kú thi häc sinh giái cÊp tØnh së gi¸o dơc đào tạo quảng ninh lớp năm học 2007-2008 §Ị thi thức Họ tên, chữ ký môn : Toán giám thị số 1: ( bảng A ) Ngày thi : 28/3/2008 Thêi gian lµm bµi : 150 (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Bài Rút gọn biÓu thøc M = x x2 2 x x víi x , x < - Bài Giải phương trình: 2x x Bài Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, xét đường thẳng (dm) xác định phương tr×nh: (m-1)x + (m+1)y = 2(m 1) víi m tham số Tính khoảng cách từ điểm gốc toạ độ O đến đường thẳng (dm) Bài Cho đường tròn (O; R), dây BC cố định (BC < 2R) Điểm A di chuyển cho tam giác ABC có ba góc nhọn Kẻ đường cao BD CE cung lớn BC tam giác ABC, chúng cắt H Chứng minh: CH.CE + BH.BD = BC2 Chứng minh đường thẳng qua A vuông góc với DE qua điểm cố định Bài Tìm tất số nguyên dương x, y, z thoả mÃn đồng thời ®iỊu kiƯn : x + y + z > 11 vµ 8x + 9y + 10z = 100 Bµi Tìm giá trị nhỏ biểu thức F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + víi x HÕt - DeThiMau.vn Họ tên thí sinh . SBD ……………………… híng dÉn chÊm thi Häc Sinh Giái cÊp tØnh môn toán lớp - bảng a năm học 2007-2008 Bài Bài 3,5 điểm Sơ lược lời giải Với x < -3, cã: x+3 + x = ( x 3) ( x 3) + ( x 3) x = ( x 3) ( ( x 3) + x ) vµ 6-2x + x = … = x (2 x + ( x 3) ) Tõ ®ã suy M = ( x 3) / x hay M = ( x 3) /( x 3) 1,0 đ 1,0 đ Bài 3,5 điểm Đặt x = a, x = b, ta cã hÖ: a - b = 1; a3 - 2b3 = Giải hệ trên, tìm b = 0, a = Từ tìm nghiệm x =1 Vậy phương tr×nh cã nhÊt nghiƯm x =1 Chó ý: HS giải bẳng cách lập phương vế, biến đổi ph/tr có phép biến đổi không tương đương nên thí sinh không thử lại trước kết luận nghiệm ph/tr đà cho trừ 1,5 điểm 1,0 đ 2,0 đ 0,5 đ Bài * Víi m = 1, (dm) cã ph/tr×nh y = => đường thẳng // với Ox, cắt Oy điểm điểm có tung độ y = => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = * Víi m = -1, (dm) cã ph/tr×nh x = -1 => đường thẳng // với Oy, cắt Ox điểm có hoành độ độ x = -1 => khoảng cách từ điểm O đến (dm) = * Với m 1, tìm (dm) cắt Ox điểm A( 2(m 1) /(m-1); 0) cắt Oy điểm B(0; ( 2(m 1) /(m+1)) Cho ®iĨm 1,0 ® 0,5 ® 1,25 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® 0,5 ® Trong OAB vu«ng O, kẻ đường cao OH, có OA= 2(m 1) /(m-1) , 0,25 ® OB = 2(m 1) /(m-1) , d(O; dm) = OH = OA.OB/AB = OA.OB/ OA2 OB tõ ®ã tÝnh ®ỵc OH = víi mäi m 1 VËy OH = víi mäi m 0,5 ® 0,5 ® 0,25 đ Bài 4.1 Gọi K giao AH víi BC, suy AK BC vµ K ë B C 2,5 Chứng minh được: CH.CE = CK.CB; BH.BD = BK.BC ®iĨm Suuy ra: CH.CE + BH.BD = CK.CB + BK.BC = BC(CK + BK) = BC2 0,5 đ 1,5 đ 0,5 đ Bài 4.2 Kẻ Ax tiếp tuyến với đường tròn (O; R) A Cã ABC = EDA; ABC = CAx 2,5 ®iĨm => EDA = CAx => Ax // ED đường thẳng At qua A vuông góc với DE phải vuông góc với Ax suy At qua tâm O đường tròn (O; R) điểm cố định (đpcm !) 1,0 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ DeThiMau.vn Sơ lược lời giải Bài Bài Có: 8x+8y+8z < 8x+9y+10z =100 => x+y+z < 100/8 < 13 điểm với giả thiÕt, cã 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z => x+y+z = 12 Ta cã hÖ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z = 100 (2) Nh©n vÕ cđa (1) với trừ vế-vế (2) cho (1), được: y+2z = (3) Tõ (3) suy z = (v× nÕu z ≥ th× y ≥ => y+2z ≥ 4, m©u thn) Víi z = 1, tìm y = x = Thử lại, thấy Vậy có x = 9, y = z = thoả mÃn Bài Biến đổi F(x) = x4 - 2x3 + 3x2 - 2x + = (x2 - x + 1)2 +1 ®iĨm = ((x-(1/2))2 + 3/4)2 + víi x Do (x-(1/2))2 víi x =>F(x) =((x-(1/2))2 +3/4)2 25/16 víix F(x) = 9/16 x = 1/2 VËy F(x) nhá nhÊt = 25/16 Cho ®iĨm 0,5 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® 0,5 ® 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ Các ý chấm: Hướng dẫn chấm trình bày sơ lược cách giải Bài làm học sinh tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán xác điểm tối đa Các cách giải khác cho điểm Tổ chấm trao đổi thống điểm chi tiết không vượt số điểm dành cho câu phần Có thể chia nhỏ điểm thành phần không 0,25 đ phải thống tổ chấm Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, không làm tròn Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh Hình vẽ 4: DeThiMau.vn A E x D O H B C K DeThiMau.vn ...Họ tên thí sinh . SBD hướng dẫn chấm thi Học Sinh Giỏi cấp tỉnh môn toán lớp - bảng a năm học 2007-2008 Bài Bài 3,5 điểm Sơ lược lời giải Với x x+y+z < 100/8 < 13 điểm với giả thi? ??t, có 11< x+y+z < 13, nhng x+y+z Z => x+y+z = 12 Ta cã hÖ: x+y+z = 12 (1); 8x+9y+10z... Điểm toàn tổng số điểm phần đà chấm, không làm tròn Sở Giáo dục Đào tạo Quảng Ninh Hình vẽ 4: DeThiMau.vn A E x D O H B C K DeThiMau.vn