SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG B VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2.5 điểm) Cho phương trình: sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + = Tìm giá trị m phương trình có tập nghiệm là: T = { x / x k, k Z } Bài 2: (2.5 điểm) Giải phương trình: 16 x (2x 1) 2.42x 1 Bài 3: (2.5 điểm) Cho tứ diện ABCD cóhai cạnh đối b, c cạnh cịn lại a a/ Tìm giá trị nhỏ tổng khoảng cách từ điểm tùy ý không gian đến đỉnh tứ diện b/ Giả sử tứ diện ABCD thay đổi vị trí khơng gian có ba đỉnh A, B, C mặt cầu cố định đồng tâm Chứng minh đỉnh D hình cầu cố định độ dài a, b, c thay đổi thỏa giả cho Bài 4: (2.5 điểm) Tìm tham số a hệ sau có nghiệm: a(x a) (x 2) x a DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000-2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG B – VÒNG Bài 1: (2.5 điểm) sin2x + cos2x + 4sin3x – 4sinx + 2mcosx + = (1) 2sinxcosx + 2cos2x + 4sinx(sin2x + 1) + 2mcosx = cosx(sinx + cosx -2sinxcosx +m) = x k, k Z cos x sin x cos x 2sin x cos x m sin x cos x 2s inxcosx + m = (2) Do (1) có tập nghiệm T = { x / x k, k Z }khi (2) có nghiệm thuộc T (2) vô nghiệm t sin x cos x sin(x ) Xét phương trình (2): sinx + cosx – 2sinxcosx + m = f(t) = t t m (3) (I) (4) | t | cos x m Phương trình (2) có nghiệm thuộc T sin x 1 m 1 Thử lại: m = 1: Khi (3) t – t – = t = -1 t = x k2 Hệ (I) trở thành: sin(x ) 1 sin(x ) x k2 4 2 Vậy T tập nghiệm phương trình cho Thử lại: m = -1: Khi (3) t2 – t = t = t = x k2 sin(x ) Hệ (I) trở thành: x k2 k Z sin(x ) x k2 Vậy T tập nghiệm phương trình cho Phương trình (2) vơ nghiệm: f(t) tam thức bậc hai có = + 4m, S , kí hiệu t1, t2 hai nghiệm f(t) = 2 S nên hệ (1) vô nghiệm khi: 5 f(- 2) < m hay m hay m > 1+ 4 t1 t f( 2) Vậy giá trị m thỏa đề là: m hay m > 1+ Bài 2: (2.5 điểm) 2 Biến đổi phương trình: 16 x (2x 1) 2.42x 1 24x (2x 1) 24x 1 8x 4x 4x (1) Do DeThiMau.vn Đa thức f(t) = 8x 4x 4x có tối đa nghiệm ta có: f(-1)=-7; f(0)=1; f(1/2)=-1,f(1)=1 f(t) liên tục khoảng (-1;1) f(-1).f(0) < 0, f(0).f(1/2) < 0, f(1/2).f(1) < nên f(x) = có nghiệm khoảng (-1;1) Do f(t) = có nghiệm khoảng (-1;1), nên ta đặt x = cosa với < a < Phương trình (1) trở thành: 8cos3a – 4cos2a – 4cosa + = 4cosa(2cos2a – 1) = 4(1 – sin2a) – 4cosa.cos2a = – 4sin2a 4sina.cosa.cos2a = 3sina – 4sin3a ( sina > 0) 4a 3a k2 (k Z) ( với < a < ) sin4a = sin3a 4a 3a k2 3 5 hay a = hay a = a 7 Câu ( 2.5 đ) D Câu a (1.75 đ) Ta giả sử AD = b, BC = c cạnh lại a Gọi I, J trung điểm cạnh D’ AD, BC Ta dễ dàng suy Ị vng góc với AD I BC IJ trục đối xứng tứ diện A’ Lấy M tùy ý không gian, M’ điểm đối xứng K0 M qua IJ suy trung điểm K MM’ hình chiếu M đường thẳng IJ ta có: C A 2(MA + MB + MC + MD) = MA + MB + MC + MD + M’A + M’B+M’C+M’D J = (MA + M’A) + (MB + M’B) + (MC + M’C) + (MD + M’D) 2KA + 2KB + 2KC + 2KD (1) B ( Do tính chất: trung tuyến tam giác bé tổng hai cạnh xuất phát từ đỉnh nó) Do đó: MA + MB + MC + MD KA + KB + KC + KD Bài tốn trở thành tìm điểm K IJ cho KA + KB + KC + KD bé Trong mặt phẳng (BCI) dựng hình thang BCD’A’ cho IJ trung điểm hai đáy IA = IA’, ID = ID’ Ta thấy rằng: với K tùy ý Ị KA = KA’ KD = KD’ Do đó: KA + KB + KC + KD = KA’ + KB + KC + KD’ = (KA’ + KC) + (KB + KD’) A’C + BD’ Vậy KA + KB + KC + KD nhỏ K giao điểm K0 hai đường chéo A’C BD’ Tính IJ: IJ2 = DJ2 – ID2 = DC2 – JC2 – ID2 = a2 c2 b2 c2 b2 IJ a 4 4 c2 b2 bc BC A ' D ' bc 2 Tính BD’: BD ' IJ a a 4 2 Tổng khoảng cách nhỏ là: d = 2BD’ = 4a 2bc Câu a (0.75 đ) Gọi r1, r2, r3 bán kính mặt cầu tâm O qua đỉnh A, B, C Ta có: OD < OC + DC < OC + AB < OC + OA + OB = r1 + r2 + r3 Do D hình cầu cố định tâm O, bán kính R = r1 + r2 + r3 Bài 4: (4.0 điểm) a(x a) (x 2) (x a) ax - 2a(x a) x a x a 1 1 2 2 (1) x (x a) (x a) a (x a) a (x a) a 2 x a x a (2) Do (2) nên x – a a hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: DeThiMau.vn 1 1 (x a) (x a) a 4 =2 (3) 2 (x a) a Do (1) dấu đẳng thức xảy (3) tức là: x 1 (x a) a 2 (x a) a a 2 Vậy hệ có nghiệm a = nghiệm hệ là: x = 2 DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THI? ?N HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI B? ??C PTTH NĂM HỌC 2000-2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN B? ??NG B – VÒNG B? ?i 1: (2.5 điểm) sin2x + cos2x... ID2 = a2 c2 b2 c2 b2 IJ a 4 4 c2 b2 bc BC A ' D ' ? ?b? ??c 2 Tính BD’: BD ' IJ a a 4 2 Tổng khoảng cách nhỏ là: d = 2BD’ = 4a 2bc Câu a (0.75... 2(MA + MB + MC + MD) = MA + MB + MC + MD + M’A + M? ?B+ M’C+M’D J = (MA + M’A) + (MB + M? ?B) + (MC + M’C) + (MD + M’D) 2KA + 2KB + 2KC + 2KD (1) B ( Do tính chất: trung tuyến tam giác b? ? tổng hai