CỦNG cố đại 8 tập 1 HD

Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng PHẦN A ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC CHỦ ĐỀ NHÂN ĐƠN THỨCVỚI ĐA THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Quy tắc nhân đơn thức với đa thức: Muốn nhân đơn thức với đa thức, ta nhân đơn thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có: A(B+C) = AB + AC với A, B, C đơn thức * Ví dụ: 2x (4x3 – x + 1) = 2x.4x3 + 2x.(-x) + 2x.1 = 8x4 - 2x2 + 2x * Chú ý: Ta thường sử dụng phép toán liên quan đến luỹ thừa sau thực phép nhân: a0 = với a ≠ am an = am+n am: an = am-n với m ≥ n (am)n = amn Với m,n số tự nhiên II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Làm phép tính nhân đơn thức với đa thức Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức phép toán liên quan đến lũy thừa 1A Thực phép tính: a) M = x y (2 x − y + yz );     3 b) N = (−3 x + xy − 3x )  − xy ÷ 1B Làm tính nhân:   3   2 a) P = − a b  6a + a − b ÷; b) Q = (4uv-v3+ v2) - 2 uv 2A Nhân đơn thức A với đa thức B biết rằng:   B = 27u4 - uv A= − u v   ÷  2B Nhân đa thức X với đơn thức Y biết rằng: X= −1 xy+ x +3y3 Y = (3xy2)2 Dạng Sử dụng phép nhân đơn thức với đa thức, rút gọn biểu thức cho trước Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc; Bước Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức cho 3A Rút gọn biểu thức sau: a) M =( 2x) (x3 -x)-2x2 (x3 - x + 1)-(2x-5x2 )x; b) N = an(b + a) - b(an – bn) với n số tự nhiên 3B Rút gọn biểu thức sau a) A = 1 −1  y (6y-3)-y  y + ÷+ ( y − 8); 2  a) B = 3xn (6xn-3 +1) - 2xn (9xn-3 -1) với n số tự nhiên Dạng Tính giá trị biểu thức cho trước Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Rút gọn biểu thức cho; Bước Thay giá trị biến vào biểu thức sau rút gọn Bước 4A Tính giá trị biểu thức: 1  a)P = 2x  x + y ÷- x(x2 + y) + xy(x3 -1) x = 10 y = − ; 10 2  b) Q = x - 30x - 31x + x = 31 4B Tính giá trị biểu thức: a) M = 3a2 (a2 - 5) + a(-3a3 + 4a) + 6a2 a = -5; b) N = x5 – 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x x = 14 Dạng Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Sử dụng quy tắc nhân đơn thức với đa thức để phá ngoặc; Bước Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm X 5A Tìm x, biết: 1  x( x + x − 4) −  x + x − x − ÷ = 16 2 8  5B Tìm x, biết: 5x - {4x - [4x - 3(5x - 2)]} = 182 Dạng Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải: Rút gọn biểu thức cho chứng tỏ kết khơng phụ thuộc thuộc vào biến 6A Chứng tỏ giá trị biểu thức: 2  P = 3m  m − 3m ÷+ (3m)2 (m − 1) + (−2m + 9)m − 12 3  không phụ thuộc vào giá trị biến m 6B Cho biểu thức Q = t(2t3 +t + 2)-2t2(t2 +1) + t2 -2t + Chứng tỏ giá trị Q không phụ thuộc vào giá trị t III BÀI TẬP VỀ NHÀ Thực phép tính: 3 x y (4x y-x + y ); b) B = − x(-x4y2 -2x2 -10y2); 3 c) C= ( -2x2y3 + y4 - xy).10xy a) A = Làm tính nhân: a) M = 3m(2m -2m +1); b) N = (t2+2t-3)(-t4);   1 2 c ) P = (−2 x )  x − x + ÷  Rút gọn biểu thức sau: a) A = a(a-b)-b(a-b); b) B = m(-2m3 + 1) + m2(2m2 + 1)-m; c) C = (-2t)2(t + 2)-8t2(1-t)-4t3 10 Rút gọn tính giá trị biêu thức: Củng cố tốn tập – GV: Hoàng Dũng a) I = s(s2 - t) + t(t2 + s) t = -1 s = 1; b) N = u (u-v)-v(v -u ) u = 0,5 v = − 11 Tìm x, biết: a) 2(5x-8)-3(4x-5) = 4(3x-4) + 11; b) 2x(6x-2x2) + 3x2(x-4) = 8; c) 2(x3 -1)-2x2 (x + 2x4) + (4x5 +4)x = 6; d)(2x) (4x-2)-(x3 -8x2 ) = 15 12 Chứng tỏ giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: a) P = x(2x +1)-x (x + 2) + x - x + 3; 1  b) Q = x(2x -4x + 8) + 12x  − x ÷-8x + 3  Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng CHỦ ĐỀ NHÂN ĐA THỨC VỚI ĐA THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Quy tắc nhân đa thức với đa thức: Muốn nhân đa thức với đa thức, ta nhân hạng tử đa thức với hạng tử đa thức cộng tích với Ta có: (A + B)(C + D) = A(C + D) + B(C + D) = AC + AD + BC + BD với A, B, C, D đơn thức * Ví dụ: (x + l)(x-2) = x(x-2) + l(x-2) = x2 -2x + x-2 = x2 – x – 2 Vậy (x + l)(x-2) = x - x -2 II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Làm phép tính nhân đa thức với đa thức Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức 1A Nhân đa thức sau: 1   1 y − 2x2 − y ÷   10 a)  x + ÷(3x − 6); 3  c) (x + 3) (x2 – 3x + 9) 1B Thực phép nhân: a) (x2 -2x + l)(x-l); b) (x - 2x2 + x -1)(5 - x); c) (c + 3)(c-2)(c + l) 2A Tính giá trị biểu thức: b) (5 xy − 1)   2 a) M = 3a  −2a − 2a − ÷(−a − 3) a = -2; b) N = (25x2 +10xy + 4y2 (5x - 2y) x =   1 y = 2B Tính giá trị biểu thức: a) P = (2 x + y )(2 x − y ) x2 y2 b) Q = (x + 3y)(x – 3xy + 9y ) x = y = x = 1 y = 2 Dạng Chứng tỏ giá trị biểu thức không phụ thuộc vào giá trị biến Phương pháp giải: Thực theo bước Bước Sử dụng quy tắc nhân đa thức vói đa thức; Bước Áp dụng quy tắc rút gọn đa thức để thu kết khơng cịn chứa biến 3A Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: A = ( t + 2)(3t -1) - t(3t + 3) – 2t + 3B Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị biến: B = (2a - 3)(2a + 3) - a(3 + 4a) + 3a +1; C = (4 - c)(4 - c) + (2 - c ) c + 6c + 2002 Dạng Tìm x biết x thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Sử dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức đê phá ngoặc; Bước Nhóm đơn thức đồng dạng rút gọn biểu thức hai vế để tìm x Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng 4A Tìm x, biết: (x + 3)(x - l) - x(x - 5) = 11 4B Tìm x, biết: a) (x2 - 4x + 16)(x + 4) - x(x + l)(x + 2) + 3x2 = 0; b) (8x + 2)(1 - 3x) + (6x - l)(4x -10) = -50 Dạng Chứng minh đẳng thức Phương pháp giải: Thực phép nhân đa thức với đa thức vế thứ nhâ't, sau rút gọn đa thức tích để thu kết vế lại 5A Chứng minh: a) (3 - u)(u2 + 3u + 9) = 27 - u3; b) (t + 2)(t2 + 4)(t - 2) = t4 - 16 5B Chứng minh: a) (a2-ab + b2)(a + b) = a3+b3; b) (a3 + a2b + ab2 + b3)(a-b)=a4 -b4; Dạng Chứng minh toán số nguyên Phương pháp giải: Thực theo bước: Bước Gọi sô' phải tìm đặt điều kiện; Bước Biểu diễn kiện đề theo sơ' phải tìm; Bước Áp dụng quy tắc nhân đa thức với đa thức để tìm đáp án tốn; Bước Kiểm tra điều kiện kết luận 6A Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết tích hai số sau lớn tích hai sơ' đầu 52 6B* Tìm ba số tự nhiên chẵn liên tiếp, biết ta lấy bình phương số trừ tích số lớn số bé kết thu số bé 7A Cho a b hai số tự nhiên Biết a chia cho dư 1; b chia cho dư Chứng minh ab + chia hết cho 7B* Cho a b hai sô' tự nhiên b > a Biết a chia cho chia cho dư Chứng minh b2 - a2 chia hết cho 8A Chứng minh 2n2(n +1) - 2n(n2 + n - 3) chia hết cho với số nguyên n 8B Chứng minh n(3-2n) - (n - l)(l + 4n)-l chia hết cho với số nguyên n III BÀI TẬP VỀ NHÀ Nhân đa thức sau: a) (x + 3)(x - 4); b) (x - 4)(x + 4x +16); c) (mn2 - 1)(m2n + 5);    d)  x − ÷ x + ÷(4 x + 1) 2    10 Cho biểu thức: P =(m -2m + 4)(m + 2)- m +(m + 3)(m -3)-m -18 Chứng minh giá trị P không phụ thuộc vào m 11 Tìm x biết rằng: a) (x2 + 2x + 4)(2 - x) + x(x - 3)(x + 4) - x2 + 24 = 0; x  x  b)  + ÷(5 − x) + (12 x − 2)  + ÷ = 2  4  12 Chứng minh với x, y ta ln có: (x4 - x3y + x2y2 - xy3 + y4 )(x + y) = x5 + y5 13 Tìm hai số tự nhiên lẻ liên tiếp, biết bình phương sơ' lớn, lớn bình phương số nhỏ 80 đơn vị Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng 14 Cho a b hai sô' tự nhiên thoả mãn (a + 3) (b + 4) chia hết cho Chứng minh a2 + b2 chia hết cho 15 Cho Q = 3n(n +2)-2(n -n )-2n -7n Chứng minh Q chia hết cho với số nguyên n Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng CHỦ ĐỀ NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (PHẦN 1) I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Bình phương tổng (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 Ví dụ: (x + 1)2 = x2 + 2.x.1 + 12 = x2 + 2x + Bình phương hiệu (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 Ví dụ: (x – 3)2 = x2 – 2.x.3 + 32 = x2 – 6x + Hiệu hai bình phương A − B2 = ( A + B) ( A − B) Ví dụ: − 4x2 = 32 − ( 2x) = ( 3− 2x) ( 3+ 2x) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN Dạng Thực phép tính Phương pháp giải: Sử dụng trực tiếp đẳng thức học để khai triển biểu thức 1A Thực phép tính: a) (2x + 3)2 b) (6 – 3u)2 a  d)  − ÷ 2  c) (y – 4)(y + 4); 1B Thực phép tính: 3  a)  x − ÷ ; 4     c)  3a + ÷ − 3a ÷;    b) (3t + 1)2; d) (a2 – 2)2 2A Khai triển biểu thức sau: a  a)  + y ÷ ; 3   x yz   x yz  c)  − ÷ + ÷;    1 3 b)  − ÷ ;  x y  2  2 d)  x + y ÷ x −    y ÷  2B Khai triển biểu thức sau:   −1 x+ y÷ ;   a) (y – 2xy)2 b) 16     c)  − ab + c ÷ − ab − c ÷;    2  2  d)  a + ÷  a − ÷ 3  3  2 3A Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu: a) x2 + 2x + 1; b) -8x + 16 + x2; c) x2 + x + 1; d) 4x2 + 4y2 – 8xy 3B Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu: a) 4x2 + 4x + 1; b) 9x2 – 12x + 4; Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng c) ab + a 2b + 1; d) 16u 2v − 8uv +1 Dạng Chứng minh đẳng thức, rút gọn biểu thức Phương pháp giải: Áp dụng đẳng thức linh hoạt hơn, lựa chọn vế đẳng thức áp dụng đẳng thức dễ dàng 4A Chứng minh đẳng thức sau: a) ( a + b ) − ( a − b) = ab; b) 2(x2 + y2) = (x + y)2 + (x – y)2 4B Chứng minh đẳng thức sau: a) x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy; b) (a + b)2 – (a – b)(a + b) = 2b(a + b) 5A Rút gọn biểu thức sau: a) M = (2a + b)2 – (b – 2a)2; b) N = (3a + 2)2 + 2(2 + 3a)(1 – 2b) + (2b -1)2 5B Rút gọn biểu thức: a) A = (m – n)2 + 4mn; b) B = (6z – 2)2 + 4(3z - 1)(2 + t) + (t + 2)2 6A Khai triển biểu thức sau: a) A = (a + b + c)2; b) B = (a – b – c)2 6B Khai triển biểu thức sau: a) C = (a – c + b)2; b) D = (x + – 2y)2 Dạng Tính nhanh Phương pháp giải: Áp dụng linh hoạt đẳng thức cho số tự nhiên 7A Tính nhanh: a) 212; b) 62.58 7B Tính nhanh: a) 1992; b) 992; c) 4992; d) 299.301 8A Chứng minh: (10a – 5) = 100a(a – 1) + 25 Từ tính nhanh 152; 452; 752; 952 8B Tính giá trị biểu thức 16x2 – 24x + trường hợp sau: a) x = 0; b) x = ; c) x = 12; d) x = ; Dạng Chứng minh bất đẳng thức; tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức Phương pháp giải: Sử dụng hẳng đẳng thức ý A2 ≥ –A2 ≤ với A biểu thức 9A Chứng minh: a) Biểu thức 9c2 + 6c + dương với c; b) Biểu thức 14m – 6m2 – 13 âm với m 9B Chứng tỏ: a) a2 – 2a + > với a; b) 6b – b2 – 10 < với b 10A Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) M = x2 – 3x + 10; b) N = 2x2 + 5y2 + 4xy + 8x – 4y – 100 10B Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) P = y2 + 8y + 15; b) Q = u2 + v2 – 2u + 3v + 15 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng 11A Tìm giá trị lớn biểu thức sau A = 12a – 4a2 + 11B Tìm giá trị lớn biểu thức sau: b) C = m − a) B = 4t - 8v - v2 - t2 + 2017; m2 III BÀI TẬP VỀ NHÀ 12 Tính: 5  b)  − t ÷ ; 2  a) (x + 5)2 2   −1 d)  a + bc ÷ ;   c) (2u + 3v) ;  mn x  mn x − ÷ + ÷; e)  f) (2a – b + c)2 6    13 Viết biểu thức dạng bình phương tổng hiệu: x2 − x + 9; 25 10 d) − + 1; v v a) 16x2 + 24x + 9; b) c) 4u4v8 + (u2v4)4 + 4; e) (-m+2n)2 + (2n - m) + 1; f) (2p- 4q)2 + 4p - 8q + 14 Tính nhanh a) 812 b) 1022; c) 97.103; d) 249.351 15 Rút gọn biểu thức: a) A = (5a + 5)2 + 10(a – 3)(1 + a) + a2 – 6a + 9; ( x − 1)2 + x − + ( x + 1) b) B = 16 Tính giá trị biểu thức a) N = 100x2 – 20x + x = 10; b) P = 25c2 – 10cd2 + d4 c = 5; d = 17 Tính giá trị lớn biểu thức sau: a) A = 8a – 8a + 3; b) B = b − 9b 25 18 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) C = c − 9c + 10; b) D = d2 + 10e2 – 6de – 10e + 26 c) E = 4x4 + 12x2 + 11 16 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng CHỦ ĐỀ NHỮNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ (PHẦN 2) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Lập phương tổng (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 Ví dụ: (x + 2)3 = x3 + 3.x2.2+3.x.22 + 33 = x3 + 6x2 + 12x + 27 Lập phương hiệu (A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 Ví dụ: (1 – t)3 = – 3t + 3t2 – t3 II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Sử dụng đẳng thức, khai triển biểu thức cho trước Phương pháp giải: Áp dụng trực tiếp đẳng thức học để phá ngoặc rút gọn biểu thức 1A Thực phép tính:   2 b)  x − ÷ ; a) (x + 3)3;  3   −2 d)  u − v ÷   n  c)  3m2 + ÷ ; 4  1B Thực phép tính: a) (3a + 1)3; b) (4 – 2b)3;  3x y  d)  − ÷ x   y c) (2c + 3d) ; 2A Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu: a) a3 + 12a2 + 48a + 64; b) –b3 + 6b2 + 12b + 8; c) (m – n)6 – 6(m – n)4 + 12(m – n)2 – 8; d) 8 a − a b + 8b a − 8b3 27 2B Viết biểu thức dạng lập phương tổng hiệu: x3 2 + x y + xy + y ; a) b) m3 + 9m2n + 27mn2 + 27n3; c) 8u3 – 48u2v + 96uv2 – 64v3; d) (z – t)3 + 15(z – t)2 + 75(z – t) + 125 Dạng Sử dụng đẳng thức, tính giá trị biểu thức cho trước Phương pháp giải: Áp dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức trước, sau thay số tính tốn hợp lý 3A Tính giá trị biểu thức: a) A = x3 + 6x2 + 12x + x = 48; 2 b) B = 27x -54x y + 36xy – 8y x = 4; y = 6; x x x    c) C =  − y ÷ −  y − ÷ + 12  y − ÷− 2 2 2    3B Tính giá trị biểu thức: 10 x = 206; y = Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng CHỦ ĐỀ PHÉP NHÂN CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT * Quy tắc: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân tử thức với nhau, mẫu thức với nhau: A C A.C = B D B.D II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Sử dụng quy tắc nhân để thực phép tính Phương pháp giải: Vận dụng quy tắc nêu phần Tóm tắt lý thuyết để thực yêu cầu toán 1A Thực phép tính sau: 8x y với x ≠ y ≠ 0; 15 y x 9a a − b) với a ≠ −3 a ≠ a + 6a a) 1B Nhân phân thức sau: 4n  m   − a) ÷ với m ≠ n ≠ 0; 17m  12n  3b + 2b − 18 b) (b − 9)3 (b + 2) với b ≠ −2 b ≠ 2A Thực phép nhân phân thức sau: 2u − 20u + 50 2u − a) với u ≠ ±5; 5u + 4(u − 5)3 v + − 12v + 6v − v b) với v ≠ −3 v ≠ ±2 v −4 7v + 21 2B Làm tính nhân: 1 x − 25 x + 10 x + với x ≠ − ; ± ;0; 2 10 x + x − 9x p − 27 p + p b) với p ≠ −4 p + 28 p + p + a) Dạng Tính tốn sử dụng kết hợp quy tắc học Phương pháp giải: Sử dụng hợp lý quy tắc học: quy tắc cộng, quy tắc trừ quy tắc nhân để tính tốn Chú ý: - Đối với phép nhân có nhiều hai phân thức, ta nhân tử thức với mẫu thức với - Ưu tiên tính tốn biểu thức dấu ngoặc trước (nếu có) 3A Rút gọn biểu thức: t + 4t + t 3t + với t ≠ −1; 2t + 12t + t + 4t + y −1  y3   y + y + + b) ÷ với y ≠ y ≠ 2y  y −1  a) 3B Thực phép tính sau: x + x3 + 3x x2 + x +1 với x ≠ ±1; x3 − x + x + x3 + a + 2a − a −    − + b) ÷ với a ≠ −5; −2; ±1 3a + 15  a −1 a + a +  a) 4A Tính hợp lý biểu thức sau: 51 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng 1 1 1 , với x ≠ ±1 − x + x + x + x + x + x16 4B Rút gọn biểu thức: P = xy, biết (3a − 3b3 ) x − 2b = 2a với a ≠ b (4a + 4b) y = 9(a − b) với a ≠ −b M= III BÀI TẬP VỀ NHÀ Làm tính nhân: x − 49 với x ≠ − x ≠ 7; 2x +1 − x 3y − y 1− y y ≠ ±1 y ≠ b) với y − (2 − y ) a) Thực phép nhân phân thức sau: a − a − 7a − với a ≠ −1; 2;3; a + a − 5a + b2 (4b + 12) với b ≠ −3 b) 2b + 12b + 18 a) Thực phép tính sau: m3 −  m +1   − a) ÷ với m ≠ −2 m ≠ 1; 2m +  m − m + m +  u3 2001 − 2u u3 u + 16 + b) với u ≠ −2 u ≠ 2017 u − 2017 u+2 u − 2017 u + Rút gọn biểu thức A = mn, biết (4a − 25)m = a + với a ≠ ± (5a + 5)n = 6a + 15a với a ≠ −1 Tìm phân thức T thỏa mãn đẳng thức sau: x x+2 x + 14 x + 16 x + 18 T = , x x+2 x+4 x + 16 x + 18 x + 20 với mẫu thỏa mãn ≠ 52 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng CHỦ ĐỀ PHÉP CHIA CÁC PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Hai phân