CỦNG cố TOÁN 7 tập 2 HD

GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến PHẦN A ĐẠI SỐ CHUYÊN ĐỀ III THỐNG KÊ CHỦ ĐỀ THU THẬP SỐ LIỆU THỐNG KÊ , TẦN SỐ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Vấn đề hay tượng mà người điều tra quan tâm tìm hiểu gọi dấu hiệu (thường kí hiệu chữ in hoa X,Y, ) - Các số liệu thu thập điều tra dấu hiệu gọi số liệu thống kê Mỗi số liệu giá trị dấu hiệu: - Số tất giá trị (không thiết khác nhau) dấu hiệu số đơn vị điều tra Kí hiệu N - Số lần xuất giá trị dãy giá trị dấu hiệu tần số giá trị Giá trị dấu hiệu thường dược kí hiệu x tần số giá trị thường kí hiệu n II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Lập bảng số liệu thống kê ban đầu Phương pháp giải: Khi lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra, ta thường phải xác định: dấu hiệu (các vấn đề hay tượng mà ta quan tâm tìm hiểu), đơn vị điều tra, giá trị dấu hiệu 1A Lập bảng số liệu thông kê ban đầu cho điều tra điểm kiểm tra tiết mơn mơn Tốn gần bạn tổ em 1B Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra điểm kiểm tra tiết môn môn Văn gần bạn tổ em Dạng Khai thác thông tin từ bảng số liệu thống kê ban đầu Phương pháp giải: Từ bảng số liệu thống kê ban đầu ta khai thác thơng tin sau: + Dấu hiệu cần tìm hiểu giá trị dấu hiệu đó; + Đơn vị điều tra; + Số giá trị khác dấu hiệu; + Tần số giá trị khác dấu hiệu 2A Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7A cho bảng 4 9 10 8,5 10 10 8,5 7,5 7,5 9,5 9,5 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? Đơn vị điều tra gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Tính số giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số? GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 2B Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7B cho bảng 8,5 7,5 8,5 9,5 7,5 9,5 4,5 7 8,5 10 8,5 4,5 7 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? Đơn vị điều tra gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Tính số giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số 3A Hàng ngày, bạn Dũng thử ghi lại thời gian cần thiết để từ nhà đến trường thực điều 10 ngày Kết thu bảng sau: Ngày 10 Thời gian (phút) 25 27 26 25 26 28 25 25 26 28 a) Dấu hiệu mà bạn Dũng quan tâm b) Dấu hiệu có tất giá trị c) Có giá trị khác dấu hiệu d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số 3B Hàng tháng, bác An ghi lại mức độ tiêu thụ điện (tính theo Kw/h) gia đình 10 tháng Kết thu bảng sau Ngày 10 Mức độ tiêu 90 95 95 110 115 115 120 95 110 90 thụ (Kw/h) a) Dấu hiệu mà bác An quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Có giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng 4A Màu sắc ưa thích bạn nữ lớp 7A bạn lớp trưởng ghi lại bảng sau Số thứ tự Tên học sinh Màu sắc ưa thích Quỳnh Màu hồng Ngân Màu đỏ Hoa Màu vàng Lan Màu tím Thương Màu đỏ Huệ Màu hồng Trang Màu vàng Huyền Màu trắng Phượng Màu tím 10 Hương Màu đỏ a) Dấu hiệu mà bạn lớp trưởng quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Có giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 4B Mơn học u thích bạn tổ lớp 7A bạn tổ trưởng ghi lại bảng sau: Số thứ tự 10 Tên học sinh Lê Bảo Thanh Mai Văn Tuấn Đặng Trung Dũng Trần Văn Huy Dương Hữu Mạnh Lê Hải Vân Trần Kiều Trang Nguyễn Thu Hồng Lê Huy An Trần Ngọc Minh Mơn học ưa thích Tốn học Tốn học Văn học Tiếng anh Văn học Lịch sử Toán học Sinh học Toán học Tiếng anh a) Dấu hiệu mà bạn tổ trưởng quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Có giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng III BÀI TẬP VỀ NHÀ Lập bảng số liệu thống kê ban đầu cho điều tra số học sinh khối trường em Điểm thi họ kì I mơn Tốn học sinh lớp 7C cho bảng 5,5 7,5 6,5 9,5 7,5 6,5 6,5 9,5 6,5 9,5 7,5 7,5 5,5 10 7,5 6 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Tính số giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng Số lượt khách đến thăm quan triển lãm tranh 