ÐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Mơn thi : TỐN I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) −x +1 Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = 2x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn Câu II (2,0 điểm) + sin x + cos x = sin x sin x Giải phương trình + cot x 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Giải hệ phương trình (x, y ∈ R) 2 xy ( x + y ) + = ( x + y ) π x sin x + ( x + 1) cos x dx x sin x + cos x Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=BC=2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z ba số thực thuộc đoạn [1; 4] x ≥ y, x ≥ z Tìm giá x y z trị nhỏ biểu thức P = + + 2x + y y + z z + x PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh làm hai phần (phần A B) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + = đường tròn (C): x2 + y2 – 4x – 2y = Gọi I tâm (C), M điểm thuộc ∆ Qua M kẻ tiếp tuyến MA MB đến (C) (A B tiếp điểm) Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích 10 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A (2; 0; 1), B (0; -2; 3) mặt phẳng (P): 2x – y – z + = Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) cho MA = MB = Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất số phức z, biết z2 = z + z B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm) x2 y Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip (E) : + = Tìm tọa độ điểm A B thuộc (E), có hồnh độ dương cho tam giác OAB cân O có diện tích lớn Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2–4x–4y– 4z=0 điểm A (4; 4; 0) Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) tam giác OAB Câu VII.b (1,0 điểm) Tính mơđun số phức z, biết: (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = – 2i BÀI GIẢI PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH −1 1 Câu I Tập xác định D = R \ ; y/ = < 0, ∀x ∈ D 2 ( x − 1) Tiệm cận đứng: x= lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ; 1 x→ x→ 2 1 Tiệm cận ngang: y = − lim y = − x →±∞ Hàm số nghịch biến khoảng xác định (−∞; 1 ) ( ; +∞) ; khơng có 2 cực trị x y’ y -∞ +∞ − - − +∞ -∞ - y O − x -1 Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng (D) : y = x +m −x +1 = x + m ⇔ (2x – 1) (x + m) = -x + (Vì x = không nghiệm) 2x −1 2 ⇔ 2x + 2mx – (m + 1) = (1) Phương trình (1) có ∆ = m + 2m + = (m + 1)2 + > 0, ∀m ∈ R ⇒ Phương trình (1) ln có nghiệm nên (D) cắt (C) hai điểm A, B Hoành độ x1, x2 A, B nghiệm phương trình (1) m +1 ⇒ x1 + x2 = - m x1.x2 = − 1 4( x12 + x22 ) − 4( x1 + x2 ) + Ta có: k1 + k2 = − − = − (2 x1 − 1) (2 x2 − 1)2 [ x1 x2 − 2( x1 + x2 ) + 1] = −(4m + 8m + 6) = −4(m + 1) − k1 + k2 đạt giá trị lớn -2 ⇔ m = -1 Câu II: + s in2x + cos x = 2.sin x.s in2x + cot x ⇔ sin x(1 + s in2x + cos x) = 2 sin x cos x (ĐK : sinx ≠ 0) ⇔ + sin x + cos x = 2 cos x (vì sinx ≠ ) ⇔ cos x + 2sin x cos x − 2 cos x = ⇔ cos x(cos x + sin x − 2) = ⇔ cosx = hay cosx + sinx = π ⇔ cosx = hay sin x + = 4 ⇔x= π + kπ hay x = π + k 2π (k ∈ Z) 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = (1) 2 (2) xy ( x + y ) + = ( x + y ) (2) ⇔ xy ( x + y ) + = x + y + xy ⇔ ( x + y )( xy − 1) − 2( xy − 1) = ⇔ ( xy − 1)( x + y − 2) = xy = ⇔ 2 x + y = 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Trường hợp xy = x = x = −1 ⇔ v y =1 y = −1 2 5 x y − xy + y − 2( x + y ) = Trường hợp 2 x + y = 2 2 5 x y − xy + y − ( x + y )( x + y ) = ⇔ 2 x + y = y = x v y = x ⇔ x2 + y = 10 10 x= x=− x = x = − 5 ⇔ v ∨ ∨ y = y = −1 y = 10 y = − 10 5 π π x sin x + ( x + 1) cos x x cos x x sin x + cos x Câu III : ∫ dx = ∫ + dx 0 x sin x + cos x x sin x + cos x x sin x + cos x π ( x sin x + cos x )' π π 2 = ∫ 1 + dx = x + ln x sin x + cos x = + ln( + ) x sin x + cos x π Ta có : Góc SBA = 600 ∆SBA nửa tam 4a giác nên SA = = 2a 1 a V(SMNCB) = (a + 2a ) 2a = a 3 3 Kẻ NI // AB để có AMNI hình vng, khoảng cách AB đến SN đường cao ∆SAI, gọi h chiều cao đó, ta có: 1 2a 39 = + ⇒h= 2 h 13 (2a 3) a Câu IV S M A I B N C Cách khác: Chọn Oxyz cho A(0,0,0); B(0,2a,0) ; C(2a,2a,0); S(0,0,2 a ) ; M(0,a,0); N(a,a,0) SN , AB SA 2a 39 = 13 SN , AB x y z Câu V P = + + 2x + y y + z z + x d ( SN , AB ) = Lấy đạo hàm theo z ta có : P’ (z) = + + Nếu x = y P = −y x ( x − y )( z − xy ) + = ( y + z ) ( z + x) ( y + z ) ( z + x)2 + Ta xét x > y P ≥ P( xy ) = x + 2x + y y y+ x Khảo sát hàm P theo z, ta có P nhỏ z = xy Đặt t = x t ⇒ P thành f(t) = + (t ∈ (1; 2]) y 2t + + t −2[4t (t − 1) + 3(2t − t + 3)] ⇒ f’(t) = ∆OAB cân O nên A , B đối xứng qua Ox xA = xB > 0, yB = - yA xA2 y A2 Do A ∈ (E) nên + =1 1 Ta có : S∆OAB = AB.d (O, AB) = xA y A Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : = xA2 y A2 x2 + ≥ A y A2 = xA y A = SOAB 4 xA2 xA = = S lớn : ⇔ 2 y = yA = ± A 2 2 ) ; B ( 2; − ) hay A ( 2; − ) ; B ( 2; ) 2 2 xB2 + yB2 + z B2 − xB − yB − z B = B ∈ (S) ∆OAB nên OA2 = OB OA2 = AB 2 xB + yB + z B = 4( xB + yB + z B ) xB + y B + z B = ⇔ 32 = xB2 + yB2 + z B2 ⇔ xB2 + yB2 + z B2 = 32 2 2 2 xB + yB + z B − 8( xB + yB ) = 32 = (4 − xB ) + (4 − yB ) + z B Vậy : A ( 2; zB = xB = xB = 2 ⇔ ( xB + yB ) − xB yB + z B = 32 ⇔ yB = hay yB = x + y = z = z = B B B B Với B(0 ; ; 4) OA = (4; 4; 0) ; OB = (0; 4; 4) ⇒ OA, OB = 16(1; −1;1) Suy phương trình (OAB) : x – y + z = Với B(4 ; ; 4) OA = (4; 4; 0) ; OB = (4; 0; 4) ⇒ OA, OB = 16(1; −1; −1) Suy phương trình (OAB) : x – y – z = Câu VII.b Giả sử z = x + yi với x, y số thực Ta có : (2z – 1)(1 + i) + ( z +1)(1 – i) = – 2i ⇔ 2(1 + iz) + (1 – i) z = ⇔ 2(1 + i)(x + yi) + (1 – i)(x – yi) = x= 3 x − y = 1 ⇔ 3x – 3y + (x + y)i = ⇔ ⇔ ⇒ z = + = 9 x + y = y = − Trần Văn Toàn – Trần Minh Thịnh – Lê Ngô Thiện (Trường THPT Vĩnh Viễn – TP.HCM) ... SBA = 600 ∆SBA n? ?a tam 4a giác nên SA = = 2a 1 a V(SMNCB) = (a + 2a ) 2a = a 3 3 Kẻ NI // AB để có AMNI h? ?nh vng, khoảng cách AB đến SN đường cao ∆SAI, gọi h chiều cao đó, ta có: 1 2a. .. ∆OAB cân O nên A , B đối xứng qua Ox xA = xB > 0, yB = - yA xA2 y A2 Do A ∈ (E) nên + =1 1 Ta có : S∆OAB = AB .d (O, AB) = xA y A Theo bất đẳng thức Cauchy ta có : = xA2 y A2 x2 + ≥ A y A2 = xA... 2a 39 = + ? ?h= 2 h 13 ( 2a 3) a Câu IV S M A I B N C Cách khác: Chọn Oxyz cho A( 0,0,0); B(0, 2a, 0) ; C( 2a, 2a, 0); S(0,0,2 a ) ; M(0 ,a, 0); N (a, a,0) SN , AB SA 2a 39 = 13 SN , AB x