CỦNG cố ĐAI số 8 tập 2 HD

Đại số – kỳ CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN SỐ CHỦ ĐỀ 1: MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm phương trình ẩn - Phương trình ẩn x phương trình có dạng: A(x) = B(x) A(x) B(x) biểu thức biến x - Ví dụ: + Phương trình 3x2 − = 5x + phương trình ẩn x x + Phương trình t2 − t = t − phương trình ẩn t t Các khái niệm khác liên quan - Giá trị x0 gọi nghiệm phương trình A(x) = B(x) đẳng thức A ( x0 ) = B( x0 ) - Giải phương trình tìm tất nghiệm phương trình - Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Chú ý: Hai phương trình vơ nghiệm tương đương II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Xét xem số cho trước có nghiệm phương trình hay khơng? Phương pháp giải: Để xem số thực x0 có nghiệm phương trình A(x) = B(x) hay khơng, ta thay x0 vào phương trình để kiểm tra: - Nếu A ( x0 ) = B( x0 ) đúng, ta nói x0 nghiệm phương trình cho ( ) - Nếu A ( x0 ) = B( x0 ) khơng đúng, ta nói x0 khơng nghiệm phương trình cho 1A Hãy xét xem số −1 có nghiệm phương trình sau hay khơng? 2 a) 2x2 + 3x − = −3x3 + ; b) 5t + 8t + = t − 3t − x 1B Trong giá trị y = y = 1, đâu nghiệm phương trình y2 − 3y + = − 3y + ? 2y − 2A Cho phương trình x + m = − Tìm giá trị tham số m để phương trình có x nghiệm x = − 2t2 + nhận t = nghiệm với a 2B Tìm a để phương trình 3t2 + − a = 2t − tham số Dạng Giải số phương trình biết Phương pháp giải: Ta thường sử dụng số biến đổi quen thuộc sau đây: Loại 1: Phương trình dạng A = B ( ( ) ) B ≥ Cách giải 1: Ta có A = B ⇔  A = ±B Cách giải 2: Xét hai trường hợp: GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ Trường hợp 1: Với A ≥ 0, ta có A = B Trường hợp 2: Với A < , ta có A = −B Loại 2: Phương trình dạng A = B A = B Cách giải: Ta có A = B ⇔   A = −B Loại 3: Phương trình dạng AB = A = Cách giải: Ta có AB = ⇔  B = 3A Giải phương trình: a) x − = 3; c) 5− x = 2x − 3; 3B Giải phương trình: a) 3+ x − = 0; b) −x + + 1= 0; d) x + = − x c) 1− 2x = 3x + 1; 4A Giải phương trình: 1  a)  x + ÷( x − 2) = 0; 3  c) x2 ( 2x − 3) − 9( 2x − 3) = 0; 4B Giải phương trình: a) 3x − ( −2 − 4x) = ; ( b) 3+ x = −2 ; d) x − = + x 2 ) c) 4( −4 + x) + x x − 16 = 0; ( ) b) x + 2x − = ; d) 2x2 − 3x + 1= ( ) b) x − x + − 12 x + = ; d) x2 + 6x − = Dạng Xét tương đương hai phương trình Phương pháp giải: Thơng thường ta thực theo bước sau đây: Bước 1: Tìm tập nghiệm S1,S2 hai phương trình cho Bước 2: Nếu S1 = S2 , ta kết luận hai phương trình tương đương; S1 ≠ S2 , ta kết luận hai phương trình khơng tương đương 5A Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x − ( 3x + 1) = 9x2 ( x − 2) − ( x − 2) = 0; b) 3x2 + = 2x − = −1 5B Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? ( ) a) x2 − 6x + = x + ( 2x − 6) = ( ) b) x + 2x − = 2x4 + 1= 6A Cho hai phương trình: 2x2 − 5x + = (1) GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ 2  3−  x − 1÷( x + 2) = 2x (2) 3  a) Chứng minh x = nghiệm chung (1) (2) b) Chứng minh x = −5 nghiệm (2) không nghiệm (1) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao? 6B Cho hai phương trình: −2x2 + 3x + = (1) 2   x − 1÷( x − 1) + = 2x (2) 5  a) Chứng minh x = nghiệm chung (1) (2) b) Chứng minh x = −1 nghiệm (2) không nghiệm (1) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao? 7A Cho phương trình ẩn x, tham số m: mx2 − ( m+ 1) x + 1= ( x − 1) ( 2x − 1) = Tìm m để hai phương trình tương đương 7B Tìm giá trị tham số m để hai phương trình x2 = 16 2m2 ( x − 3) = m− tương đương III BÀI TẬP VỀ NHÀ Trong số −1 1, số nghiệm, số không nghiệm phương trình x + x − 5x + − = + x2 − + 1? 