BÀI 3 NHỊ THỨC NEWTON A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Công thức nhị thức Niu ton Khai triển nhị thức Newton là khai triển có dạng 2 Nhận xét Công thức nhị thức Niu tơn (*) có * (n + 1) số hạng * Số hạng thứ k +[.]
BÀI - NHỊ THỨC NEWTON A-TÓM TẮT LÝ THUYẾT - Công thức nhị thức Niu-ton - Khai triển nhị thức Newton khai triển có dạng : ( a + b) n = Cn0 a n + Cn1 a n −1b + Cn2 a n −2 b + Cn3 a n −3b3 + + Cnn −1a.b n −1 + Cnn b n n = ∑ Cnk a n −k b k k =0 - Nhận xét: Cơng thức nhị thức Niu tơn (*) có : * (n + 1) số hạng k n−k k * Số hạng thứ k + Tk +1 = Cn a b k n−k k k k −1 * Các hệ số nhị thức có tính đối xứng theo tính chất Cn = Cn ; Cn +1 = Cn + C n * Trong số hạng tổng số mũ a b n - Tam giác Pa-xcan n Trên ta thấy muốn khai triển (a + b) thành đa thức, ta cần biết n + số C0n ,C1n ,C2n , ,Cnn −1 ,Cnn có mặt cơng thức nhị thức Niu-tơn Các số tính cách sử dụng bảng số sau : 1 1 1 1 10 15 10 20 15 …………………………………………………… Bảng số nhà toán học Pháp Pa-xcan thiết lập vào năm 1653 người ta gọi tam giác Pa-xcan Tam giác Pa-xcan thiết lập theo quy luật sau : − Đỉnh ghi số Tiếp theo hàng thứ ghi hai số − Nếu biết hàng thứ n (n ≥ 1) hàng thứ n + thiết lập cách cộng hai số liên tiếp hàng thứ n viết kết xuống hàng vị trí hai số Sau viết số đầu cuối hàng B - CÁC VÍ DỤ Ví dụ 1: Tìm số hạng khơng chứa x khai 15 Ví dụ 2: Tìm hệ số số hạng chứa x khai 12 x + ÷ x Lời giải − + 2x ÷ ; x ≠ triển nhị thức x Ta có Lời giải 12 12 k x + ÷ = ∑ C12 x x k =0 ( ) 12 = ∑C x k =0 k 12 24 − 2k 12 − k x −4k 12 Đáp số : = ∑C x k =0 C69 ( −1) = −5376 k 4÷ x k 12 …………………………………………………… 24 −6 k …………………………………………………… Để có số hạng khơng chứa x 24 − 6k = ⇔ k = Kết luận hệ số số hạng không x C12 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… n n 2 x − ÷ x Ví dụ 3: Trong khai triển nhị thức 1 x+ ÷ x , hệ số số hạng Ví dụ 4: Trong khai triển cho biết tổng hệ số số hạng thứ ba lớn hệ số số hạng thứ hai 35 Tính số khai triển 97 Tìm hệ số số hạng có hạng khơng chứa x chứa x …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Ví dụ 5: Tìm hệ số x khai triển biểu thức sau thành đa thức 4 Ví dụ 6: Tìm hệ số x khai triển ( + 2x + 3x ) f(x) = ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) + ( 2x + 1) 5 5 Đáp số : + 6.2 + 21.2 = 28.2 = 896 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… Ví dụ 7: Chứng minh Ckn + 3Ckn +1 + 3Ckn + + C kn + = C kn++33 …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… 10 Đáp số : a = C10 C04 30 + C10 C13 2 31 + C10 C 22 32 = 8085 ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… ……………………………………………………… …………………………………………………… Ví dụ : Chứng minh 2C kn + 5C kn+1 + 4C kn+ + Ckn+ = C kn++22 + C kn++ 33 …………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… ………………………………………………… …………………………………………………… Tính tổng : Ví dụ 9: S2 = C0n + 2C1n +2 C2n + ×××+ n …………………………………… Ví dụ 10: Chứng minh đẳng thức sau: 2n −1 2n 2n a) C2n + C 2n + C2n + C2n + ×××+ C2n + C2n = Cnn …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… 2n −1 2n b) C2n − C 2n + C 2n − C2n + ×××− C2n + C 2n = 0 2n 2n −1 2n −1 c) C2n + C2n + ×××+ C2n = C2n + C2n + ×××+ C2n = …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… …………………………………………………… C - BÀI TẬP TỰ LUẬN Bài Tìm hệ số x10 khai triển (2 + x)15 ĐS : Bài ( − 2x ) Cho khai triển ĐS : Bài Tìm hệ số x25y10 khai triển (2x3 - xy)15 Bài x − 2y) Tìm x biết số hạng thứ khai triển ( 10 Tìm hệ số số hạng chứa x7 ĐS : theo lũy thừa tăng dần y 5y2 ĐS : x= Bài Tìm hệ số x5 khai triển x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 Bài Gọi a1 , a2 , … , a11 hệ số khai triển (x+1)10.(x+2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tìm hệ số a5 ĐS : 672 A = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x ) = a + a1.x + + a14 x14 10 14 Bài Cho khai triển Bài 1 x + ÷ x , tìm số hạng tự Trong khai triển Tìm a9 12 n 1 x− ÷ 31 Tìm n khai triển Bài n−2 Biết hệ số x Bài 10 2 P(x) = − 3x ÷ x Hãy tìm số hạng khơng chứa x ; số hạng chứa x13 Trong khai triển biểu thức Bài 11 3 +x ÷ Tìm hệ số số hạng không chứa x , sh thứ 16 sh Cho khai triển x ĐS : 32 20 20 khai triển Bài 12 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức Niuton ( x2 + 2)n biết rằng: A 3n − 8Cn2 + C1n = 49 với ( n nguyên n > 3) n Bài 13 nx - ÷ 14 x ÷ biết n số nguyên dương Tìm số hạng chứa x5 khai triển nhị thức Newton 5Cnn−1 = Cn3 thoả: Đs: − 35 x 16 n Bài 14 3 2x − ÷ x với n số nguyên dương thỏa: 2Cn + = An + Tìm số hạng khơng Trong khai triển chứa x? 2n Bài 15 3 2 2 − 5y ÷ C + 2C + 2C + C = 149 n+ n+ n+ Biết : n+1 Tìm số hạng khai triển x =5 C0n + 2C1n + 4C 2n + + n C nn = 243 Bài 16 Tìm số nguyên dương n cho Bài 17 Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức Bài 18 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2 + x)n, biết : ĐS : n = 2n −1 C12n + C32n + + C 2n = 2048 3n C0n − 3n −1 C1n + 3n −2 C2n − 3n −3 C3n + + (−1)n Cnn = 2048 Bài 19 2n Tìm hệ số số hạng chứa x7 khai triển (2 − x) , biết n số nguyên dương C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn++11 = 1024 n Bài 20 7 +x , biết Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển x C12 n +1 + C 22 n +1 + + C n2 n +1 = 20 − ĐS : n Bài 21 1 + x (1 − x) Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển Bài 22 Cho khai triển (1 + 2x)n = a0 + a1x + … + anxn, n ∈ N* hệ số a0, a1, …, an thỏa mãn hệ thức Bài 23 a0 + a1 a + + nn = 4096 2 Tìm số lớn số a0, a1, …, an Cho (1+x)n = ao + a1x + a2x2 +…+akxk + anxn , biết tồn số nguyên k ( ≤ k ≤ n − 1) cho ak−1 = ak = ak+1 24 Hãy tính n n Bài 24 ĐS : 238 1 x + ÷ x tổng hệ số hai số hạng 24 Hãy tính tổng Biết khai triển hệ số lũy thừa bậc nguyên dương x ... số x5 khai triển x(1 – 2x)5 + x2(1 + 3x)10 Bài Gọi a1 , a2 , … , a11 hệ số khai triển (x+1)10.(x+2) = x11 + a1x10 + a2x9 + … + a11 Hãy tìm hệ số a5 ĐS : 672 A = ( + x ) + ( + x ) + + ( + x )... = − 3x ÷ x Hãy tìm số hạng khơng chứa x ; số hạng chứa x13 Trong khai triển biểu thức Bài 11 3 +x ÷ Tìm hệ số số hạng không chứa x , sh thứ 16 sh Cho khai triển x ĐS : 32 20 20... hạng chứa x7 khai triển (2 − x) , biết n số nguyên dương C21n +1 + C23n +1 + C25n +1 + + C22nn+ +11 = 1024 n Bài 20 7 +x , biết Tìm hệ số số hạng chứa x26 khai triển x C12 n +1 + C 22