toán 10,lượng giác toán 10,công thức lượng giác toán 10,toán học lớp 10,toán học 10,công thức lượng giác,cung và góc lượng giác,toán 10 giá trị lượng giác,lượng giác lớp 10,toán 10 công thức lượng giác,góc và cung lượng giác toán 10,lượng giác 10,giá trị lượng giác của một cung,công thức lượng giác 10,rút gọn biểu thức lượng giác,cung và góc lượng giác toán 10,công thức lượng giác lớp 10,giá trị lượng giác của một cung toán 10,lượng giác
CHƯƠNGV PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG THEO SINX, COSX a ( sin x + cos x ) + b sin x cos x = c (1) Cá c h giả i Đặ t t = sin x + cos x vớ i điề u kiệ n t ≤ π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ Thì t = sin ⎜ x + ⎟ = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ Ta coù : t = + sin x cos x nê n (1) nh b t −1 = c ⇔ bt + 2at − b − 2c = Giaû i (2) tìm đượ c t, rồ i so vớ i điề u kiệ n t ≤ at + ( ) π⎞ ⎛ sin ⎜ x + ⎟ = t ta tìm đượ c x 4⎠ ⎝ Bà i 106 : Giả i phương trình sin x + sin2 x + cos3 x = ( *) giaû i phương trình ( ) (*) ⇔ sin x (1 + sin x ) + cos x − sin2 x = ⇔ (1 + sin x ) = hay sin x + cos x (1 − sin x ) = ⎡sin x = −1 (1 ) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x − sin x cos x = ( ) π • (1) ⇔ x = − + k2π ( k ∈ Z ) π⎞ ⎛ •Xé t ( ) : đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ điề u kiệ n t ≤ t = + sin x cos x Vậy (2) n h t − ⇔ t − 2t − = t2 − =0 ⎡t = − ⇔⎢ ⎢⎣ t = + ( loaï i ) π⎞ ⎛ Do ( ) ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = − = cos ϕ vớ i < ϕ < 2π 4⎠ ⎝ π = ±ϕ + h2π, h ∈ ] , vớ i cos ϕ = −1 π ⇔ x = ± ϕ + h2π, h ∈ ], vớ i cos ϕ = −1 ⇔ x− sin 2x ( *) ( *) ⇔ −1 + ( sin x + cos x )(1 − sin x cos x ) = sin 2x π ⎛ ⎞ Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Bà i 107 : Giả i phương trình −1 + sin x + cos3 x = Thì t2 = + 2sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ Vaäy (*) thaø n h : −1 + t ⎜⎜ − t −1 ⎟= ⎟⎠ ⎝ ( ( ) ( ⇔ −2 + t − t = t − ) ) ⇔ t + 3t − 3t − = ( ) ⇔ ( t − 1) t + 4t + = ⇔ t = ∨ t = −2 + ∨ t = −2 − ( loạ i ) π⎞ π ⎛ vớ i t = sin ⎜ x + ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π ⇔ x + = = k2π ∨ x + = + k2π, k ∈ ] 4 4 π ⇔ x = k2π ∨ x = + k2π , k ∈ ] π⎞ 3−2 ⎛ = sin ϕ vớ i t = − sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ ⇔ x+ π π 3−2 = ϕ + m2π ∨ x + = π − ϕ + m2π, m ∈ ], vớ i = sin ϕ 4 ⇔ x =ϕ− π 3π + m2π ∨ x = − ϕ + m2π, m ∈ ], vớ i 4 Bà i 108 :Giả i phương trình 2t = t2 − 2 ( sin x + cos x ) = tgx + cot gx ( *) ⎧sin x ≠ Điề u kiện ⎨ ⇔ sin 2x ≠ ⎩cos x ≠ sin x cos x Lú c (*) ⇔ ( sin x + cos x ) = + cos x sin x sin2 x + cos2 x ⇔ ( sin x + cos x ) = = sin x cos x sin x cos x π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin x cos x vớ i t ≤ t ≠ (*) thaø n h 3−2 = sin ϕ ⇔ 2t3 − 2t − = (Hieå