toán lượng giác 11 tài liệu học tập

toán 11,phương trình lượng giác cơ bản toán 11,hàm số lượng giác,lượng giác toán 11,hàm số lượng giác toán 11,phương trình lượng giác,phương trình lượng giác toán 11,phương trình lượng giác cơ bản,lượng giác,toán học 11,toán học lớp 11,toán 11 hàm số lượng giác,phương trình lượng giác 11,giải phương trình lượng giác toán 11,lượng giác 11,hàm số lượng giác lớp 11,phương trình lượng giác cơ bản lớp 11,giải phương trình lượng giác

CHƯƠNG 1: CÔNG THỨC LƯNG GIÁC I Định nghóa Trên mặt phẳng Oxy cho đường tròn lượng giác tâm O bán kính R=1 điểm M đường tròn lượng giác mà sđ AM = β với ≤ β ≤ 2π Đặt α = β + k2π,k ∈ Z Ta định nghóa: sin α = OK cos α = OH sin α với cos α ≠ tgα = cos α cos α với sin α ≠ cot gα = sin α II Bảng giá trị lượng giác số cung (hay góc) đặc biệt Góc α Giá trị ( ) 0o sin α cos α tgα cot gα || π 30o ( ) 3 3 π 45o 2 2 π 60o 3 2 π 90o || 3 ( ) ( ) III Hệ thức sin α + cos2 α = 1 π với α ≠ + kπ ( k ∈ Z ) + tg2α = cos α với α ≠ kπ ( k ∈ Z ) t + cot g2 = sin α IV Cung liên kết (Cách nhớ: cos đối, sin bù, tang sai π ; phụ chéo) a Đối nhau: α −α sin ( −α ) = − sin α cos ( −α ) = cos α tg ( −α ) = −tg ( α ) cot g ( −α ) = − cot g ( α ) ( ) b Bù nhau: α π − α sin ( π − α ) = sin α cos ( π − α ) = − cos α tg ( π − α ) = − tgα cot g ( π − α ) = − cot gα c Sai π : α vaø π + α sin ( π + α ) = − sin α cos ( π + α ) = −cosα tg ( π + α ) = t gα cot g ( π + α ) = cot gα d Phụ nhau: α π −α ⎛π ⎞ sin ⎜ − α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ − α ⎟ = sin α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ tg ⎜ − α ⎟ = cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ − α ⎟ = tgα ⎝2 ⎠ π π : α vaø + α 2 ⎛π ⎞ sin ⎜ + α ⎟ = cos α ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cos ⎜ + α ⎟ = − sin α ⎝2 ⎠ e.Sai ⎛π ⎞ tg ⎜ + α ⎟ = − cot gα ⎝2 ⎠ ⎛π ⎞ cot g ⎜ + α ⎟ = − tgα ⎝2 ⎠ f sin ( x + kπ ) = ( −1) sin x, k ∈ Z k cos ( x + kπ ) = ( −1) cos x, k ∈ Z k tg ( x + kπ ) = tgx, k ∈ Z cot g ( x + kπ ) = cot gx V Công thức cộng sin ( a ± b ) = sin a cos b ± sin b cosa cos ( a ± b ) = cosa cos b ∓ sin asin b tg ( a ± b ) = tga ± tgb ∓ tgatgb VI Công thức nhân đôi sin 2a = 2sin a cosa cos2a = cos2 a − sin a = − 2sin a = cos2 a − 2tga tg2a = − tg2a cot g2a − cot g2a = cot ga VII Công thức nhaân ba: sin3a = 3sin a − 4sin3 a cos3a = cos3 a − 3cosa VIII Công thức hạ baäc: (1 − cos2a ) cos2 a = (1 + cos2a ) − cos2a tg2a = + cos2a sin a = IX Coâng thức chia đôi Đặt t = tg a (với a ≠ π + k2 π ) 2t + t2 − t2 cosa = + t2 2t tga = − t2 sin a = X Coâng thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b cosa − cos b = −2sin sin 2 a+b a−b sin a + sin b = cos sin 2 a+ b a−b sin a − sin b = cos