(THCS) hướng dẫn học sinh lớp 9 giải một số dạng phương trình vô tỉ

Báo cáo sáng kiến được thực hiện dựa trên tinh thần tìm ra những kinh nghiệm giảng dạy và thực tiễn học tập của học sinh, tiếp tục đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực của học sinh, lấy người học làm trung tâm. Trên tinh thần đó giáo viên nghiên cứu lí luận và thực tiễn về vấn đề giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp 9 ở trường THCS để tìm ra những biện pháp dạy học có hiệu quả trong việc truyền thụ các kiến thức Toán học cho học sinh là công việc cần phải làm thường xuyên, mỗi giáo viên dạy toán việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học đặc biệt trong báo cáo sáng kiến cần tìm ra những phương pháp giải phương trình vô tỉ một cách hiệu quả nhất nhằm nâng cao chất lượng dạy học môn Toán ở trường THCS.

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lâp – Tự – Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN “HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP GIẢI MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VƠ TỈ ” Thuộc lĩnh vực: Mơn Tốn lớp – Trường THCS Người thực hiện: Chức vụ: Giáo viên Đơn vị: Trường THCS , tháng 10 năm 2018 CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN Kính gửi: Hội đồng sáng kiến huyện Tôi ghi tên đây: Số TT Họ tên Ngày Nơi cơng tác tháng Chức danh Trình độ chuyên môn năm sinh Trường THCS Giáo viên Đại học Toán Tỷ lệ (%) đóng góp vào việc tạo sáng kiến 100% Là tác giả đề nghị xét công nhận sáng kiến: “ Hướng dẫn học sinh lớp giải số dạng phương trình vơ tỉ” Chủ đầu tư tạo sáng kiến: Lĩnh vực áp dụng sáng kiến: Sáng kiến thuộc lĩnh vực mơn Tốn lớp Sáng kiến giúp học sinh biết áp dụng số phương pháp giải phương trình vơ tỉ cụ thể từ học sinh hiểu sâu sắc phương trình vơ tỉ nhiều góc độ làm đơn giản q trình giải phương trình vơ tỉ Ngày sáng kiến áp dụng lần đầu áp dụng thử: Sáng kiến áp dụng năm học 2017 – 2018 học kì I năm học 2018 – 2019 Mô tả chất sáng kiến : Báo cáo sáng kiến thực dựa tinh thần tìm kinh nghiệm giảng dạy thực tiễn học tập của học sinh, tiếp tục đổi phương pháp dạy học theo định hướng phát triển lực của học sinh, lấy người học làm trung tâm Trên tinh thần giáo viên nghiên cứu lí luận thực tiễn vấn đề giải phương trình vô tỉ cho học sinh lớp trường THCS để tìm biện pháp dạy học có hiệu việc truyền thụ kiến thức Toán học cho học sinh công việc cần phải làm thường xun, giáo viên dạy tốn việc tìm hiểu cấu trúc của chương trình, nội dung của sách giáo khoa, nắm vững phương pháp dạy học đặc biệt báo cáo sáng kiến cần tìm phương pháp giải phương trình vơ tỉ cách hiệu nhằm nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn trường THCS 4.1 Nghiên cứu sở khoa học, sở pháp lý việc vận dụng số phương pháp giải phương trình vơ tỉ học sinh lớp trường THCS Trong bối cảnh khoa học kĩ thuật giới phát triển vũ bão, giáo dục giới hướng tới “ mọt xã hội học tập”, xã hội “ học thường xuyên, học suốt đời” Đảng nhà nước ta nhận định phát triển giáo dục khoa học công nghệ “ Quốc sách hàng đầu” Do giáo dục khơng cịn chủ yếu đào tạo kiến thức mà cịn rèn luyện , hình thành lực của người học Vì thế, ngày hết, tất quốc gia đứng trước thử thách to lớn là: Nâng cao chất lượng giáo dục tất cấp học, bậc học – nơi cung cấp nguồn nhân lực đáp ứng thay đổi to lớn lĩnh vực của đời sống xã hội Luật Giáo dục 2015 điều 15 xác định vai trò trách nhiệm của nhà giáo dục: “ Nhà giáo giữ vai trò định việc đảm