Bài 1. LŨY THỪA - HÀM SỐ LŨY THỪA-tuần 9

CHUYÊN ĐỀ 2: MŨ VÀ LÔGARIT BÀI 1: LŨY THỪA – HÀM SỐ LŨY THỪA Mục tiêu  Kiến thức + Biết khái niệm tính chất lũy thừa với số mũ nguyên, lũy thừa với số mũ hửu tỉ không nguyên lũy thừa với số mũ thực + Biết khái niệm tính chất bậc n + Biết khái niệm tính chất hàm số lũy thừa + Biết cơng thức tính đạo hàm hàm số lũy thừa + Biết dạng đồ thị hàm số lũy thừa  Kĩ + Biết dùng tính chất lũy thừa để rút gọn biểu thức, so sánh biểu thức có chứa lũy thừa + Biết khảo sát hàm số lũy thừa + Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Trang I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM LŨY THỪA Lũy thừa với số mũ nguyên Cho n số nguyên dương • Với a tùy ý: a n  a.a a n thừa số • Với a  : a  1; a  n  (a: số, n: số mũ) an Chú ý: 0 ,  n khơng có nghĩa Lũy thừa với số mũ ngun có tính chất tương tự lũy thừa với số mũ nguyên dương Phương trình x n  b  * • Với n lẻ: Phương trình (*) ln có nghiệm • Với n chẵn + Nếu b  : Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu + Nếu b  : Phương trình (*) có nghiệm x  + Nếu b  : Phương trình (*) vơ nghiệm Căn bậc n Khái niệm Cho b  R , n  N *  n   Số a gọi bậc n b a n  b • Với n lẻ b  R , phương trình xn  b có bậc n b, ký hiệu n b • Với n chẵn: b  : Khơng có bậc n b Trang b  : Có bậc n b  : Có hai trái dấu, ký hiệu giá trị dương n b , giá trị âm  n b Tính chất Với a, b  , m, n  N * ; p  ta có: • n ab  n a n b; a na  , b  0; b nb •n • n ap   a  , a  0; n p • n m a  n m a ; a n lẻ • n an    a n chaün Lũy thừa với số mũ hửu tỉ Cho số thực a dương số hửu tỉ r  m  ,n  * m , Ví dụ: n a a ; n n a a Lũy thừa a với số mũ r xác định m n sau: a  a  n a m r Lũy thừa với số mũ vô tỉ Cho a  0,  số vơ tỉ Ta thừa nhận ln có dãy số hữu tỉ  rn  mà   lim rn dãy số tương ứng n   a  có giới hạn khơng phụ thuộc vào việc chọn dãy số r  rn n r Khi ta kí hiệu a  lim a n lũy thừa a với số mũ n   Lũy thừa với số mũ thực Tính chất Với a, b số thực dương;  ,  số thực tùy ý, ta có: • a a   a   ; • a  a   ; a Trang   • a   a  ; •  a.b   a b ;   a a •    ; b b So sánh hai lũy thừa • So sánh số Ví dụ: - Nếu số a      a  a  - Nếu số  a      a  a   2,5  1,2    2,5    0,5  1,1   0,3 • So sánh số mũ 1,2 0,5   0,3  1,1 - Nếu số mũ   a  b   a  b - Nếu số mũ   a  b   a  b HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y  x , với   gọi hàm số lũy thừa Chú ý: Tập xác định hàm số y  x tùy thuộc vào giá trị Ví dụ: 3    4 0,8 3    4 0,8 2   3 0,8 2   3 0,8  Ví dụ: Tập xác định hàm số Cụ thể: y  x D  ; •  nguyên dương: D  ; •  nguyên âm 0: D  \ 0 ; •  không nguyên: D   0;   y  x 5 D  \ 0 ; y  x , y  x  D   0;   Đạo hàm hàm số lũy thừa Hàm số lũy thừa y  x ,       x • x  1    u  • u  có đạo hàm với x  và: y  x 5 y  5.x 6 ; ;  1 u với u biểu thức chứa x Khảo sát hàm số lũy thừa y  x y  x ,   Ví dụ: Đạo hàm hàm số  y  x ,  y  sin2 x y  2sin x  sin x   2sin x.cos x Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thừa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số a Tập khảo sát:  0;   a Tập khảo sát:  0;   b Sự biến thiên: b Sự biến thiên: hạn: Khảo sát hàm số y  x • y   x 1  0,  x >0 • y   x 1  0,  x >0 tập xác định tồn tập xác định Chẳng , khảo sát hàm Trang Hàm số ln đồng biến Hàm số ln nghịch biến • Giới hạn đặc biệt: • Giới hạn đặc biệt: lim x   0, lim x    x  0 x  • Tiệm cận: Khơng có số y  x 2 tập xác định D  \ 0 lim x  , lim x  x  0 x  • Tiệm cận: Trục Ox tiệm cận ngang Trục Oy tiệm cận đứng c Bảng biến thiên: c Bảng biến thiên: d Đồ thị: Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I 1;1 Trang SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HĨA LŨY THỪA a Định nghĩa Tính