sin 2 sin ( a ± b ) tga ± tgb = cosa cos b sin ( b ± a ) cot ga ± cot gb = sin a.sin b cosa + cos b = cos XI Công thức biển đổi tích thành tổng ⎡ cos ( a + b ) + cos ( a − b ) ⎤⎦ 2⎣ −1 sin a.sin b = ⎡ cos ( a + b ) − cos ( a − b ) ⎤⎦ ⎣ sin a.cos b = ⎡⎣sin ( a + b ) + sin ( a − b ) ⎤⎦ cosa.cos b = Bài 1: Chứng minh sin a + cos4 a − = sin a + cos6 a − Ta coù: sin a + cos4 a − = ( sin a + cos2 a ) − 2sin a cos2 a − = −2sin a cos2 a Vaø: sin a + cos6 a − = ( sin a + cos2 a )( sin a − sin a cos2 a + cos4 a ) − = sin a + cos4 a − sin a cos2 a − = (1 − 2sin a cos2 a ) − sin a cos2 a − = −3sin a cos2 a sin a + cos4 a − −2sin a cos2 a Do đó: = = sin a + cos6 a − −3sin a cos2 a + cos x ⎡ (1 − cos x ) ⎤ Bài 2: Rút gọn biểu thức A = = ⎢1 + ⎥ sin x sin x ⎥⎦ ⎢⎣ π Tính giá trị A cos x = − < x < π 2 + cos x ⎛ sin x + − cos x + cos2 x ⎞ Ta coù: A = ⎜ ⎟ sin x ⎝ sin x ⎠ + cos x (1 − cos x ) sin x sin x (1 − cos2 x ) 2sin x (với sin x ≠ ) ⇔A= = = 3 sin x sin x sin x Ta coù: sin x = − cos2 x = − = 4 π Do: < x < π nên sin x > Vậy sin x = 2 4 Do A = = = sin x 3 ⇔A= Baøi 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc x: a A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin x b B = cot gx + + tgx − cot gx − a Ta coù: A = cos4 x − sin x + sin2 x cos2 x + 3sin2 x ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x ) + (1 − cos2 x ) cos2 x + (1 − cos2 x ) ⇔ A = cos4 x − (1 − cos2 x + cos4 x ) + cos2 x − cos4 x + − 3cos2 x ⇔ A = (không phụ thuộc x) b Với điều kiện sin x.cosx ≠ 0,tgx ≠ Ta coù: B = cot gx + + tgx − cot gx − 1 +1 2 + tgx tgx ⇔ B= + = + tgx − 1 − tgx − 1 − tgx tgx ⇔ B= − (1 − tgx ) − tgx = = −1 (không phụ thuộc vào x) tgx − tgx − Bài 4: Chứng minh + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ cos2 b − sin c − cot g2 b cot g2 c = cot ga − ⎢1 − ⎥+ 2 2sin a ⎢ sin a ⎥ sin bsin c ⎣ ⎦ Ta coù: cos2 b − sin c * − cot g2 b.cot g2 c 2 sin b.sin c cotg2 b = − − cot g2 b cot g2 c sin c sin b = cot g2 b + cot g2 c − + cot g2 b − cot g b cot g2 c = −1 (1) ( ) ( ) + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ * ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ sin a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ (1 − cosa ) ⎤ = ⎢1 − ⎥ 2sin a ⎢ − cos2 a ⎥ ⎣ ⎦ + cosa ⎡ − cosa ⎤ 1− = 2sin a ⎢⎣ + cosa ⎥⎦ + cosa cosa = = cot ga (2) 2sin a + cosa Lấy (1) + (2) ta điều phải chứng minh xong Bài 5: Cho ΔABC tùy ý với ba góc nhọn Tìm giá trị nhỏ P = tgA.tgB.tgC Ta có: A + B = π − C Neân: tg ( A + B) = − tgC tgA + tgB = − tgC − tgA.tgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgA.tgB.tgC Vaäy: P = tgA.tgB.tgC = tgA + tgB + tgC ⇔ Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA,tgB,tgC ta tgA + tgB + tgC ≥ 3 