Đề thi chọn học sinh giỏi bậc PTTH Thừa Thiên Huế năm học 20022003 môn: Toán (vòng 1)51718

SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2002-2003 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn: TỐN (VỊNG 1) SBD: (150 phút, khơng kể thời gian giao đề)  cos x.cos y  Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ:  cos 2x  cos 2y   Bài 2: (3.5 đ) Cho hai đường thẳng Ax, By chéo Hai điểm C, D thay đổi   Ax By cho: AC BD AB a/Chứng minh rằng: mặt phẳng (P) chứa CD song song với AB luôn qua điểm cố định I mặt phẳng (Q) chứa Ax (Q) song song By b/Tìm vị trí C D cho thể tích tứ diện ABCD nhỏ Bài 3: (3.0 đ) a/ Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C) cắt parabol (P): y = x2 bốn điểm, điểm có tọa độ (1;1) ba điểm lại ba đỉnh tam giác Tính bán kính đường trịn (C) b/ Tìm tập hợp tâm tam giác có ba đỉnh thuộc parabol (P): y = x2 DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2002-2003 HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 12 -VÒNG  cos x.cos y  Bài 1: (3.5 đ) Giải hệ:  (I) cos 2x  cos 2y   cos x.cos y  (1) 4 cos x.cos y   (0.5 điểm) (I)   (III) hay  (III) cos 2x  cos 2y   (2) cos 2x  cos 2y    (1.5 điểm) Giải hệ (II): 1   (3) cos(x  y)  cos(x  y)  cos(x  y)   cos(x  y)  (II)   cos(x  y).cos(x  y)   cos(x  y).[1-2 cos(x  y)]+1  (4)  (4)  -2cos2(x + y) + cos(x - y) +1   - [cos(x + y) - 1].[2cos(x + y) +1]  cos(x + y)   hay cos(x + y)    cos(x  y)   cos(x  y) cos(x  y)   cos(x  y)  Do đó: (II)   (IV) hay  (V) cos(x  y)   cos(x  y)     x  y  k2 cos(x  y)  cos(x  y)   cos(x  y)    Giải (IV):   2 1 cos(x  y)   cos(x  y)    x  y    h2     x    (k  h)   y     (h  k)   2  cos(x  y)   cos(x  y)  2n cos(x  y)   x  y    Giải (V):    cos(x  y)   x  y  2m cos(x  y)        x    (m  n)   y     (m  n)     (1.5 điểm) Giải hệ (III): 4 cos t.cos y  Đặt t = x +  vào (III) ta :  cos 2t  cos 2y        t    (k  h)  t    (m  n) Theo (II) ta được:  hay    y    (k  h)  y     (m  n)   3 DeThiMau.vn        x      (k  h)  t      (m  n) hay  Do đó: (III)    y       (k  h)  y       (m  n) 3        x    (k  h)  x    (m  n) Vậy hệ có họ nghiệm:  ;    y    (h  k)  y     (m  n)   3      x      (k  h)  t      (m  n) ;    y       (k  h)  y       (m  n) 3   Bài 2: (3.5 điểm) a/ ( điểm)  Hình vẽ: Dựng Ay’ // By D’ Ay’ cho: AD’ = BD (P) mp(DCD’), (Q) mp(Ax, Ay’) A  Nhận xét: Với I tùy ý D’C Gọi M, N điểm Ay’,Ax cho: MI//Ax, NI // Ay’ AM AN CI D ' I CI  ID '      (1) Ta có: AD ' AC CD ' D 'C CD ' AB : 2AB :      (2) AC BD AB AC AD ' y D B M y’ D’ N  Với C,D hai điểm tùy ý thỏa giả thiết Trên CD’ tồn điểm I cho : I C x D ' I AB :  D 'C AC AN D ' I AB : AB    AN= (3) AC D 'C AC AM CI D'I AB : 2AB : 2AB   1  1   AM= (4) và: AD ' CD ' D 'C AC AD '  Từ (3) (4) suy M N cố định nên I cố định Do (P) ln qua điểm cố định I mặt phẳng (Q) b/ (1.5 điểm)  Do ABD = AD’D nên thể tích V tứ diện ABCD thể tích tứ diện DACD’  Do D