n nhiên t = ±1 khô n g nghiệ m ) ( ⇔ t− )( ) 2t + 2t + = ⎡t = ⇔⎢ ⎢⎣ t + 2t + = ( voâ nghiệ m ) π⎞ ⎛ Vậy ( *) ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x + = + k2π, k ∈ ] π ⇔ x = + k2π, k ∈ ] Bà i 109 : Giả i phương trình ( cot gx − cos x ) − ( tgx − sin x ) = ( *) Vớ i điề u kiệ n sin 2x ≠ , nhâ n vế phương trình cho sinxcosx ≠ : ( *) ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin2 x (1 − cos x ) = sin x cos x ⇔ cos2 x (1 − sin x ) − sin x (1 − cos x ) = sin x cos x − sin x cos x ⇔ cos x ⎣⎡cos x (1 − sin x ) + sin x ⎤⎦ − sin x ⎡⎣sin x (1 − cos x ) + cos x ⎤⎦ = ⇔ cos x ( cos x − sin x cos x + sin x ) − sin x ( sin x − sin x cos x + cos x ) = ⎡sin x + cos x − sin x cos x = (1) ⇔⎢ ( 2) ⎢⎣3 cos x − sin x = ( Ghi chuù : A.B + A.C = A.D ⇔ A = hay B + C = D ) π⎞ ⎛ Giả i (1) Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t2 = + 2sin x cos x vớ i điề u kiệ n : t ≤ vaø t ≠ ±1 (1) thaø n h : t − t2 − = ⇔ t − 2t − = ( ) ⎡ t = + loaï i t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = − ( nhậ n so vớ i điề u kiệ n ) ⎣ π⎞ 1− ⎛ Vậy sin ⎜ x + ⎟ = = sin α 4⎠ ⎝ π ⎡ ⎢ x + = α + k2π ⇔⎢ ⇔ ⎢ x + π = π − α + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ ( < α < 2π ) π ⎡ ⎢ x = α − + k2π ⎢ ⎢ x = 3π − α + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ ( 2) ⇔ tgx = = tgβ ⇔ x = β + hπ, h ∈ ] Baø i 110 : Giả i phương trình 3tg3 x − tgx + (1 + sin x ) cos x ( với < β < π) ⎛π x⎞ = 8cos2 ⎜ − ⎟ ( *) ⎝4 2⎠ Điề u kiện : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 ⎡ ⎛π ⎞⎤ Lúc : (*) ⇔ tgx 3tg2 x − + (1 + sin x ) + tg2 x = ⎢1 + cos ⎜ − x ⎟ ⎥ ⎝2 ⎠⎦ ⎣ = (1 + sin x ) ( ) ( ) ⇔ tgx ( 3tg2 x − 1) + (1 + sin x ) ⎡⎣3 (1 + tg2 x ) − ⎤⎦ = ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( tgx + + sin x ) = ⇔ ( 3tg2 x − 1) ( sin x + cos x + sin x cos x ) = ⎡3tg2 x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x + sin x cos x = ( 2) π ⇔ tgx = ± ⇔ x = ± + kπ 3 π⎞ ⎛ • Giả i ( ) đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ±1 •(1) ⇔ tg2 x = Thì t = + sin x cos x t2 −1 = ⇔ t + 2t − = (2) thaø n h : t + ⎡ t = −1 − loạ i điề u kieä n t ≤ ⇔⎢ ⎢ t = −1 + ( nhậ n so vớ i điề u kieä n ) ⎣ ( ) −1 π⎞ ⎛ = sin ϕ Vaäy sin ⎜ x + ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⎡ ⎡ ⎢ x + = ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢ x = ϕ − + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x + π = π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢ x = 3π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎣⎢ ⎣⎢ Bà i 111 : Giả i phương trình 2sin x − sin x = cos3 x − cos x + cos2x ( *) (*) ⇔ ( sin3 x − cos3 x ) − ( sin x − cos x ) + sin x − cos2 x = ⇔ sin x − cos x = hay (1 + sin x cos x ) − + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣sin x + cos x + sin 2x + = ( ) • (1) ⇔ tgx = ⇔x= π + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n : t ≤ •xé t ( ) đặ t t = + sin 2x Vậ y ( ) nh t + ( t − 1) + = ⇔ t ( t + 1) = ⇔ t = ∨ t = −1 π⎞ ⎛ Khi t = cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ( 2k + 1) , k ∈ ] 3π ⇔x= + kπ, k ∈ ] π⎞ 3π ⎛ Khi t = −1 cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⇔ x− =± + k2π, k ∈ ] 4 π ⇔ x = π + k2π hay x = − + k2π, k ∈ ] Baø i 112 : Giả i phương trình sin x + sin x + sin3 x + sin x = cos x + cos2 x + cos3 x + cos4 x ( *) Ta coù : (*) ⇔ ( sin x − cos x ) + ( sin x − cos2 x ) + ( sin3 x − cos3 x ) + ( sin x − cos4 x ) = ⇔ ( sin x − cos x ) = hay + ( sin x + cos x ) + (1 + sin x.cos x ) + ( sin x + cos x ) = ⎡sin x − cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣2 ( sin x + cos x ) + sin x cos x + = ( ) Ta coù : (1) ⇔ tgx = π ⇔ x = + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ Xeù t (2) : đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t = + 2sin x cos x t2 −1 +2 = (2) thaø n h 2t + ⇔ t + 4t + = ⇔ t = −1 ∨ t = −3 ( loaï i ) π⎞ 3π ⎛ t = -1 cos ⎜ x − ⎟ = − = cos 4⎠ ⎝ π 3π ⎡ ⎢ x − = + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x − π = − 3π + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ 4 ⎡ x = π + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x = − π + k2π, k ∈ ] ⎣ ( ) Baø i 113 : Giả i phương trình tg2 x − sin3 x + cos3 x − = ( *) Điề u kiện : cos x ≠ ⇔ sin x ≠ ±1 sin x Lú c (*) ⇔ (1 − sin3 x ) + cos3 x − = cos2 x ⇔ (1 − cos2 x )(1 − sin3 x ) − (1 − cos3 x )(1 − sin x ) = ⇔ (1 − cos x )(1 − sin x ) = hay (1 + cos x ) (1 + sin x + sin x ) − (1 + cos x + cos2 x ) (1 + sin x ) = ⎡ cos x = 1( nhaä n điề u kiệ n ) ⎢ ⇔ ⎢sin x = 1( loạ i điề u kiệ n ) ⎢ 2 2 ⎢⎣sin x + sin x cos x − cos x − sin x cos x = ⎡ cos x = ⇔⎢ 2 ⎣sin x − cos x + sin x cos x ( sin x − cos x ) = ⎡ cos x = ⇔⎢ ⎣sin x − cos x = hay sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ cos x = ∨ tgx = ⇔⎢ ⎣sin x + cos x + sin x cos x = ⎡ x = k2π, k ∈ ] ⎢ π ⇔ ⎢ x = + kπ, k ∈ ] ⎢ ⎢sin x + cos x + sin x cos x = ⎣ xeù t pt sin x + cos x + sin x cos x = đặ t ( ) π⎞ ⎛ t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ điề u kiệ n t ≤ vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ ⇒ t = + sin x cos x t2 − Ta đượ c phương trình t + = ⇔ t + 2t − = ⎡ t = −1 − ( loaï i ) ⇔⎢ ⎢⎣ t = − + ( nhậ n so vớ i đk ) −1 π⎞ ⎛ Vaäy cos ⎜ x − ⎟ = = cos ϕ 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±ϕ + k2π, k ∈ ] ⇔ x = ± ϕ + k2π, k ∈ ] 4 Baø i 114 : Cho phương trình m ( sin x + cos x + 1) = + sin 2x ( *) ⎡ π⎤ Tìm m để phương trình có nghiệm thuộ c đoạ n ⎢ 0, ⎥ ⎣ 2⎦ π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = sin ⎜ x − ⎟ , điều kiệ n t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Vậy (*) n h : m ( t + 1) = t π π π 3π ≤ x + ≤ 4 π⎞ ⎛ Do ≤ sin ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ ⇔1≤ t ≤ ta coù m ( t + 1) = t Neá u ≤ x ≤ t2 ⇔m= (do t = -1 khô n g nghiệ m củ a phương trình) t +1 t2 trê n ⎡⎣1, ⎤⎦ Xeù t y = t +1 t + 2t Thì y ' = > ∀t ∈ ⎡⎣1, ⎤⎦ ( t + 1) Vaä y y tă n g trê n ⎡⎣1, ⎤⎦ ⎡ π⎤ Vậy (*) có nghiệm ⎢1, ⎥ ⇔ y (1) ≤ m ≤ y ⎣ 2⎦ ⇔ ≤ m ≤ 2 −1 ( ) ( 2) Baø i 115 : Cho phương trình cos3 x + sin3 x = m sin x cos x ( *) a/ Giả i phương trình m = b/ Tìm m để (*) có nghiệ m Ta có : (*) ⇔ ( cosx + sin x )(1 − sin x cosx ) = m sin x cosx π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos x ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n ( t ≤ 2) Thì t = + 2sin x cos x ⎛ t2 − ⎞ ⎛ t2 − ⎞ = m Vậy (*) n h t ⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ ⇔ t ( − t ) = m ( t − 1) a/ Khi m = ta coù phương trình t ( − t ) = ( t − 1) ( ) ⇔ t + 2t − 3t − = ( )( ) ⇔ t − t + 2t + = ⇔ t = hay t = − + hay t = − − 1( loaï i ) π⎞ π π ⎛ Vậy • cos x ⎜ x − ⎟ = ⇔ x − = k2π, k ∈ ] ⇔ x = + k2π, k ∈ ] 4⎠ 4 ⎝ π ⎞ 1− ⎛ • cos ⎜ x − ⎟ = = cos α 4⎠ ⎝ π π ⇔ x − = ±α + k2π, k ∈ ] ⇔ x = ± α + k2π, k ∈ ] 4 2 b/ Xé t phương trình t ( − t ) = k ( t − 1) ( **) Do t = ±1 khoâ n g nghiệm củ a (**) nê n 3t − t (**) ⇔ m = t −1 3t − t Xeù t y = ( C ) treân ⎡⎣− 2, ⎤⎦ \ {±1} t −1 −t − Ta coù y ' = < 0∀t = ±1 2 ( t − 1) suy y giả m trê n ( −1,1 ) lim y = + ∞ , lim− y = − ∞ x → − 1+ x→ Do trê n ( − 1,1 ) ⊂ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ \ {±1} ta coù 3t − t (d) y = m cắ t (C) y = vớ i ∀m ∈ R t −1 Vậy (*) có nghiệm ∀m ∈ R Bà i 116 : Cho phương trình 1⎛ 1 ⎞ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ tgx + cot gx + + = ( *) 2⎝ sin x cos x ⎟⎠ a/ Giả i phương trình m = ⎛ π⎞ b/ Tìm m để (*) có nghiệ m trê n ⎜ 0, ⎟ ⎝ 2⎠ Vớ i đ iề u kiệ n sin 2x ≠ ta coù ⎛ sin x cos x 1 ⎞ (*) ⇔ m ( sin x + cos x ) + + ⎜ =0 + + + ⎝ cos x sin x sin x cos x ⎟⎠ ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + (1 + cos x + sin x ) = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + sin 2x + + cos x + sin x = ⇔ m sin 2x ( sin x + cos x ) + ( sin x + cos x ) + sin x + cos x = ⎡sin x + cos x = (1) ⇔⎢ ⎢⎣ m sin 2x + sin x + cos x + = ( ) π⎞ ⎛ Xé t (2) đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Do sin 2x ≠ neâ n t ≤ vaø t = ±1 ⎡t = Vậy (*) n h : ⎢ ⎢⎣ m ( t − 1) + t + = ⎡ t = ( nhậ n so điề u kieä n ) ⇔⎢ ( t ≠ −1) ⎢⎣ m ( t − 1) + = a/ Khi m = ta đượ c : ⎡t = ⎢ ⎢⎣ t = − 1( loạ i điề u kiệ n ) Vậy sinx + cosx = ⇔ tgx = −1 π ⇔ x = − + kπ, k ∈ ] π π π π b/ Ta coù : < x < ⇔ − < x − < 4 Lúc π⎞ ⎛ < cos ⎜ x − ⎟ ≤ ⇒ < t ≤ 2 4⎠ ⎝ Do t = ∉ 1, ⎤⎦ ( Nê n ta xé t phương