tgA.tgB.tgC ⇔ P ≥ 33 P ⇔ P2 ≥ ⇔P≥3 ⎧ tgA = tgB = tgC π ⎪ Dấu “=” xảy ⇔ ⎨ π ⇔ A = B=C= ⎪⎩ < A,B,C < π Do đó: MinP = 3 ⇔ A = B = C = Baøi : Tìm giá trị lớn nhỏ a/ y = sin x + cos4 2x b/ y = sin x − cos x ⎛ − cos 2x ⎞ a/ Ta coù : y = ⎜ ⎟ + cos 2x ⎝ ⎠ Đặt t = cos 2x với −1 ≤ t ≤ y = (1 − t ) + t => y ' = − (1 − t ) + 4t 3 Ta coù : y ' = Ù (1 − t ) = 8t ⇔ − t = 2t ⇔t= ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ 27 Do : Max y = Miny = x∈ 27 x∈ Ta coù y(1) = 1; y(-1) = 3; y ⎜ ⎟ = b/ Do điều kiện : sin x ≥ vaø cos x ≥ nên miền xác định π ⎡ ⎤ D = ⎢ k2π, + k2π ⎥ với k ∈ ⎣ ⎦ 2 Đặt t = cos x với ≤ t ≤ t = cos x = − sin x Neân sin x = − t4 Vaäy y = − t − t D ' = [ 0,1] Thì y ' = −t (1 − t ) − < ∀t ∈ [ 0; 1) Nên y giảm [ 0, ] Vậy : max y = y ( ) = 1, y = y (1) = −1 x∈ D x∈ D Bài 7: Cho hàm số y = sin4 x + cos4 x − 2m sin x cos x Tìm giá trị m để y xác định với x Xét f (x) = sin x + cos4 x − 2m sin x cos x f ( x ) = ( sin x + cos2 x ) − m sin 2x − sin x cos2 x sin2 2x − m sin 2x Đặt : t = sin 2x với t ∈ [ −1, 1] f ( x) = − y xác định ∀x ⇔ f ( x ) ≥ 0∀x ∈ R t − mt ≥ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1,1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤ 2 ⎪m ≤ ⎪⎩ Caùch khaùc : g ( t ) = t + 2mt − ≤ ∀t ∈ [ −1, 1] ⇔ max g (t ) ≤ ⇔ max { g (−1), g (1)} ≤ t ∈[ −1,1 ] −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ ⇔ max {−2m − 1),− 2m + 1)} ≤ ⇔ ⎨ ⎪m ≤ ⎪⎩ ⇔− 1 ≤m≤ 2 π 3π 5π 7π + sin4 + sin4 + sin4 = 16 16 16 16 7π π ⎛π π ⎞ Ta coù : sin = sin ⎜ − ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ 3π 5π ⎛ π 5π ⎞ = cos ⎜ − sin ⎟ = cos 16 16 ⎝ 16 ⎠ Bài : Chứng minh A = sin4 Mặt khác : sin α + cos4 α = ( sin α + cos2 α ) − sin α cos2 α = − 2sin2 α cos2 α = − sin2 2α π 7π 3π 5π + sin4 + sin4 + sin4 Do : A = sin4 16 16 16 16 π π ⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ 3π = ⎜ sin + cos4 + cos4 ⎟ + ⎜ sin ⎟ 16 16 ⎠ ⎝ 16 16 ⎠ ⎝ π⎞ ⎛ 3π ⎞ ⎛ = ⎜ − sin ⎟ + ⎜ − sin ⎟ 8⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎛ π 3π ⎞ = − ⎜ sin + sin ⎟ 2⎝ 8 ⎠ 1⎛ π π⎞ ⎛ 3π π⎞ = cos ⎟ = − ⎜ sin + cos2 ⎟ ⎜ sin 2⎝ 8 8⎠ 8⎠ ⎝ = 2− = 2 Bài : Chứng minh : 16 sin 10o sin 30o sin 50o sin 70o = A cos 10o = Ta coù : A = (16sin10ocos10o)sin30o.sin50o.sin70o o o cos 10 cos 10 ⎛1⎞ ⇔ A= sin 20o ) ⎜ ⎟ cos 40o cos 20o o ( cos 10 ⎝2⎠ sin 200 cos 20o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 sin 40o ) cos 40o ⇔ A= o ( cos10 cos 10o o sin 80 = =1 ⇔ A= cos10o cos 10o Baøi 10 : Cho ΔABC Chứng minh : tg A B B C C A tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 A+B π C = − 2 A+B C = cot g Vaäy : tg 2 A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 A B C A B ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ Ta coù : ⇔ tg A C B C A B tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 π π π π + 2tg + tg = cot g ( *) 16 32 32 π π π π − tg − 2tg − 4tg Ta coù : (*) ⇔ = cot g 32 32 16 2 cos a sin a cos a − sin a − = Maø : cot ga − tga = sin a cos a sin a cos a cos 2a = = cot g2a sin 2a Do : π π⎤ π π ⎡ (*) ⇔ ⎢ cot g − tg ⎥ − 2tg − 4tg = 32 32 ⎦ 16 ⎣ π π⎤ π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ = ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 + + + = cot gx − cot g16x b/ sin 2x sin 4x sin 8x sin16x ⎞ ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π a/ Ta coù : cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ − x⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 1⎡ 4π ⎞ ⎤ ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π = (1 + cos 2x ) + ⎢1 + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ ⎥ + ⎢1 + cos ⎜ 2⎣ ⎠⎦ ⎣ ⎝ ⎝ ⎠⎦ + = + = 1⎡ 4π ⎞ ⎞⎤ ⎛ ⎛ 4π cos 2x + cos ⎜ 2x + − 2x ⎟ ⎥ ⎟ + cos ⎜ ⎢ 2⎣ ⎠ ⎠⎦ ⎝ ⎝ 1⎡ 4π ⎤ cos 2x + cos 2x cos ⎥ ⎢ 2⎣ 3⎦ 1⎡ ⎛ ⎞⎤ + ⎢ cos 2x + cos 2x ⎜ − ⎟ ⎥ 2⎣ ⎝ ⎠⎦ = cos a cos b sin b cos a − sin a cos b − = b/ Ta coù : cot ga − cot gb = sin a sin b sin a sin b = = sin ( b − a ) sin a sin b sin ( 2x − x ) = (1 ) sin x sin 2x sin 2x sin ( 4x − 2x ) = cot g2x − cot g4x = ( 2) sin 2x sin 4x sin 4x sin ( 8x − 4x ) cot g4x − cot g8x = = ( 3) sin 4x sin 8x sin 8x sin (16x − 8x ) cot g8x − cot g16x = = (4) sin16x sin 8x sin16x Laáy (1) + (2) + (3) + (4) ta 1 1 cot gx − cot g16x = + + + sin 2x sin 4x sin 8x sin16x Do : cot gx − cot g2x = Baøi 13 : Chứng minh : 8sin3 180 + 8sin2 180 = Ta coù: sin180 = cos720 ⇔ sin180 = 2cos2360 - ⇔ sin180 = 2(1 – 2sin2180)2 – ⇔ sin180 = 2(1 – 4sin2180+4sin4180)-1 ⇔ 8sin4180 – 8sin2180 – sin180 + = (1 ) ⇔ (sin180 – 1)(8sin3180 + 8sin2180 – 1) = ⇔ 8sin3180 + 8sin2180 – = (do < sin180 < 1) Cách khác : Chia vế (1) cho ( sin180 – ) ta coù ( ) ⇔ 8sin2180 ( sin180 + ) – = Bài 14 : Chứng minh : ( + cos 4x ) b/ sin 6x + cos 6x = ( + 3cos 4x ) c/ sin8 x + cos8 x = ( 35 + 28 cos 4x + cos 8x ) 64 a/ sin4 x + cos4 x = a/ Ta coù: sin x + cos4 x = ( sin x + cos2 x ) − sin x cos2 x 2 sin2 2x = − (1 − cos x ) = + cos 4x 4 =1− b/ Ta coù : sin6x + cos6x = ( sin x + cos2 x )( sin x − sin x cos2 x + cos4 x ) = ( sin4 x + cos4 x ) − sin2 2x ⎛3 ⎞ = ⎜ + cos 4x ⎟ − (1 − cos 4x ) ⎝4 ⎠ = cos 4x + 8 ( kết câu a ) c/ Ta có : sin x + cos8 x = ( sin x + cos4 x ) − sin x cos4 x 2 ( + cos 4x ) − sin4 2x 16 16 1 ⎡1 ⎤ = ( + cos 4x + cos 4x ) − ⎢⎣ (1 − cos 4x )⎥⎦ 16 1 = + cos 4x + (1 + cos 8x ) − (1 − cos 4x + cos2 4x ) 16 32 32 1 = + cos 4x + cos 8x + cos 4x − (1 + cos 8x ) 16 32 16 64 35 = + cos 4x + cos 8x 64 16 64 = Baøi 15 : Chứng minh : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x