10 ngày vừa qua ghi lại bảng sau: Ngày 10 Số lượng 400 450 450 390 380 380 420 400 400 420 a) Dấu hiệu quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Có giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số chúng GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến Số học sinh học muộn tuần qua khối bạn Cờ đỏ ghi lại bảng sau: Số thứ tự Lớp Số học sinh muộn 7A 7B 7C 4 7D 7E 7F 7G a) Dấu hiệu mà bạn cờ đỏ quan tâm gì? b) Dấu hiệu có tất giá trị? c) Có giá trị khác dấu hiệu? d) Viết giá trị khác dấu hiệu tính tần số GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến CHỦ ĐỀ BẢNG TẦN SỐ CÁC GIÁ TRỊ CỦA DẤU HIỆU I TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng "tần số" (bảng phân phối thực nghiệm dấu hiệu) - Bảng tần số thường lập saư: + Vẽ khung hình chữ nhật gồm hai dòng + Dòng ghi giá trị khác dấu hiệu theo thứ tự tăng dần + Dòng ghi tần số tương ứng với giá trị - Bảng tần số giúp người điều tra dễ có nhận xét chung phân phối giá trị dấu hiệu tiện lợi cho việc tính tốn sau II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Lập bảng "tần số" rút nhận xét Phương pháp giải: Từ bảng số liệu thống kê ban đầu lập bảng "tần số" (theo dạng "ngang" hay "dọc") nêu rõ giá trị khác dấu hiệu tần số tương ứng giá trị - Rút nhận xét về: + Số giá trị dấu hiệu; + Số giá trị khác nhau; + Giá trị lớn giá trị nhỏ giá trị có tần số lớn nhất; + Các giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu 1A Kết điều tra số 20 gia đình khu dân cư cho bảng sau đây: 2 3 5 a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Lập bảng "tần số" c) Hãy nêu số nhận xét từ bảng số 20 gia đình khu dân cư ( số gia đình khu dân cư chủ yếu thuộc vào khoảng nào? Số gia đình đơng con, tức có trở lên chiếm tỉ lệ bao nhiêu) 1B Số buổi học muộn học kì I 20 bạn học sinh lớp 7A ghi lại bảng sau đây: 1 2A a) Dấu hiệu cần tìm hiểu gì? b) Lập bảng "tần số" c) Hãy nêu số nhận xét từ bảng (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất) Tuổi nghề (năm) số công nhân phân xưởng ghi lại bảng sau đây: 5 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 2B 3A 5 2 10 2 a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số" c) Rút nhận xét (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu) Thời gian giải tốn (tính theo phút) số học sinh lớp ghi lại bảng sau 9 10 10 10 9 10 10 10 10 11 a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số" c) Rút nhận xét (số giá trị dấu hiệu, số giá trị khác nhau, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, giá trị thuộc vào khoảng chủ yếu) Một cung thủ thi bắn cung, số điểm đạt lần bắn ghi lại bảng sau đây: 8 10 8 10 10 10 10 9 9 8 3B a) Dấu hiệu gì? Cung thủ bắn phát ? b) Lập bảng " tần số" c) Rút số nhận xét Một vận động viên thi chạy đích Số điểm đạt lần chạy đích ghi bảng sau : 4 1 5 1 6 III a) Dấu hiệu gì? Vận động viên chạy đích lần ? b) Lập bảng "tần số" c) Rút số nhận xét BÀI TẬP VỀ NHÀ GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến a) Khi điều tra môn học yêu thích bạn lớp 7A Bạn lớp trưởng ghi lại bảng điều tra ban đầu sau: Toán học Toán học Tiếng Anh Tiếng Anh Tốn học Văn học Vật lí Văn học Vật lí Tiếng Anh Tiếng Anh Sinh học Văn học Sinh học Địa lí Tốn học Địa lí Tốn học Văn học Sinh học Tốn học Tiếng Anh Vật lí Văn học Lịch sử Toán học Toán học Sinh học Tiếng Anh Tiếng Anh a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng "tần số" c) Rút số nhận xét Điểm thi học kì I mơn Tốn học sinh lớp 7C cho bảng 5,5 7,5 6,5 9,5 7,5 6,5 6,5 9,5 6,5 9,5 7,5 7,5 5,5 10 7,5 6 a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng "tần số" c) Rút số nhận xét Số suất cơm từ thiện cho người vô gia cư khu phố cổ Hà Nội thực nhóm tình nguyện viên ngày vừa qua sau: STT ngày Số suất cơm 30 35 35 40 38 35 30 a) Dấu hiệu gì? Có giá trị dấu hiệu? b) Lập bảng " tần số" c) Rút số nhận xét GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến CHỦ ĐỀ BIỂU ĐỒ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Người ta thường dùng biểu đồ để biểu diễn hình ảnh cụ thể giá trị dấu hiệu tần số Thường có dạng biểu đồ sau: Biểu đồ đoạn thẳng - Dựng hệ trục tọa độ, trục hoành biểu diễn giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n - Xác định điểm có tọa độ cặp số gồm giá trị tần số (giá trị viết trước, tần số viết sau) - Nối điểm với điểm trục hồnh có hồnh độ Biểu đồ hình chữ nhật Các đoạn thẳng biểu đồ đoạn thẳng thay hình chữ nhật Biểu đồ hình quạt Là hình trịn chia thành hình quạt mà góc tâm hình quạt tỉ lệ với tần suất n f  f N N số (Tần suất giá trị tính theo cơng thức: giá trị, n tần số giá trị, f tần suất giá trị Người ta thường biểu diễn tần suất dạng tỉ số phần trăm) II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Dựng biểu đồ đoạn thẳng, hình chữ nhật Phương pháp giải: Để dựng biểu đồ đoạn thẳng ta thường thực sau: Lập bảng "tần số" từ bảng số liệu thống kê ban đầu bảng ghi dãy số biến thiên theo thời gian; - Dựng trục tọa độ: trục hoành biểu diễn giá trị x, trục tung biểu diễn tần số n; - Vẽ điểm có tọa độ cho bảng; - Vẽ đoạn thẳng nối điểm với điểm trục hồnh có hồnh độ Để vẽ biểu đồ hình chữ nhật ta thay đoạn thẳng biểu đồ đoạn thẳng hình chữ nhật 1A Điểm kiểm tra tiết mơn Tốn 10 bạn sau: 6 10 1B Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng Số gia đình 10 hộ tổ dân phố sau: 2 1 1 2A Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng Năm 2017, dân số năm nước đông dân hàng đầu giới gồm: Trung Quốc: 1380 triệu người; Ấn Độ: 1340 triệu người; Mỹ: 326 triệu GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến người; Indonesia: 263 triệu người; Braxin: 211 triệu người Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật biểu thị dân số nước 2B Dân số Việt Nam qua tổng điều tra kỉ XX là: Năm 1921: 16 triệu người; năm 1960: 30 triệu người; năm 1980: 54 triệu người; năm 1990: 66 triệu người; năm 1999: 76 triệu người Hãy vẽ biểu đồ hình chữ nhật biểu thị dân số Việt Nam qua năm 3A Học sinh khối trường gồm 200 bạn phân loại học lực sau: 20 bạn xếp loại giỏi; 60 bạn xếp loại khá; 90 bạn xếp loại trung bình; 30 bạn xếp loại yếu Hãy lập bảng tần số, tính tần suất vẽ biểu đồ hình quạt biểu diễn học lực học sinh 3B Khảo sát việc sử dụng phương tiện đến trường 200 học sinh khối trường kết sau: Đi bộ: 90 bạn, xe đạp: 50 bạn, xe máy: 40 bạn, Ơ tơ: 20 bạn Hãy lập bảng tần số tính tần suất vẽ biểu đồ hình quạt biểu diễn tỉ lệ phương tiện sử dụng đến trường học Dạng Đọc biểu đồ đơn giản Phương pháp giải: Khi đọc biểu đồ cần trả lời câu hỏi sau: + Biểu đồ biểu diễn gì? + Từng trục biểu diễn cho đại lượng nào? + Sự biến thiên giá trị nào? - Đối với biểu đồ biểu diễn, trực tiếp mối quan hệ giá trị dấu hiệu tần số tập trưng nhận xét giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, giá trị có tần số lớn nhất, nhóm giá trị có tần số tương đối lớn - Đối với biểu đổ biểu diễn thay đổi giá trị theo thời gian nhận xét thêm tăng giảm toàn thời gian theo giai đoạn 4A Biểu đổ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7A hình vẽ Hãy lập bảng tần số từ biểu đồ rút nhận xét 4B Biểu đồ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7B hình vẽ Hãy lập bảng tần số từ biểu đồ rút nhận xét GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến III BÀI TẬP VỀ NHÀ Nhiệt độ trung bình hàng tháng năm địa phương ghi lại bảng sau: Tháng 10 11 12 Nhiệt độ 20 21 25 30 32 33 32 27 25 20 20 17 Lập bảng "tần số" biểu diễn biểu đồ đoạn thẳng Số bão năm đổ vào lãnh thổ Việt Nam 20 năm cuối kỉ XX ghi lại bảng sau: 3 6 4 2 a) Dấu hiệu gì? b) Lập bảng "tần số" c) Biểu diễn biểu đổ đoạn thẳng rút nhận xét Lớp 7A có 40 bạn, tổng kết học kì I có bạn xếp loại giỏi 20 bạn xếp loại khá, 10 bạn xếp loại trung bình bạn xếp loại yếu Hãy lập bảng tần số tính tần suất vẽ biểu đổ hình quạt biểu diễn học lực học sinh Biểu đổ biểu