trình : m ( t − 1) + = ( **) (**) ⇔ mt = m − 1 (do m = (**) vô nghiệm ) m Do : yêu cầ u bà i toá n ⇔ < − ≤ m ⎧ ⎧m < ⎪⎪− m > ⎪ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎪1 − ≤ ⎪m ≤ − = − − ⎩ ⎪⎩ m ⇔ t = 1− ⇔ m ≤ − −1 Baø i 117 : Cho f ( x ) = cos2 2x + ( sin x + cosx ) − 3sin 2x + m a/ Giả i phương trình f(x) = m = -3 b/ Tính theo m giá trị lớ n giá trị nhỏ nhấ t f(x) Tìm m cho ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36 ∀x ∈ R ( π⎞ ⎛ Đặ t t = sin x + cos x = cos ⎜ x − ⎟ điề u kiệ n t ≤ 4⎠ ⎝ Thì t = + sin 2x Vaø cos2 2x = − sin 2x = − ( t − 1) = − t + 2t 2 Vậy f ( x ) nh g ( t ) = − t + 2t + 2t − ( t − 1) + m a/ Khi m = -3 g(t) = ⇔ −t t − 2t + = ( ) ⇔ t = 0∨ t =1 vaä y m = -3 f(x) = π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ ⇔ cos ⎜ x − ⎟ = hay cos ⎜ x − ⎟ = 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ π π π π ⇔ x − = ( 2k + 1) hay x − = ± + k2π, k ∈ ] 4 3π π ⇔x= + kπ hay x = + k2π ∨ x = k2π, k ∈ ] b/ Ta coù g ' ( t ) = −4t + 6t − 2t = −2t ( 2t − 3t + 1) ⎧g' ( t ) = ⎪ ⇔ t = ∨ t = 1∨ t = Vaäy ⎨ ⎪⎩t ∈ ⎡⎣ − 2, ⎤⎦ ⎛ ⎞ 47 Ta coù : g ( ) = + m = g (1) , g⎜ ⎟ = +m ⎝ ⎠ 16 g ( 2) = − + m, g ( 2) = m −3− ) Vaäy : Maxf ( x ) = Max g ( t ) = m + t∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ x∈ \ Minf ( x ) = x∈ R Min g ( t ) = m − − t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Do : ⎡⎣ f ( x ) ⎤⎦ ≤ 36, ∀x ∈ R ⇔ −6 ≤ f ( x ) ≤ 6, ∀x ∈ R ⎧Max f ( x ) ≤ ⎪ ⇔⎨ R f (x) ≥ − ⎪⎩Min R ⎧⎪m + ≤ ⇔⎨ ⎪⎩m − − ≥ −6 ⇔ −3≤ m ≤ ( ) Caù c h c : Ta có g ( t ) = − t t − 2t + + + m = − ⎣⎡ t ( t − 1) ⎦⎤ + + m Đặ t u = t − t ⎡ ⎤ Khi t ∈ ⎡ − 2, ⎤ u ∈ ⎢ − ,2 + ⎥ = D ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Vaäy g ( t ) = h ( u ) = − u + + m Max f ( x ) = R Min f ( x ) = R Max g ( t ) = Max h ( u ) = m + u∈D t ∈ ⎡⎣ − , ⎤⎦ Min t ∈ ⎣⎡ − , ⎦⎤ g ( t ) = Min h ( u ) = m − − u∈D Chú ý : Phương trình giả đố i xứ n g a ( sin x − cos x ) + b ( sin x cos x ) = đặ t t = sinx – cosx π⎞ π⎞ ⎛ ⎛ t = sin ⎜ x − ⎟ = − cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ 4⎠ ⎝ ⎝ vớ i điề u kiệ n t ≤ t = − 2sin x cos x Bà i 118 : Giả i phương trình 2sin x + cot gx = 2sin 2x + ( *) Điề u kiện : sin x ≠ ⇔ cos x = ±1 cos x Lú c (*) ⇔ sin x + = sin x cos x + sin x ⇔ sin2 x + cos x = sin2 x cos x + sin x ( ) ⇔ sin2 x − sin x − cos x sin2 x − = ⇔ sin x ( sin x − 1) − cos x ( sin x − 1) ( sin x + 1) = ⇔ sin x − = hay sin x − cos x ( sin x + 1) = ⎡2 sin x − = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin 2x = (1 ) ( 2) • Ta có (1) ⇔ sin x = ⇔x= ( nhaän sin x ≠ 0) π 5π + k2π ∨ x = + k2π, k ∈ ] 6 • Xé t ( ) Đặ t t = sin x − cos x = π⎞ ⎛ sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ t ≠ ± Thì t2 = − sin 2x Vậy (2) n h : t − − t = ( ) ⇔ t2 + t − = −1 + −1 − ⇔t= ∨t= ( loaïi ) 2 π ⎞ −1 + ⎛ Do : sin ⎜ x − ⎟ = nhaä n t ≤ vaø t ≠ ±1 4⎠ ⎝ π⎞ −1 ⎛ ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin ϕ 4⎠ 2 ⎝ π ⎡ ⎢ x − = ϕ + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x − π = π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ π ⎡ ⎢ x = ϕ + + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⎢ x = 5π − ϕ + k2π, k ∈ ] ⎢⎣ ( ) Bà i 119 : Giả i phương trình cos 2x + = ( − cos x )( sin x − cos x )( *) ( ) Ta coù : ( *) ⇔ cos2 x − sin2 x + = ( − cos x )( sin x − cos x ) ⇔ ( sin x − cos x ) ⎡⎣2 ( − cos x ) + ( sin x + cos x ) ⎤⎦ − = ⇔ ( sin x − cos x ) [sin x − cos x + 4] − = π⎞ ⎛ Ñaë t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ (*) n h : t ( t + ) − = ⇔ t + 4t − = ⇔ t = ∨ t = −5 ( loạ i ) π⎞ π ⎛ Vậy ( *) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = = sin 4⎠ ⎝ π π π 3π = + k2π ∨ x − = + k2π, k ∈ ] 4 4 π ⇔ x = + k2π ∨ x = π + k2π, k ∈ ] ⇔ x− Bà i 120 : Giả i phương trình cos3 x + sin x = cos 2x ( *) Ta coù (*) ⇔ ( cos x + sin x )(1 − sin x cos x ) = cos2 x − sin2 x ⇔ cos x + sin x = hay − sin x cos x = cosx − sin x ⎡sin x + cos x = ⇔⎢ ⎢⎣sin x − cos x − sin x cos x + = Ta coù : (1) ⇔ tgx = −1 ⇔x=− (1 ) ( 2) π + kπ, k ∈ ] π⎞ ⎛ Xeù t (2) ñaë t t = sin x − cos x = sin ⎜ x − ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x − t2 (2) thaø n h t − + = ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 π⎞ ⎛ ⎛ π⎞ vaä y (2) ⇔ sin ⎜ x − ⎟ = − = sin ⎜ − ⎟ 4⎠ ⎝ ⎝ 4⎠ π π ⎡ ⎡ x = k2π, k ∈ ] ⎢ x − = − + k2π, k ∈ ] ⇔⎢ ⇔⎢ ⎢ x = 3π + k2π, k ∈ ] ⎢ x − π = 5π + k2π, k ∈ ] ⎣ ⎢⎣ 4 Baø i 121 : Cho phương trình cos3 x − sin x = m (1 ) a/ Giả i phương trình (1) m = bằ n g cách đặ t ẩ n phụ t = cos x − sin x ⎡ π π⎤ b/ Tìm m cho (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ Ta coù (1) ⇔ ( cos x − sin x )(1 + sin x cos x ) = m π⎞ ⎛ Đặ t t = cos x − sin x = cos ⎜ x + ⎟ 4⎠ ⎝ Vớ i điề u kiệ n t ≤ Thì t2 = − 2sin x cos x ⎛ − t2 ⎞ Vaäy (1) thaø n h : t ⎜⎜ + ⎟=m ⎟⎠ ⎝ ( ) ⇔ t − t = 2m ( 2) a/ Khi m = (2) thaø n h t3 − 3t + = ⇔ ( t − 1) t + t − = ( ) ⇔ t = ∨ t = −2 ( loaï i ) π⎞ π π ⎛ Vaäy cos ⎜ x + ⎟ = ⇔ x + = ± + k2π, k ∈ ] 4⎠ 4 ⎝ π ⇔ x = k2π ∨ x = − + k2π, k ∈ ] π π π π ⎡ ⎤ b/ Neá u x ∈ ⎢ − , ⎥ ≤ x + ≤ ⎣ 4⎦ π⎞ ⎛ neâ n ≤ cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ π⎞ ⎛ ⇔ ≤ t = cos ⎜ x + ⎟ ≤ 4⎠ ⎝ nhaä n xé t rằ n g vớ i mỗ i t tìm đượ c trê n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⎡ π π⎤ ta tìm nhấ t mộ t x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ xeù t f ( t ) = − t + 3t treâ n ⎡⎣0, ⎤⎦ ⇒ f ' ( t ) = −3t + ⎡ π π⎤ vaä y (1) có đú n g hai nghiệ m x ∈ ⎢ − , ⎥ ⎣ 4⎦ ⇔ ( d ) y = 2m caé t ( C ) y = −t + 3t treâ n ⎡⎣0, ⎤⎦ tạ i điể m phân biệ t ⇔ ≤ 2m < 2 ⇔ ≤m