bảo chất lượng giáo dục Nhà giáo phải không ngừng học tập, rèn luyện nêu gương tốt cho người học” Nghị số 29 – NQ/TW nêu rõ:“Phát triển giáo dục đào tạo nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài Chuyển mạnh trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện phẩm chất lực người học Học đôi với hành; lý luận gắn với thực tiễn; giáo dục nhà trường kết hợp với giáo dục gia đình giáo dục xã hội” Để thực mục tiêu trên, Bộ Giáo dục Đào tạo phát động phong trào đổi giáo dục, nhấn mạnh vào đổi phương pháp dạy học toàn quốc Luật Giáo dục 2005, chương I, điều 24 có ghi: "Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh” Công văn số 718/GDĐT-THCS ngày 08/9/2017 của Phòng GDĐT Kế hoạch thực nhiệm vụ giáo dục Trung học sở năm học 2017-2018 xác định rõ: Tiếp tục đổi phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, rèn luyện phương pháp tự học cho học sinh Những văn sở pháp lý cho tiếp tục thực sáng kiến năm học 4.2 Thực trạng trước thực sáng kiến Phương trình vơ tỉ dạng tốn tương đối khó học sinh THCS Dạng tốn giải phương trình vơ tỉ có nhiều cách giải, địi hỏi học sinh phải biết vận dụng kiến thức cách linh hoạt Có lời giải xem “thiếu tự nhiên” thật độc đáo Các toán phương trình vơ tỷ thường hay đưa vào dạy cho học sinh giỏi, trường chuyên, lớp chọn đề cập sách giáo khoa Song thực chất học sinh làm quen với toán giải phương trình từ bậc Tiểu học với cách hỏi đơn giản dạng “Tìm x” kiến thức loại nâng cao dần lớp với phương trình vơ tỷ, em làm quen lớp dạng đơn giản học nhiều bậc Trung học phổ thông Dạng tốn “ Giải phương trình vơ tỉ” đề cập nhiều loại sách tham khảo, giáo viên khó khăn việc sưu tầm, tuyển chọn Trong q trình giải tốn học sinh cịn lúng túng vấn đề phương trình, phương trình vô tỉ lại trở ngại không nhỏ khiến cho nhiều học sinh khơng ngỡ ngàng bối rối giải loại phương trình Thực ra, vấn đề khó, phương trình vơ tỉ dạng tốn Đặc biệt, với học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi vấn đề quan trọng mà bắt buộc học sinh phải vượt qua, giải toán phương trình vơ tỉ học sinh hay mắc số sai lầm sau: - Khơng tìm tập xác định giải: Ví dụ: Giải phương trình: 3x   x   x  Giải sai: Chuyển vế phương trình (1) : (1) 3x   x   x   x - = 5x - + 2x - + (5 x  1)(2 x  3)  10 x  17 x   x   10 x  17 x  1  x (2)  10x2 - 17x + = + 4x2 - 4x (3) x    6x2 – 13x + =  (x - 2)(6x - 1) =    x  Vậy nghiệm của phương trình (1) x = 2; x = Phân tích sai lầm: Học sinh không ý đến điều kiện có nghĩa của thức Trong ví dụ trên: Điều kiện x > nên x = không nghiệm của phương trình (1) Để khắc phục sai lầm ta tìm ĐKXĐ của phương trình giải thử giá trị tìm của ẩn vào phương trình cho để kết luận nghiệm - Không đặt điều kiện để biến đổi tương đương phương trình Ở ví dụ trên: Các phương trình (2) (3) không tương đương mà 1  x   Phương trình (2)   10 x  17 x     x   Như phương trình (3) tương đương với phương trình (2) x <  x = không nghiệm của phương trình (1) Giải đúng: ĐKXĐ: x > (*) Ta có: (1)  10 x  17 x  1  x 1  x 0   2 10 x  17 x  13 1  x  x  x     x  13x  0  Đối chiếu với điều kiện (*) Suy phương trình (1) vơ nghiệm   x   x   x 2, x   4.3 Kết điều tra khảo sát ban đầu: Khi chưa áp dụng sáng kiến khảo sát lớp học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh khá, giỏi lớp của trường THCS VănYên với đề bài: Bài tập: Giải phương trình 9(x  1)  21 a) b) x  x   c) d) 97  x  x  x   5x   3x  e) x + y + z + = x   y   z  Kết thu sau: Bảng 1: Kết kiểm tra