thức gọi nghịch đảo tích chúng Phân thức nghịch đảo A B B A - Muốn chia phân thức C A C A cho phân thức khác 0, ta nhân với phân thức nghịch đảo B D B D - Ta có: A C A D C : = với ≠ B D B C D II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Sử dụng quy tắc chia để thực phép tính Phương pháp giải: Áp dụng công thức: A C A D C : = với ≠ B D B C D Chú ý: - Đối với phép chia có nhiều hai phân thức, ta nhân với nghịch đảo phân thức đứng sau dấu chia theo thứ tự từ trái sang phải - Ưu tiên tính tốn đối vói biểu thức dấu ngoặc trước (nếu có) 1A Làm tính chia phân thức: 1 − 9x2 − 6x : với x ≠ −4; x ≠ x ≠ ; x + x 3x y3 + b) y − : ( y − y + 4) với y ≠ a) 1B Chia phân thức sau: 27 − a a − : với a ≠ −2 a ≠ 3; 5a + 10 3a + b+4 2 b) (2b − 32) : với b ≠ −4 b ≠ 7b − a) 2A Thực phép tính sau: m − 5m + m − 6m + : với m ≠ −4; ±3;0; m + m + 12 m + 4m u + 4uv + 4v 4u − 8v : b) với u ≠ −v u ≠ 2v 2 2u − 2uv + 2v 6u − 6v3 a) 2B Thực phép chia phân thức sau: n2 − n + 5n + : với n ≠ −5; −4; −1;3;7; n + 2n − 15 n − 10n + 21 x − xy x + x y + xy x ≠ 0; y ≠ x ≠ − y b) xy + y : với 2x + y a) 3A Rút gọn biểu thức: p2 p p a) 25 p : 5q : 9q với p ≠ q ≠ ; t +4 t +5 t +6 : : b) ÷ với t ≠ −6; t ≠ −5 t ≠ −4 t +5 t +6 t +4 3B Thực phép tính sau: 53 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng x + x+5 x +6 : : với x ≠ −6; x ≠ −5 x ≠ −4; x+5 x+6 x+4 3x  x x  b) :  : ÷ với x ≠ y ≠ y  y 3y  a) Dạng Tìm phân thức thỏa mãn đẳng thức cho trước Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Đưa phân thức cần tìm riêng vế; Bước Sử dụng quy tắc nhân chia phân thức đại số, từ suy phân thức cần tìm 4A Tìm phân thức A, biết 2x + y x + xy A = x ≠ − y x ≠ y 3 với x +y x + 3xy + y a − 2b a + 4ab + 4b B = 4B Cho đẳng thức với a ≠ − b a ≠ 2b Tìm B 3 2 27a + b 9a − 3ab + b 5A Điền phân thức thích hợp vào chỗ trống: x + x + 16 x3 − : ( ) = với x ≠ −1; x ≠ x ≠ x3 − x − x + ( x + 1)( x − 5) x x+3 x+5 x+7 x+9 : : : : : ( ) = Cho phân thức thích hợp để điền vào 5B Cho biết x +1 x +1 x + x + x + chỗ trống III BÀI TẬP VỀ NHÀ Thực phép tính sau: xy 15 xy : với x ≠ 0; y ≠ 0; 2 x − 12 − x 4a + 20 b) (a − 25) : với a ≠ −5 a ≠ 3a − a) Làm tính chia: b + 2b 2b + : với b ≠ −2 b ≠ 1; 3b − 6b + 5b − 4u + 6v 4u + 12uv + 9v : b) với u ≠ u ≠ − v u −2 −u a) Rút gọn biểu thức: m+7 m+8 m+9 : với m ≠ −9; m ≠ −8 m ≠ −7; m+8 m+9 m+7 n+7  n+8 n+9  : b) ÷ với n ≠ −9; n ≠ −8 m ≠ −7 n+8  n+9 n+7  a) Tìm phân thức P, biết: P x +3x x2 − = với x ≠ −3; x ≠ x ≠ x−4 x − 4x 10 Tìm phân thức Q thỏa mãn đẳng thức sau: Q: 4q − 4q + 12q + = với q ≠ − q ≠ 2q + q −1 CHỦ ĐỀ BIẾN ĐỐI CÁC BIỂU THỨC HỮU TỈ 54 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Biến đổi biểu thức hữu tỉ - Biểu thức hữu tỉ phân thức biểu thị dãy phép toán: cộng, trừ, nhân chia phân thức - Biến đổi hiểu thức hữu tỉ thành phân thức nhờ quy tắc phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức học Giá trị phân thức - Giá trị phân thức đuợc xác định với điều kiện giá trị mẫu thức khác - Chú ý: Biểu thức hữu tỉ có hai biến x y giá trị biểu thức chi đuợc xác định vói cặp số (x;y) làm cho giá trị mẫu thức khác II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Biến đổi biểu thức hữu tỉ thành phân thức Phương pháp giải: Thực theo hai bước: Bước Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi; Bước Biến đổi phân thức có dạng A với A B đa thức, B B khác đa thức 1A Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: 1 x x ≠ x ≠ ; a) A = với 2− x 1+ a−2 b) B = với a ≠ ±2 2a 1+ a + 2a + 2+ 1B Đưa biểu thức sau thành phân thức: y 15 −2+ 4y a) M = y với y ≠ 0; y ≠ y ≠ 4; + − y 3b − 9b b) N = với b ≠ 1 1+ + 3b 9b Dạng Tìm điều kiện xác định phân thức Phương pháp giải: Ta xác định giá trị biến để mẫu thức khác 2A Tìm x để giá trị phân thức sau xác định: a) 5x ; 2x + b) ; x −4 c) 2x +1 