SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998 -1999 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG B VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài (5 điểm) Cho phương trình: cos3x + asinx.cosx + sin3x = a/ Giải phương trình a = b/ Với giá trị a phương trình có nghiệm Bài (5 điểm) Giả sử phương trình x3 + x2 + ax + b = có nghiệm phân biệt Hãy xét dấu biểu thức: a2 – 3b Bài (5 điểm) Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: x x y = (1 + a ) , (a > 0) Bài (5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình chữ nhật có AB = a, BC = b, SA = SB = SC = SD = c K hình chiếu vng góc P xuống AC a/ Tính độ dài đoạn vng góc chung SA BK b/ Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AK CD Chứng minh: Các đường thẳng BM MN vng góc DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN: TỐN BẢNG B VÒNG Bài 1: ( 5điểm) cos3x + asinx.cosx + sin3x = (0.5 đ) + Đặt t = sinx + cosx = cos(x ), |t| 3 cos x + sin x = (cosx + sinx)(sin x + cos2x – sinxcosx) = (cosx + sinx)(1 – sinxcosx) t t2 1 t2 = + 2sinxcosx nên sinxcosx = cos3x + sin3x = (3 t ) 2 (0.5 đ) + Phương trình (1) trở thành: t2 1 t = t3 – at2 – 3t + a = (2) (3 t ) + a 2 Câu a / (1 đ) + Với a = : (2) trở thành: t3 – t2 – 3t + = (t + )(t2 - 2 t + 1) = (t + )(t - + 1)(t - - 1) = t = - hay t = - hay t = + (1 đ) + so lại điều kiện: | t | nên phương trình (1) tương đương với: 5 cos(x ) 1 x k2 cos(x ) 4 ,kZ 1 cos(x ) cos(x ) x ar cos k2 Câu b / (0.25đ) + Phương trình (1) có nghiệm f(t) = t3 – at2 – 3t + a = có nghiệm t [- ; ] (1.25đ) + f(t) liên tục R f(- ) = - a ; f( ) = - - a; f(0) = a a = 0: f(t) có nghiệm t = [- ; ] a < 0: f(- ).f(0) = a( - a) < f(t) = có nghiệm t (- ;0) a > 0: f(0).f( ) = a(- - a) < f(t) = có nghiệm t (0; ) (0.25đ) + Vậy phương trình ln có nghiệm với a Bài 2: ( 5điểm) y = f(x) = x3 + x2 + ax + b (0.5 đ) + Tập xác định: R y’ = 3x2 + 2x + a tam thức bậc hai có biệt số ’ = – 3a (0.5 đ) + Pt: x3 + x2 + ax + b = có nghiệm phân biệt nên y’ = có nghiệm phân biệt x1, x2 f(x1).f(x2)< 1 3a (0.25 đ) + Suy ra: (x1, x2 hai nghiệm phương trình 3x2 + 2x + a = 0) f (x ).f (x ) 2 DeThiMau.vn (1 đ) + Thực phép chia đa thức ta được: 1 1 f(x) = x3 + x2 + ax + b = x y ' (6a 2)x 9b a 9 3 1 Suy f(x1) = (6a 2)x1 9b a ; f(x2) = (6a 2)x 9b a 9 (0.5 đ) + f(x1).f(x2) < (6a-2)2x1x2 + (6a-2)(9b-a)(x1 + x2) + (9b-a)2 < (1 đ) + Vì x1, x2 nghiệm phương trình: 3x2 + 2x + a = a nên x1 + x2 = ; x1.x2 = 3 a Do đó: (6a 2) (6a 2)(9b a) (9b a) 3 2 suy ra: 4(3a – 1)(a – 3b) + (9b – a) < (1 đ) + Vì (9b – a)2 3a – < nên a2 – 3b > Bài 3: ( 5điểm) (1 õ) + Tỗm tióỷm