tính theo số lượng Tổng số HS 18 Điểm 0-2 Điểm 3-4 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Bảng 2: Kết kiểm tra tính theo tỉ lệ % Tổng số HS Điểm 0-2 Điểm 3-4 22,22% 33,33% Điểm 5-6 27,78% 18 4.4 Một số giải pháp thực sáng kiến Điểm 7-8 16,67% Điểm 9-10 0% 4.4.1 Giải pháp chung Để khắc phục tồn dạy cho học sinh giải phương trình vơ tỉ, giáo viên cần trang bị cho học sinh phương trình sách giáo khoa kiến thức mở rộng, hình thành phương pháp giải toán cách hợp lý Với phương trình cần học sinh nhận dạng, phát cách giải tìm cách giải cách phù hợp nhất, nhanh Qua dạng phương trình giáo viên cần đưa phương pháp giải hướng dẫn học sinh đặt đề toán tương tự, từ khắc sâu cách làm cho học sinh Nếu biết phân dạng, chọn ví dụ tiêu biểu, hình thành đường lối tư cho học sinh tạo hứng thú nghiên cứu, giúp học sinh hiểu sâu, nhớ lâu nâng cao hiệu giáo dục, đặc biệt ôn luyện cho học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi THPT Là giáo viên, mong muốn cung cấp cho học sinh “chiếc chìa khố” để giải dạng cụ thể của phương trình Song khơng phải dạng phương trình có cách giải tổng qt Do đó, qua q trình giảng dạy, học hỏi đồng nghiệp tự tham khảo tài liệu mạnh dạng phân dạng phương trình vơ tỉ cách giải dạng đồng thời đưa số cách giải phương trình vơ tỉ với mục đích giúp học sinh hiểu sâu sắc phương trình vơ tỷ nhiều góc độ làm đơn giản trình giải phương trình vơ tỷ cho học sinh, cụ thể sau: * Cung cấp cho học sinh kiến thức, kỹ có liên quan đến giải phương trình - Khái niệm phương trình - Các Định lý phép biến đổi tương đương phương trình - Ghi nhớ cho học sinh công thức quan trọng Chương I – Mơn Tốn lớp thuộc học kì I ( kiến thức bậc hai bậc ba có liên quan tới kĩ biến đổi thức, thực phép tính chứa dấu căn) * Hình thành cho học sinh bước giải phương trình vơ tỉ theo thao tác: - Bước 1: Nhận dạng phương trình, đưa phương trình dạng quen thuộc - Bước 2: Áp dụng phương pháp giải hợp lý từ thực giải phương trình - Bước 3: Chọn nghiệm kết luận nghiệm ( thử lại cần thiết) * Thường xuyên khắc phục sai lầm thường mắc cho học sinh dạy phương pháp giải phương trình - Khơng đặc điều kiện xác định của phương trình để biến đổi tương đương - Kết luận sai không đối chiếu với điều kiện của ẩn - Chua phân biệt phép biến đổi tương đương không tương đương ( phương trình tương đương; phương trình hệ quả), phép biến đổi tương đương phép biến đổi thành phương trình hệ * Xây dựng cơng thức giải dạng phương trình vơ tỉ như: sau học Chương I “ Căn bậc hai, Căn bậc ba” - Đại số Yêu cầu học sinh ghi nhớ cơng thức * Cung cấp cho học sinh phương pháp giải phương trình vơ tỉ sau học xong chương phương trình bậc hai ( thường xuyên rèn luyện thành thạo cho học sinh kỹ giải phương trình biết bậc nhất, bậc hai, phương trình tích nhằm hỗ trợ cho việc giải phương trình vơ tỉ sau này) * Phối hợp với toán khác ( tổng hợp): Nhằm giúp học sinh thường xuyên rèn luyện phép biến đổi thức giải phương trình vơ tỉ ( đề tốn tổng hợp ln có câu giải phương trình vơ tỉ) * Thường xun kiểm tra uốn nắn kịp thời việc định dạng vận dụng phương pháp giải dạng phương trình vơ tỉ cách có chủ động * Rèn kỹ biến đổi phương trình ban đầu phương trình dạng quen thuộc lựa chọn phương pháp giải cho hợp lý với dạng, ý tới cách vận dụng linh hoạt * Xây dựng cho học sinh bước thực giải phương trình vơ tỉ, theo bước sau: - Bước 1: Quan sát, nhận dạng, tìm TXĐ của phương trình - Bước 2: Huy động phương pháp giải hợp lý (phải lựa chọn phương pháp tối ưu) - Bước 3: Giải phương trình - Bước 4: Chọn nghiệm phù hợp kết luận * Kiểm tra định kỳ: Thường xuyên rút kinh nghiệm việc thực tập giáo viên giao cho nhóm học sinh hình thức cá nhân, nhóm, lớp Thống kê chất lượng thông báo kết 4.4.2 Giải pháp cụ thể 4.4.2.1 Một số lý thuyết phương trình, phương trình vơ tỉ a Đại cương phương trình * Khái niệm: Phương trình đẳng thức (mệnh đề) có chứa biến số f(x) = g(x) + Biến số x biểu thức gọi ẩn số + f(x) g(x) hai vế của phương trình + Quá trình tìm x gọi giải phương trình + Mỗi giá trị của biến x thuộc tập xác định để có đẳng thức gọi nghiệm của phương trình + S: Là tập hợp nghiệm của phương trình * Tập xác định phương trình (TXĐ) Là giá trị của biến làm cho biểu thức phương trình có nghĩa * Hai phương trình tương đương Là hai phương trình có tập hợp nghiệm nghiệm của phương trình nghiệm của phương trình ngược lại b Phương trình vơ tỉ * Định nghĩa: Phương trình vơ tỷ phương trình có chứa ẩn số thức Ví dụ: 3x     x * Các bước giải phương trình (dạng chung) - Tìm điều kiện xác định của phương trình - Dùng phép biến đổi tương đương đưa dạng phương trình học - Giải phương trình vừa tìm - Đối chiếu kết tìm với điều kiện xác định kết luận nghiệm Chú ý: Với phương trình có ĐKXĐ x  R (trong q trình biến đổi khơng đặt điều kiện) tìm nghiệm phải thử lại * Các kiến thức thức - Một số âm khơng có bậc chẵn - Muốn nâng lên luỹ thừa bậc chẵn hai vế của phương trình để phương trình tương đương phải đặt điều kiện A2  A A B  A  A2  B A  A2  B với A > 0; A2 > B > 4.4.2.2 Các phương pháp giải phương trình vơ tỉ a Sử dụng phép biến đổi tương đương * Dạng 1: f  x   A ( A số biểu thức biết) + Phương pháp :  A 0 f  x  A    f  x  A (1) (2) Ở phương pháp ta biến đổi tương đương phương trình cho f  x   A với hệ hỗn hợp, nghiệm của (2) nghiệm của (1) Do ta giải hệ (2) kết luận nghiệm của (1) Cơ sở của phương pháp dựa vào khái niệm bậc hai số học của f  x  0 + Chú ý: Khi A  ta kết luận phương trình f  x   A vơ nghiệm + Ví dụ: Khi giải phương trình x  3x 2 ta giải sau: x 1  x  3x   x  3x   x  x     x  1  x       x   x   x  4  Vậy phương trình có hai nghiệm: x1 = 1; x2 = -4 * Dạng 2: f  x g  x + Phương pháp:  g  x  0 f  x g  x    f  x   g  x   + Ví dụ: Giải phương trình x  x  11 2 x  (1) ta giải sau: 1  x  1     x  1 2 x   x     x (1)   2    3 x  x  10  3 x  x  10  0(*)  x   x  x  11   x  1     x  2 Vậy phương trình (1) có nghiệm: x  + Chú ý: Khi g  x   ta kết luận phương trình vơ nghiệm Ví dụ: Giải phương trình x  3x   x  (*) Vì  x 0   x      x   (*) vô nghiệm * Dạng 3: f  x   g  x  + Phương pháp:  f  x  0  f  x   g  x    g  x  0  f  x g  x    x 5  x 5 x  x  5  x      x 3 x  x  x     x    x  thoả mãn (*) Vậy phương trình có nghiệm x  *Dạng 3:  f  x  a  f  x  b  f  x  c   f  x   d m (3)  a  b c  d  Trong đó:  a  c b  d  a  d b  c Cách giải: Đặt: f  x  t  t 0 Đưa phương trình dạng:   t  a   t  b   t  c   t  d   m       t  a  t  b     t  c  t  d   m  t   a  b t  ab t   c  d t  cd m (3’) Đặt ẩn phụ thứ hai để đưa phương trình dạng biết cách giải 2 Có thể có nhiều cách đặt, chẳng hạn đặt: y  t   a  b  t  t   c  d  t Ta có phương trình (3’)   y  ab y  cd  m  y   ab  cd  y  abcd  m 0 ( Đây phương trình bậc hai biết cách giải) + Ví dụ: Giải phương trình:   x 1 x 2   x 3  x  840 Điều kiện: x 0 đặt x  t ( t 0 ) Ta có phương trình ẩn t:  t  1 t  2 t  3 t  4 840   t  1  t     t    t  3   840   t  5t    t  5t    840 Đặt ẩn phụ: y t  5t   y 0 Ta có phương trình:  y  1 y  1 840  y  840  y 841  y  29 (thỏa mãn); y  29 (loại) + Với y  29 ta có phương trình t  5t   29  t  5t  24   t1  ( thỏa mãn); t2  8 (loại) Với t1  ta có phương trình : x 3  x 9 ( thỏa mẫn kiện x 0 ) Kết luận : Nghiệm của phương trình ban đầu x  Nhận xét : Ở dạng dùng ẩn phụ lần thứ ta hữu tỉ hóa phương trình cho Song chưa có phương trình dạng quen thuộc nhờ đặt ẩn phụ lần thứ hai ta đưa phương trình dạng phương trình bậc hai Cần lưu ý cách đặt ẩn phụ lần thứ hai có nhiều cách lựa chọn khác y  t  5t  y  t  5t  y  t  5t  tính linh hoạt của việc chọn ẩn phụ mà nguwoif giải cần ý Như giải phương trình cách đặt ẩn phụ ta đặt nhiều ẩn phụ khác cho đích cuối đưa phương trình ban đầu dạng quen thuộc c Phương pháp hệ phương trình ( Chuyển phương trình thành hệ phương trình tương đương) * Bên cạnh phương pháp đặt ẩn phụ để đưa toán khác, có nhiều tốn cần dùng tói nhiều ẩn số phụ tùy theo đặc thù của toán cho ta thu mối liên hệ đại lượng tương ứng, chẳng hạn phương trình : n a  f  x   m b  f  x  c (*) Ta đặt : u n a  f  x  ; v m b  f  x   u  v c Dẫn tới : (*)   n m  u  v a  b (**) Như để tìm nghiệm của(*) ta quy việc tìm nghiệm của hệ phương trình (**) Vì với điều kiện tồn của phương trình phương trình hệ phương trình cho tương đương Như việc giải hệ phương trình khơng bị gị bó thơng qua giải hệ phương trình tương đương, từ nghiệm của hệ phương trình ta suy nghiệm của phương trình ban đầu thơng qua tập xác định của phương trình (*) Ví dụ 1: Giải phương trình 1 x   x 1 2 Khi đưa toán học sinh lúng túng phương pháp giải gặp phương trình vơ tỉ ‘‘khơng chủng’’ vế trái chứa bậc hai bậc ba Song ếu đặt ẩn phụ tìm cách chuyển phương trình hệ phương trình tương đương việc giải tốn dễ dàng Ta tiến hành giải phương trình theo phương trình hệ sau : Điều kiện: Đặt : a 3 1  x 0  x  2 1  x;b   x  b 0 2 2 *  Ta có : a   x; b   x a  b 1 Kết hợp với a  b  ta có hệ phương trình sau :  a    b  a  b  a   b      b    b2    2 a  b  a   b  a   b  1  b 1  b   1  b 1  b  0    1  b  1  b   1  b  0  b1  b  b  3 0  b1  0; b2   0; b3    b1  0; b2  1; b3  ( thỏa mãn) Với b  0  a  thay vào (*) ta có x  ( thỏa mãn) Với b   a  thay vào (*) ta có x  ( thỏa mãn) Với b   a   thay vào (*) ta có x  17 ( thỏa mãn) 2 Vậy phương trình cho có nghiệm: x1  ; x  ; x3  Ví dụ 2: Giải phương trình  x 2  x 17 (1) Nhiều học sinh giải phương trình thường dẫn tới lúng túng bình phương hai vế của (1) phương trình bậc bốn khó giải Ta giải phương trình (1) sau : Điều kiện phương trình có nghĩa  x 0  x 2 Đặt: y   x  y 0  x 2  y 2 y   x Kết hợp với ta có hệ phương trình   y 2  x (2) Trừ vế với vế của hai phương trình hệ (2) ta có phương trình : y  x  y  x2   y  x  y  x   y  x  y  x y  x    y  x   y  x   1 0   y  x  x  y  1 0   x  y   y  1 x + Với y  x thay vào phương trình y   x ta có : x  x    x1  ( loại x  y  2  mà y 0 ) + Với y   x thay vào phương trình y   x ta có : 1 1  x   x  x  x    x1  ; x2  2 Đối chiếu với điều kiện của nghiệm : 1  x   x   x     x  Thì x1  khơng thỏa mãn 1 Vây phương trình cho có nghiệm : x1 1; x  Như việc dùng phương pháp hệ phương trình giúp học sinh tìm cách giải cho toan cách hợp lý Tuy nhiên với toán cần ý tới điều kiện của nghiệm :   x 0   2  x    x 2   x     x   Thì việc lựa chọn nghiệm xác, từ đầu ta nên tìm cho ẩn x Trên sở tìm điều kiện cho phương trình có nghĩa có nghiệm, nói gọn tìm điều kiện cho nghiệm số d Phương pháp tổng bình phương * Cơ sở của phương pháp : Đưa phương