chất a  a.a a n a  ,  n  n thừa số a  1; a  n  an a  0,   n  m n a  a  n am r   rn  : lim rn    a  lim a a  0,  m  n m ,n * a a   a   a  1;     a  a  a  a   a  a  1;     a  a  a   a  0, số vô tỉ n   00 ,0 n nghóa * rn   a.b   a   n    0; a  b   a  b   0; a  b   a  b  a b  a a    b b a  0,  n lẻ b ,n *  n  2 Căn bậc n b n chẵn Có n b b0 Không tồn b0 n b0 0 n b n b Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa thức Phương pháp giải Tính chất bậc n • • n n  n a n b Khi n leû ab   ;  n a n b Khi n chaün  n n a   b n n  • n • n m • n ap  a b a b Khi n leû  b   Khi n chaün  b   ;  a  ,  a  ; n p a  n m a ; a n leû an    a n chaün Trang Công thức lũy thừa với số mũ thực   • am n  am n ; • a m a n  a m  n ; • am  amn ; n a • a m b m   a.b  ; m m am  a  • m   b b Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho x số thực dương Biểu thức x x viết dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ A x 12 12 B x C x D x Hướng dẫn giải Ta có: x 23 Điều kiện x số thực dương làm cho biểu thức  37  12 x  x x  x x   x     dạng thũy thừa với số mũ hửu tỉ xác định Chọn A Ví dụ 2: Cho hai số thực dương a b Biểu thức a3 b a viết b a b dạng lũy thừa với số mũ hữu tỉ 30 31 30 a A   b 30 31 a B   b a C   b a D   b Hướng dẫn giải 1 Ta có: 1 a b a a  a   a 2 a  a          b a b b b b b b  aa   bb 1 6 a a      b b Chọn D Bài toán 1.2 Thu gọn biểu thức chứa lũy thừa Phương pháp giải Các đẳng thức đáng nhớ: Trang •  a  b   a  2ab  b ; •  a  b   a  3a 2b  3ab  b ; • a2  b2   a  b  a  b  ;    a  b  a   • a3  b3   a  b  a  ab  b ; • a3  b3  ab  b Ví dụ mẫu  12  Ví dụ 1: Cho P   x  y    A x 1  y y   Biểu thức rút gọn P 1   x x   B x C x  D x  Hướng dẫn giải Ta có: P   x y  1  x  xy  y       x    x y   x x y  x Chọn A  a 0,5  a0,5   a0,5  Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức    0,5 (với  a  ) ta 0,5  a  2a  a   a A a2 B a 1 C 1 a D a 1 Hướng dẫn giải  a 0,5  a0,5   a0,5  Ta có:    0,5 0,5  a  2a  a   a  0,5 a 2 a0,5     0,5 a 0,5  a0,5   a        0,5  a 1  a0,5   a 0,5  a 0,5     0,5  0,5  0,5  a 1 a 1  a  a  a 0,5   a  a 0,5  2 0,5  a 1 a 1 a Chọn D Trang       x x x Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức   (với x  0, x  ) ta  x     x3   x   x     x     x     B  x A x D x C  x Hướng dẫn giải       x x x Ta có:    x     x3   x   x     x   x                  x x x   x2  x  1 x x2  x  1 x          x x 1 x x x     x 1 1 x   1 x     3     x3    Chọn C Bài toán Tính giá trị biểu thức Phương pháp giải Cơng thức đặc biệt f  x  ax ax  a Thật vậy, ta có: f  x   f 1  x   f 1  x   a ax a  a ax  f 1  x    a a  a a x a x a  a Nên: f  x   f 1  x   Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho f  x   2018x 2018x  2018 Tính giá trị biểu thức sau ta      2018  S f  f     f    2019   2019   2019  A S  2018 B S  2019 C S  1009 D S  2018 Trang 10 Hướng dẫn giải Ta có: f 1  x   2018 2018x  2018   Suy S  f    2019   f  x   f 1  x     f     2019    f   2019    2018  f   2019   2017  f    2019     f   2019   1009  f  2019    2018  f   2019   1010  f   1009 2019   Chọn C Ví dụ 2: Cho x   x  23 Tính giá trị biểu thức P  A 2 B C  3x  3 x ta  3x  3 x D  Hướng dẫn giải  Ta có: x  9 x  23  3x  3 x Từ đó, vào P    3  3x  3 x x  3 x  3x  3 x   25   x x 3   5  loaïi    55    1 Chọn D Dạng 2: Hàm số lũy thừa Bài tốn Tìm tập xác định hàm số lũy thừa  Phương pháp giải Ví dụ: Tập xác định hàm số y  x  x  Ta tìm điều kiện xác định hàm số  3 y   f  x  , dựa vào số mũ  sau:  A • Nếu  số nguyên dương khơng có điều C 1;5 kiện xác định f  x  B \ 1;5 D  ;1   5;   Hướng dẫn giải • Nếu  số nguyên âm điều Số mũ 3 số nguyên âm Do đó, điều kiện xác kiện xác