Đề thi thử đại học 2013 môn: toán thời gian làm bài: 180 phút54286

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC 2013 MƠN: To¸n Thời gian làm bài: 180 phút Đề 03 I - PHẦN CHUNG (7,0 điểm) Câu I (2 điểm) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị đường cong  C  Khảo sát biến thiên hàm số vẽ đường cong  C  Lập phương trình tiếp tuyến đường cong  C  biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A, B thoả mãn OB  9OA Câu II (2 điểm) Giải phương trình: 5  sin x  tan x  cos  x     sin x  cos x  x   y   x  y  3y Giải hệ phương trình:  2 x  x  y  x  y   Giải phương trình : x  2x + x  2(x  x) = Câu III (1 điểm) Tính tích phân I   x xdx  1 x2  I  1   1 x2  dx x (x  x  1)(1  2012 ) Câu IV (1 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC A1 B1C1 có cạnh đáy a M điểm cạnh AA1 cho AA1  AM Biết BMC1  900 Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp lăng trụ Câu V (1 điểm) Cho x, y, z số thực dương, thoả mãn x  y  z  Tìm giá trị nhỏ biểu thức x3 y3 z3   y (2 z  x) z (2 x  y ) x(2 y  z ) II PHẦN RIÊNG (3 điểm)Thí sinh làm hai phần (phần 2) Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (1 điểm) Trong mặt phẳng cho tam giác ABC cân A, cạnh BC nằm đường thẳng có phương trình x  y   Đường cao kẻ từ B có phương trình x  y   , điểm M  1;0  thuộc P đường cao kẻ từ đỉnh C Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC Câu VII.a (1 điểm) Trong không gian cho điểm B  5; 2;  , C  3; 2;6  Tìm toạ độ điểm A thuộc mặt phẳng ( P) : x  y  z   cho tam giác ABC vuông cân đỉnh A   Câu VIII.a (1 điểm) Tìm phần ảo số phức z , biết z  z   2i Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy , cho tam giác ABC, phân giác AD có phương trình x  y   , đường cao CH có phương trình x  y   Điểm M  3;0  thuộc cạnh AC thoả mãn AB  AM Xác định toạ độ đỉnh tam giác ABC Câu VII.b (1 điểm) Trong không gian cho điểm B 1; 2; 1 , C  3;0;5  Tìm toạ độ điểm A thuộc mặt phẳng ( P) :  x  y  z  10  cho tam giác ABC cân A có diện tích 11 Câu VIII.b (1 điểm) Cho hàm số y = x  x có đồ thị (C).Tìm tất điểm đồ thị (C) cho hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm giá trị lớn hàm số: g(x) = 4x + x +1 DeThiMau.vn Dáp án de Gọi toạ độ điểm M  x0 ; f  x0   toạ độ tiếp điểm Theo giả thiết OB=9OA suy hệ số góc tiếp tuyến -9  x02  x0   1  f '  x0   3 x02  x0        3 x0  x0    f '  x0   9  x0  x0     Phương trình (2) vơ nghiệmPhương trình (1) suy x0  1, x0  Với x0  1 suy phương trình tiếp tuyến y  x  Với x0  suy phương trình tiếp tuyến y  x  25 2.Điều kiện 3x  y  0,3x  3x  y  0, y   3x  y   3x  y  3x  y x   x  y  3y   3y  x  y  3  y y y y 3x  y  t suy 2t  t    t  1  t  y  y0 +Với t  1 ta có 3x  y   y (3)   thay vào (2) ta có y  y  y  3 x  y  y  2 y  y  y   y  y    y  4  y  (loại) Thay y  4 vào (3) ta có x  suy  4; 4  nghiệm Đặt +Với t  ta có y0  9  x  y  y (3)   từ (2)  y  y  y  y  2 2 3 x  y  y y  y  u ( u  )Ta có 2u  2u    u   u  1 (loại) Với u   y  10 y  16   y   y  2 (loại) 8 8 8 Thay y  vào (3) ta có x  suy  ;  nghiệm 9 9 9 Đặt Phương trình  x  2x + x  ( x  x)  2(x  x) =  (x  x)2  ( x  x)  2(x  x) = - Đặt t = x  x , với t  ta có phương trình: t4 – t2 – t = 0; suy t = 0; t = - Với t = x = 0; x = - Với t = x = –1; x = Tóm lại phương trình có nghiệm phân biệt: 1;0;1; 2 Điều kiện cos x  0,sin x  cos x  sin x sin x sin x sin x cos x  0   sin x  0  sin x  cos x cos x sin x  cos x cos x     x  k x  k sin x         sin x.sin  x    2sin x.cos x    x  x   k 2   x    k 2    sin x  sin  x     4 4   4    5 k 2 5 x  2 x    x  k 2 12   DeThiMau.vn Đặt t  x   t  x   xdx  tdt Với x   t  , x   t  5 5 tdt dt  1  t 2 15     dt  ln Vậy I    ln  (t  4)t t  4  t  t   t2 Chứng minh được: I 1  I 1  1  1 x2 (x  )2  x A B O C M I B1 A1 O1 x 1 dx  x (x  x  1)(1  