trình ban đầu f  x, y, , t  0 (1) 2 vỊ d¹ng: f1  x, y, , t    f n  x, y, , t    f  x, y, , t  0     f  x, y, , t  0  n Thực chất của phương pháp biến đổi tương đương phương trình cho thành hệ phương trình đặc biệt đơn gian dễ tìm nghiệm nhờ vào việc biến đổi vế trái của (1) thành tổng của bình phương Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  32 16 x (1) Nếu giải phương trình (1) theo cách bình phương hai vế của phương trình học sinh gặp khó khăn vì(1) dẫn tới phương trình bậc bốn khó tìm nghiệm Ta áp dụng phương pháp ‘‘tổng bình phương’’ sau: Điều kiện phương trình có nghĩa: x 0 Với điều kiện x 0 ta có (1)   x  x  16  4 x  16 x  16 0    x  4  x   x      x     0  x    x     x4 2 x    x  Với x  thỏa mãn điều kiện x 0 Vậy phương trình (1) có nghiệm x  Ví dụ 2: Giải phương trình x  y  t  2 x   y   t  (2) Đây phương trình vơ tỉ có ẩn số x, y, t nên cách giải thông thường học sinh gặp khó khăn Song áp dụng phương pháp ‘‘tổng bình phương’’ tốn trở thành đơn giản Ta giải toán sau :  x  0  Điều kiện phương trình có nghĩa:  y  0   t  0   x 2   y 3  t 5  (*) Với điều kiện (1)   x   x   1   y   y  3.2  4  t   t  5.3  9               x      y 3   t   0 x  1   x  1   x  1 x   x      y      y      y    y    y      t   t  14 t 5 3 t 5 3     t 5 3    Với x  3; y  7; t  14 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình (2) có nghiệm :  x; y; t    3;7;14  Như dùng phương pháp ‘‘tổng bình phương’’ ta giải phương trình vơ tỉ có nhiều ẩn số cách đơn giản song cần phải ý tránh sai lầm cho học sinh việc rõ số nghiệm của phương trình Ví dụ 3: Giải phương trình x  xy  y  x  0 (3) Bài toán khó thực giải phương pháp thơng thường, Song tìm cách viết vế trái dạng tổng bình phương tốn nên đơn giản Điều kiện phương trình (3) có nghĩa: x  0; y  Với điều kiện ta có : (3)   x  xy  y  x  y  1  (4 y  y  1) 0    x  y 1     2 y 1      x  y 1   x  1 y x  x       x  y 1    2      1  y 1  2 y    y y  y   2   4   Thỏa mãn điều kiện x 0; y 0 9 1 Vậy phương trình (3) có nghiệm : ( x; y )   ;  4 4 Nhận xét : Qua toán ta nhận thấy gặp số phương trình vơ tỉ khơng dạng ‘‘ mẫu mực’’ ta viết phương trình f  x   dạng 2 f  x   f1  x   f  x    f n  x  việc giai phương trình f  x   trở thành đơn giản Đây phương pháp ứng dụng nhiều phương trình gặp chương trình phổ thông e Phương pháp sử dụng biểu thức liên hợp Trong thực phép biến đổi tương đương phương trình vơ tỉ ta nhân (chia) hai vế của phương trình với biểu thức liên hợp của hai vế hai vế của phương trình cho, để phương trình đơn giản phương trình ban đầu dùng phương trình ban đầu biến đổi tới phương trình biết cách giải Ví dụ 1: Giải phương trình x   x3 x  Điều kiện:  x 5  x  2 (1) Với điều kiện x 3 ta cã x   x   biểu thức liên hợp của vế trái Nhân hai vế của (1) với x   x  ta có : (1)  x    x  3 2 x   x    x   x  4 (1’) Cộng vế với vế của (1) (1’) ta phương trình x  3  x  9  x 4 ( thỏa mãn điều kiện) x  6  Với toán dùng ‘ biểu thức liên hợp’’ ưu việc bình phương hai vế của (1) Ví dụ 2: Giải phương trình x 9  x   x 1  (2) x Điều kiện: x 0 với điều kiện ta có lượng liên hợp của hai vế lớn Ta nhân chia với lượng liên hợp của hai vế (2)   x9  x4  x9  x4 x9  x4   x 1  x  x 1  x  x 1  x Biến đổi tương đương phương trình ta có phương trình thu gọn : x   x  5 x   x Cộng vế với vế của (2) (’) ta : x  3 x   x (2’) (2’’) Đến ta nghiệm x = thỏa mẫn điều kiện : x   9x   x   9x   x   x 1  x   x   x  x   (3’’) vô nghiệm Vậy x = nghiệm của phương trình (2) Trong