x−2 ; d) 4x + 2x x − 27 2B Tìm điều kiện xác định phân thức sau: 4m ; a) 3m − 3n − ; b) n − 2n c) ; v +5 2u d) u − 3u + Dạng Thực phép tính với biểu thức hữu tỉ 55 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng Phương pháp giải: Sử dụng kết hợp quy tắc cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số học để biến đổi 3A Thực phép tính sau: 1   − − 1÷ với x ≠ ± ;  2x −1 2x +1      − + b) Q =  ÷:  ÷ với x ≠ x ≠ ±3  x + x + 6x +   x − − x  a) P = (4 x − 1)  3B Rút gọn biểu thức sau:  4a + b 4a − b  a − 16b + a) A =  ÷ 2 với x ≠ x ≠ ±3  a − 4ab a + 4ab  a + b  t   3t  + 1÷: 1 − b) B =  ÷ với t ≠ ±1 t ≠ ±2  t +   4−t  4A Cho biểu thức: P = x + x x − 108 − x + + x + 12 x x( x + 6) a) Tìm điều kiện biến x để giá trị biểu thức đuợc xác định; b) Rút gọn phân thức; ; d) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức − ; c) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức e) Tìm giá trị x để giá trị biểu thức 4B Cho phân thức x + 10 x + 25 x +5 a) Với điều kiện x giá trị phân thức xác định? b) Rút gọn phân thức; c) Tìm giá trị x để giá trị phân thức 1; d) Có giá trị x để giá trị phân thức hay khơng? Dạng Tìm x để giá trị phân thức cho thỏa mãn điêu kiện cho trước Phương pháp giải: Ta sử dụng kiến thức sau: • A > A B dấu; B A > A B trái dấu B • Hằng đẳng thức đáng nhớ ý a ≥ vói giá trị a • Với a;b ∈ Z b ≠ ta có: 5A Cho phân thức A = a ∈ Z ⇔ b ∈ Ư (a) b x+2 với x ≠ x −1 a) Tìm x để A > 1; b) Tìm x ∈ Z để A ∈ Z 5B Cho phân thức B = x2 − x + với x ≠ x −3 a) Tìm x để B > 0; b) Tìm x ∈ Z để B ∈ Z 6A a) Tìm x để phân thức M = 56 đạt giá trị lớn nhất; x − x + 12 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng −5 đạt giá trị nhỏ x + x + 11  x2  x2 +  − ÷+ 6B Cho biểu thức C = x−2  x  b) Tìm x để phân thức N = a) Tìm điều kiện xác định biểu thức C; b) Rút gọn biểu thức C; c) Tìm x để C có giá trị nhỏ III BÀI TẬP VỀ NHÀ Đưa biểu thức sau thành phân thức: 2a +1 a − a) A = với a ≠ ±3; a2 − 1− b+3 b) B = với b ≠ ±3 b − 10 1− b −9 Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: 4n n + m m với m ≠ 0, n ≠ 0, n ≠ 2m; M = a) − m n x N= + b) − x với x ≠ −3 x+3 4− Tìm a để giá trị phân thức sau xác định: 2a + ; a − 6a + a +1 d) a − 4a + 3a a2 −1 ; 9a − 16 3a − ; c) 2a + 3a a) b) 10 Tìm điều kiện xác định phân thức sau: a) x− y ; x + y2 +1 b) u − 3v (u − 1) + (v + 2) 11 Rút gọn biểu thức:   x + xy + y 16 x 1     − + b) Q =  ÷:  ÷  x + x + 16 x − x + 16   x + x −  1 + + a) P =  x − y ( x + y )   ( x − y) a + 2a a − 50 − 5a + + 12 Rút gọn biểu thức: A = 2a + 10 a 2a(a + 5) a) Tìm điều kiện xác định biểu thức A; b) Rút gọn biểu thức; c) Tính giá trị biểu thức a = −1; d) Tìm giá trị a để A = 13 Cho biểu thức sau: 57 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng D= ( x + 2)  x2  x2 + 6x + 1 − ÷− x x  x+2 a) Tìm điều kiện xác định biểu thức D; b) Rút gọn biểu thức D; c) Tìm giá trị x để D có giá trị lớn  x +1  ÷ x   14 a) Cho biểu thức E =  x +1    x + x +  x + 1÷    Chứng minh rằng: Giá trị biểu thức E với giá trị x ≠ x ≠ −1; x +  x2 −  x +1 F = + − b) Cho biểu thức  ÷  2x − x −1 2x +  Chứng minh với giá trị x hàm F xác định giá trị F không phụ thuộc vào x 15 Cho biến thức sau:  x − x2   1− x  x2 Q= − ÷  + ÷ x   2x + x − 2x + 4x −   x a) Tìm điều kiện xác định biểu thức Q; b) Rút gọn biểu thức Q; c) Tính giá trị biểu thức Q x = 2017; d) Tìm x để biểu thức Q > ; e) Tìm x ∈ Z để giá trị biểu thức Q ∈ Z 16 Cho biểu thức A = x − 2x + 2 a) Tìm x để A đạt giá trị lớn nhất; b) Tìm x để A ∈ Z 58 Củng cố toán tập – GV: Hồng Dũng ƠN TẬP CHUN ĐỀ II (PHẦN I) I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem lại Tóm tắt lí thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN 1A Tìm điều kiện x để phân thức sau xác định: a) c) 2x ; 2x − ; x − 4x + d) x − 3x b) x ; 27 x + 