diễn kết học tập kiểm tra học sinh lớp 7C hình vẽ Hãy lập bảng "tần số" từ biểu đồ rút nhận xét 10 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 23 a) Chứng minh MB + MC �EC b) Tìm vị trí điểm M đường thẳng d cho MB + MC đạt giá trị nhỏ cho biết giá trị Cho tam giác ABC Tìm điểm E thuộc đường phân giác góc ngồi đỉnh A cho tam giác EBC có chu nhỏ � 24* Cho điểm A nằm góc nhọn xOy a) Tìm hai điểm M, N thuộc Ox Oy cho AM + AN nhỏ b) Tìm hai điểm B, C thuộc Ox Oy cho  ABC có chu vi nhỏ 74 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG TRUNG TRỰC CỦA TAM GIÁC I TĨM TẮT LÝ THUYẾT Định lí Ba đường trung trực tam giác qua điểm Điểm cách đểu ba đỉnh tam giác Trên hình bên, điểm O giao điểm đường trung trực  ABC Ta có OA = OB = OC Điểm O tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC Định lí Trong tam giác cân, đường trung trực cạnh đáy đồng thời đường trung tuyến ứng với cạnh đáy II BÀI TẬP YÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Phương pháp giải: Sử dụng tính chất giao điểm đường trung trực tam giác cách ba đỉnh tam giác 1A Cho A, B, C ba điểm phân biệt không thẳng hàng Hãy xác định đường tròn qua ba điểm A, B, C 1B Ơng Hùng có ba cửa hàng A, B, C khơng nằm đường thẳng muốn tìm địa điểm O để làm kho hàng Phải chọn vị trí kho hàng đâu để khoảng cách từ kho đến cửa hàng nhau.? 2A Chứng minh tam giác vng, tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền 2B Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh O trung điểm BC O tâm đường trịn ngoại tiếp  ABC Dạng Vận dụng tính chất ba đưịng trung trực tam giác để giải tốn khác Phương pháp giải: Từ Định lí 2, ta có tính chất tam giác, giao điểm hai đường trung trực thuộc đường trung trực cịn lại tam giác Lưu ý: Trong tam giác cân, đường trung trực ứng với cạnh đáy đường trung tuyến, đường phân giác đường cao 3A Cho  ABC M trung điểm BC Các đường trung trực AB � 3B 4A AC cắt O Tính số đo góc OMB Cho  MNP Đường trung trực MN cắt đường trung trực MP I Hạ IH  NP Chứng minh H trung điểm NP Cho  ABC có góc �A = 110° Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: a)  BIC cân; 75 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến � 4B � � 5A 5B � b) BIC = 2(180° - BAC ) tính sốđo góc BIC Cho  ABC vuông A Đường trung trực cạnh AB AC cắt I Chứng minh: a) OB = OC; � b) BOC = 2(180° - BAC ) O trung điểm BC Cho  ABC (AB = AC) Đường trung trực BC cắt trung tuyến BD G Chứng minh G trọng tâm  ABC Cho  ABC cân A AM đường trung trực cạnh BC (M � BC) Trên đoạn thẳng AM lấy điểm G cho AG = AM Chứng minh 6A đường thẳng BG qua trung điểm đoạn thẳng AC Cho tam giác MNP cân M Trên cạnh MN lấy điểm K, cạnh MP lấy điểm D cho MK = DP Đường trung trực MP cắt đường trung trực DK O Chứng minh: � � a) MKO  PDO ; b) O thuộc đường trung trực MN; � 6B c) MO tia phân giác NMP Cho  ABC cân A Gọi O điểm cách ba đỉnh A, B, C Nối OA, OB, OC � � a) Chứng minh OBA  OAC b) Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN Chứng minh O thuộc đường trung trực MN Dạng Chứng minh ba đường thẳng quy, ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải: Vận dụng tính chất đồng quy ba đường trung trực tam giác 7A Cho tam giác ABC cân A Gọi M trung điểm BC Các đường trung trực AB AC cắt E Chứng minh ba điểm A, E, M thẳng hàng 7B Cho tam giác MNP cân M, đường cao MH Các đường trung trực MN MP cắt D Chứng minh ba điểm M, D, H thẳng hàng 8A Cho tam giác ABC cân A Trên nửa mặt phẳng bờ BC không chứa điểm A, dựng tam giác cân BCD Chứng minh đưòmg trung trực AB AC đồng quy với đường thẳng AD, 8B Cho tam giác ABC cân có A góc tù Gọi M trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa điểm A, dựng tam giác BNC cân N Chứng minh đường thẳng AM đường trung trực NB, NC đồng quy III BÀI TẬP VỀ NHÀ Tam giác ABC có �A góc tù Các đường trung trực cạnh AB AC cắt O Các điểm B C có thuộc đường trịn tâm O bán kính OA hay khơng? Vì sao? 76 GV: Vũ Hồng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 10  ABC nhọn, O giao điểm hai đường trung trực AB AC Trên tia đối tia OB lấy điểm D cho OB = OD a) Chứng minh O thuộc đường trung trực AD CD b) Chứng minh tam giác ABD, CBD vuông � 11 12 13 � c) Biết ABC = 70° Tính số đo góc ADC Cho  ABC có O giao điểm đường trung trực tam giác Biết � BO tia phân giác góc ABC Chứng minh: a)  BOA =  BOC; b) BO trung trực AC Cho tam giác ABC cân A Các đường trung trực AB AC cắt O Lấy điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Chứng minh: a)  DOB =  EOC; b) AO đường trung trực DE; c) DE // BC � Cho tam giác ABC vng A có C = 60° Lấy điểm D đối xứng với điểm C qua AB a) Có nhận xét tam giác DBC ? Vì sao? b) Chứng minh AC = BC 14 15 c) Trên tia BA lấy điểm O cho BO = BA Chứng minh O tâm đường tròn ngoại tiếp  DBC � A Cho tam giác ABC có > 90° Trên cạnh BC lấy điểm D E cho BD = BA, CE = CA Gọi I giao điểm tia phân giác tam giác ABC Chứng minh: a) BI, CI đường trung trực AD, AE; b) IA = ID = IE Trên ba cạnh AB, BC CA tam giác ABC lấy điểm theo thứ tự M, N, P cho AM = BN = CP Gọi O giao điểm ba đường trung trực tam giác ABC � 16 17 a) Tính số đo góc MAO b) Chứng minh  MAO =  OPC c) Chứng minh O giao điểm ba đường trung trực tam giác MNP Cho  ABC cân (AB = AC ) Các đường trung trực AB AC cắt O cắt BC M N (M N nằm đoạn thẳng BC ) Chứng minh: a)  AMB  ANC cân; b)  AMC =  ANB; c) AO đường trung trực MN � Cho  ABC vuông A, C = 30° Kẻ đường trung trực đoạn thẳng AC, cắt AC H cắt BC D Nối A D 77 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến a) Chứng minh  ABD b) Kẻ phân giác góc B� cắt AD K, cắt DH kéo dài I Chứng minh I tâm đường qua ba đỉnh, tam giác ADC c) Gọi E, F hình chiếu vng góc I xuống đường thẳng BC, BA Chứng minh IE = IF = IK � d) Tính số đo góc DAI 18 Cho  ABC có góc A tù, tia phân giác B C cắt O Lấy E điểm cạnh AB Từ E hạ EP  BO (P thuộc BC), từ P hạ PF  OC (F thuộc AC) Chứng minh: a) OB OC đường trung trực PE PF; b) BE + CF = BC 19 Cho tam giác ABC cân A, đường phân giác AK Các đường trung trực AB AC cắt O a) Chứng minh ba điểm A, K, O thẳng hàng b) Kéo dài CO cắt AB D, kéo dài BO cắt AC E Chúng minh AK đường trung trực AD AE đồng quy 20* Cho tam giác ABC vuông A Kẻ AH vng góc với BC, H � BC � � Tia phân giác góc HAB cắt BC D, tia phân giác góc HAC cắt BC E Chứng minh điểm cách ba cạnh  ABC điểm cách ba đỉnh  ADE 21* Cho  ABC có ba góc nhọn Các điểm F, K, I trung điểm, cạnh BC, BA, AC Gọi H giao điểm đường trung trực  ABC Trên tia đối tia FH lấy điểm A' cho A'F = FH Trên tia đối tia KH lấy điểm C' cho KH = KC' Trên tia đối tia IH lấy điểm B' cho IH = IB' a) Chứng minh hình sáu cạnh A'BC'AB'C có sáu cạnh sáu cạnh có đơi song song � �  60� , BAC b) Cho ABC  80� Tính góc hình sáu cạnh A'BC'AB'C 78 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến CHỦ ĐỀ TÍNH CHẤT BA ĐƯỜNG CAO CỦA TAM GIÁC I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Đường cao tam giác Đường cao tam giác đoạn vng góc kẻ tà đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện Tính chất ba đường cao tam giác Ba đường cao tam giác qua điểm Điểm gọi trực tâm tam giác Trong hình vẽ AD, BE, CF đường cao, H trực tâm tam giác ABC Về đường cao, trung tuyến, trung trực, phân giác tam giác cân - Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác - Trong tam giác, có hai bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực,đường cao) trùng tam giác tam giác cân - Trong tam giác vng, trực tâm tam giác đỉnh góc vng tam giác II BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN Dạng Xác định trực tâm tam giác Phương pháp giải: Để xác định trực tâm tam giác, ta cần tìm giao điểm hai đường cao tam giác 1A Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE CF cắt H a) Chỉ đường cao tam giác HBC Từ trực tâm tam giác b) Chỉ trực tâm tam giác HAB HAC � 1B Cho tam giác HBC có H > 90°, đường cao BD CE cắt A Tìm trực tâm