SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) -Bài 1: ( 2.5 điểm) Cho phương trình: x 34x a (x 1)(x 33) a/ Giải phương trình a = 64 b/ Tìm a để phương trình có nghiệm Bài 2:(2.5 điểm) Cho hai số a1, b1 với < b1 = a1 < Lập hai dãy số (an), (bn) với n = 1, 2, theo quy tắc sau: a n 1 (a n b n ) , b n 1 a n 1.b n Tính: lim a n lim b n n n Bài 3:(2.5 điểm)Trong không gian cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng ba điểm A, B, C ( khác điểm 0) Ox, Oy, Oz Dãy số (an) cấp số cộng có a1 > công sai d > Với số n nguyên dương, tia Ox, Oy, Oz theo thứ tự lấy điểm An, Bn, Cn cho OA = an.OAn ; OB = an+1.OBn ; OB = an+2.OCn Chứng minh mặt phẳng (An, Bn, Cn ) luôn qua đường thẳng cố định Bài 4:(2.5 điểm) Tập hợp M gồm hữu hạn điểm mặt phẳng cho với điểm X thuộc M tồn điểm thuộc M có khoảng cách đến X Hỏi tập hợp Mcó thể chứa phần tử? DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a: ( điểm) +(0.25 đ) Đặt u = x 34x a v= (x 1)(x 33) u (u 1) a 33 +(0.25 đ) Ta có hệ (I) v u +(1.00 đ) Hàm số f(u) = u5 – (u – 1)4 có f’(u) = 5u4 – 4(u – 1)3 > u [1; + ), nên f(u) tăng [1; + ) +(0.50 đ) a = 64, f(u) = 31 = f(2) f(u) tăng nên hệ (I) có nghiệm: (u = 2,v = 1) từ ta có nghiệm phương trình là: x = 17 257 Câu b: ( 0.5 điểm) + f(u) tăng [1; + ) mà f(1) = nên phương trình có nghiệm a – 33 hay a 34 Bài 2: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Tính a2, b2 với < b1 = a1 < ta chọn < a < cho: b1 = cosa, suy a1 = cos2a 1 a a (cos a cos a) cos a(cosa 1) cosa.cos 2 2 a a b cos acos cosa cos acos 2 +(0.75 đ) Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a a a a n cos aco s cos n 1 cos n 1 (1) b n cos aco s cos n 1 (2) 2 2 a +(0.75 đ) Nhân hai vế (1) (2) cho sin n 1 áp dụng công thức sin2a được: a sin 2a.cos n 1 sin 2a an , bn a a n n sin n 1 sin n 1 2 +(0.50 đ) Tính giới hạn: sin 2a sin 2a lim a n , lim b n n n 2a 2a Bài 3: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Phát biểu chứng minh mệnh đề: Nếu hai điểm X,Y phân biệt Điều kiện cần đủ để điểm S thuộc đường thẳng XY tồn cặp số thực x, y thỏa: OS xOX yOY , với điểm O tùy ý x y DeThiMau.vn +(0.25 đ) Từ giả thiết: (an) cấp số cộng công sai d > nên: an+1 = an + d a n 1 a n d d +(0.75 đ) áp dụng nhận xét trên, ta có: a a OI n 1 OBn n OA n I AnBn d d OA a n OA n ; OB a n 1 OBn ( a n , a n 1 0) OB OA AB , n=1,2 suy I cố định, nên đường thẳng Thế vào ta được: OI d d d AnBn qua điểm cố định I +(0.50 đ) Tương tự, chứng minh được: BnBn qua điểm cố định J xác định bởi: OJ BC d AC AnCn qua điểm cố định K xác định bởi: OK 2d Vậy đường thẳng AnBn, BnCn, AnCn qua ba điểm I, J, K cố định +(0.50 đ) Chứng minh ba điểm thẳng hàng: AC Ta có: OI AB , OJ BC , OK d d 2d AC (AB BC) (d.OI d.OJ) (OI OJ) Do đó: OK 2d 2d 2d Vậy I, J, K thẳng hàng Điều chứng tỏ mặt phẳng AnBnCn qua đường thẳng cố định Bài 4: (2.5 điểm) +(0.50 đ) Rõ ràng có hai điểm P,Q thuộc M cho PQ Ký hiệu : MP = {X M / PX = 1} Từ giả thiết |MP| = ta có: |Mp Mq| Nếu tồn P, Q cho |Mp Mq| M chứa điểm +(1.50 đ) Trường hợp với P,Q cho PQ |Mp Mq| = Khi Mp Mq = {R,S}, lúc MP = {R,S,T,U} Mq = {R,S,V,W} giả sử M = {P,Q,R,S,T,U,V,W} ta có TQ 1, UQ 1, VP 1, WP Nếu TR,TS,UR,US khác 1: suy Mt Mq = Mu Mq = {V,W} suy T hay U trùng với Q, vơ lý Nếu TR,TS,UR,US có số 1: Khơng giảm tính tổng qt, giả sử TV = lúc TS TV = hay TW = Giả sử TV = lúc TW suy TU = 1, Mt = {P,R,U,V} Mu = {P,T,V,W} lúc UTV, RPT,UTV tam giác cạnh 1, ta có hình Điều mâu thuẫn VR>2 +(0.50 đ) Vậy M chứa điểm Dấu xảy với hình2 Vậy M chứa điểm A5 T V U A9 A6 R A1 A2 A3 P A7 A8 A4 DeThiMau.vn ... = a1 < ta chọn < a < cho: b1 = cosa, suy a1 = cos 2a 1 a a (cos a cos a) cos a( cosa 1) cosa.cos 2 2 a a b cos acos cosa cos acos 2 +(0.75 đ) Bằng quy nạp, chứng minh được: a a a. .. TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH TH? ?A THI? ?N HUẾ NĂM HỌC 1999-2000 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) Câu a: ( điểm) +(0.25 đ) Đặt u = x 34x a v=... a a a n cos aco s cos n 1 cos n 1 (1) b n cos aco s cos n 1 (2) 2 2 a +(0.75 đ) Nhân hai vế (1) (2) cho sin n 1 áp dụng công thức sin 2a được: a sin 2a. cos n 1 sin 2a an , bn a a