Cách 1: Ta có : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x = cos3 2x = ( 3sin x − sin x ) sin x + ( cos3 x − cos x ) cos3 x = 3sin4 x − sin6 x + cos6 x − 3cos4 x = ( sin x − cos4 x ) − ( sin x − cos6 x ) = ( sin x − cos2 x )( sin x + cos2 x ) −4 ( sin x − cos2 x )( sin x + sin x cos2 x + cos4 x ) = −3 cos 2x + cos 2x ⎡⎣1 − sin x cos2 x ⎤⎦ ⎛ ⎞ = −3 cos 2x + cos 2x ⎜ − sin 2x ⎟ ⎝ ⎠ ⎡ ⎛ ⎞⎤ = cos 2x ⎢ −3 + ⎜ − sin 2x ⎟ ⎥ ⎝ ⎠⎦ ⎣ = cos 2x (1 − sin 2x ) = cos3 2x Cách : Ta có : sin 3x.sin3 x + cos 3x.cos3 x ⎛ 3sin x − sin 3x ⎞ ⎛ cos x + cos 3x ⎞ = sin 3x ⎜ ⎟ ⎟ + cos 3x ⎜ 4 ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ = ( sin 3x sin x + cos 3x cos x ) + ( cos2 3x − sin2 3x ) 4 cos ( 3x − x ) + cos 6x 4 = ( 3cos 2x + cos 3.2x ) = ( 3cos 2x + cos3 2x − 3cos 2x ) ( bỏ dòng được) = cos3 2x +1 Bài 16 : Chứng minh : cos12o + cos18o − cos15o.cos 21o cos 24 o = − o o o o o Ta coù : cos12 + cos18 − cos15 ( cos 21 cos 24 ) = = cos15o cos 3o − cos15o ( cos 45o + cos 3o ) = cos15o cos 3o − cos15o cos 45o − cos15o cos 3o = −2 cos15o cos 45o = − ( cos 60o + cos 30o ) =− +1 Bài 17 : Tính P = sin2 50o + sin2 70 − cos 50o cos70o 1 Ta coù : P = (1 − cos100o ) + (1 − cos140o ) − ( cos120o + cos 20o ) 2 1 ⎛ ⎞ P = − ( cos100o + cos140o ) − ⎜ − + cos 20o ⎟ 2⎝ ⎠ 1 P = − ( cos120o cos 20o ) + − cos 20o 1 P = + cos 20o − cos 20o = 2 Bài 18 : Chứng minh : tg30o + tg40o + tg50o + tg60o = sin ( a + b ) cos a cos b o o Ta coù : ( tg50 + tg40 ) + ( tg30o + tg60o ) Áp dụng : tga + tgb = sin 90o sin 90o = + cos 50o cos 40o cos 30o cos 60o 1 = + o o sin 40 cos 40 cos 30o 2 = + o sin 80 cos 30o ⎞ ⎛ = 2⎜ + ⎟ o cos 30o ⎠ ⎝ cos10 cos 20o ⎛ cos 30o + cos10o ⎞ = 2⎜ o o ⎟ ⎝ cos10 cos 30 ⎠ cos 20p cos10o =4 cos10o cos 30o = cos 20o Baøi 19 : Cho ΔABC , Chứng minh : A B C cos cos 2 A B C b/ socA + cos B + cos C = + sin sin sin 2 c/ sin 2A + sin 2B + sin 2C = sin A sin B sin C d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = −2 cos A cos B cos C e/ tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC f/ cot gA.cot gB + cot gB.cot gC + cot gC.cot gA = A B C A B C g/ cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 a/ sin A + sin B + sin C = cos a/ Ta coù : sin A + sin B + sin C = 2sin A+B A−B cos + sin ( A + B ) 2 A + B⎛ A−B A + B⎞ + cos ⎜ cos ⎟ ⎝ 2 ⎠ C A B ⎛ A + B π C⎞ = cos cos cos = − ⎟ ⎜ 2 2 2⎠ ⎝ A+B A−B cos − cos ( A + B ) b/ Ta coù : cos A + cos B + cos C = cos 2 A+B A−B ⎛ A+B ⎞ = cos − ⎜ cos2 − 1⎟ cos 2 ⎝ ⎠ A+B⎡ A−B A + B⎤ +1 = cos cos − cos ⎢ ⎣ 2 ⎥⎦ A+B A ⎛ B⎞ = −4 cos sin sin ⎜ − ⎟ + 2 ⎝ 2⎠ C A B = sin sin sin + 2 c/ sin 2A sin 2B + sin 2C = sin ( A + B ) cos ( A − B ) + sin C cos C = sin = sin C cos(A − B) + sin C cos C = 2sin C[cos(A − B) − cos(A + B) ] = −4 sin Csin A sin( − B) = sin C sin A sin B d/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = + ( cos 2A + cos 2B ) + cos2 C = + cos ( A + B ) cos ( A − B ) + cos2 C = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) − cos C ⎤⎦ ( cos ( A + B ) = − cos C ) = − cos C ⎡⎣cos ( A − B ) + cos ( A + B ) ⎤⎦ = − cos C.cos A.cos B e/ Do a + b = π − C nên ta có tg ( A + B ) = −tgC tgA + tgB = −tgC − tgAtgB ⇔ tgA + tgB = −tgC + tgAtgBtgC ⇔ tgA + tgB + tgC = tgAtgBtgC f/ Ta coù : cotg(A+B) = - cotgC − tgAtgB = − cot gC ⇔ tgA + tgB cot gA cot gB − = − cot gC (nhân tử mẫu cho cotgA.cotgB) ⇔ cot gB + cot gA ⇔ cot gA cot gB − = − cot gC cot gB − cot gA cot gC ⇔ cot gA cot gB + cot gB cot gC + cot gA cot gC = A+B C = cot g g/ Ta coù : tg 2 A B tg + tg 2 = cot g C ⇔ A B − tg tg 2 A B cot g + cot g 2 = cot g C (nhaân tử mẫu cho cotg A cotg B ) ⇔ A B 2 cot g cot g − 2 A B A B C C ⇔ cot g + cot g = cot g cot g cot g − cot g 2 2 2 A B C A B C ⇔ cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 ⇔ Bài 20 : Cho ΔABC Chứng minh : cos2A + cos2B + cos 2C + 4cosAcosBcosC + = Ta coù : (cos2A + cos2B) + (cos2C + 1) = cos (A + B)cos(A - B) + 2cos2C = - 2cosCcos(A - B) + 2cos2C = - 2cosC[cos(A – B) + cos(A + B)] = - 4cosAcosBcosC Do : cos2A + cos2B + cos2C + + 4cosAcosBcosC = Baøi 21 : Cho ΔABC Chứng minh : cos3A + cos3B + cos3C = - sin 3A 3B 3C sin sin 2 Ta coù : (cos3A + cos3B) + cos3C 3 3C = cos (A + B) cos (A − B) + − 2sin2 2 3 3C Maø : A + B = π − C neân ( A + B ) = π − 2 ⎛ 3π 3C ⎞ => cos ( A + B ) = cos ⎜ − ⎟ 2 ⎠ ⎝ ⎛ π 3C ⎞ = − cos ⎜ − ⎟ ⎠ ⎝2 3C = − sin Do : cos3A + cos3B + cos3C ( A − B) 3C 3C = −2 sin cos − 2sin +1 2 ( A − B) 3C ⎡ 3C ⎤ = −2 sin + sin ⎢cos ⎥ +1 ⎣ 2 ⎦ ( A − B) ⎤ 3C ⎡ = −2 sin − cos ( A + B ) ⎥ + ⎢cos ⎣ 2 ⎦ −3B 3C 3A sin sin( ) +1 2 3C 3A 3B = −4 sin sin sin +1 2 = sin Baøi 22 : A, B, C ba góc tam giác Chứng minh : sin A + sin B − sin C A B C = tg tg cot g cos A + cos B − cos C + 2 A+B A−B C C sin cos − sin cos sin A + sin B − sin C 2 2 = Ta coù : A+B A−B cos A + cos B − cos C + C + sin cos cos 2 C⎡ A−B C⎤ A−B A+B cos ⎢cos − sin ⎥ cos − cos C 2⎣ 2⎦ 2 = = cot g C⎡ A−B C⎤ cos A − B + cos A + B sin ⎢cos + sin ⎥ 2 2⎣ 2⎦ = cot g C A ⎛ B⎞ sin ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠ A B cos cos 2 −2 sin = cot g C A B tg tg 2 Baøi 23 : Cho ΔABC Chứng minh : A B C B C A C A B sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 A B C A B B C A C = sin sin sin + tg tg + tg tg + tg tg ( *) 2 2 2 2 A+B π C C ⎛ A B⎞ = − vaäy tg ⎜ + ⎟ = cot g 2 2 ⎝ 2⎠ A B tg + tg 2 = ⇔ A B C − tg tg tg 2 B⎤ C A B ⎡ A ⇔ ⎢ tg + tg ⎥ tg = − tg tg 2⎦ 2 ⎣ A C B C A B ⇔ tg tg + tg tg + tg tg = (1) 