tam giác ABC 2A Hãy giải thích trực tâm tam giác vng trùng với đỉnh góc vng? 2B Cho tam giác ABC vng A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM Chứng minh trực tâm tam giác ABC, MAB MAC thẳng hàng Dạng Sử dụng tính chất trực tâm tam giác để chứng minh hai đường thẳng vng góc Phương pháp giải: Nếu H giao điểm hai đường cao kẻ từ B C tam giác ABC AH  BC 79 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 3A 3B Cho tam giác MNP có ba góc nhọn, đường cao NQ, PR cắt S � � a) Chứng minh MS  NP b) Cho MNP = 65° Tính SMR Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE cắt I a) Chứng minh CI  AB � � � Cho ABC = 50° Tính AIE , DIE 4A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Lấy điểm K thuộc đoạn thẳng HC Qua K kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AH D Chứng minh AK  CD 4B Cho tam giác MNP vuông M Trên cạnh MN lấy điểm Q, kẻ QR  NP (R � NP) Gọi O giao điểm đường thẳng PM RQ Chứng minh PQ  ON 5A Cho tam giác MNP vuông M (MP < MN) Trên cạnh MN lấy điểm Q cho MQ = MP, tia đối tia MP lấy điểm R cho MR = MN Chứng minh: a) PQ  NR b) RQ  NP 5B Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AB lấy điểm D (D khác A, B), tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AD Tia ED cắt BC F Chứng minh: a) EF  BC b) DF = BF; c) CD  BE Dạng Đường cao tam giác cân Phương pháp giải: Sử dụng tính chất: Trong tam giác cân đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực tam giác 6A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BE cắt đường trung tuyến AD H Chứng minh CH  AB 6B Cho tam giác MNP cân M, đường cao PQ cắt đường phân giác MS K Chứng minh NK  MP 7A Cho tam giác ABC cân A, đường cao BD, CE cắt H � Chứng minh AH tia phân giác BAC 7B Cho tam giác DEF cân D, đường cao EM, FN cắt O Gọi I giao điểm DO với EF Chứng minh IE = IF Dạng Sử dụng tính chất trực tâm để chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp giải: Nếu ba đường thẳng ba đường cao tam giác chúng qua điểm 8A Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường phân giác BM Trên cạnh BC lấy điểm D cho BD = BA a) Chứng minh BM  AD b) Gọi H hình chiếu vng góc D AC,K hình chiếu vng góc A DM Chứng minh ba đường thẳng AK, BM, DH đồng quy 8B Cho tam giác ABC vuông B, kẻ đường phân giác AD Trên cạnh AC lấy điểm E cho AB = AE a) Chứng minh DE  AC b) Gọi F hình chiêu vng góc C đường thẳng AD Chứng minh ba đường thẳng AB, ED, CF đồng quy 80 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến III 10 11 BÀI TẬP VỀ NHÀ Trong câu sau, câu đúng? Cho  MNP không vuông, H trực tâm, đó: a) M trực tâm tam giác HNP; b) N trực tâm tam giác MPH; c) P trực tâm tam giác MHN; d) M trực tâm tam giác MNP Cho tam giác MNO có ba góc nhọn Gọi K, P chân đường cao kẻ từ M N Gọi S giao điểm MK NP � � a) Chứng minh OS  MN b) Cho MNO = 70 Tính OSK Cho tam giác ABC cân A, kẻ đường cao CD Đường trung trực BC cắt CD M a) Chứng minh BM  AC � � b) Tính BMD biết ABC = 70° 12 Cho tam giác ABC có AB = AC = 13 cm, BC = 10 cm Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác ABC 13 Cho tam giác ABC có BC cạnh lớn Gọi I giao điểm đường phân giác góc B góc C Trên cạnh BC lấy điểm D, E cho CD = CA, BE = BA a) Chứng minh BI  AE CI  AD b) Gọi M giao điểm BI AD, N giao điểm CI AE Chứng minh AI  MN 14 Cho tam giác AMN cân A Đường trung trực d AM cắt đường thẳng MN P Gọi D hình chiếu vng góc M AP E trung điểm MN Chứng minh ba đường thẳng d,MD, AE đồng quy 15* Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH Gọi M, N trung điểm HB, HA Chứng minh AM vng góc với CN 81 GV: Vũ Hồng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ I TÓM TẮT LÝ THUYẾT Xem phẩn Tóm tắt lý thuyết từ Bài đến Bài II BÀI TẬP LUYỆN TẬP 1A Cho tam giác ABC có AB < AC Trên tia đối tia BC lấy điểm D cho BD = AB Trên tia đối tia CB lấy điểm E cho CE = AC So sánh: � 1B AEB ; a) ADC � b) AD AE Cho tam giác ABC có góc A tù, AB < AC Trên cạnh