2012 ) 1 2  1  x2  dx x  x 1 /4  dx Đặt x tgt I dt  x  / x 2x Tam giác MBC1 vuông M  MB  MC12  BC12 Đặt AA1  x suy AM  ; A1M  x2 x2 x2 3a 2 2 a  a  x a   a2  x  9 Gọi O, O1 tâm đáy ABC A1 B1C1 , I trung điểm OO1 , Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ C1  a   3a 2 43a 43 R a R  AO  OI        48     2 4  43  43 43 Vậy V   R     a   a 3   144 x3 y 2z  x    x (1) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương ta có y (2 z  x) z3 x 2y  z    z (3) x(2 y  z ) x yz Cộng theo vế (1), (2), (3) ta có P   Dấu  xảy x  y  z   x y40 A Toạ độ B nghiệm hệ  Suy B  2;  x  y   Gọi d đường thẳng qua M song song với BC  d : x  y   I N M Tương tự y3 z 2x  y    y (2) z (2 x  y ) Gọi N giao điểm d với đường cao kẻ từ B Toạ độ N nghiệm hệ  x y40 Suy N  3;1  B E C x  y 1  1  Gọi I trung điểm MN  I  2;  Gọi E trung điểm BC Do tam giác 2  ABC cân nên IE đường trung trực BC IE qua I vng góc với BC  IE : x  y   Toạ  x  2y    7 17   4   E ,  C ;  độ E nghiệm hệ   10   5 4 x  y   CA qua C vng góc với BN suy CA : x  y   Toạ đô A nghiệm hệ 4 x  y     13 19   A ;   10 10  x  y     DeThiMau.vn  BC  (2;0; 4) Trung điểm BC có toạ độ  4; 2;  Gọi (Q) mặt phẳng trung trực BC  Q  : 2  x     y     z     Q  : x  2z   Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Q)  x  2t     Chọn ud   nP , nQ    2; 5;1 , Điểm  0;3;  thuộc mặt phẳng (p) (Q) suy (d ) :  y   5t Ta  z  2t  có tam giác ABC cân suy A thuộc  d  Gọi toạ độ A  2t ;3  5t ;  t   BA  (2t  5;5  5t ; t ); CA  (2t  3;5  5t ; t  4) Tam giác ABC vuông suy   BACA    2t   2t  3    5t   t  t    4 Với t   A  2; 2;3 , t    11 10  A ; ;  3 3  3t  7t    t   t  Tìm phần ảo số phức z biết z  3z  1  2i  Đặt z  a  bi  z  a  bi Ta có a  bi   a  bi   1  2i   4a  2bi   4i   4a  2bi  3  4i 3  4a  3 a  3  2i Vậy phần ảo z -2   Vậy z   2b   b  2 Đường thẳng d qua M vng góc với AD có phương trình x  y   ; Gọi I, E giao diểm AD, AB với d Dễ thấy tam giác AME cân A A M I E H d B x  y 3   1   I  ;   E  2; 1 2  x  y   Toạ độ I nghiệm hệ  C D AB đường thẳng qua E vng góc với CH AB : x  y   2 x  y    A 1;1  x y20 Toạ độ A nghiệm hệ  Do AB  AM  E trung điểm AB suy B  3; 3 x  y    C  1;  x  y   Phương trình AM : x  y   Toạ độ C nghiệm hệ   BC  (2; 2;6) Trung điểm BC có toạ độ I  2;1;  B I C Gọi (Q) mặt phẳng trung trực BC  Q  :  x     y  1   z      Q  : x  y  3z   d A Gọi d giao tuyến mặt phẳng (P) (Q)    Chọn ud   nP , nQ    4; 1;1 , Điểm  4; 3;0  thuộc mặt phẳng (p)  x   4t  (Q) suy d  y  3  t Ta có tam giác ABC cân suy A thuộc d  z t   Gọi toạ độ A   4t ; 3  t ; t    IA    4t ; 4  t ; t   S ABC  11  BC AI  11 Do BC  11  AI  22 DeThiMau.vn   4t    t     t   2 8  22  18t  12t  24  22  9t  6t    t  10  Suy A  ;  ;  3 3 4x + * Tìm giá trị lớn hàm số: g(x) = x +1 4t + - Đặt t = x2, với t  ta có hàm số g(t) = ; t +1 4t  6t + - g'(t) = ; g’(t) =  t = 2; t = ; 2 (t +1) - Ta lại có: lim g (t )  ; lim g (t )  , lập bảng biến thiên hàm số: t  t  - Vậy giá trị lớn hàm số g (x) = 4, đạt x   2 * Tìm điểm thuộc đồ thị (C) - Ta có: y’ = 3x2 – x , giả sử điểm M0(x0, f(x0))  (C), hệ số góc tiếp tuyến (C) M0 f’(x0)= 3x 02  x 4 40 , tung độ tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 27 40 + Có hai điểm thỏa mãn giải thiết (–1;– ); ( ; ) 27 - Vậy: 3x 02  x = suy x0 = –1; x0 = DeThiMau.vn ... tương ứng f(–1) = – ; f( ) = 3 27 40 + Có hai điểm thỏa mãn giải thi? ??t (–1;– ); ( ; ) 27 - Vậy: 3x 02  x = suy x0 = –1; x0 = DeThiMau.vn ...    sin x  sin  x     4 4   4    5 k 2 5 x  2 x    x  k 2 12   DeThiMau.vn Đặt t  x   t  x   xdx  tdt Với x   t  , x   t  5 5 tdt dt  1  t 2 15 ... CA : x  y   Toạ đô A nghiệm hệ 4 x  y     13 19   A ;   10 10  x  y     DeThiMau.vn  BC  (2;0; 4) Trung điểm BC có toạ độ  4; 2;  Gọi (Q) mặt phẳng trung trực BC