thuvienhoclieu.com-20-de-Thi-HSG-Toan-6-cap-huyen-co-dap-an

www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài 1: (1,0điểm) Thực phép tính( tính hợp lý ) a/ 1968 : 16 + 5136 : 16 -704 : 16 b/ 23 53 - {400 -[ 673 - 23 (78 : 76 +70)]} Bài 2: ( 1,0điểm) M có số phương khơng : M = + + +…+ (2n-1) ( Với n ∈ N , n ≠ ) Bài 3: (1,5điểm) Chứng tỏ rằng: a/ (3100+19990) M2 b / Tổng số tự nhiên liên tiếp không chia hết cho Bài : (1,0điểm) So sánh A B biết : 1718 + 19 A = 17 + , 1717 + 18 B = 17 + Bài 5: ( 2,0điểm ) Tím tất số nguyên n để: n +1 a) Phân số n − có giá trị số nguyên 12n + b) Phân số 30n + phân số tối giản Bài 6: (2,5điểm) Cho góc xBy = 550 Trên tia Bx, By lấy điểm A, C ( A ≠ B, C ≠ B ) Trên đoạn thẳng AC lấy điểm D cho góc ABD = 300 a/ Tính độ dài AC, biết AD = 4cm, CD = 3cm b/ Tính số đo góc DBC c/ Từ B vẽ tia Bz cho góc DBz = 900 Tính số đo ABz Bài 7: (1,0điểm) Tìm cặp số tự nhiên x , y cho : (2x + 1)( y – 5) = 12 HẾT -(Đề thi gồm có 01 trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: .; Số báodanh www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Bài 1: (1,0 điểm) Ý/Phần a = 16(123+ 321 - 44):16 b Đáp án Điểm 0,25 = 400 0,25 =8.125-3.{400-[673-8.50]} 0,25 = 1000-3.{400-273} =619 0,25 Bài 2: (1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án M = + + +…+ (2n-1) ( Với n ∈ N , n ≠ ) Tính số số hạng = ( 2n-1-1): + = n Điểm 0,5 Tính tổng = ( 2n-1+1 ) n : = 2n2 : = n 0,5đ KL: M số phương Bài 3: (1,5 điểm) Ý/Phần Đáp án a Ta có: 3100 = 3.3.3….3 (có 100 thừa số 3) = (34)25 = 8125 có chữ số tận 19990 = 19.19…19 ( có 990 thứa số 19 ) = (192)495 = 361495 ( có chữ số tận Vậy 3100+19990 có chữ số tận nên tổng chia hết cho www.thuvienhoclieu.com Điểm 0,25 0,25 Trang www.thuvienhoclieu.com 0,5 b Gọi số tự nhiên liên tiếp : a ; (a +1) ;( a + 2) ;( a + ) ; ( a ∈N ) Ta có : a + (a+1) + (a+2) + (a+3) = 4a + 0,25 0,25 Vì 4a M4 ; khơng chia hết nên 4a+ không chia hết Bài : ( 1,0 điểm) Ý/Phần Đáp án 17 + 17 + 17 + + 16 19 19 19 Vì A = 17 + < ⇒ A= 17 + < 17 + + 16 = 17 1717 + ) 1717 + 18 17 17 + ) = 1718 + = B 18 18 Điểm 18 ( ( 0,75 0,25 Vậy A < B Bài 5: (2,0 điểm) Ý/Phần a Đáp án Điểm n +1 n − số nguyên ( n+1) (n-2) [ (n − 2) + 3] 0.5 Ta có (n+1) = Vậy (n+1) (n-2) (n-2) (n-2) ∈ Ư(3) = { −3; −1;1;3} 0,5 −1;1;3;5} => n ∈ { b Gọi d ƯC 12n+1 30n+2 ( d ∈ N* ) ⇒ 12n + 1d ,30n + d [ 5(12n + 1) − 2(30n + 2) ] d ⇔ (60n+5-60n-4) d ⇔  d mà d∈ N* ⇒ d = Vậy phân số cho tối giản Bài 6: (2,5 điểm) Ý/Phần Vẽ hình a 0,25 0,5đ 0,25 Đáp án Điểm TH1 TH2 0,25 Vì D www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com thuộc đoạn thẳng AC nên D nằm A C : AC= AD + CD = 4+3 = cm Chứng minh tia BD nằm hai tia BA BC b Ta có đẳng thức : ABC - ∠ ABD =550 – 300 = 250 ∠ ABC = ∠ ABD + ∠ DBC ⇒ ∠ DBC = ∠ 0,25 0,25 0,25 0,5 c Xét hai trường hợp: - Trường hợp 1: Tia Bz tia BD nằm hai phía nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BA nằm hai tiaBz BD Tính ∠ ABz = 900 - ∠ ABD = 900- 300 = 600 - Trường hợp :Tia Bz tia BD nằm nửa mặt phẳng có bờ AB nên tia BD nằm hai tia Bz BA Tính ∠ ABz = 900 + ∠ ABD = 900 + 300 = 1200 Bài 7: (1,0 điểm) Ý/Phầ Đáp án n (2x+ 1); (y - 5) ước 12 Ư(12) = {1;2;3;4;6;12 } 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 Vì 2x + lẻ nên : 2x + 1= ⇒ x=0 , y =17 2x + 1= ⇒ x=1 , y=9 Vậy với x = y = 17 ; Với x = y = PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 0,25 0,25 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ 44 Bài 1: (5,0 điểm) Cho A = 5 – + − + … +5 - + − a) Tính A n b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + = c) Tìm số dư phép chia A cho 100 50 48 46 www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết: a) + + + + +…+ ( x –1) = 225 b) x + x +1 + x + + x + + … +2 x + 2015 = 2019 − Bài 3: (5,0 điểm) a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 x.y + 12 = x + y b) Tìm số x, y nguyên biết Bài (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư Bài 5: (4,0 điểm) Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng Vẽ đoạn thẳng AB = 6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC + BD = 9cm a) Chứng tỏ D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? - Hết PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Bài 1: (4,0 điểm) Đáp án Điểm a A =  5 – + − + … +5 - + − 50 48 46 44 ⇒ 25A =  52 ( 550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − 1.) =  552 – 550 + 548 − 546 + … +58 - 56 + 54 − 52 0,25 0,50 52 Suy 25A + A = − Vậy 0,25 A = ( 552 − 1) : 26 0,25 n b) Tìm số tự nhiên n biết 26.A + = 52 n n 52 Ta có 26.A + = mà 26A = − nên − + = 0,25 Suy = ⇒ n = 52 Vậy n = 52 c) Tìm số dư phép chia A cho 100 0,25 52 n www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com A =  550 – 548 + 546 − 544 + … +56 - 54 + 52 − ( có 26 số hạng) =  ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + 52 − =  ( 550 – 548 ) + ( 546 − 544 ) + … + ( 56 - 54 ) + ( 52 − 1) 0,25 0,25 0,25 =  548 ( 52 –1) + 544 ( 52 –1) + … +54 ( 52 –1) + ( 52 − 1) 0,25 =  548.24 + 544.24 + … +54 24+ 24 0,25 0,50 0,25 =  546.25.24 + 542.25.24 + … +52 25.24+ 24 =  546.600 + 542.600 + … +52 600+ 24 = 6.100 ( 546 + 542 + + 52 ) + 24 Suy A chia cho 100 dư 24 0,25 Bài 2: (3,0 điểm) Tìm số tự nhiên x ,biết: Đáp án a) + + + + +…+ ( x –1) = 225 Với x ∈ N ta có 2x – số lẻ 0,25 A = + + + + +…+ ( x – 1) Đặt ⇒ A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – ( 2x –1 – 1) : + = x (Số hạng) Số số hạng A là: ⇒ A = ( 2x –1) + 1 x : = x Mà A = 225  ⇒ x = 225 = 15 ⇒ x = 15 Vậy x = 15 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b)  2x + x +1 + x + + 2x + + … +2 x + 2015 = 2019 − x.1 + x.2 + x.2 + x.23 + … +2 x.2 2015 = 2019 − 23 2x ( + + 22 + 23 + … +2 2015 ) = 23 ( 22016 − 1) Đặt M = + + + + … +2 Suy M = Vậy ta có 2016 2016 −1 2x ( 22016 − 1) = 23 ( 22016 − 1) ⇒ = ⇒ x = Vậy x = x 0,25 2015 Ta 2.M = + + + … +2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 3: (5,0 điểm) Đáp án www.thuvienhoclieu.com Điểm Trang www.thuvienhoclieu.com a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cab chia hết cho 37 37 ⇒ 100.abc M37 ⇒ abc00M37 Ta có abcM ( ) 0,50 ⇒ ab 1000 + c00 M 37 ( ) ⇒ ab 999 + c00 + ab  M 37   ( ) ⇒ ab 999 + cab M37 Mà ab 999 = ab 37.27 M37 ⇒ cab M 37 37 cabM37 Vậy abcM b) Tìm số x, y nguyên biết Ta có x.y + 12 = x + y x.y + 12 = x + y ⇒ x.y − x − y + 12 = ⇒ x ( y − 1) − y + 12 = ⇒ x ( y − 1) − ( y − 1) + 11 = ⇒ ( x − 1) ( y − 1) = −11 ( 1) x, y ∈ Z nên x − ∈ Z; y − ∈ Z Vì ( 1) ⇒ x − 1; y − ước -11 Do từ Các ước -11 -11; -1;1;11 +) Với x − = −11 y − = Suy x = −10; y = ( Thỏa mãn) +) Với x − = −1 y − = 11 Suy x = 0; y = 12 ( Thỏa mãn) +) Với x − = y − = −11 Suy x = 2; y = -10 ( Thỏa mãn) +) Với x − = 11 y − = −1 Suy x = 12; y = ( Thỏa mãn) Vậy ( x; y ) ∈ { ( −10; ) ; ( 0;12 ) ; ( 2; −10 ) ; ( 12; ) } 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 4: (3,0 điểm) Đáp án Vì a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư Điểm 0,25 ;a − 1M3 ; a − 4M ; a − 3M7 Nên a − 1M ⇒ a + 1M2 ; a + 2M ; a + 1M ; a + 4M7 ⇒ a + 11M2 ;a + 11M ; a + 11M ; a + 11M ⇒ a + 11 ∈ BC ( 2;3;5; ) Mà a số tự nhiên nhỏ www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,50 0,25 0,25 Trang www.thuvienhoclieu.com ⇒ a + 11 = BCNN ( 2;3;5;7 ) 0,25 Mà số 2; 3; 5; nguyên tố 0,25 0,25 ⇒ BCNN ( 2;3;5;7 ) = 2.3.5.7 = 210 ⇒ a + 11 = 210 ⇒ a = 199 0,25 0,25 0,25 Vậy số tự nhiên cần tìm 199 Bài 5: (4,0 điểm) Đáp án – Giả sử 30 điểm phân biệt điểm thẳng hàng : + Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm cịn lại ta vẽ 29 đường thẳng + Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng + Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ ( 29.30 ) : = 435 đường thẳng Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng – Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm thẳng a ( a − 1) : hàng ta vẽ đường thẳng Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng a ( a − 1) : − bị giảm đường thẳng a ( a − 1) : − = 435 − 421 = 14 Theo ta có : ⇒ a ( a − 1) = 30 = 6.5 Vì a-1 a hai số tự nhiên liên tiếp a − < a nên a = Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Hình vẽ : a) Chứng tỏ D nằm A C Vì D nằm A B nên: AD + DB = AB Thay AB = cm ta có AD + DB = cm Lại có AC + DB = cm ⇒ AD + DB < AC + DB hay AD < AC Trên tia AB có : AD < AC suy D nằm A C b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ? Vì D nằm A C suy AD + DC = AC Lại có AC + DB = cm , suy AD + DC + DB = 9cm Hay ( AD + DB ) + DC = 9cm DC = ( cm ) 6cm + DC = ( cm ) Thay AD + DB = cm , ta có Vậy www.thuvienhoclieu.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang www.thuvienhoclieu.com Chú ý: Học sinh giải theo cách khác mà cho điểm tương ứng với câu, theo hướng dẫn trên./ PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Môn: Toán – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) ĐỀ Bài (5 điểm) 1): Rút gọn biểu thức sau: M = – 32 + 33 – 34 + … + 32015 – 32016 2) Chứng tỏ rằng: 1 1 + + + + + < 2 99 100 a) Bài (3 điểm): Tìm số tự nhiên x biết: a) + + + + + … + (2x – ) = 225 b) 2x 2x + 2x + = 1000 … : 518 18 chữ số Bài 3: (5 điểm) a) Cho 3a + 2b 17 (a , b ∈ N) Chứng minh 10a + b 17 b) Tìm số x,y nguyên biết xy + x – y = Bài 4: (4 điểm) Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng Bài (3 điểm) Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư = Hết = PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Mơn: Tốn – Lớp Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ Nội dung Bài Điểm Bài (5 điểm) www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 1.1.a) (2,0 đ) 1.2 (3,0 đ) 2.a) (1,5) M = – + – + … + 32015 – 32016 Ta có :3M = 32 – 33 + 34 – 35 + … + 32016 – 32017 ⇒ 3M + M = + (32 – 32) + (33 – 33)+ … + (32016 – 32016) – 32017 4M = + + + + – 32017 4M = – 32017 ⇒ M = (3 – 32017) : Ta có: 1 < 32 2.3 1 < 3.4 1 < 4.5 1 < 99 98.99 1 < 100 99.100 1 1 1 1 1 + + + + + < + + + + + + 2 992 1002 2.3 3.4 4.5 98.99 99.100 ⇒ 1 1 1 + + + + + + 98.99 99.100 Mà 2.3 3.4 4.5 1 1 1 1 1 + − + − + − + + − + − 98 99 99 100 = 3 4 1 + − = 100 3 − < = 100 1 1 + + + + + < 2 99 100 ⇒ Bài (3 điểm) Với x ∈ N ta có 2x – số lẻ Đặt A = + + + + + … + (2x – 1) ⇒ A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x – – 1) : + = x (Số hạng) ⇒ A = [(2x – 1) + 1] x : = x2 Mà A = 225 ⇒ x2 = 225 = 152 www.thuvienhoclieu.com 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang 10