2 2 2 A B C B C A C A B Do : (*) Ù sin cos cos + sin cos cos + sin cos cos 2 2 2 2 A B C = sin sin sin + (do (1)) 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ A B+C A B+C + cos sin =1 ⇔ sin cos 2 2 A+B+C π = ⇔ sin = ( hiển nhiên đúng) ⇔ sin 2 Ta có : Bài 24 : Chứng minh : tg A B C + cos A + cos B + cos C + tg + tg = ( *) 2 sin A + sin B + sin C Ta coù : A+B A−B ⎡ C⎤ + ⎢1 − sin ⎥ + cos 2 2⎦ ⎣ C A−B C 2sin cos + − 2sin2 2 C⎡ A−B C⎤ − sin ⎥ + sin ⎢cos 2⎣ 2⎦ C⎡ A−B A + B⎤ − cos +4 sin ⎢cos 2⎣ 2 ⎥⎦ C A B sin sin sin + (1) 2 cos A + cos B + cos C + = cos = = = = A+B A−B cos + sin C 2 C A−B C C = cos cos + 2sin cos 2 2 C⎡ A−B A + B⎤ = cos ⎢ cos + cos 2⎣ 2 ⎥⎦ C A B = cos cos cos (2) 2 sin A + sin B + sin C = 2sin Từ (1) (2) ta có : A B C A B C sin sin sin sin sin sin + + + = 2 (*) ⇔ A B C A B C cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A⎡ B C⎤ B⎡ A C⎤ C⎡ A B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥ + sin ⎢cos cos ⎥ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ A B C = sin sin sin + 2 A⎡ B C B C⎤ A⎡ B C C B⎤ ⇔ sin ⎢cos cos − sin sin ⎥ + cos ⎢sin cos + sin cos ⎥ = 2⎣ 2 2⎦ 2⎣ 2 2⎦ A B+C A B+C + cos sin =1 ⇔ sin cos 2 2 ⎡A + B + C⎤ ⇔ sin ⎢ ⎥⎦ = ⎣ π ⇔ sin = ( hiển nhiên đúng) A B C sin sin sin 2 + + =2 Bài 25 : Cho ΔABC Chứng minh: B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 Caùch : A B A A B B sin sin sin cos + sin cos 2 2 2 + = Ta coù : B C C A A B C cos cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A+B A−B sin cos sin A + sin B 2 = = A B C cos A cos B cos C cos cos cos 2 2 2 ⎛ A − B⎞ C A−B cos ⎜ cos cos ⎟ ⎠ ⎝ 2 = = A B C A B cos cos cos cos cos 2 2 ⎛ A − B⎞ C A−B A+B cos ⎜ sin cos + cos ⎟ ⎝ ⎠+ 2 = Do : Vế trái = A B A B A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 A B cos cos 2 =2 = A B cos cos 2 Caùch : B+C A+C A+B cos cos 2 + + Ta có vế trái = B C C A A B cos cos cos cos cos cos 2 2 2 B C B C A C A C cos cos − sin sin cos cos − sin sin 2 2 + 2 = B C C A cos cos cos cos 2 2 A B A B cos cos − sin sin 2 2 + A B cos cos 2 cos Maø : Do : A C A B⎤ ⎡ B C = − ⎢ tg tg + tg tg + tg tg ⎥ 2 2 2⎦ ⎣ A B B C A B tg tg + tg tg + tg tg = 2 2 2 (đã chứng minh 10 ) Vế trái = – = A B C , cot g , cot g theo tứ tự tạo cấp số cộng 2 A C Chứng minh cot g cot g = 2 A B C Ta coù : cot g , cot g , cot g cấp số cộng 2 A C B ⇔ cot g + cot g = cot g 2 A+C B sin cos 2 = ⇔ A C B sin sin sin 2 Baøi 26 : Cho ΔABC Coù cot g B = ⇔ A C B sin sin sin 2 B ⇔ (do 0 ) = A C A+C sin sin cos 2 A C A C cos cos − sin sin 2 2 = ⇔ cot g A cot g C = ⇔ A C 2 sin sin 2 cos B 2 cos Baøi 27 : Cho ΔABC Chứng minh : 1 1⎡ A B C A B C⎤ + + = ⎢ tg + tg + tg + cot g + cot g + cot g ⎥ sin A sin B sin C ⎣ 2 2 2⎦ A B C A B