BC lấy M N cho BN = BA, CM = CA � � a) So sánh AMC ANB b) So sánh AM AN � 2A 2B 3A � , ACB  30�.Tính ba góc  AMN c) Cho biết ABC  40� Cho tam giác ABC, trung tuyến AM trọng tâm G Trên tia đối tia BC lấy điểm E, tia đối tia CB lấy điểm F cho BE = CF a) Chứng minh G trọng tâm tam giác AEF b) Gọi N trung điểm AF Chứng minh ba điểm E, G, N thẳng hàng c) Gọi H trung điểm GA, I trung điểm GE Chứng minh IH // MN IH = MN Cho tam giác ABC, trung tuyên AM Trên tia đối tia MA lấy D cho MD = MA a) Chứng minh AB // CD AB = CD b) Gọi E F trung điểm AC BD AF cắt BC I, DE cắt BC K Chứng minh I trọng tâm tam giác ABD, K trọng tâm tam giác ACD c) Chứng minh BI = IK = KC d) Chứng minh E, M, F thẳng hàng Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BC lấy M cho BM = BA Trên tia đối tia CB lấy N cho CN = CA Qua M kẻ đường thẳng song song với AB, qua N kẻ đường thẳng song song với AC, chúng cắt P � a) Chứng minh MA tia phân giác PMB , NA tia phân giác � PNC � b) Chứng minh PA tia phân giác MNP c) Gọi D trung điểm AM, E trung điểm AN, đường thẳng BD, CE cắt Q Chứng minh QM = QN 82 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến d) Chứng minh ba điểm P, A, Q thẳng hàng 3B Cho tam giác ABC, đường phân giác góc B đường phân giác C cắt I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC E, F a) Chứng BEI, CFI tam giác cân b) Chứng minh BE + CF = EF c) Gọi M trung điểm IB, N trung điểm IC, đường thẳng EM, FN cắt O Chứng minh OB = OC d) Chứng minh ba điểm A, I, O thẳng hàng 4A Cho tam giác ABC cân A ( �A < 90°), đường phân giác AD Kẻ đường cao BE, gọi H giao điểm BE AD a) Chứng minh CH  AB b) Gọi F giao điểm CH AB Chứng minh AD trung trực EF c) Kẻ EI  HC, FJ  HB với I�HC, J �HB Chứng minh đường thẳng EI, FJ,AD qua điểm, kí hiệu điểm O d) Chứng minh AC - AF > OF - OC 4B Cho tam giác ABC vng A Tia phân giác góc B cắt cạnh AC D Kẻ DE vng góc với BC E a) Chứng minh DA = DE b) Chứng minh BD trung trực AE c) Kẻ CK vng góc với BD K, đường thẳng CK, BA cắt F Chứng minh ba điểm E, D, F thẳng hàng d) Chứng minh BC - BA > DC - DA III BÀI TẬP VỀ NHÀ Cho tam giác ABC có AB < AC, đường trung tuyến AM Trên tia đối tia MA lấy điểm D cho MD = MA a) Chứng minh AB = CD, AB // CD � � b) So sánh MAB MAC � AMB AMC c) So sánh � Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy E cho AE = 2AB Trên tia đối tia BC lấy D cho BD = BC a) Chứng minh A trọng tâm  CDE b) Gọi F trung điểm DE Chứng minh ba điểm C, A, F thẳng hàng c) Chứng minh BE + CF > EC � Cho tam giác ABC, đường phân giác B� C cắt I Kẻ ID  AB, IE  AC với D �AB, E �AC a) Chứng minh  ADE cân A b) Chúng minh AI trung trực DE 83 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến � � c) Biết BAC = 60° Tính số đo BIC Cho tam giác ABC cân A, trung tuyến AM Trên tia đối tia BC lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD = CE a) Chứng minh  ADE cân A � b) Chứng minh AM tia phân giác DAE c) Kẻ BH  AD, CK  AE với H � AD, K � AE Chứng minh �  ECK � DBH d) Gọi N giao điểm HB KC Chứng minh ba điểm A, M, N thẳng hàng Cho tam giác ABC cân A ( �A < 90°), kẻ đường phân giác AD Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho MD = AD a.) Chứng minh  DAM vuông cân D b) Kẻ BN vng góc với AM N, đường thẳng BN AD cắt O Chứng minh OM  AB c) Chứng minh OB = OC d) Chứng minh AM // OC 10 Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH đường phân giác BD � cắt I Tia phân giác HAC cắt cạnh BC E a) Chứng minh  BAE cân B b) Chứng minh I trực tâm  ABE, c) Chứng minh EI //AC � 11 d) Cho biết ACB = 40° Tính góc  IAE Cho tam giác ABC vuông A (AB < AC), đường cao AH Trên cạnh BC lấy điểm M cho BA = BM � a) Chứng minh AM tia phân giác HAC b) Gọi K hình chiếu vng góc M AC Chứng minh AM trung trực HK c) Gọi I hình chiếu vng góc C tia AM Chứng minh AH, KM, CI đồng quy d) Chứng minh AB + AC < AH + BC 12* Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < AC Kẻ đường cao