6− y Cho phương trình y2 − 3y + − m = −2y2 + Tìm giá trị tham số m để phương trình nhận y = −3 nghiệm 10 Giải phương trình sau:   a) x − = 3x − ; b)  x + + 1÷( x + 3) = 0;   ( ) c) 3x2 − 4x − = 0; d) 7( x − 1) 2x + + 2x + x − = 11 Các cặp phương trình sau có tương đương khơng? Vì sao? a) x − = ( − x) ( x − 2) x2 − 5x + = ; 2 = + x – = b) x + x− x− 12 Cho hai phương trình: 5x2 + 3x − = (1) −x + 8x − = (2) a) Chứng minh x = nghiệm chung hai phương trình (1) (2) b) Chứng minh x = − nghiệm (1) không nghiệm (2) c) Hai phương trình cho có tương đương khơng? Vì sao? 13* Cho phương trình: GV: Vũ Hồng Dũng Đại số – kỳ ( m+ 4) x2 − 2( 2m+ 9) x − = ( x + 3) ( 2x + 1) = Tìm giá trị tham số m để hai phương trình tương đương ( ) 2 14* Cho phương trình m + m− x = ( m− 2) ( m− 3) m tham số a) Chứng minh: i) Khi m = phương trình có tập nghiệm ¡ ; ii) Khi m = −3 phương trình có tập nghiệm ∅ b) Giải phương trình cho m = GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Khái niệm Phương trình bậc ẩn phương trình có dạng: ax + b = a, b hai số cho a ≠ Các quy tắc a) Quy tắc chuyển vế: Khi chuyển vế hạng tử từ vế phương trình sang vế cịn lại, ta phải đổi dấu hạng tử đó: A(x) + B(x) = C(x) ⇔ A(x) = C(x) − B(x) b) Quy tắc nhân (hoặc chia) với số khác 0: Khi nhân (hoặc chia) hai vế phương trình với số khác ta phương trình tương đương với phương trình cho: A(x) + B(x) = C(x) ⇔ mA(x) + mB(x) = mC(x) A(x) B(x) C(x) A(x) + B(x) = C(x) ⇔ + = ( m ≠ 0) m m m Cách giải phương trình bậc Ta có: ax + b = ⇔ ax = − b (sử dụng quy tắc chuyển vế) b ⇔ x = − (sử dụng quy tắc chia cho a ≠ 0) a II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Nhận dạng phương trình bậc ẩn Phương pháp giải: Dựa vào định nghĩa phương trình bậc ẩn 1A Hãy xét xem phương trình sau có phương trình bậc ẩn hay khơng? Nếu có hệ số a b a) 3x − = b) 0x + = x2 x = − 7= c) d) 1B Trong phương trình sau đâu phương trình bậc ẩn? Vì sao? 2x − =0 a) x + = b) + 7= =0 c) d) −3x + 5x 2A Tìm m để phương trình sau phương trình bậc ẩn x: ( ) a) m − x + − m = b) ( m− 1) x2 − 6x + = c) x 2m( m− 3) − m = d) a) 2k − 3x − = b) k + x + = ( m+ 3) x + = m− 2B Tìm k để phương trình sau phương trình bậc ẩn x: c) −5k + k x− =0 2 ( d) ) 3kx − =0 k+2 GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ 3A Chứng minh phương trình sau phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m: ( ) ( a) m + x − = ; ) b) m + 2m+ x + m− 1= 3B Chứng minh phương trình sau phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m: m2 + m b) ( 2m− + 2) x − m− = x− =0 Dạng Giải phương trình Phương pháp giải: Sử dụng quy tắc chuyển vế nhân (chia) với số khác để giải phương trình cho 4A Giải phương trình sau: a) − x = −2x + 3; b) 2( 3x + 1) = x + 1; c) x − = 2; d) x − ( 8x + 16) = 10 4B Giải phương trình sau: 1 a) x + = −x + 3; b) ( 2x + 3) + x = ; 12 2x +  5 10x + x − ÷ = − 11 = ; c) d)  3 4 5A Giải phương trình sau:  m2   ÷x − = m = ; + − a)  ÷   a) ( ) b) m + 5m− x = 1− 2m m = −2 5B