thực m ≠ để đường thẳng d : y = x − 2m cắt đồ uuuu r uuur 2x − m thị hàm số y = điểm phân biệt M , N cho OM ON = − mx + A m = −2,5 B m = −2 C ∀m ∈ ¡ D ∀m ≠ Hướng dẫn: 2x − m x − 2m = ⇔ x − 2mx − = 0, m ≠ 0, x ≠ − mx + m Với k = 2, A = 2, p = −2m uuuu r uuur 5  1 OM ON = − ⇔  − ÷(1 + 22 ) + (m ).2.( −2m ) + ( −2m ) = − , ∀m ∈ ¡ 2  2 ⇒ Chọn đáp án D Group: https://www.facebook.com/groups/tailieutieuhocvathcs/