AD Vẽ điểm M cho AB trung trực DM, vẽ điểm N cho AC trung trực DN a) Chứng minh  AMN cân A b) Đường thẳng MN cắt AB, AC F, E Chứng minh DA � tia phân giác EDF � c) Chứng minh EB tia phân giác DEF  d) Chứng minh BE AC e) Chứng minh AD, BE, CF đồng quy 84 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến 85 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ Thời gian làm cho đề 45 phút ĐỀ SỐ l PHẦN I TRẮC NGHIỆM (4 ĐIỂM) Khoanh vào chữ cáỉ đứng trước câu trả lời đúng; Câu Độ dài hai cạnh tam giác cm 10 cm Trong số đo sau đây, số đo sau độ dài cạnh thứ ba tam giác đó? A cm B cm C cm D cm Câu Cho tam giác ABC, trung tuyến AD Gọi G điểm nằm A AG  D cho AD Tia BG cắt AC E, tia CG cắt AB F Khẳng định sau sai? BG 2 A EG FG  C CG Câu B E trung điểm cạnh AC D F trung điểm cạnh AB � � � Cho tam giác ABC có A  B  C Hai đường phân giác góc A � góc C cắt O Khi số đo BOC bằng: A 85° B 90° C 135° Câu Câu Câu Câu � Tam giác ABC có góc A tù, B  C Trong khẳng định sau, khẳng định đúng? A BC >AC >AB B AC >AB >BC C BC >AB > AC D AB > AC > BC Qua điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vng góc AH đường xiên AB,AC đến đường thẳng d (H, B, C thuộc d) Biết HB < HC Hãy chọn khẳng định khẳng định sau: A AB > AC B AB < AC C AB = AC D AH > AB Cho góc xOy có số đo 60° Điểm M nằm góc cách Ox, Oy khoảng cm Khi đoạn thẳng OM bằng: A cm B cm C cm D cm Trên đường trung trực đoạn thẳng AB, lấy hai điểm phân biệt M,N Khi khẳng định sau đúng? � � A AMN �BMN � Câu � D 150° � B  AMN =  BMN � � C MAN �MBN D MNA �MNB Cho tam giác ABC vuông A Gọi P, Q, K trung điểm ba cạnh AB, AC, BC Gọi O giao điểm ba đường phân giác  ABC Khỉ tâm đường tròn ngoại tiếp  ABC là: 86 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến A O B P C Q D R PHẦN II TỰ LUẬN (6 ĐIỂM) Bài (2,5 điểm) Cho  ABC cân A có AD đường phân giác a) Chứng minh  ABD =  ACD b) Gọi G trọng tâm  ABC Chứng ba điểm A, D, G thẳng hàng c) Tính DG biết AB = 13 cm, BC = 10 cm Bài (3,5 điểm) Cho  ABC Gọi E, F trung điểm AB,AC Trên tia đối tia FB lấy P cho PF = BF Trên tia đối tia EC lấy điểm Q cho QE = CE a) Chứng minh A trung điểm PQ b) Chứng minh BQ // AC CP // AB c) Gọi R giao điểm hai đường thẳng PC QB Chứng minh chu vi  PQR hai lần chu vi  ABC d) Chứng minh AR, BP,CQ đồng quy điểm 87 GV: Vũ Hoàng Dũng – 0972026205 – Ngõ 13 Khuất Duy Tiến ĐỀ SỐ PHẦN I TRẮC NGHIỆM (2 ĐIỂM) Câu (1,0 điểm) Trong khẳng định sau, khẳng định đúng, khẳng định sai? A Trong tam giác tù, cạnh đối diện với góc tù cạnh lớn B Trong tam giác, cạnh đối diện với góc nhọn cạnh nhỏ C Trong tam giác góc đối diện với cạnh nhỏ góc nhọn D Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc tù Cân (1,0 điểm) Khoanh vào chữ đứng trước câu trả lời đúng: � , E  60�thì: a) Tam giác DEF có D  40� A DF < EF < DE B EF < DF < DE C DE < EF < DF C EF < DE < DF b) Trực tâm tam giác thường là: A Giao điểm đường trung tuyến tam giác B Giao điểm đường trưng trực tam giác C Giao điểm đường cao tam giác D Giao điểm đường phân giác tam giác PHẦN II TỰ LUẬN (8 ĐIỂM) Cho tam giác ABC vuông B, BC < BA Lấy điểm E cho B trung điểm CE a) Chứng minh AB tia phân giác góc CAE b) Vẽ CM vng góc với AE M, CM cắt AB H Vẽ HN vng góc với CA N Chứng minh  MAN cân MN song song với CE c) So sánh HM HC d) Tìm điều kiện  ABC để  CMN cân N 88 ... 0,5xy3 - 7, 5x3y2 + x3; N = 3xy3 - x2y + 5,5x3y2 c) P = x5 +xy + 0,3y2 - x2y2 - 2; Q = x2y2 +5 - l,3y2 1B Thực phép tính: a) A = (x2 +y2 - 2xy) + (x2 + y2 + 2xy); b) B = (3x2 - xy2 +3y2) + (-x2 +7xy... a) 3x ; x2 ; 2x2; 3B b) 3y ; y ; - 5y Tìm tổng ba đơn thức: a) x2y2 ; - x2y2 2x2y2; b) 25 xy2; 55xy2+ 75 xy2 4A Thu gọn biểu thức sau: a) -3x2 - 0,5x2 + 2, 5x2 ; b) 5x3 - 3x2 + x - x3 - 4x2 - x; c)... (x2 - 2y2) = x2 - y2 + 3xy2 -1; b) Q - (5x2 - xyz) = xy + 2x2 - 3xyz + 5B Tìm đa thức M; N biết: a) (6x2 - 3xy2) + M = x2 + y2 - 2xy2; b) N - (2xy - 4y2) = 5xy + x2 - 7y2 6A Cho đa thức: A = x2