cỏỷn õổùng: Tỏỷp xaùc õởnh: R\{0} x 0+ thỗ đ + Ơ vaỡ ax x Do âoï : (1 â) 1 lim(1 + ax ) x = + ¥ nãn x = l âỉåìng tiãûm cáûn âỉïng + x® a/+ Xẹt trỉåìng håüp: < a + x (0; + ): < + ax x x Ê ( vỗ > ) x Do âoï: < (1 + a ) x x x nãn: £ lim (1 + a ) Ê lim = xđ +Ơ xđ + ¥ x x Do âoï: lim(1 + a ) = nãn y = l âỉåìng tiãûm cáûn ngang nhạnh phi + x® (1 â) x ỉ1 ö + x (- ; 0): < + ỗỗ ữ ữ ữ Ê ốa ứ x 1 ựx ổ1 x ỗỗ ữ ỳ ( vỗ < ) nón ÷ ÷ú èa ø x û x é ỉ1 ự =1 Do õoù: lim ờ1 + ỗỗ ữ ữ ữỳ x đ -Ơ ốa ứ ỳ ỷ é Do âoï: > ê1 + ê ë (1 â) x é ỉ1 ù =a Suy lim (1 + ax ) x = lim a ê1 + ỗỗ ữ ữ ữỳ x đ -Ơ xđ - ¥ èa ø ê ú ë û Váûy y = a l tiãûm cáûn ngang nhạnh trại b/+ Xẹt trỉåìng håüp a > + x (- ; 0) : < + ax < 1 x x x Do âoï: 1> (1 + a ) > ( vỗ < ) nón: x ộ lim ờ1 + x đ -Ơ x 1 ựx ổ1 x ỗỗ ữ ỳ lim = ữ ữỳ x đ -Ơ èa ø û x x x lim (1 + a ) ³ lim = x® - ¥ x® - ¥ Do âọ: lim (1 + ax ) x = nãn y = laì õổồỡng tióỷm cỏỷn ngang nhaùnh traùi xđ - Ơ DeThiMau.vn x ỉ1 (1 â) + x (0; + ): < + ỗỗ ữ ữ ữ < èa ø é Do âoï: < ê1 + ê ë x ùx ỉ1 x ç ÷ ) nãn Ê ữ ữỳ ỗốa ứ ỳ x ỷ ộ lim ờ1 + xđ + Ơ x ùx é ỉ1 ÷ ú =1 nãn lim (1 + ax ) x = lim a ờ1 + ỗỗ ữ ữ xđ + Ơ xđ + Ơ ốa ứ ú ê û ë Váûy y = a l âỉåìng tiãûm ngang nhạnh phi é Do âọ: lim ê1 + xđ + Ơ x ựx ổ1 x ỗ ữ Ê lim = ữ ữỳ ỗốa ứ xđ + Ơ ỳ ỷ x ựx ổ1 ỗỗ ữ ỳ =a ữ ữ ốa ø ú û Bài 4: ( 5điểm) S _ N _ D _ C _ K _ M _ O _ A _ B _ Câu a / (2.5 điểm) (0.25 â) + Theo giả thiết ta được: SO (ABCD) (SAC) (ABCD) Mà BK (SAC) BK AC BK SA (0.5 â) + Gọi H hình chiếu K xuống SA HK SA HK BK ( HK (SAC)) HK đoạn vng góc chung SA BK Suy được: BH SA HBK vuông K 2 (0.5 â) + Do ABC vuông đỉnh A nên: BK a2 b BK AB BC a b (0.5 â) + SAB cân đỉnh S, BH đường cao nên HB SI.AB SA (0.5 â) + Do HBK vuông K nên: (4c a )a a b2 HK HB2 BK 4c a b2 c2 a2 a c (4c a b )a a (4c a b ) HK HK 4c (a b ) 2c (a b ) Câu b (2.5 điểm) (0.5 â) + 2BM BA BK ( M trung điểm AK) (0.5 â) + MN MB BC CN (AB KB) BC BA 2 DeThiMau.vn (1.75 â) + MN KB BC + Do đó: 4BM.MN (BA BK).(KB 2BC) = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC = BA.KB BK.KB 2BK.BC = KB.(BA BK 2.BC) = KB.(BA BC BK BC) = KB.(CA CK) KB.CA KB.CK Vậy: BM MN ( Có thể tính áp dụng định lý Pythagor).bv DeThiMau.vn ... 4BM.MN (BA BK).(KB 2BC) = BA.KB 2BA.BC BK.KB 2BK.BC = BA.KB BK.KB 2BK.BC = KB.(BA BK... GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THI? ?N HUẾ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN: TỐN B? ??NG B VỊNG B? ?i 1: ( 5điểm) cos3x... SA HK BK ( HK (SAC)) HK đoạn vng góc chung SA BK Suy được: BH SA HBK vuông K 2 (0.5 â) + Do ABC vuông đỉnh A nên: BK a2 b BK AB BC a ? ?b (0.5 â) + SAB cân đỉnh S, BH đường