C Ta coù : cot g + cot g + cot g = cot g cot g cot g 2 2 2 (Xem chứng minh 19g ) sin α cos α + = Mặt khác : tgα + cot gα = cos α sin α sin 2α 1⎡ A B C A B C⎤ Do : ⎢ tg + tg + tg + cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2 2⎦ 1⎡ A B C⎤ ⎡ A B C⎤ = ⎢ tg + tg + tg ⎥ + ⎢ cotg + cotg + cotg ⎥ 2⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2⎦ 1⎡ A A⎤ ⎡ B B⎤ ⎡ C C⎤ = ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ + ⎢ tg + cot g ⎥ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 2⎣ 2⎦ 1 = + + sin A sin B sin C BÀI TẬP Chứng minh : π 2π = a/ cos − cos 5 o o cos15 + sin15 = b/ cos15o − sin15o 2π 4π 6π + cos + cos =− c/ cos 7 3 d/ sin 2x sin 6x + cos 2x.cos 6x = cos3 4x e/ tg20o.tg40o.tg60o.tg80o = π 2π 5π π π + tg + tg + tg = cos 18 3 π 2π 3π 4π 5π 6π 7π cos cos cos cos cos = g/ cos cos 15 15 15 15 15 15 15 27 f/ tg ⎡π ⎤ ⎡π ⎤ h/ tgx.tg ⎢ − x ⎥ tg ⎢ + x ⎥ = tg3x ⎣3 ⎦ ⎣3 ⎦ o o k/ tg20 + tg40 + 3tg20o.tg40o = 3 o o o o m/ tg5 tg55 tg65 tg75 = e/ sin 20o.sin 40o.sin 80o = ⎧sin x = sin ( x + y ) ⎪ Chứng minh ⎨ π ⎪ x + y ≠ ( 2k + 1) ( k ∈ z ) ⎩ tg ( x + y ) = sin y cos y − Cho ΔABC có góc nhọn A ≥ B ≥ C a/ Chứng minh : tgA + tgB + tgC = tgA.tgB.tgC b/ Đặt tgA.tgB = p; tgA.tgC = q Chứng minh (p-1)(q-1) ≥ 4 Chứng minh biểu thức không phụ thuộc x : a/ A = sin x (1 + sin x ) + cos4 x (1 + cos2 x ) + sin x cos2 x + b/ B = ( sin x − cos8 x ) + ( cos6 x − sin x ) + sin x c/ C = cos2 ( x − a ) + sin2 ( x − b ) − cos ( x − a ) sin ( x − b ) sin ( a − b ) Cho ΔABC , chứng minh : cos C cos B = cot gC + a/ cot gB + sin B cos A sin C cos A A B C 3A 3B 3C cos cos b/ sin3 A + sin3 B + sin3 C = 3cos cos cos + cos 2 2 2 A B−C B A−C + cos cos c/ sin A + sin B + sin C = cos cos 2 2 C A−B + cos cos 2 d/ cotgAcotgB + cotgBcotgC + cotgCcotgA = e/ cos2 A + cos2 B + cos2 C = − cos A cos B cos C f/ sin3Asin(B- C)+ sin3Bsin(C- A)+ sin3Csin(A- B) = Tìm giá trị nhỏ : 1 π + a/ y = với < x < sin x cos x 9π + sin x với < x < ∞ b/ y = 4x + x c/ y = sin x + sin x cos x + Tìm giá trị lớn : a/ y = sin x cos x + cos x sin x b/ y = sinx + 3sin2x c/ y = cos x + − cos2 x ... −1,1] ⇔ 1− Do Δ ' = m2 + > ∀m nên g(t) có nghiệm phân biệt t1, t2 Lúc t t1 t2 g(t) Do : yêu cầu toán + - ⇔ t1 ≤ −1 < ≤ t ⎧⎪1g ( −1) ≤ ⎧−2m − ≤ ⇔⎨ ⇔ ⎨ ⎩2m − ≤ ⎪⎩1g (1) ≤ −1 ⎧ ⎪⎪ m ≥ 1 ⇔⎨ ⇔− ≤m≤... π ⎡ ⇔ ⎢ cot g − 2tg ⎥ − 4tg = 16 16 ⎦ ⎣ π π ⇔ cot g − 4tg = 8 π ⇔ cot g = (hiển nhiên đúng) Bài 11 : Chứng minh : + 4tg Bài :12 : Chứng minh : ⎛ 2π ⎞ ⎛ 2π ⎞ a/ cos2 x + cos2 ⎜ + x ⎟ + cos2 ⎜ −... 2 ⎦ −3B 3C 3A sin sin( ) +1 2 3C 3A 3B = −4 sin sin sin +1 2 = sin Baøi 22 : A, B, C ba góc tam giác Chứng minh : sin A + sin B − sin C A B C = tg tg cot g cos A + cos B − cos C + 2 A+B A−B C