Giải phương trình sau:  3m  − 3÷ x − = m = a)  ; ÷  m+  2 b) m + 10m+ 25 x = m− m = −3 ( )  3 6A Cho biểu thức A = t ( m+ 5) − t ( m+ 5)  t + ÷+ ( t − m) với m tham số  2 a) Rút gọn A b) Khi m = −1, tìm t để A = 6B Cho biểu thức B = my − my ( y + 4) + m( 4y + 1) ( y − m) với m tham số a) Rút gọn B b) Khi m = 3, tìm y để B = III BÀI TẬP VỀ NHÀ Trong phương trình sau đâu phương trình bậc nhất? Chỉ rõ a b x2 + 3x = 0; a) b) ( x − 3) ( x + 5) − x = ; x −x + c) 2x + = ; d) = Tìm giá trị tham số m để phương trình sau phương trình bậc nhất: GV: Vũ Hồng Dũng Đại số – kỳ ( ) a) 4m + 4m+ x + = 0; b) m− ( x − 7) = 0;  m2 m  mx + − + ÷x − 2m+ 1= 0; = c)  d) 4 16 ÷ −2m+   Giải phương trình sau: a) x( x − 3) + 2( x − 3) = 0; b) x( 2x − 1) − x ( x + 2) + x − x + = 10 Giải phương trình sau: 2 5x + − 3x 2x + − = + 4; a) x + = ; b) 5 11x + x x+ −x + = + 1; − ( x − 1) = − c) d) x − 3 1  11 Cho biểu thức P = − y ( 6m− 3) + ( 1− 2m) y y + ÷+ ( y − m) với m tham số 2  a) Rút gọn P b) Tìm y để P = m = 12 Giải phương trình sau: 2 a) −16 + 8m− m x − m + 11 = m = ( ) 2 b) x m 2m − − m = 2m( x + 1) m = ( ) 13* Cho phương trình m + x − 2m = (m tham số) a) Chứng minh phương trình bậc ẩn với giá trị m b) Tìm m để nghiệm phương trình: i) Đạt giá trị lớn nhất; ii) Đạt giá trị nhỏ 2 14* Cho phương trình m + m+ x − m − m+ = ( ) ( ) a) Chứng minh phương trình bậc ẩn với giá trị tham số m b) Tìm m để nghiệm phương trình: i) Đạt giá trị lớn nhất; ii) Đạt giá trị nhỏ c) Tìm m ≠ - Khi m < ta có m + m ≠ m ≠ b) Tìm  ≤ −2 Tìm xm ax = ⇔ m = −1 m GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax + b = I TĨM TẮT LÝ THUYẾT • Sử dụng quy tắc học trước để đưa phương trình cho dạng ax + b = • Chú ý đến kiến thức liên quan, bao gồm: - Các đẳng thức đáng nhớ; - Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối bản; - Các quy tắc đổi dấu; - II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1: Sử dụng phép biến đổi thường gặp để giải số phương trình đơn giản Phương pháp giải: Thực quy tắc chuyển vế đổi dấu, quy tắc nhân, đẳng thức Quy đồng mẫu thức khử mẫu để biến đổi phương trình dạng ax + b = 1A Giải phương trình sau: a) 7x − = 3x + 12 ; b) 3x − + x = − x; 2x − 1− x 10x + 6x + + 2= = 1+ c) d) 12 1B Giải phương trình sau: a) 4x − = x + 7; b) 10x − 12 − 3x = + x; 5x − + 3x 7x − 16 − x = + 2x = c) d) 2A Giải phương trình sau: a) ( 1− x) + ( x + 2) = 2x( x − 3) − 7; 2 3x − 6x − 1− 3x + = c) ; b) ( − x) − ( x − 4) = 8( x − 3) ; d) x+ 2( 3− x) − 2x 1− 12 = 1+ 12 2B Giải phương trình sau: a) ( 1− 2x) = 3x( x − 3) + ( x − 1) ; c) x− x 2− x − x + 3= − ; b) ( 1+ x) + ( 1− x) = 6( x + 1) ; 3x − 3− x 5x + + 7x d) = 15 + 1− x 15 3 Dạng Tìm điều kiện để biểu thức chứa ẩn mẫu xác định A(x) Phương pháp giải: xác định B(x) ≠ B(x) A(x) ≠ Chú ý: A(x).B(x) ≠ ⇔  B(x) ≠ 3A Tìm điều kiện x để giá trị phân thức sau xác định: 5( x − 1) + 2x + 2x − ; a) P = b) Q = 4x + 1− 2( 5− 2x) 2x ( x + 2) − x2 + ( 2x + 4) ( GV: Vũ Hoàng Dũng ) Đại số – kỳ 3B Tìm điều kiện x để giá trị phân thức sau xác định: 2x2 − 5x + x+ − P= Q = a) ; b)  x −2x( x + 2) + 8x 1+ ÷+ x2 ( x + 2) − ( x + 1) ( x + 2)  2 Dạng Giải phương trình đặc biệt Phương pháp giải: Xét phương trình (ẩn x) dạng : x+ a x+ c x+ e x+ g + = + b d f h Bước 1: Nếu a + b = c + d = e+ f = g + h = k , ta cộng phân thức thêm Nếu a − b = c − d = e− f = g − h = k , ta cộng phân thức thêm −1 Bước 2: Quy đồng từ phân thức, chuyển vế nhóm nhân tử chung Chú ý: Có thể mở rộng số phân thức nhiều tùy toán ta cộng trừ số thích hợp 4A Giải phương trình sau: x+ x+ x+ x+ + = + ; a) x − 12 x − 10 x − x − + = + ; b) 21 23 25 27 x+ x + x + x +1 + = + ; Gợi ý: Cộng thêm c) x+ m x+ n x+ p + + + = với m, n, p số dương d) n+ p p+ m n + m 4B Giải phương trình sau: x + 81 x + 82 x + 84 x + 85 + = + ; a) 19 18 16 15 x − 22 x − 21 x − 20 x − 19 + + + = 4; b) 10 11 −x + 12 −x + 13 −x + 15 −x + 16 + = + ; c) x + 19 x + 13 x + x + + = + d) Gợi ý: Cộng thêm 3 Dạng Giải phương trình cách đặt ẩn phụ Phương pháp giải: Tùy thuộc phương trình mà ta lựa chọn cách đặt ẩn phụ phù hợp để làm giảm phức tạp phương trình cho 5A Giải phương trình sau: 3x − − 6x x + 1) − 5x − − = + ( 3x − 1) ; a) b) x2 + 2x + − x + = ( 5B Giải phương trình sau: x − 1+ 2x − x − 2x − − − ( − x) = 0; a) + b) x − − = ( ) GV: Vũ Hoàng Dũng Đại số – kỳ III BÀI TẬP VỀ NHÀ Giải phương trình sau: 2x − 1− 3x + 3= ; ( 3x − 1) ( x + 2) − 2x2 + = 11 c) ( x − 3) − x( x + 4) + = 0; d) 2 Tìm điều kiện x để giá trị phân thức sau xác định: 10x + 7x + ; a) P = b) Q = 2 x − + ( 3x + 1) x − x ( x + 2) − ( x + 1) ( x + 2) Giải phương trình sau: a) 5x + 3( x − 1) = 5x + 7; b) a) ( 2x − 1) + 6( 3x − 1) = 2( x + 1) + 6( x + 2) ; 3 b) ( x − 2) + ( 3− 2x) − ( 4x − 4) ( x − 5) = ( x + 3) ; 2 2( x − 3) − 3− x = ; x+ 2− x −1 +x d) = + x + Giải phương trình sau: 18− x 17 − x 16 − x 15− x + = + ; a) x − 30 x − 28 x − 26 + + = −6 ; b) 10 x + 81 x + 82 x + 83 x + 84 x + 85 x + 86 + + = + + ; c) 19 18 17 16 15 14 20 − x 22 − x 24 − x 26 − x + = + d) c) x − 3+ HƯỚNG DẪN 1A a) Chuyển vế rút gọn 4x = 16, tìm x = b) Đưa PT dạng 5x = 15, tìm x = c) Quy đồng, khử mẫu thu 6x - + 24 = - 2x Từ tìm x = − 13 d) Quy đồng, khử mẫu thu 30x + = 36 + 24x +32 Từ tìm x = 59 1B Tương tự 1A a) x = b) x = c) x = 14 d) x = 2A a) Triển khai đẳng thức rút gọn 8x + 12 = Từ tìm x = − b) Sử dụng đẳng thức, biến đổi phương trình dạng: (x - 3) (2x2 - 4x) = Sưe dụng phương pháp giải PT tích tìm x ∈{0; 2; 3} c) quy đồng khử mẫu ta 48x - 16 = GV: Vũ Hoàng Dũng 10 Đại số – kỳ CHỦ ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Giá trị tuyệt đối số Giá trị tuyệt đối số a, ký hiệu a , định nghĩa khoảng cách từ số a đến số trục số Như vậy: a = a a ≥ a = −a a <  a a ≥  − a a ≤ Ta viết: a =  Tính chất a ≥ 0; −a = a ; a = a2 Ta ln có: Cách giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối a) Giải phươmg trình dạng a = b a = b Cách giải: Ta có a = b ⇔   a = −b b) Giải phương trình dạng a = b Cách giải: Ta làm theo hai cách sau: Cách 1: Xét trường hợp Trường hợp Với a ≥ phương trình có dạng a = b; Trường hợp Với a < phương trình có dạng −a = b b ≥  Cách 2: Ta có a = b ⇔   a = b   a = −b  II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TỐN GV: Vũ Hồng Dũng 51 Đại số – kỳ Dạng Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải: Thực theo bước sau: Bước Dựa vào định nghĩa tính chất để phá dấu giá trị tuyệt đối Bước Sử dụng biến đổi đại số để thu gọn biểu thức 1A Rút gọn biểu thức sau: a) A = −3 + + x x ≤ 0; b) B = −3x − x + x − x ≥ 2; c) C = x − + x − 1B Rút gọn biểu thức sau: x3 + x a) D = (x + 1) x x < 0; b) E = x + − −3 x + x ≥ 0; c) F = x − 3x + 3x + − 2A Thu gọn biểu thức a) M = x2 + 4x −1 − x + −1 x+4 x ≥ ; − ≤ x ≤ b) N = −8 x + 12 x + + x + x 2B Thu gọn biểu thức a) P = x3 + x − − − x − x2 + x + x > 1; b) Q = ( x + 3) ( x − + ) − x − 13 ≤ x < 13 Dạng Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối Phương pháp giải: Thực theo bước sau: Bước Sử dụng công thức linh hoạt theo cách viết để chuyển giải phương trình bậc Bước Đổi chiếu điều kiện để đưa kết luận tập nghiệm 3A Giải phương trình sau: − − 2x = 2 3x + −1 = d) a) x − = 4; b) c) 3x − + = − x − ; 3B Giải phương trình sau: a) x + − = 1; x − 11 − = x − 11 d) 3 b) 10 x − + = 5% c) − x − = −5 + x − 4A Giải phương trình sau: a) − x = − x ; b) x + − x + = 0; c) x − x − + x + = 0; d) 4B Giải phương trình sau: a) x + = − x ; b) 15 x − − x + = 0; x − = 3x + GV: Vũ Hoàng Dũng 52 Đại số – kỳ x c) x − + x + = 0; d) x − = − 5A Giải phương trình sau: a) x = x + b) x − − x + = 0; c) x − x − + x = 0; 5B Giải phương trình sau: a) − x = x; d) x − − 21 = x c) x − + 3x x − = 0; d) − x = − x b) x − 15 + = 3x; Dạng 3* Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối nâng cao 6A Giải phương trình sau: a) − x + = 4; b) x − −3 = 6B Giải phương trình sau: a) x + +7 − = 0; b) x − −1 = III BÀI TẬP VỀ NHÀ Rút gọn biểu thức sau: a) A = x − + − x x ≥ x ≥ 0; b) B = −3x − x + x −   1 c) C =  x + ÷ x − x + x + ÷  4  Giải phương trình sau: a) −3x = 4; c) x − 1 −7 = 5− x− 4 x > b) + x + = 5; d) Giải phương trình sau: a) x − = x − ; − 8x + = b) − x − − 3x = 0; x2 − x − − x = d) x +1 c) x − + x − x + = 0; 10 Giải phương trình sau: a) x − = −5 x + 9; b) x + = x + x; x2 − x − = x − d) x −1 c) x − x + = x; 11 Giải phương trình sau: a) x x + = x; 4 b) ( x + 3) x − = x − 12 Giải phương trình sau cách đặt ẩn phụ 2 a) x − x + = −2 x + 10 x − 11 b) x + x = ( x + ) ( − x ) + HƯỚNG DẪN GV: Vũ Hoàng Dũng 53 Đại số – kỳ 1A a) Vì x ≤ nên x = −5 x Từ tìm A = - 5x b) Vì x ≥ nên x − = x − MẶt khác, ta ln có −3x = x nên tìm B = x + x − c) Với x ≥ , ta có C = 3x - 10 Với x < 7, ta có C = x + 1B Tương tự 1A a) D = − x2 x2 +1 c) Nếu x ≥ b) E = x − x + −1 , F = x − Nếu x < − , F = x − x − 3 2A a) Vì x ≥ > nên x − = x − x + = x + Từ tìm M = x2 + 2x − x+4 b) Vì − ≤ x ≤ nên + x = + x x = −4 x Từ tìm N = −8 x + 12 x − x + 2B Tương tự 2A a) P = x3 x2 + 2x + b) Q = x + x + 16  7   10  3A a) Biến đổi x = Từ tìm x ∈ ± b) Biến đổi − x = −1 Từ x ∈∅  2  3 c) Biến đổi 3x − = Từ tìm x ∈ 0;    d) Biến đổi 3x + = Từ tìm x ∈  − ; − 20   9 3B Tương tự 3A 17 −19  ;  3  a) x ∈  b) x ∈ ∅  −1   4  d) x ∈ { 13;9} c) x ∈  ; 4A a) Trường hợp Xét - 5x = - 6x Tìm x = Trường hợp Xét - 5x = 6x - Tìm x = 11  9   11  Vậy x ∈ 1; 1 4 b) Đưa PT dạng 3x + = x + Giải x ∈  ; − 3  10  GV: Vũ Hoàng Dũng 54 Đại số – kỳ  x − x − = c) Nhận xét: Vid x − x − ≥ x + ≥ nên PT tương đương với  Giải  x + = hai BPT ta x = −1  −9  ;   11 13  d) Tương tự ý a), tìm x ∈  4B Tương tự 4A a) x = −  1  5 b) x ∈ 1;  c) x = −3 d) x = 5A a) Cách Xét hai trường hợp Trường hợp Với x ≥ , ta có x = x + Tìm x = (TMĐK x ≥ ) Trường hợp Với x < 0, ta có -5x = x + Tìm x = − Vậy x = (TMĐK x < ) 1 x = −  x + ≥  5 x = ± ( x + ) Cách Ta có x = x + ⇔  Giải ta tìm x = 1 x = − b) Tương tự ý a), tìm x ∈∅ { c) Tương tự ý a), tìm x ∈ −1; − } d) Tương tự ý a), tìm đơcj x = 24 5B Tương tự 5A a) x =  −1  ;   2 c) x ∈  b) x = d) x = −1 6A a) Xét hai trường hợp Trường hợp Xét x − x + = Tìm x ∈∅ Trường hợp Xét − x + = −4 Tìm x ∈ { 6; −8}  −7   2  b) Tương tự ý a), tìm x ∈  ; 6B Tương tự 6A a) x ∈ { −4; 0} a) A = −2 b) x = ±2 b) B = x + x − c) C = x3 + GV: Vũ Hoàng Dũng 55 Đại số – kỳ a) x = ± a) x = 10 a) x =  11 a) x ∈ 0;   −5  ;   8 d) x ∈  b) x ∈  c) x = d) x = b) x = ±1 c) x = d) x =  −5  ;   4  −23 25  ;   4 c) x ∈  b) x = ±1   2 b) x = 12 a) Đặt t = x − x + , ta có t = −2t − Giải PT ẩn t tìm t = -1 Từ tìm x ∈ { 2;3} 2 b) PT ⇔ x + 3x = − ( x + 3x ) + 16 Đặt t = x + ⇒ t = −t + 16 với t ≤ 16 Giải PT ẩn phụ ta t = t = -8 Với t = ⇒ x + 3x − = ⇔ x = 1; x = t = ⇒ x + x + = (vô nghiệm) GV: Vũ Hoàng Dũng 56 Đại số – kỳ ÔN TẬP CHỦ ĐỀ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem phần Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến II BÀI TẬP 1A Cho a ≤ b Chứng minh: 5 b) ( −a − 1) ≥ ( −b − 1) a) − a − ≥ − b − 3; 1B So sánh x y nếu: a) x+3 y+3 > ; 4 b) − x + 2018 < − y + 2018 2A Cho bất phương trình 2m x + 10 − mx < Tìm m để bất phương trình có nghiệm x = −3 2t 8t + +a≥ − 2B Tìm a để t = nghiệm bất phương trình: 5t − 3A Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) x − > x + 9; b) ( x − ) ( x − 1) ≥ − x ( − x ) 3B Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) x−9 > x+ ; 3 b) x ( x + ) − ≤ ( x − 1) 4A Giải bất phương trình sau: x − 1) ( x + ) ( x + 1) b) x − x + ( ≤ + 1 + x 2x −1 ≤ ; a) + 21 4B Giải phương trình: a) 3x x + x +1 − ≥ 1− ; b) ( x + 2) ( x − 5) − x2 + > − x2 − 12 5A Giải bất phương trình sau: GV: Vũ Hồng Dũng 57 Đại số – kỳ 2x − x − 2x − x −1 + ≤ + 2013 1007 2015 1008 5B Giải bất phương trình sau: x − x − x + 12 x + 14 + > + 12 25 27 6A Trong hội khỏe Phù Đổng thành phố Hà Nội, bắn ná vòng chung kết diễn ba vận động viên A, B C Mỗi vận động viên bắn lần Vận động viên A bắn lượt với trung bình điểm lần bắn điểm, vận động viên B trung bình điểm lần bắn 9,1 điểm Vận động viên C bắn lượt đầu 8,5 9,5 điểm Hỏi lần bắn thứ ba điểm để đạt huy chương vàng? 6B Tìm phân số tối giản có mẫu số 3, tử số bội Biết thêm vào tử phân số không lớn không nhỏ 7A Giải phương trình a) 3x − = x + ; b) x + −1 = x 7B Giải phương trình a) 64 x + = x + 65 ; b) − x = III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho m > n Chứng minh: a) −5 ( n − ) + > −5 ( m − ) + 3; Cho bất phương trình ( b) ) m + n +1 > 3 x − + mx ≤ m − Tìm x để bất phương trình có nghiệm x = 10 10 Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) x − < −8 + x; b) ( x + ) − ( x + 3) ( x − ) > x ( − x ) 11 Giải bất phương trình: x + − 5x + ≥ 5; a) x − 3) b) ( ( x − 6) − ( x + 9) > 15 15 − x 17 − x 19 − x + + > 12 Giải bất phương trình sau: 2002 2004 2006 10 − 13x − 13 Giải bất phương trình sau: a) x − = x + ; b) 3x − −2 = x 14 Gia đình bạn Việt hưởng ứng phong trào toàn dân tiết kiệm điện nên đặt mục tiêu hàng tháng tiền điện nộp không 265000 đồng Biết 50kWh giá tiền toán kWh 1484 đồng, từ 50kWh kWh giá tiền 1533 đồng, từ 100 kWh giá kWh 1786 đồng tiền thuế GTGT (giá trị gia tăng) 10% Hỏi nhà bạn Việt hàng tháng nên tiêu thụ nhiều điện năng? HƯỚNG DẪN 2 2 1A a) a ≤ b ⇒ − a ≥ − b ⇒ − a − ≥ − b − 5 5 a ≤ b ⇒ − a ≥ − b ⇒ − a − ≥ − b − ⇒ − a ( − 1) ≥ ( −b − 1) b) 1B HS tự làm a) x > y b) x > y 2A Thay x = -3 vào bất phương trình ta được: GV: Vũ Hoàng Dũng 58 Đại số – kỳ 2m ( −3) + 10 − m ( −3 ) < ⇔ m < ⇔ m < 2B Tương tự 2A Đáp số: a ≥ 103 20 3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số a) x − > x + ⇔ x > 12 ⇔ x > 2 b) ( x − ) ( x − 1) ≥ − x ( − x ) ⇔ x − x + ≥ x − x + Suy −4 x ≥ hay x ≤ − 3B Tương tự 3A HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số a) x < −28; b) x ≤ 4A a) Quy đồng mẫu, ta có: 1 + x 2x −1 + ≤ ⇔ + ( + x ) ≤ x − ⇔ x ≤ −11 21 b) Tương tự ý a) ta có: ( x − x ) + ( x − 1) ( x + ) ≤ ( x + 1) + ⇔ x ≥ − 4B Tương tự 4A a) x ≥ 20 ; 11 17 11 b) x < −11 5A Nhân phân số thứ thứ với môi phân số trừ 1, ta được; x − 2018 x − 2018 x − 2018 x − 2018 + ≤ + 2013 2014 2015 2016 BPT tương đương x − 2018 ≤ Vậy x ≤ 1009 5B Tương tự 5A Đáp số: x > 13 6A Gọi số điểm vận động viên C đạt lần bắn thứ ba x Điều kiện: x > Theo đề ta có x + 8,5 + 9,5 ≥ 9,1 Suy x ≥ 9,3 Vậy lần bắn thứ ba vận động viên C phải đạt 9,3 điểm 6B Tương tự 6A Đáp số: 10  x = −2 3 x − = x + 7A a) x − = x + ⇔ 3 x − = − x + ⇔  ; x= ( )   b) Phương trình vơ nghiệm  64 66  ;−   63 65  7B a) x ∈  b) x ∈ { ±1; ±3} HS tự chứng minh Đáp số: m ≤ −4 b) x > 10 a) x > 11 a) x ≤ −7 −28 b) x > 12 Gợi ý: Trừ hai vế cho 3, sau biến đổi để tử số 1987 - x Đáp số: x < -1987 2 3   13 x ∈  ;8 3 5   b) x ∈  ;3 GV: Vũ Hoàng Dũng 59 Đại số – kỳ 14 Đáp số: 150kWh ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ Thời gian làm cho đề 45 phút ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4ĐIỂM) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời Câu Cho bất phương trình sau, đâu bất phương trình bậc ẩn? A x − < 0; B x − ≤ 0; C x + x > 0; D − x = Câu Giá trị x = nghiệm bất phương trình sau đây? A − x > x − 12; B x + < 9; C −4 x ≥ x + 5; D − x < x Câu Nghiệm bất phương trình ( 3x + ) ≥ là: A x > ; B x ≤ − 5 C x ≥ − ; D x > − Câu Cho a > b Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức cho? A a − > b − 3; B −3a + > −3b + 4; C 2a + < 2b + 3; D −5b − < −5a − Câu Hình vẽ biểu diễn tập nghiệm bất phương trình nào? A x − ≥ 5; B x + ≤ 7; C x + < 9; D x + > Câu Với giá trị m bất phương trình m ( 3x + 1) < bất phương trình bậc ẩn? A m ≠ B m ≠ − C m ≠ 0; D m ≠ Câu Trong bất phương trình sau, bất phương trình tương đương với bất phương trình x + > 0? A x ≤ 4; B x − > 0; C x < −4; D x > −4 GV: Vũ Hoàng Dũng 60 Đại số – kỳ Câu Cho x ≤ y Khẳng định sau sai? A + x ≤ + y; B − x − ≤ − y − 3; C −3x ≥ −3 y; D x > −4 PHẦN II TỰ LUẬN (6ĐIỂM) Bài (1,0điểm) Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) x + > x + b) x − ≤ −3x + Bài (3,0điểm) Giải bất phương trình sau: a) x − > 11 − x; b) ( x − ) − x − x + ≥ 0; c) 3x − + 3x − > ; d) x ( −5 x + 1) + ( x + 3) < −5 x Bài (1,5điểm) Giải phương trình sau: a) x − = x + 7; b) x + x − = Bài (0,5điểm) Với a, b, chứng minh: a + b + ≥ 2(a + b) HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4ĐIỂM) Câu A Câu C Câu D Câu C Câu C Câu D Câu A Câu B PHẦN II TỰ LUẬN (6ĐIỂM) Bài HS tự biểu diễn tập nghiệm trục số a) x + > x + ⇔ x > −2 ⇔ x > −1 b) x − ≤ −3x + ⇔ x ≤ 10 ⇔ x ≤ Bài a) Biến đổi BPT 6x > 18 Suy x > b) Biến đổi BPT -12x + ≥0 Suy x ≤ 12 c) Biến đổi BPT 22 - 9x > + 3x Suy x < − d) Biến đổi BPT 5x + 12 < Suy x < − 12 Bài a) Cách Xét hai trường hợp: Trường hợp Với x ≥ , PT trở thành x − = x + Giải ta x = −8 (KTM x ≥ ) Trường hợp Với x < , PT trở thành − x = x + (TM x < ) 3 x + ≥ Cách Ta có PT ⇔  Giải ta x =  x − = ±(3 x + 7) Giải ta x = b) Ta có PT tương đương với x + x − = ±2 Giải trường hợp ta x = −3 x = ±1 Bài Cách Xét hiệu (a + b + ) − ( a + b ) = ( a − 1) + ( b − 1) ≥ ∀a, b 2 GV: Vũ Hoàng Dũng 61 Đại số – kỳ Dấu "=" xảy ⇔ a = b = Cách Ta có: ( a − 1) ≥ ∀a ⇒ a + ≥ 2a ∀a ; ( b − 1) ≥ ∀b ⇒ b + ≥ ab ∀b Cộng vế với vế BĐT trên, ta ĐPCM ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4ĐIỂM) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời Câu Cho bất phương trình sau, đâu bất phương trình bậc ẩn? x2 − < 0; B x − x + ≤ 0; x x + > 0; C D x + = Câu Giá trị x = −1 nghiệm bất phương trình sau đây: A x − > x − 2; B x + < 15; C −4 x ≤ x − 3; D x ≥ − x Câu Cho a ≤ b Bất đẳng thức tương đương với bất đẳng thức cho: 3 A 2a + > 2b + 3; B − a + ≥ − b + 5; 2 C −2a + ≤ 2b + 1; d b − ≤ a − A Câu Tìm tất giá trị m bất phương trình trình bậc ẩn: A m = 1; B m ≠ −1; C m ≠ 1; m + ( x + 1) ≥ bất phương D Mọi số thực m PHẦN II TỰ LUẬN (8ĐIỂM) Bài (2,0điểm) Giải bất phương trình sau biểu diễn tập nghiệm trục số: a) 3x + < x + 4; b) x − ≥ −2 x + Bài (4,0điểm) Giải bất phương trình sau: 2 b) ( x − ) − x − x + ≤ 0; x − 3x − < ; d) x ( x + 1) + x ( x + 3) < + 3x c) − 10 a) x − > − x; Bài (1,5điểm) Giải bất phương trình sau: a) 3x − = x + 7; b) x − x − = GV: Vũ Hoàng Dũng 62 Đại số – kỳ Bài (0,5điểm) Chứng minh với a, b, ta có: a + b + ≥ ab + ( a + b ) HƯỚNG DẪN PHẦN I TRẮC NGHIỆM Câu B Câu B Câu B Câu D PHẦN II TỰ LUẬN Bài HS tự vẽ hình để biểu diễn tập nghiệm trục số a) Ta có 3x + < x + ⇔ Mà − = ( ) ( ) −1 x < − 3 − , từ tìm x < − b) Ta có x − ≥ −2 x + ⇔ x ≥ Từ tìm x ≥ Bài a) Ta có x − > − 3x ⇔ x > Từ tìm x > 12 b) Sử dụng đẳng thức, biến đổi được: −13x + ≤ Từ tìm x ≥ 13 c) Quy đồng khử mẫu ta − x + 10 < 3x − Từ tìm x > 19 d) Biến đổi bất phương trình dạng x + x < 3x + Từ tìm x < Bài a) Ta có hai trường hợp: Trường hợp 1: Với x ≥ , phương trình cho trở thành: x − = x + Từ tìm x = 12 (TMĐK x ≥ ) Trường hợp Với x < , phương trình cho trở thành: − ( 3x − ) = x + Từ tìm x = −   5 (TMĐK x < )   Vậy x ∈ − ;12  b) Ta có hai trường hợp: Trường hợp Với x − x − ≥ , phương trình trở thành: x − x − = Từ tìm x = -1 x = (TMĐK x − x − ≥ ) Trường hợp Với x − x − < , phương trình trở thành: x − x + = GV: Vũ Hoàng Dũng 63 Đại số – kỳ Phương trình vơ nghiệm Vậy x ∈ { −1;3} 2 Bài Biến đổi a + b + ≥ ab + ( a + b ) dạng: ( a − b) + ( a − ) + ( b − ) ≥ (luôn đúng) 2 Dấu "=" xảy a = b = Suy ĐPCM GV: Vũ Hoàng Dũng 64 Đại số – kỳ GV: Vũ Hoàng Dũng 65 ... 16 − x 15− x + = + ; a) x − 30 x − 28 x − 26 + + = −6 ; b) 10 x + 81 x + 82 x + 83 x + 84 x + 85 x + 86 + + = + + ; c) 19 18 17 16 15 14 20 − x 22 − x 24 − x 26 − x + = + d) c) x − 3+ HƯỚNG DẪN... = 2A Giải phương trình sau: a) 2x( 3x − 2) = ( 3x − 1) ( 3x − 2) ; b) 2( x − 5) ( x + 2) = x2 − 5x; c) ( x − 1) ( 2x + 1) + 2x = 2; d) ( x + 2) − 9( x + 2) = 2B Giải phương trình sau: a) ( 2x... − 2) ( 3− x) + x+ = 0; 2? ?? x x 2x x = + ; − = d) 2x + x − 2x − − 2x x − x − x + 1− x2 x + 11 Giải phương trình sau: 20 1− x 20 3− x 20 5− x + + + = 0; a) 99 97 95 x2 + x + x2 + x + x2 + x + 13 x2