định f  x   x  định hàm số là: x  x     • Nếu  số khơng ngun điều kiện xác x  định f  x   Vậy tập xác định hàm số cho \ 1;5 Chọn B Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Tập xác định hảm số y   x  5x    Trang 11 A \ 2;3 B  ;2    3;   C  2;3  D  3;   Hướng dẫn giải Số mũ  số nguyên Do đó, điều kiện xác định hàm số là:  x  5x    x   2;3 Vậy tập xác định hàm số cho  2;3  Chọn C sin  2018  Ví dụ 2: Tập xác định hảm số y  x B  0;   A C D  0;   \ 0 Hướng dẫn giải \ 0 sin  2018   x nên tập xác định Ta có y  x Chọn C  Ví dụ 3: Tập xác định hảm số y   x A B  0;   C  2019 \ 0 D  0;   Hướng dẫn giải Vì số mũ 2019 số nguyên âm nên điều kiện xác định hàm số  x  0, ngồi hàm số cịn chứa thức bậc hai nên x  1  x   x    x  Hàm số xác định    x  Vậy D   0;   Chọn D   Ví dụ 4: Có giá trị nguyên m   2018;2018  để hàm số y  x  x  m  định có tập xác ? A 4036 B 2018 C 2017 D Vô số Hướng dẫn giải Vì số mũ khơng phải số nguyên nên hàm số xác định với x   x  x  m   0, x    0  a   a    Trang 12    m  1  m0 m   2018;2018 Mà   m  1,2,3, ,2017 m  Vậy có 2017 giá trị nguyên tham số m thỏa mãn u cầu Chọn C Bài tốn Tính đạo hàm hàm số lũy thừa Phương pháp giải Công thức tính đạo hàm Ví dụ:     x  x  0,   ;  x  53    x  52    1 • x     u  1 • u u với u biểu thức chứa x Ví dụ mẫu  Ví dụ 1: Tìm đạo hàm hàm số y   x C y    1 x2  x 1 x2  A y       B y   x  x 2 D y   x 1 x2      5 Hướng dẫn giải Ta có: y   1 x2    1  1 x     1 x2     2 x   x  x 2    Chọn D Ví dụ 2: Tìm đạo hàm hàm số y    3cos x  A y  24   3cos x  sin x B y  12   cos 2x  sin 2x C y  24   cos x  sin x D y  12   3cos x  sin x 3 3 Hướng dẫn giải Ta có: y    3cos2 x    3cos2 x     cos x   6 sin x   24   3cos x  sin x Chọn A Trang 13 Ví dụ 3: Đạo hàm hàm số y   x sin x  A y   x sin x   3 sin x  x cos x C y  3 x sin x B y   x sin x    sin x  x cos x  D y   cos x x sin x   Hướng dẫn giải Ta có: y  1  2 x sin x   x sin x x  sin x     3  sin x  x cos x  Chọn B  Ví dụ 4: Đạo hàm hàm số y   x A y  1 3x  x  1  x  C y  3  B y    x  1  x  x  1  x    D y    x     x Hướng dẫn giải Ta có: y    1      1 x   1 x  1 x x      1 x   x 1 3x  x  1  x  Chọn A Bài toán Khảo sát biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Phương pháp giải Đồ thị hàm số lũy thừa y  a  0;   : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm số tồn tập xác định Chẳng hạn: Khảo sát hàm số y  x tập xác định D , khảo sát hàm số y  x 2 tập xác định \ 0 Nhận xét: Đồ thị hàm số lũy thừa qua điểm I 1;1 Trang 14 Ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hàm số y  f  x  có đồ thị hình vẽ Hỏi f  x  hàm số bốn hàm số đây? B f  x   x A f  x   x D f  x   x C f  x   x  Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D   0;   , loại đáp án B, D Hàm số đồng biến D, loại C Chọn A Ví dụ 2: Cho hàm số y  f  x   x  có đồ thị  C  Mệnh đề sau đúng? A Hàm số tăng  0;   C Tập xác định hàm số B Đồ thị  C  tiệm cận D Hàm số khơng có cực trị Hướng dẫn giải Hàm số có tập xác định D   0;   Ta có: y   x  1  0, x  D Hàm số nghịch biến D  Hàm số khơng có cực trị Chọn D Trang 15 ...   a  b   a  b - Nếu số mũ   a  b   a  b HÀM SỐ LŨY THỪA Khái niệm hàm số lũy thừa Hàm số y  x , với   gọi hàm số lũy thừa Chú ý: Tập xác định hàm số y  x tùy thuộc vào... A Bài toán Khảo sát biến thiên nhận dạng đồ thị hàm số lũy thừa Phương pháp giải Đồ thị hàm số lũy thừa y  a  0;   : Lưu ý: Khi khảo sát hàm số lũy thùa với số mũ cụ thể, ta phải xét hàm. .. b0 Không tồn b0 n b0 0 n b n b Trang HÀM SỐ LŨY THỪA II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Lũy thừa Bài toán Viết lũy thừa với dạng số mũ hữu tỷ Bài toán 1.1 Thu gọn biểu thức chứa thức Phương pháp