SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ NĂM HỌC 2000-2001 ĐỀ CHÍNH THỨC MƠN: TỐN BẢNG A VỊNG SBD: (180 phút, khơng kể thời gian giao đề) Bài 1: (2 điểm) a/ Chứng minh phương trình sau có nghiệm thực cosx = x (1) ; sin(cosx) = x (2) ; cos(sinx) = x (3) b/ Gọi nghiệm (1), gọi nghiệm (2), gọi nghiệm (3) Chứng minh rằng: ..ln < ..ln x ; nên f đồng biến ; 2 2 f(0) < 0; f(1) > Vậy phương trình f(x) = có nghiệm có nghiệm Các phương trình lại chứng minh tương tự Câu b ( 1đ) ln ln ln Nhận xét , , (0;1) Viết lại ln x ln x Xét g(x) với x (0;1) g '(x) x (0;1) , g đồng biến (0;1) x x2 Chứng minh: : Giả sử lúc = sin(cos) < cos cos = vô lý Giả sử lúc = sin(cos) > cos cos = vô lý Vậy ta có: Bài 2: (2.0 điểm) f(x,y,z) = (x – y + mz + 1)2 + [x + (m + 1)y - 2z + 2]2 + [2x + 2y + (m - 4)z + 1]2 0, x, y, z R (1) x y mz f(x,y,z) = x (m 1)y 2z (2) có nghiệm (x;y;z) 2x 2y (m 4)z (3) Lấy (2) trừ (1) ta có: (m + 2)y - (m + 2)z + = (4) Nhân (1) với (2) ta có: 2x - 2y + 2mz + = (5) Lấy (3) trừ (5) suy ra: 4y - (m + 4)z – = (6) Từ (4) (6) suy ra: m(m + 2) có nghiệm y z Rồi vào (1) có nghiệm x Hệ (1), (2), (3) có nghiệm Do đó: m m mìn(x,y,z) = Nếu m = -2, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2 1 = [12 + (-1)2 + 02][(x – y - 2z + 1)2 + [x - y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 6z + 1]2] (-1)2 = 2 x y 2z x y 2z 2x 5z Dấu xảy 1 2y z 2x 2y 6z 1 1 Chọn (x = -1; y = ; z = 0) Vây tồn f(-1; ;0) = hay m = -2 ta có minf(x;y;z) = 2 2 DeThiMau.vn Nếu m = 0, đó: áp dụng bất đẳng thức Bunhiacơpki ta có: f(x,y,z) = (x – y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2 1 13 = [02 + 12 + ( )2][(x + y + 1)2 + [x + y - 2z + 2]2 + [2x + 2y - 4z + 1]2] = 2 22 x y 2z 2x 2y 4z 10x 10z Dấu xảy 1/ 10y 10z x y 9 ;y= ; z = 0).Vậy tồn f( ; ;0) = hay m = ta có 10 10 y minf(x;y;z) = Kết luận: m = giá trị nhỏ f(x,y,z) lớn A P Bài 3: (2.0 điểm) Q Khơng giảm tính tổng qt, xét hình vng có cạnh Đặt hình vng ABCD lên mặt phẳng có hệ trục tọa độ M D Oxy cho A(0;1), B(-1;0), C(0;-1), D(1;0) B N x Gọi M(x;y) điểm hình vng ABCD, hạ MN, MP, MQ vng góc với BD, DA, AB N, P, Q Do đó: MP.MQ = MN2 (1) ( xét cạnh hình vng phát xuất từ đỉnh A) C AB: x – y + = 0, AD: x + y – = | x y 1| | x y 1| (1) | y |2 | x (y 1) | 2y 2 M(x;y) hình vng nên x – y + > 0, x + y – < Do đó: x2 –(y – 1)2 = (x – y + 1)(x + y – 1) < nên (1) x2 – (y– 1)2 =- 2y2 x2 + (y+1)2 = Vậy tập hợp điểm M cung BD, cung ¼ đường trịn C, bán kính R = Từ kết ta kết luận: Tập hợp điểm M cung ¼ đường trịn tâm đỉnh hình vng có bán kính cạnh hình vng Chọn (x = Bài 4: (4.0 điểm) Câu a ( đ) a(x a) (x 2) (x a) ax - 2a(x a) x a x a 1 1 2 2 (1) x (x a) (x a) a (x a) a (x a) a 2 x a x a (2) Do (2) nên x – a a hai số dương, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: 1 1 (x a) (x a) a 4 =2 (3) 2 (x a) a Do (1) dấu đẳng thức xảy (3) tức là: x 1 (x a) a 2 (x a) a a DeThiMau.vn nghiệm hệ là: x = 2 Vậy hệ có nghiệm a = Câu b ( đ) n > 2: |sinnx + cosnx| dấu đẳng thức x = phương trình vơ nghiệm k k , k Z |tgx + cotgx|m với x nên 1 cotgx)m = có nghiệm x0; tgx0 = ,mN* n = 1: Đặt f(x) = (tgx + cotgx)m – ( sinx + cosx) , x (0; ) f liên tục (0; ) lim f (x) Gọi x0 (0; ), tgx0 = , ta tính được: x 2 n = 2: Phương trình trở thành: (tgx + f(x0) = – ( sinx0 + cosx0) = – ( 3 cosx0 + cosx0) = - cosx0 = 0 2 Vậy phương trình có nghiệm Kết luận: phương trình có nghiệm khi: m N* n {1,2} DeThiMau.vn ...SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TH? ?A THI? ?N HUẾ - KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH NĂM HỌC 2000-2001 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI MƠN TỐN BẢNG A – VÒNG Bài 1: (2.0 điểm) Câu a ( 1đ) cosx =... a) x a x a 1 1 2 2 (1) x (x a) (x a) a (x a) a (x a) a 2 x a x a (2) Do (2) nên x – a a hai số dương, áp dụng bất... Cô-si cho số dương ta được: 1 1 (x a) (x a) a 4 =2 (3) 2 (x a) a Do (1) dấu đẳng thức xảy (3) tức là: x 1 (x a) a 2 (x a) a ? ?a DeThiMau.vn nghiệm hệ là: