Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 19981999 môn: Toán bảng A vòng 154277

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài ( điểm) Tìm cực trị hàm số: x x x y = sin2x + cotg2 + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 ( < x < ) Bài ( điểm) Tìm giá trị lớn tham số m hệ phương trình sau có nghiệm: ìï x + xy + y = m ïï ïï 2 ( x, y, z  R) í y + yz + z = m ïï ïï xy + yz + zx = m ïỵ Bài ( điểm) Cho tập hợp: A = { a; a + 1; a + 2; a + n} với a = 1998 Tìm tất giá trị nguyên dương n để tồn hai tập hợp B C cho: A = B  C BC =  mà tổng phần tử tập B phần tử tập C Bài (6 điểm) Trong không gian cho ba mặt phẳng cố định có điểm chung M điểm không gian, đường thẳng qua M song song với hai mặt phẳng cắt mặt phẳng lại A,B,C Biết MA + MB + MC = 1998 Tìm tập hợp trọng tâm tam giác ABC DeThiMau.vn HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN TỐN 12 BẢNG A, VÒNG x x x + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 x x x + Đặt z = sinx + cotg ; z = sin2x + cotg2 + 4cos2 Do đ ó: y = z2 – 4z 2 x cos x - cosx + + y’x = y’z z’x = (2z – 4)( cosx ) = 2(sinx + cotg 2) x cosx - 2sin 2 cos x - cosx + + Do: < x <   cosx <  2 Do đó: y’ dấu với t – x p + y’ =  t – =  tg =  x = ( 0< x < ) 2 p x  x + tg -1 y’ + Bài 1(3 điểm) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) (0.5đ) y = sin2x + cotg2 y -4 Vậy: hàm số có điểm cực tiểu ( Bài (5 điểm) p ; -4) y 3 ; Y= y; Z = (y + z); T = (z – y) 2 2 2 2 Ta đ ược: x + xy + y = X + Y ; y + yz + z2 = Z2 + T ; (1.5đ) + Đặt: X = x + (xy + yz + zx) = XZ + YT ìï ïï 2 ïï X + Y = m ï Do ta có hệ ïí Z2 + T = m2 ïï ïï ïï XZ + YT = m ïỵ 2 2 (1.5đ) + Chú ý: (X + Y )(Z + T ) = (XZ + YT)2 + (XT – YZ)2 DeThiMau.vn Do đó: Hệ cho có nghiệm thỡ: ổ 3ử 4 ữ ỗ ÷ £ m 3(m - ) £ Þ Ê m Ê m.m ỗ m ữ ữ ỗố 3 ứ Suy ra: m (1.75đ)+ Xét m = 3 ìï XT = YZ (1) ïï ïï 3 m (2) Ta có hệ: ïí XZ + YT = ïï ïï 2 (3) ïïỵ Z + T = m Từ (1) đặt X = uZ, Y = uT, thay vào (2) (3) ta có: u = m ìï ìï ïï X = mZ ïï x = 2m + y ïï ïï 2m ïï ïï +2 m Do ta có hệ: ïí Y = mT hay ïí z = y ïï ïï m ïï ïï 2 m2 ïï Z + T = m ïï y = ïï ïïỵ 3m2 + 4m + ỵï với m = (0.2 5đ) + Từ đó: Đáp số tốn m = Bài (6 điểm) (1.5 đ) + Nếu A = B  C BC =  mà tổng phần tử B tổng phần tử tập C nên tổng: n(n + 1) 1998 + (1998 + 1) + + ( 1998 + n) = 1998(n + 1) + n(n + 1) số chẵn, suy l số chẵn, suy n(n + 1) chia hết Do n có dạng n = 4k + dạng n = 4k (k  N) (1.5 đ) + Nếu n = 4k + (k  N): Lúc tập A có 4(k+1) phần tử Chia A thành k + tập rời nhau, tập gồm số tự nhiên liên tiếp Ta biết số tự nhiên liên tiếp ln chia thành hai tập có tổng phần tử hai tập Ví dụ: bốn số a, a + 1, a + 2, a + a + ( a + ) = ( a + ) + ( a + ) Vậy tồn hai tập B C thỏa toán (3 đ) + Nếu n = 4k (k  N*): Lúc tập A có 4k + phần tử Giả sử A = B C BC =  B C có tập khơng 2k + phần tử Giả sử B có khơng 2k+1 phần tử C có khơng q 2k + phần tử Ký hiệu : SB tổng phần tử B thì: SB  1998 + (1998 + 1) + + ( 1998 + 2k) = 1998(2k+1)+ k(2k+1) SC tổng phần tử C thì: SC  (1998+ 2k+1) + (1998+2k+2) + + (1998 + 4k) = 19982k + k(6k+1) Theo giả thiết để SB = SC nên: DeThiMau.vn 1998.2k + k(6k+1)  1998(2k+1) + k(2k+1)  6k2 + k  1998 + 2k2 + k  4k2  1998 k ³ 1998 Û k ³ 23 + Nếu k = 23  n = 92 Tập A = {1998, 1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 92} với B = {1998 + 1, 1998 + 2, , 1998 + 46, 1998 + 59} C = {1998, 1998 + 47, , 1998 + 58, 1998 + 60, , 1998 + 92} Thì SB = SC = 95046 + Nếu k > 23 Ta có: A = A1A2 Trong đó: A1 = {1998, 1998 + 1, , 1998 + 92} A2 = {1998 + 93, 1998 + 94, , 1998 + 4k} Theo A1 chia thành hai tập rời thỏa đề Còn tập A2 gồm (4k - 9z) = 4(k – 23) phần tử Lý luận phần a, tập A2 chia thành hai tập thảo Như tập A chia hai tập B C, không giao tổng số B tổng số tập C Kết luận: n có dạng 4k+3(kN) hay 4k(kN, k  23) Bài ( điểm) (1.5 đ) + Gọi O giao điểm mặt phẳng a, b, c giao tuyến Dùng tính chất hình uuuur uuur hộp tính chất trọng tâm, ta có: OM ' = OM , với M” trọng tâm ABC U _ B _ C _ M' _ M _ _ C O _ A _ V _ (4đ) + Tìm tập hợp điểm M: Ba mặt phẳng chia không gian làm miền Ta cần xét miền: Gọi U, V, Ư thuộc a, b, c: OU = Ơ = OV = 1998 Chứng minh được: M thuộc miền tam giác UVƯ khi: uuur uuur uuur uuur OM = xOU + yOV + zOW với x + y + z = Mà MA + MB + MC = 1998  x + y + z = Do đó: Tập điểm M miền tam giác UVƯ (0.5 đ) + Suy điểm M’ ( trọng tâm tam giác ABC) ảnh miền tam giác UVƯ qua phép vị tự tâm O tỉ 2/3 DeThiMau.vn ... tập A có 4(k+1) phần tử Chia A thành k + tập rời nhau, tập gồm số tự nhiên liên tiếp Ta biết số tự nhiên liên tiếp ln chia thành hai tập có tổng phần tử hai tập Ví dụ: bốn số a, a + 1, a + 2, a. .. = 95046 + Nếu k > 23 Ta có: A = A1 ? ?A2 Trong đó: A1 = {1998, 1998 + 1, , 1998 + 92} A2 = {1998 + 93, 1998 + 94, , 1998 + 4k} Theo A1 chia thành hai tập rời th? ?a đề Còn tập A2 gồm (4k - 9z) = 4(k...HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN TỐN 12 BẢNG A, VÒNG x x x + 4cos2 - 4sinx – 4cotg 2 x x x + Đặt z = sinx + cotg