27 x + x + 1B Tìm điều kiện biến để phân thức sau xác định Khi chứng minh giá trị phân thức số: x2 − y ; ( x + y )(3x − y ) 5kx − x − y + 3ky b) Q = với k số khác − 25ks + 15 x + y + 15ky a) P = 2A Tìm x, biết: 2x +1 2x + − = với x ≠ ±2; x − 4x + x − 4x x − + = với x ≠ ±2; b) x−2 4− x x+2 a) 2B Với biểu thức sau, tìm giá trị y để giá trị tương ứng biểu thức 1: 1+ y2 + a) M = 2+ y y với y ≠ −2 y ≠ 0; y +1 y ≠ −1 y ≠ với 2− y +1 1+ y2 − b) N = 3A Tính giá trị biểu thức: 3m − 2m m = −8; 9m − 12m + n2 + 7n + b) B = n = 1000001 n + 6n − n − a) A = 3B Tìm giá trị nguyên biến u để giá trị biểu thức sau số nguyên: 3u − 2u + u ≠ 2; a) với b) với u ≠ − u−2 3u + x ≠ ± a x ≠ 4A Chứng tỏ với (a số nguyên), giá trị biểu thức:  x + a   4a 8a  P = a − − ÷  ÷ x+a   x x−a   số chẵn 4B a) Với giả thiết biểu thức có nghĩa Biến đổi biểu thức sau thành phân thức đại số: 59 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng i) + ; x ii) 1+ 1+ x 1+ ; iii) 1+ 1+ ; 1+ x 1+ b) Em dự đoán kết phép biến đổi biểu thức 1+ 1+ thành phân thức 1+ x đại số kiểm tra lại đốn 5A Cho phân thức T = t + 8t + 16 t − 16 a) Với giá trị t giá trị phân thức xác định ? b) Chứng tỏ phân thức rút gọn phân thức cho t +4 t −4 5B Chứng tỏ cặp phân thức sau 2p +4 , với p ≠ −2 p ≠ ; 2p −5 p − p − 10 2 3q + p b) , với q ≠ −3 q ≠ −2 q+2 q + 5q + 6q a) III BÀI TẬP VỀ NHÀ Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định: 3x3 ; a) ( x − 1)( x + 2) b) x2 − ; c) x − x + 2x x2 − d) x + x + x−3 −4 x ; 25 − 20 x + x Tìm a, biết: a a + = với a ≠ ±3; a − (a + 3) + a − = với a ≠ −2 b) a + 2a + a) Tìm giá trị y để giá trị phân thức Y = y − y3 + y bằng: y3 − y a) -3; b) Tìm b ngun để giá trị biểu thức sau số nguyên: b a) với b ≠ −3; b+3 60 2b3 − 4b + 11b − b) với b ≠ b−4 Củng cố toán tập – GV: Hồng Dũng ƠN TẬP CHUN II (PHẦN II) I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN 1A Thực phép tính sau:  x2 + x +  − a)  với x ≠ ±1; ÷  x −1 x +1     y−2 y  + − b)  ÷:  ÷ với y ≠ y ≠ ±2  y − 4y y +   y + 2y 2y +  1B Chứng minh đẳng thức:  a − 3a 6a   a +1 − − − ÷= a)  2 ÷ a  a + 27 − 9a + 3a − a   a a  2  b +1 3  b − với a ≠ 0;3; 6b  − b − ÷ : = b)  − với b ≠ 0; ±1  b 5(b − 1)  5b b +  5b x +  x2 −1  x +1 M = + − 2A Cho biểu thức  ÷  x − x − x +  15 a) Hãy tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định; b) Chứng minh biểu thức xác định giá trị khơng phụ thuộc vào giá trị biến x 2B Tìm điều kiện y để giá trị biểu thức xác định: 3y2 +1 b) y y −5 y −3 ; a) y − y +5 uv uP vP − vào biểu thức A = rút gọn; u−v u+P v−P 2mn 2mn P 2Q b) Thay hai phân thức P = 2 Q = 2 vào biểu thức B = rút gọn; m +n m +n P − Q2 3A a) Thay phân thức P = 3B Chứng minh biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào biến: a− a a) A = a + 2a + 2a + với a ≠ a − ≠ 0; a − a 2a − 2a  a  −  − ÷ với a ≠ ±1 b) B = a −1 a +  a − 2a + a −  4A Tìm b nguyên để biểu thức sau nhận giá trị nguyên: 3b − 4b − 15 a) M = với b ≠ −2; b+2 b2 − b b) N = với b ≠ b −3 4B Chứng minh: 2    r +  r + : a)  ÷  +  + 1÷ = với r ≠ r ≠ −2; r +  r    r   r  8r + r +  r3  + ÷− > với r ≠ ±1 b) r −1  r +1  r −1 61 Củng cố toán tập – GV: Hồng Dũng Tìm giá trị nhỏ P =  t  t + 64  − 16 ÷+ 17, với t ≠ t ≠ t −8  t  III BÀI TẬP VỀ NHÀ Rút gọn biểu thức sau: u3 − u  4  −  + a) ÷ với u ≠ ±1; u − u +  u − 2u + 1 − u  2u  16u + 20u  3u + u≠± b)  ÷: với  − 4u 4u +  − 16u + 16u Chứng minh đẳng thức sau với v ≠ 0; ±1:  v 1  1  − v  (v + 1)3  v + 1÷+ v + 2v +  v + 1÷ : v = − v      Biến đổi biểu thức tỉ sau thành phân thức: m m+2 − a) mm− mm− với m ≠ m ≠ ±2; − m+2 m 3 − m +1 b) với m ≠ −1 m ≠ ±4 16 − m m + 2m + Cho biểu thức:  x+2 2− x 4x2   x +3  B= − − − ÷:  ÷  − x x + x −   − x 2x − x  a) Rút gọn biểu thức tìm giá trị x để biểu thức xác định b) Tìm giá trị x để B < 10 Chứng minh giá trị biểu thức