Ôn tập Chương V đạo hàm Đại số 1154207

Đại số 11 Trần Só Tùng CHƯƠNG V đạo hàm Định nghóa đạo hàm điểm  Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a; b) vaø x0  (a; b): f '(x )  lim x x f(x)  f(x ) x  x0 y x 0 x = lim (x = x – x0, y = f(x0 + x) – f(x0)  Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm x0 liên tục diểm Ý nghóa đạo hàm  Ý nghóa hình học: + f (x0) hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f(x )  + Khi phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) M  x ;f(x )  laø: y – y0 = f (x0).(x – x0)  Ý nghóa vật lí: + Vận tốc tức thời chuyển động thẳng xác định phương trình s = s(t) thời điểm t0 v(t0) = s(t0) + Cường độ tức thời điện lượng Q = Q(t) thời điểm t0 I(t0) = Q(t0) Qui tắc tính đạo hàm  (C)' =  x     (xn) = n.xn–1  n  N  (x) = n 1  x  (u  v) = u  v (ku) = ku (uv) = uv + vu  u  uv  vu (v  0)    v v2   v    v v  Đạo hàm hàm số hợp: Nếu u = g(x) có đạo hàm x ux hàm số y = f(u) có đạo hàm u yu hàm số hợp y = f(g(x) có đạo hàm x là: yx  yu.ux Đạo hàm hàm số lượng giác  sin x  1; x0 x lim  (sinx) = cosx Vi phaân  dy  df(x)  f (x).x sin u(x)  (với lim u(x)  ) x x u(x) xx  tan x    (cosx) = – sinx cos2 x lim  cot x     sin2 x  f(x  x)  f(x )  f (x ).x Đạo hàm cấp cao   f ''(x)   f '(x) ; f '''(x)   f ''(x) ; f (n) (x)   f (n 1) (x) (n  N, n  4)  Ý nghóa học: Gia tốc tức thời chuyển động s = f(t) thời điểm t0 a(t0) = f(t0) Trang 58 DeThiMau.vn Trần Só Tùng Đại số 11 VẤN ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghóa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghóa ta thực bước: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) – f(x0) y x 0 x B2: Tính lim Bài 1: Dùng định nghóa tính đạo hàm hàm số sau điểm ra: a) y  f(x)  2x2  x  taïi x  b) y  f(x)   2x taïi x0 = –3 2x  taïi x0 = x 1 c) y  f(x)  d) y  f(x)  sin x e) y  f(x)  x taïi x0 = f) y  f(x)  2x   x2  x  taïi x0 = x 1 Bài 2: Dùng định nghóa tính đạo hàm hàm số sau: a) f(x)  x2  3x  b) f(x)  x3  2x d) f(x)  taïi x0 = e) f(x)  sin x c) f(x)  x  1, (x   1) f) f(x)  cos x VẤN ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: 3  x  x x x a) y  2x  x3  x  b) y  d) y  (x2  1)(x2  4)(x2  9) e) y  (x2  3x)(2  x) c) y  (x3  2)(1  x2 ) f) y    x  x2 g) y  2x  h) y  2x  1  3x i) y  k) y  x2  3x  x 1 l) y  2x2  4x  x3 m) y  Bài 2: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  (x  x  1) d) y  (x  1)2 (x  1) b) y  (1  2x )  x  x2 2x2 x2  2x   2x   c) y     x 1  e) y     x 1   1  x  (x  2x  5) f) y    2x2  Bài 3: Tính đạo hàm hàm số sau: a) y  2x2  5x  b) y  x3  x  Trang 59 DeThiMau.vn c) y  x  x Đại số 11 Trần Só Tùng d) y  (x  2) x2  g) y  4x  e) y  x3 x 1 x2  h) y  (x  2)3 f) y   x2 x i) y  1   2x  Bài 4: Tính đạo hàm hàm số sau:  sin x  a) y      cos x  d) y  cot 2x b) y  x.cos x c) y  sin3 (2x  1) e) y  sin  x2 f) y  sin x  2x g) y  tan 2x  tan3 2x  tan5 2x i) y  (2  sin2 2x)3 h) y  2sin2 4x  3cos3 5x k) y  sin  cos2 x tan2 x   x 1   x 1   l) y  cos2  Baøi 5: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng: a) (sin n x.cos nx)'  nsin n 1 x.cos(n  1)x b) (sin n x.sin nx)'  n.sin n 1 x.sin(n  1)x c) (cosn x.sin nx)'  n.cosn 1 x.cos(n  1)x d) (cosn x.cos nx)'   n.cosn 1 x.sin(n  1)x VẤN ĐỀ 3: Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f(x) Phương trình tiếp tuyến điểm M(x0, y0)  (C) là: y  y  f '(x )(x  x ) (*) Viết phương trình tiếp tuyến với (C), biết tiếp tuyến có hệ số góc k: + Gọi x0 hoành độ tiếp điểm Ta có: f (x )  k (ý nghóa hình học đạo hàm) + Giải phương trình tìm x0, tìm y  f(x ) + Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức (*) Viết phương trình tiếp tuyến (d) với (C), biết (d) qua điểm A(x1, y1) cho trước: + Gọi (x0 , y0) tiếp điểm (với y0 = f(x0)) + Phương trình tiếp tuyến (d): y  y  f '(x )(x  x ) (d) qua A (x1 , y1 )  y1  y  f '(x ) (x1  x ) (1) + Giải phương trình (1) với ẩn x0, tìm y  f(x ) f '(x ) + Từ viết phương trình (d) theo công thức (*) Nhắc lại: Cho (): y = ax + b Khi đó: + (d)  ()  k d  a + (d)  ()  k d   a Baøi 1: Cho haøm soá (C): y  f(x)  x2  2x  Viết phương trình tiếp với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng 4x – 2y + = c) Vuông góc với đường thẳng x + 4y = d) Vuông góc với đường phân giác thứ góc hợp trục tọa độ Bài 2: Cho hàm số y  f(x)   x  x2 (C) x 1 a) Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm M(2; 4) Trang 60 DeThiMau.vn Trần Só Tùng Đại số 11 b) Viết phương trình ttiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k = Bài 3: Cho hàm số y  f(x)  3x  (C) 1 x a) Vieát phương trình tiếp tuyến (C) điểm A(2; –7) b) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục hoành c) Viết phương trình tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với trục tung d) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến song song với d: y  x  100 e) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến vuông góc với : 2x + 2y – = Baøi 4: Cho hàm số (C): y  x3  3x2 a) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) điểm I(1, –2) b) Chứng minh tiếp tuyến khác đồ thị (C) không qua I Bài 5: Cho hàm số (C): y   x  x2 Tìm phương trình tiếp tuyến với (C): a) Tại điểm có hoành độ x0 = b) Song song với đường thẳng x + 2y = VẤN ĐỀ 4: Tính đạo hàm cấp cao Để tính đạo hàm cấp 2, 3, 4, ta dùng công thức: y(n)  (y n 1 )/ Để tính đạo hàm cấp n:  Tính đạo hàm cấp 1, 2, 3, từ dự đoán công thức đạo hàm cấp n  Dùng phương pháp quy nạp toán học để chứng minh công thức Bài 1: Cho hàm số f(x)  3(x  1)cos x  2 a) Tính f '(x),f ''(x) b) Tính f ''(), f ''   ,f ''(1) Bài 2: Tính đạo hàm hàm số đến cấp ra: x3 , y'' x4 a) y  cos x, y''' b) y  5x  2x3  5x2  4x  7, y'' c) y  d) y  2x  x2 , y'' e) y  xsin x, y'' f) y  x tan x, y'' g) y  (x2  1)3 ,y'' h) y  x6  4x3  4, y(4) i) y  , y(5) 1 x Baøi 3: Cho n số nguyên dương Chứng minh rằng:   a)   1 x  (n)  (1)n n! (1  x)n 1  b) (sin x)(n)  sin  x   n.     c) (cos x)(n)  cos  x   n.    Bài 4: Tính đạo hàm cấp n hàm số sau: x2 1 x d) y  1 x a) y  b) y  x  3x  e) y  sin2 x Bài 5: Chứng minh hệ thức sau với hàm số ra: Trang 61 DeThiMau.vn c) y  x x 1 f) y  sin x  cos4 x Đại số 11 Trần Só Tùng  b) y  2x  x  a) y  xsin x xy'' 2(y' sin x)  xy  y y''   x3 y  d)  x  2y2  (y  1)y'' y  x tan x 2 x y'' 2(x  y )(1  y)  c)  sin u(x) x x u(x) VẤN ĐỀ 5: Tính giới hạn dạng lim Ta sử dụng công thức lượng giác để biến đổi sử dụng công thức lim x x sin u(x)  (với lim u(x)  ) xx u(x) Bài 1: Tính giới hạn sau: sin3x x 0 sin 2x a) lim b) lim  cos x x x0  sin x  cos x e) lim x 0  sin x  cos x c) lim x tan 2x f) lim x 0 sin 5x   sin x     x 2    g) lim   x  tan x   x cos x  sin x  cos2x x d) lim   sin  x   6 h) lim   x  cos x VẤN ĐỀ 6: Các toán khác Bài 1: Giải phương trình f '(x)  với: a) f(x)  3cos x  4sin x  5x b) f(x)  cos x  s ón  2x  c) f(x)  sin2 x  cos x d) f(x)  sin x  3  x Bài 2: Giải phương trình f '(x)  g(x) với: cos 4x cos6x  e) f(x)   sin(  x)  cos f) f(x)  sin3x  cos3x  3(cos x  sin x)  a) f(x)  sin 3x  b) f(x)  sin 2x g(x)  sin 6x g(x)  cos2x  5sin 4x  x f(x)  4x cos d)  x g(x)  8cos   2xsin x   x f(x)  2x2 cos2 g(x)  x  x2 sin x c)  Bài 3: Giải bất phương trình f '(x)  g'(x) với: a) f(x)  x3  x  2, g(x)  3x2  x  b) f(x)  2x3  x2  3, g(x)  x3  x2  2 x c) f(x)  , g(x)  x  x3 Baøi 4: Xác định m để bất phương trình sau nghiệm với x  R: a) f '(x)  với f(x)  mx3  3x2  mx  Trang 62 DeThiMau.vn Trần Só Tùng b) f '(x)  với f(x)  Đại số 11 mx3 mx2   (m  1)x  15 Trang 63 DeThiMau.vn ... đạo hàm hàm số sau: a) f(x)  x2  3x  b) f(x)  x3  2x d) f(x)  taïi x0 = e) f(x)  sin x c) f(x)  x  1, (x   1) f) f(x)  cos x V? ??N ĐỀ 2: Tính đạo hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số. ..Trần Só Tùng Đại số 11 V? ??N ĐỀ 1: Tính đạo hàm định nghóa Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) điểm x0 định nghóa ta thực bước: B1: Giả sử x số gia đối số x0 Tính y = f(x0 + x) –... hàm công thức Để tính đạo hàm hàm số y = f(x) công thức ta sử dụng qui tắc tính đạo hàm Chú ý qui tắc tính đạo hàm hàm số hợp Bài 1: Tính đạo hàm hàm số sau: 3  x  x x x a) y  2x  x3  x  b)