SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 1998-1999 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài ( điểm) Tìm đường tiệm cận đồ thị hàm số: x x y = (1 + a ) , (a > 0) Bài ( điểm) Định dạng tam giác ABC, biết rằng: cosA cosB cos A cos B + = + = sinB sinA A B p Bài ( điểm) Cho dãy số (xn) Biết x1 = x2 = xn + = xn + + , " n Ỵ N* p a/ Tìm số hạng tổng quát xn ( n N*) b/ Xác định tất giá trị n cho xn số nguyên Bài (6 điểm) Trong mặt phẳng cho đường tròn (C), giả sử tâm chưa đánh dấu A điểm mặt phẳng Chỉ dùng thước thẳng dựng qua A tiếp tuyến đường tròn (C) ( Thước thẳng dụng cụ để vẽ đường thẳng) DeThiMau.vn SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO THỪA THIÊN HUẾ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG Baỡi (3õióứm) (1 õ) + Tỗm tiãûm cáûn âỉïng: Táûp xạc âënh: R\{0} x 0+ thỗ đ + Ơ vaỡ ax x Do õoù : lim(1 + ax ) x = + ¥ nãn x = l âỉåìng tiãûm cáûn âỉïng + x® (1 â) a/+ Xẹt trỉåìng håüp: < a + x (0; + ): < + ax 1 Do âoï: < (1 + a x ) x £ ( vỗ > ) x 1 nón: Ê lim (1 + a x ) x £ lim 2x = xđ +Ơ xđ + Ơ x x Do âoï: lim(1 + a ) = nãn y = l âỉåìng tiãûm cáûn ngang nhạnh phi + x® x ỉ1 + x (- ; 0): < + ỗỗ ữ ữ ữ Ê èa ø x 1 ùx ỉ1 x ỗỗ ữ ỳ ( vỗ < ) nãn ³ ÷ ÷ú èa ø x û x é ỉ1 ù =1 Do âọ: lim ê1 + ỗỗ ữ ữ ữỳ x đ -Ơ ốa ø ú ë û é Do âoï: > ê1 + ê ë x é ỉ1 ù =a Suy lim (1 + ax ) x = lim a ờ1 + ỗỗ ữ ữ ữỳ x đ -Ơ xđ - Ơ ốa ứ ỳ ỷ Vỏỷy y = a l tiãûm cáûn ngang nhạnh trại (1 â) b/+ Xẹt trỉåìng håüp a > + x (- ; 0) : < + ax < 1 x x x Do âoï: 1> (1 + a ) > ( vỗ < ) nãn: ³ x é lim ê1 + x ® -¥ ê ë x 1 ùx ỉ1 x ỗỗ ữ ỳ lim = ữ ữỳ x đ -Ơ ốa ứ ỷ x x x lim (1 + a ) ³ lim = xđ - Ơ xđ - Ơ Do âoï: lim (1 + ax ) x = nãn y = l âỉåìng tiãûm cáûn ngang nhạnh trại xđ - Ơ x ổ1 + x (0; + ): < + ỗỗ ữ ữ ữ < èa ø é Do âoï: < ê1 + ê ë x 1 ùx ỉ1 x çç ÷ ú ( vç > ) nãn £ < ÷ ÷ èa ø ú x û ộ lim ờ1 + xđ + Ơ x ùx é ỉ1 ÷ ú =1 nãn lim (1 + ax ) x = lim a ê1 + ỗ ữ ữỳ ỗốa ứ xđ + Ơ xđ + ¥ ê û ë Váûy y = a l âỉåìng tiãûm ngang nhạnh phi é Do âọ: lim ê1 + xđ + Ơ DeThiMau.vn x 1 ựx ổ1 x ỗỗ ữ ỳ Ê lim = ữỳ ữ xđ + Ơ ốa ứ ỷ x ựx ổ1 ỗ ữ =a ữ ữỳ çèa ø ú û (1 â) Baìi ( âiãøm) cosA cosB + = Û sin 2A + sin 2B = sin AsinB + sinB sin A sin(A + B) cos(A - B) = cos(A - B) - cos(A + B) Û cos(A - B) [sin C - 1] = cosC cos(A - B) cos(A - B) sin C cosC = (1) 2 + cos (A - B) + cos (A - B) + cos2(A - B) Âàût cos j = cos(A - B) + cos2(A - B) p (1) tråí thnh: sin(C - ) = cos cos = cos( + j - C ) éC = p + k p (3) ê ê Û ê , k Ỵ Z p ê2j = C + k p (4) ê ë p p (2.5 õ) + Nóỳu coù (4) thỗ k = C = + 2j Þ < j < cos(A - B) Þ cos j > Þ > Þ cos2(A - B) > (vä lyï) 2 + cos (A - B) + cos2(A - B) vaì sin j = Váûy tam giạc ABC vng 2 ìï a = cos3 A ö æ ö cos6 A cos6 B æ a b ữ+ỗ ữ ữ vồùi ùùớ + = ỗỗ + Mỷt khaùc: ữ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ùù b = cos3 B è A ø è Bø A B ïỵ 2ù 6 é ỉb p p ỉcos A cos B ÷= é( A )2 + ( B )2 ựờỗổ a ữ ữ ỳ (a + b)2 (5) ữ ỗ + + Maỡ A + B = ị ỗỗ ữ ữ ỳỗ ỗ ữ ữ ữ ỳ ỗ ỗ ỗ ố ứ ố ø ûê 2è A B ø ë B ú ë A û 6 cos A cos B Suy ra: + ³ (a + b)2 A B p cos6 A cos6 B Sỉí dủng bäø âãư: (a + b)2 (6) suy + ³ (7) A B p cos6 A cos6 B Theo gi thiãút: + = (2) nãn (7) xy âàóng thỉïc tỉïc l : Âàóng thỉïc xy A B p ìï cos3 A cos3 B ïï = ïï A B tải (5) v (6) tỉïc l: í Û A = B ùù ổA - B ữ ỗ ùù cosỗ ữ ữ= ố ứ ùợ Suy tam giạc ABC cán âènh C Thỉí lải ta tháúy âụng våïi gi thiãút Váûy ABC l tam giạc vng cán âènh C (1 â) + Chỉïng minh bäø âãư: Cos3 A + cos3B = ( cosA + cosB)(cos2A+cos2B - cosAcosB) A+ B A- Bé ù = 2cos cos ê1 - [cos(A + B) + cos(A - B) ]ú ê ú 2 ë û DeThiMau.vn A - B é3 A - Bù ê - cos2 ú ú ê û ë2 A- B A- B p < Þ < x £ 1) 2x( - x ) våïi x = cos (0 £ 2 2 Vỗ A + B = Xeùt y = Ta âæåüc y ³ p nãn cos3 A + cos3 B = 2 cos 2 A- B = 1Û A = B vaì y = x = Û cos 2 Baìi3 ( âiãøm) x xn+2 = xn+1 + n , nN* våïi x1 = x2 = 1; Do âoï nãúu âàût x0 = ta âæåüc: xn+2 = xn+1 + xn , nN (hồûc khäng cáưn âàût trãn v chỉïng minh trỉûc tiãúp) Cáu a ( 2âiãøm) x x Tỉì âàóng thỉïc: xn+2 = xn+1 + n xn+2 - xn+1 - n = 2 1- 1+ Coù phổồng trỗnh õỷc trổng laì: x2 - x - = Û x = hay x = 2 n n æ1 + ổ1 - ữ ữ ỗ ç ÷ ÷ Suy x n = a ç + bỗ ữ ữ ữ ữ ỗố ứ ỗ ø è ìï a + b = ïï Våïi x0 = 0, x1 = ta âæåüc: í + Û a= - b= ïï a+ b= ïïỵ 2 Váûy cäng thỉïc täøng quạt: n n ù ỉ1 + ổ1 - ộ ữ ữ ỗ ỗ ỳ ữ ữ xn = ỗ ỗ ữ ữ ỳ ỗố ứ ỗ ứ ữ ữ 3ờ è ê ú ë û Cáu b (4 âiãøm) n n é ù ê(2 + 3) - (2 - 3) ú Ta coï: x 2n = ê ú, " n Ỵ N 3ê 2n ú ë û n n é ù ê(1 + 3) (2 + 3) - (1 - 3) (2 - 3) ú Vaì x 2n+ = ê ú, " n Ỵ N 3ê 2n+ ú ë û (1.5 â) + Xeït x2n+1 (nN) n n é Gi bn = ,"n Ỵ N (1 + 3) (2 + 3) - (1 - 3) (2 - 3) ù ê ú û 3ë (2 â) Ta cọ: b0 = 2, b1 = v bn+1 = 4bn - bn-1 nãn bn+1 - bn-1 bn-1 ( mod 4) Suy bn chia hãút vaì khäng chia hãút ( nN) b Váûy x 2n+ = n+n Ỵ Z Û 2n+ = Û n = Váûy chè cọ x1 Z + Xẹt x2n (nN) DeThiMau.vn n n é + 3) - (2 - 3) ù ( ê ú û 3ë Ta coï: a0 = 0, a1 = vaì an+1 = 4an - an-1 nãn an an-1 ( mod 4) Do: a1 = nãn a2k+1 chia hãút vaì khäng chia hãút Xeït f(n) N cho an chia hãút 2f(n) vaì khäng chia hãút 2f(n)+1 Suy ra: Nãúu n sọỳ leợ thỗ f(n) = 2n 2n n é = an é + 3) - (2 - 3) ù + + (2 Ta coï: a2n = ( ( ) ê ú ê ë û 3ë Âàût an = Laûi âàût Cn = (2 + n 3) + (2 - n 3) ù ú û n 3) ta coï C0 = 2, C1 = vaì Cn = 4Cn-1 C n-2, n = 2, 3, 4, Cn 2(mod 4) nãúu n chàôn (vỗ C0 = 2) C 4(mod 8) nóỳu n chụn (vỗ C1 = 4) n Maỡ a2n = an.Cn f (n) nãúu n chàơn Do âọ: f(2n) = f (n) nãúu n chàôn Suy Gi sỉí: n = 2h.s ( s l sọỳ tổỷ nhióỷn leớ, h N) Thỗ f(n) = f(2h.s ) = f(2h - 1.s) + = f(2h - 2.s) + = = f(2s) + h -1 = h + a Váûy âãø : x 2n nn Z a n 2n f (n) n h 2h.s 2h h 3(h N) Váûy: h = n = x8 = h = n = x4 = h = n = x2 = (0.5 â) + Kãút luáûn: caïc säú x1, x2, x4, x8 l cạc säú ngun Bi ( âiãøm) (1.5 â) + Bäø âãư 1: Tỉì mäüt âiãø M ngoi âỉåìng trn (C) tám O bạn kênh R v hai tiãúp tuún MA, MB Hai cạt tuyóỳn õi qua M cừt õổồỡng troỡn PQ, RS, thỗ giao âiãøm hai âỉåìng thàóng SP v QR thüc âỉåìng thàóng AB A _ Q _ I_ Y _ O _ K _ P _ _ M _ X J _ R _ S _ B _ OX.OY OK.OX (QPIM) (SRJM) 1 (1.5 â) DeThiMau.vn Bäø âãư 2: X l mäüt âiãøm cho trỉåïc, táûp håüp táút c cạc âiãøm Y cho OX.OY R l âỉåìng thàóng dx vng gọc våïi Ox X, X’, X” thàóng hng v O khọng thuọỹc XX thỗ dx, dx, dx õọửng quy Tråí lải bi toạn: (1.5 â) a/ Nãúu A khäng thuọỹc õổồỡng troỡn thỗ sổớ duỷng bọứ õóử (1.5 â) b/ Nãúu A thüc âỉåìng trn Chn B, C cho A, B, C thàóng hng v B, C åí ngoi âỉåìng trn Dng bäø âãư v dỉûng tiãúp tuún BE, BF v CG, CH, EF v GH cừt taỷi T thỗ AT laỡ tióỳp tuyóỳn cáưn dỉûng DeThiMau.vn ... DeThiMau.vn n n é + 3) - (2 - 3) ù ( ê ú û 3ë Ta cọ: a0 = 0, a1 = v an+1 = 4an - an-1 nãn an an-1 ( mod 4) Do: a1 = nãn a2 k+1 chia hãút v khäng chia hãút Xẹt f(n) N cho an chia hãút 2f(n) vaì... GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TH? ?A THI? ?N HUẾ HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH NĂM HỌC 1998-1999 MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG Baìi (3âiãøm) (1 õ)... âãö: Cos3 A + cos3B = ( cosA + cosB)(cos 2A+ cos2B - cosAcosB) A+ B A- Bé ù = 2cos cos ê1 - [cos (A + B) + cos (A - B) ]ú ê ú 2 ë û DeThiMau.vn A - B é3 A - Bù ê - cos2 ú ú ê û ë2 A- B A- B p < Þ