By // (Q) nên khoảng cách từ D đến (ACD’) khơng đổi, nên thể tích V nhỏ diênh tích S tam giác AD’C nhỏ 1  S = AC.AD’.sinA = AC.BD.sinA nên: S nhỏ  AC.BD nhỏ 2 1 ,  Áp dụng bất đẳng thức Cơsi cho hai số dương: ta có: AC BD 2   2  AC.BD  AB2 AB AC BD AC BD 2AB 4AB    AC  Dấu xảy khi: BD  AC BD 2AB 3 4AB 2AB  Vậy: V nhỏ khi: BD  , AC  3 Bài 3: ( điểm) a/( 1.5 đ) (C): (x – a)2 + (y – b)2 = R2 (C) qua điểm (1;1) nên: R2= (1 – a)2 + (1 – b)2 Ta được: DeThiMau.vn  Hoành độ x1, x2, x3 ba đỉnh tam giác x = nghiệm phương trình: x  (x – a)2 + (y – b)2 = (1 – a)2 + (1 – b)2    x  x  (2  2b)x   2a  2b   Do đó: x3 + x2 + (2 – 2b)x +2 – 2a – 2b  (x – x1)(x – x2)(x – x3) nên:  x1  x  x  1   x1 x  x1 x  x x   2b  Từ giả thiết tam giác nên:  x1  x  x  3a  x1  x  x  3a    2  x1  x  x  3b  x1  x  x   2(x1x  x x  x x1 )  3b 13  Do đó: a =  , b = bán kính đường trịn (C) là: R = 3 b/ (1.5 đ) Thuận:  Giả sử I(a;b) tâm tam giác dều ABC có đỉnh (P) Đường tròn (ABC) cắt (P) thêm điểm M(x0;y0) ( trùng A, B, C) xA, xB, xC x0 nghiệm của: (x – a)2 + (y – b)2 = (x0 – a)2 + ( x 02 – b)2 x  x0  2  x  x x  (x   2b)x  x  x  2a  2bx  (1)  x A  x B  x C  3a  x A  x B  x C  3a  Suy ra:    2 2  x A  x B  x C   2(x A x B  x B x C  x C x A )  ( x )  2(x   2b)  x A  x B  x C  3b x0  a    Hay:  , vậy: b = 9a2 + Nên tâm I đồ thị (G): y = 9x2 + b  x   Đảo: Xét I(a; 9a2 + 2) tùy ý (G): y = 9x2 + Ta phải chứng minh đường tròn (C) tâm I bán kính IM với M(-3a ; 9a2) cắt (P) thêm điểm đỉnh tam giác  Xét phương trình: (x – a)2 + (x2 – 9a2 – 2)2 = (-3a – a)2 + (9a2 – 9a2 – b)2 (2)  x  3a   với f(x) = x3 -3a2x2 - (9a2 + 3)x + 27a3 + 7a (f(x) = phương trình (1) với f (x)   x0 = - 3a)  Nếu a = 0: f(x) = x3 -3x = có nghiệm phân biệt f (3a)  16a  0;f (3a)  2a  a >  Nếu a  0: Do f(x) liên tục, lim f (x)    x  f (3a)  2a  0;f (3a)  16a  a < nên f(x) = có nghiệm phân biệt Vậy phương trình f(x) = ln có nghiệm phân biệt x1, x2, x3 với a y A B I C M DeThiMau.vn x  x1  x  x a   x1  x  x  3a  Ta có:  Do đó:  (3) 2 x x x    x1 x  x1 x  x x  (9a  3) 2   9a   Do x1, x2, x3 nghiệm phân biệt (2) nên: (C) cắt (P) đỉnh A  x1 ; x12  , B  x ; x 22  , C  x ; x  tam giác ABC Và (3): tam giác ABC có trọng tâm trùng với tâm đường tròn ngoại  tiếp I, nên ABC tam giác Kết luận: Tập hợp tâm tam giác có đỉnh thuộc (P): y = x2 parabol: (G): y = 9x2 + _  DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THI? ?N HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2002-2003 HƯỚNG DẪN CHẤM BIỂU VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI MƠN TỐN LỚP 12 -VỊNG  cos x.cos... t    (m  n) Theo (II) ta được:  hay    y    (k  h)  y     (m  n)   3 DeThiMau.vn        x      (k  h)  t      (m  n) hay  Do đó: (III)   ... ' AB : 2AB :      (2) AC BD AB AC AD ' y D B M y’ D’ N  Với C,D hai điểm tùy ý thỏa giả thi? ??t Trên CD’ tồn điểm I cho : I C x D ' I AB :  D 'C AC AN D ' I AB : AB    AN= (3) AC D