tốn ta sử dụng nhân chia với biểu thức liên hợp của hai vế dãn tới phương trình đơn giản (2’), thực cộng vế với vế của (2) (2’) dẫn đến phương trình (2’’) dễ dàng tìm nghiệm Có thể nói sử dụng biểu thức liên hợp để biến đổi biểu thức tương đương phương trình vơ tỉ ứng dụng vào tốn giải phương trình vơ tỉ dạng phức tạp có lợi định song cần ý cách dùng biểu thức liên hợp phải linh hoạt sáng tạo f Phương pháp đưa phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối Mục đích: Là biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương có dạng : f  x  g  x  m  f  x   g  x   m Rồi giải phương trình chứa giá trị tuyệt đối Ví dụ 1: Giải phương trình x  4x   x  (1) Lời giải: Ta biến đổi (1) dạng: (x  2)   x (điỊu kiƯn: x ≤ 8) Biến đổi tương đương ta được: |x – 2| = – x + Nếu x < 2: (1)  – x = – x (vô nghiệm) + Nếu ≤ x ≤ 8: (1)  x – = – x  x = x   x   x   x  5 (2) Ví dụ 2: Giải phương trình: Điều kiện: x  0  x 1 (2)    x 12   x   3   3 x 1      x 1 x   5  x  0  x   3 5 x 12 x  3  x   5 x x  3  x  9  x 10 Kết hợp với điều kiện x 1 ta có nghiệm của phương trình x 10 Ở tốn việc giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối có ý tới việc dùng định nghĩa tính chất dấu gái trị tuyệt đối làm cho việc phân chia trường hợp không cần thiết lời giải ngắn gọn Trên phương pháp thường dùng để giải phương trình vơ tỉ Tuy nhiên việc sử dụng phương pháp nói phải học sinh lựa chọn thích hợp với phương thức thực tế Song khơng thể quan trọng hóa đề cao chất lượng của phương pháp giải phương trình vơ tỉ Điều quan trọng dùng phương pháp mà việc giải phương trình đạt hiệu (nhanh gọn nhất) Ta cần ý phương pháp có mối quan hệ mật thiết với hai phương pháp: Đặt ẩn phụ phương pháp hệ phương trình; phương pháp tổng bình phương…Hoặc có giải phương trình ta phối hợp hai hay nhiều phương pháp nói đạt hiệu cao Những thông tin cần bảo mật: Không Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến: Để báo cáo sáng kiến áp dụng vào thực tế giảng dạy trường THCS thầy giáo cần có tận tâm với nghề, tích cực việc nghiên cứu, lựa chọn phương dạy học tích cực hiệu hợp lý để xây dựng tiết học hiệu tạo hứng thú học tập cho em để nâng cao chất lượng giảng dạy Giáo viên cần chủ động việc xây dựng chuyên đề việc bồi dưỡng học sinh giỏi cần có tính sáng tạo, nâng cao bám sát chuẩn kiến thức kĩ năng, lực cần đạt của tiết học bồi dưỡng học sinh giỏi, phải phù hợp với tình hình thực tế với đối tượng học sinh Ban giám hiệu, tổ chuyên môn, nhân viên thiết bị tạo điều kiện tốt nhất, hỗ trợ giáo viên tinh thần, sở vật chất cho giáo viên tiến hành tiết dạy thành cơng Đánh giá lợi ích thu dự kiến thu áp dụng sáng kiến theo ý kiến tác giả : 7.1 Lợi ích thu Sau áp dụng sáng kiến vào thực tế giảng dạy đồng nghiệp nhận thấy số kết thu sau: * Đối với giáo viên: - Giúp giáo viên nâng cao lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng tổng hợp tri thức học, mở rộng, đào sâu hồn thiện hiểu biết Từ có phương pháp giảng dạy phần có hiệu - Nghiên cứu vấn đề để nắm thuận lợi, khó khăn dạy học phần phương trình vô tỉ bồi dưỡng học sinh giỏi, từ định hướng nâng cao chất lượng dạy học mơn tốn - Giúp giáo viên có tư liệu tham khảo dạy thành cơng dạng tốn giải phương trình vơ tỉ - Nâng cao chất lượng dạy học sau nghiên cứu áp dụng sáng kiến kinh nghiệm, giúp cho giáo viên dạy có hiệu cao hơn, học sinh ham thích học dạng tốn * Đối với học sinh: Hình thành cho học sinh khả tự học, đam mê, tính hiếu kì tự tìm tự