sau không phụ thuộc vào biến: 4p + p + p −1 a) P = p + p với p ≠ ±1; − p −1 p −1  p p −  2p − p − + b) Q =  với p ≠ 0; ±7; ÷: 2  p − 49 p + p  p + p − p 11 Chứng tỏ: 3q q + 3q  3q + 3q  −  − a) ÷ = với q ≠ 0; − ; ±3; q − 2q +  q − 3q q −  b)  3q − 14q + − q2  q2  − 1÷+ < với q ≠ q ≠ −3 2q  q +  2q + q 12 Tìm giá trị lớn Q = ( r + 2)  r  r + 10r + 1 − , với r ≠ −2 r ≠ ÷− r r  r+2 ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ II Thời gian làm cho đề 45 phút ĐỀ SỐ 62 Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào câu trả lời câu sau: Câu Biểu thức sau phân thức đại số? A x B x x +1 Câu Rút gọn phân thức C x2 – D x +1 x3 y ta kết là: x2 y x3 y x2 y x + x −1 , , Câu Mẫu thức chung phân thức: là: x − x + ( x − 1) A B 2x y3 C A x – C (x – 1)2(x + 1) xy D B x + D (x – 1)2 Câu Phân thức sau phân thức x−2 x−2 D − x 3x x + 2y x − 2y − Câu Kết phép tính là: x − 2y x + 2y xy xy A B 2 x − 4y x − y2 xy C 2 D x −y A x+2 3x B x−2 3x 2− x ? 3x C x3 x : Câu Phép chia có kết là: 15 y y x 8x5 xy A B C D 6xy 6y 75 y x3 − x = Điền đa thức thích hợp để đẳng thức đúng: Câu Cho đẳng thức: x − 2x x − A x – B x2 C x2 – x D x3 – x nhận giá trị nguyên x−2 B x ∈ { 1; 2;3;5} Câu Tìm x nguyên dương để biểu thức A x ∈ { 2;3;5} C x ∈ { −1;1;3;5} D x ∈ { 1;3;5} PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài (3,0 điểm) 6x − ; với x ≠ 2x − 2x − x−6 + b) Thực phép tính: , với x ≠ 0; x ≠ 3x − x − x a) Thực phép tính: c) Biến đổi biểu thức sau thành phân thức: Bài (2,5 điểm) Cho biểu thức M = A = 3+ 3+ , với x ≠ 0; x ≠ x a + 4a + a a − 4a 63 Củng cố tốn tập – GV: Hồng Dũng a) Xác định giá trị a để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn biểu thức M c) Tìm giá trị a để M = -3 Bài (0,5 điểm) Cho hai số x y thỏa mãn 4x2 – 4xy + y2 = x khác y Tính giá trị biểu thức P = 64 x+ y x− y Củng cố toán tập – GV: Hoàng Dũng ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào câu trả lời câu sau: là: 3x − −2 C 3x − Câu Phân thức nghịch đảo phân thức − 3x D − 3x 3ab + 9b Câu Rút gọn phân thức ta kết là: 4ab + 12b 3ab 3b A B 4ab C D 4b x Câu Điều kiện xác định phân thức là: x − 36 A x ≠ B x ≠ −6 x ≠ C x ≠ −36 x ≠ 36 D x ≠ x ≠ ±6 A 3x − B Câu Biểu thức sau không phân thức đại số? x+ y A x − B C x − D 3x − x x +1 2x − x + + Câu Kết phép tính là: 3x 6x 5x − 3x − x + 3x − x2 + 5x − A x B C D 2 3x + x 6x 6x 4a 6a a Câu Phép chia : : có kết là: 7b 7b 3b a 2a a4 A b B C 7b D b x2 + x Câu Phân thức với phân thức sau đây? x +8 x+2 x+2 x x A x + B x − 2x + C x + x + D x − x + x2 − 2x − Câu Với giá trị x phân thức có giá trị 0? x2 −1 A x = −1 B x = −1 x = C x = D x = −1 x = PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài (2,5 điểm) Rút gọn biểu thức: 2x a) M = x + + x − − x − , với x ≠ ±2; 2 x + 5x + x + 4x + b) N = x + x − 12 : x − x , với x ≠ 0; −4; 2;3 Bài (3,0 điểm) Cho biểu thức:   A= + , a ≠ a ≠ ±4 ÷:  a − 5a + a − 16  a + 3a − với a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị biểu thức A a = c) Tìm a nguyên để biểu thức A nhận giá trị nguyên Bài (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn biểu thức P = 2017 x − x + 10 65 ... 15 .64 + 25 .10 0 + 36 .15 + 60 .10 0; b) 472 + 482 - 25 + 94. 48; c) 93-92.(-l) - 9 .11 + (-l) .11 3B Tính nhanh: a) 33.55+ 33.67 +45.33+ 672; b) -64+ 10 43 -12 .10 42+ 48. 10 4-503; c) 2 016 .20 18 - 2 017 2 18 Củng. .. 75.20,9 + 52.20,9; b) 86 .15 + 15 0 .1, 4; c) 93.32+ 14 .16 ; d) 98, 6 .19 9-990.9 ,86 3B Tính nhanh: a) 85 .12 ,7 + 5.3 .12 ,7; b) 8, 4 .84 ,5 + 84 0.0 ,15 5; c) 0, 78. 13 00 + 50.6,5-39; d) 0 ,12 .90 -11 0.0,6 + 36-25.6 Dạng... a) 10 13; b) 473 + 9.472 + 27.47 + 27; c) 2993; d) 10 083 – 3 .10 082 .8 + 3 .10 08. 82 – 26 5B Tính nhanh: a) 993; b) 913 + 3. 912 .9 + 3. 91. 92 + 93; c) 10 013 ; d) 10 23 – 6 .10 22 + 12 .10 2 – III BÀI TẬP