lí giải kiến thức, chấm dứt nhồi nhét kiến thức, nhớ máy móc thụ động Qua năm tham gia giảng dạy thử nghiệm sáng kiến kinh nghiệm của tơi đạt kết định Sau thực sáng kiến tiến hành khảo sát học sinh với kiểm tra sau: Bài tập: Giải phương trình sau: a) 1 x   x  b) 2x2   3x  (4) c) 5x   3x   2x  d) x2 - 4x - = x 5 e) x + 6x +12+ x  3x  = Vì vấn đề khó tơi dám áp dụng vào lớp chọn đội tuyển bồi dưỡng học sinh khá, giỏi của nhà trường với số lượng học sinh 18 em Kết thu sau học sinh làm kiểm tra sau: Bảng 1: Kết kiểm tra tính theo số lượng Tổng số HS 18 Điểm 0-2 Điểm 3-4 Điểm 5-6 Điểm 7-8 Điểm 9-10 Điểm 7-8 38,89% Điểm 9-10 11,11% Bảng 2: Kết kiểm tra tính theo tỉ lệ % Tổng số HS 18 Điểm 0-2 Điểm 3-4 0% 11,11% Điểm 5-6 38,89% Qua bảng kết trên, ta thấy học phương pháp giải phương trình vơ tỉ kết kiểm tra cao hẳn so với em học phương pháp đơn giản kiến thức sách giáo khoa phương trình vơ tỉ Số kiểm tra đạt điểm khá, giỏi tăng, số bạn bị điểm trung bình giảm cụ thể bảng sau: Khi chưa áp dụng chuyên đề Sau áp dụng chuyên đề Giỏi Khá TB Dưới Giỏi Khá TB Dưới TB TB 16,67 27,78 55,55% 11,11 38,89 38,89% 11,11% 0% % % % % Có thể khẳng định rằng, học phương pháp giải phương trình vơ tỉ, giảng của giáo viên thiết thực, có ý nghĩa Người học tích cực, chủ động tự giác trình học tập 7.2 Hướng phổ biến áp dụng Trong sáng kiến áp dụng trường THCS năm học 2017 – 2018 lớp bồi dưỡng học khá, giỏi khối của nhà trường mang lại nhiều hiệu việc giải phương trình vơ tỉ, phần đơng em có hứng thú làm tập Đặc biệt sáng kiến có khả áp dụng với trường cấp học huyện để giúp em bổ sung thêm kiên thức giải phương trình vô tỉ tham gia kỳ thi tuyển chọn học sinh giỏi cấp thi vào THPT Danh sách người áp dụng sáng kiến lần đầu: Nơi công tác( nơi thường trú) Chức danh Trình độ Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp ST T Họ tên Ngày sinh Nội dung công việc hỗ trợ Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Học sinh Lớp Học sinh Lớp 9 Học sinh Lớp 10 Học sinh Lớp 11 Học sinh Lớp 12 Học sinh Lớp 13 Học sinh Lớp 14 Học sinh Lớp 15 Học sinh Lớp 16 Học sinh Lớp 17 Học sinh Lớp 18 Học sinh Lớp Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Tôi xin cam đoan thông tin nêu đơn trung thực, thật hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật , ngày 10 tháng năm 2019 Người nộp đơn KẾT QUẢ CHẤM CỦA HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN NHÀ TRƯỜNG …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………… ……………………… …… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………… ……………………… …… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………………………… XÁC NHẬN CỦA BAN GIÁM HIỆU …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… ……… ……………………………………………………………………………………… …………… ………………………………………………………………………………… ………………… …………………………………………………………………………… ……………………… …… …………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………… ……………………………………… ……………………………………………………… …………………… ... tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Học sinh Lớp Học sinh Lớp 9 Học sinh Lớp 10 Học sinh Lớp 11 Học sinh Lớp 12 Học sinh Lớp 13 Học sinh Lớp 14 Học sinh Lớp 15 Học sinh. .. danh Trình độ Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp Học sinh Lớp ST T Họ tên Ngày sinh Nội dung công việc hỗ trợ Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học. .. Học sinh Lớp 16 Học sinh Lớp 17 Học sinh Lớp 18 Học sinh Lớp Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập Hợp tác học tập