Bài tập Hình không gian 11 chương 253953

Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN 11 b Dạng : Xác định giao tuyến hai mặt phẳng () () Phương pháp :  Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng () ()  Đường thẳng qua hai điểm chung giao tuyến cần tìm Chú ý : Để tìm chung () () thường tìm đường thẳng đồng phẳng nằm hai mp giao điểm có hai đường thẳng điểm chung hai mặt phẳng a  Bài tập : Trong mặt phẳng (  ) cho tứ giác ABCD có cặp cạnh đối không song song điểm giao tuyến (SAC ) (SBD) b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) c Xác định giao tuyến (SAD) (SBC) Giải a Xác định giao tuyến (SAC) (SBD) Ta có : S điểm chung (SAC) (SBD) Trong (), gọi O = AC  BD  O  AC mà AC  (SAC)  O  (SAC)  O  BD mà BD  (SBD)  O  (SBD)  O điểm chung (SAC) (SBD) A Vậy : SO giao tuyến (SAC) (SBD) J b Xác định giao tuyến (SAB) (SCD) Ta có: S điểm chung (SAC) (SBD) Trong () , AB không song song với CD Gọi I = AB  CD  I  AB mà AB  (SAB)  I  (SAB)  I  CD mà CD  (SCD)  I  (SCD)  I điểm chung (SAB) (SCD) Vậy : SI giao tuyến (SAB) (SCD) A c Tương tự câu a, b Cho bốn điểm A,B,C,D không thuộc mặt phẳng Trên đoạn thẳng AB, AC, BD M lấy điểm M, N, P cho MN khơng song song với BC Tìm giao tuyến ( BCD) ( MNP) Giải  P  BD mà BD  ( BCD)  P  ( BCD) B  P  ( MNP)  P điểm chung ( BCD) ( MNP) Trong mp (ABC) , gọi E = MN  BC  E  BC mà BC  ( BCD)  E  ( BCD)  E  MN mà MN  ( MNP)  E  ( MNP)  E điểm chung ( BCD) ( MNP) Vậy : PE giao tuyến ( BCD) ( MNP) Cho tam giác ABC điểm S không thuộc mp (ABC ) , điểm I thuộc đoạn SA Một đường thẳng a không song song với AC cắt cạnh AB, BC theo thứ tự J , K Tìm giao tuyến cặp mp sau : S a mp ( I,a) mp (SAC ) b mp ( I,a) mp (SAB ) c mp ( I,a) mp (SBC ) DeThiMau.vn Trang S  ( ) Xác định a S C k O B D I P D N C E I Giải a Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAC ) : Ta có:  I SA mà SA  (SAC )  I  (SAC )  I( I,a)  I điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Trong (ABC ), a không song song với AC Gọi O = a  AC A L O B K J A C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11  O  AC mà AC  (SAC )  O  (SAC )  O  ( I,a)  O điểm chung hai mp ( I,a) (SAC ) Vậy : IO giao tuyến hai mp ( I,a) (SAC ) b Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SAB) : JI c Tìm giao tuyến mp ( I,a) với mp (SBC ) Ta có : K điểm chung hai mp ( I,a) mp (SBC ) Trong mp (SAC) , gọi L = IO  SC  L  SC mà SC  (SBC )  L  (SBC )  L  IO mà IO  ( I,a)  L  ( I,a )  L điểm chung hai mp ( I,a) (SBC ) Vậy: KL giao tuyến hai mp ( I,a) (SBC ) Cho bốn điểm A ,B ,C , D không nằm mp a Chứng minh AB CD chéo b Trên đoạn thẳng AB CD lấy điểm M, N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I Hỏi điểm I thuộc mp Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) Giải a Chứng minh AB CD chéo : Giả sử AB CD khơng chéo Do có mp () chứa AB CD  A ,B ,C , D nằm mp () mâu thuẩn giả thuyết Vậy : AB CD chéo b Điểm I thuộc mp :  I  MN mà MN  (ABD )  I  (ABD )  I  MN mà MN  (CMN )  I  (CMN )  I  BD mà BD  (BCD )  I  (BCD ) Xđ giao tuyến hai mp (CMN) ( BCD) CI A M N D B I C Cho tam giác ABC nằm mp ( P) a mộtđường thẳng nằm mp ( P) không song song với AB AC S điểm mặt phẳng ( P) A’ điểm thuộc SA S Xđ giao tuyến cặp mp sau a mp (A’,a) (SAB) b mp (A’,a) (SAC) c mp (A’,a) (SBC) A' Giải a Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAB)  A’  SA mà SA  ( SAB)  A’ ( SAB) N  A’  ( A’,a) M A  A’ điểm chung ( A’,a) (SAB ) C Trong ( P) , ta có a khơng song song với AB Gọi E = a  AB  E  AB mà AB  (SAB )  E  (SAB )  E  ( A’,a) B  E điểm chung ( A’,a) (SAB ) Vậy: A’E giao tuyến ( A’,a) (SAB ) E b Xđ giao tuyến mp (A’,a) (SAC) a  A’  SA mà SA  ( SAC)  A’ ( SAC)  A’  ( A’,a)  A’ điểm chung ( A’,a) (SAC ) Trong ( P) , ta có a khơng song song với AC Gọi F = a  AC  F AC mà AC  (SAC )  F  (SAC )  E  ( A’,a)  F điểm chung ( A’,a) (SAC ) Vậy: A’F giao tuyến ( A’,a) (SAC ) c Xđ giao tuyến (A’,a) (SBC) Trong (SAB ) , gọi M = SB  A’E  M  SB mà SB  ( SBC)  M ( SBC)  M  A’E mà A’E  ( A’,a)  M ( A’,a) DeThiMau.vn Trang F P Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  M điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Trong (SAC ) , gọi N = SC  A’F  N  SC mà SC  ( SBC)  N ( SBC)  N  A’F mà A’F  ( A’,a)  N ( A’,a)  N điểm chung mp ( A’,a) (SBC ) Vậy: MN giao tuyến ( A’,a) (SBC ) Cho tứ diện ABCD , M điểm bên tam giác ABD , N điểm bên tam giác ACD Tìm giao tuyến cặp mp sau a (AMN) (BCD) b (DMN) (ABC ) Giải A a Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) Trong (ABD ) , gọi E = AM  BD  E  AM mà AM  ( AMN)  E ( AMN)  E  BD mà BD  ( BCD)  E ( BCD) P M  E điểm chung mp ( AMN) (BCD ) Trong (ACD ) , gọi F = AN  CD  F  AN mà AN  ( AMN)  F ( AMN)  F  CD mà CD  ( BCD)  F ( BCD) N Q  F điểm chung mp ( AMN) (BCD ) B Vậy: EF giao tuyến mp ( AMN) (BCD ) E b Tìm giao tuyến (DMN) (ABC) Trong (ABD ) , gọi P = DM  AB  P  DM mà DM  ( DMN)  P (DMN )  P  AB mà AB  ( ABC)  P (ABC)  P điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Trong (ACD) , gọi Q = DN  AC C  Q  DN mà DN  ( DMN)  Q ( DMN)  Q  AC mà AC  ( ABC)  Q ( ABCA)  Q điểm chung mp ( DMN) (ABC ) Vậy: PQ giao tuyến mp ( DMN) (ABC ) D F  a Dạng : Xác định giao điểm đường thẳng a mặt phẳng () Phương pháp :  Tìm đường thẳng b nằm mặt phẳng ()  Giao điểm a b giao đt a mặt phẳng () A Chú ý : Đường thẳng b thường giao tuyến mp () mp ()  a Cần chọn mp () chứa đường thẳng a cho giao tuyến mp () mp () dể xác định giao tuyến không song song với đường thẳng a Bài tập : Trong mp () cho tam giác ABC Một điểm S không thuộc () Trên cạnh AB lấy điểm P đoạn thẳng SA, SB ta lấy hai điểm M, N cho MN không song song với AB S a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng () Giải M a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SPC ) E Cách : Trong (SAB) , gọi E = SP  MN  E  SP mà SP  (SPC)  E (SPC) N  E  MN C A Vậy : E = MN  (SPC ) Cách :  Chọn mp phụ (SAB)  MN P  ( SAB)  (SPC ) = SP B D  Trong (SAB), gọi E = MN  SP  E  MN DeThiMau.vn Trang b  Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 E  SP mà SP  (SPC) Vậy : E = MN  (SPC ) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mp () Cách 1: Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = AB  MN  D  AB mà AB  ()  D ()  D  MN Vậy: D = MN  () Cách :  Chọn mp phụ (SAB)  MN  ( SAB)  () = AB  Trong (SAB) , MN không song song với AB Gọi D = MN  AB D  AB mà AB  ()  D () D  MN Vậy : D = MN  () Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn SC lấy điểm M khơng trùng với S C Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (ABM ) Giải  Chọn mp phụ (SBD)  SD  Tìm giao tuyến hai mp ( SBD) (ABM )  Ta có B điểm chung ( SBD) (ABM )  Tìm điểm chung thứ hai ( SBD) (ABM ) Trong (ABCD ) , gọi O = AC  BD Trong (SAC ) , gọi K = AM  SO K SO mà SO  (SBD)  K ( SBD) S N M K D A O C B K AM mà AM  (ABM )  K ( ABM )  K điểm chung ( SBD) (ABM )  ( SBD)  (ABM ) = BK  Trong (SBD) , gọi N = SD  BK N BK mà BK  (AMB)  N (ABM) N  SD Vậy : N = SD  (ABM) Cho tứ giác ABCD điểm S không thuộc mp (ABCD ) Trên đoạn AB lấy điểm M , Trên đoạn SC lấy điểm N ( M , N không trùng với đầu mút ) S a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) Giải a Tìm giao điểm đường thẳng AN với mặt phẳng (SBD)  Chọn mp phụ (SAC)  AN  Tìm giao tuyến ( SAC) (SBD) I N Trong (ABCD) , gọi P = AC  BD  ( SAC)  (SBD) = SP  Trong (SAC), gọi I = AN  SP I  AN A I  SP mà SP  (SBD)  I  (SBD) Vậy : I = AN  (SBD) b Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SBD) P  Chọn mp phụ (SMC)  MN  Tìm giao tuyến ( SMC ) (SBD) M Trong (ABCD) , gọi Q = MC  BD Q  ( SAC)  (SBD) = SQ  Trong (SMC), gọi J = MN  SQ B J MN J  SQ mà SQ  (SBD)  J  (SBD) Vậy: J = MN  (SBD) Cho mặt phẳng () đường thẳng m cắt mặt phẳng () C Trên m ta lấy hai điểm A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () DeThiMau.vn Trang D C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường thẳng SB mặt phẳng () Giải  Chọn mp phụ (SA’C)  SB  Tìm giao tuyến ( SA’C ) () Ta có ( SA’C )  () = A’C  Trong (SA’C ), gọi B’ = SB  A’C B’ SB mà SB  (SA’C )  B’  (SA’C) B’  A’C mà A’C  ()  B’  () Vậy : B’= SB  () S m A B C A' B'  Cho bốn điểm A, B , C, S không mặt phẳng Gọi I, H trung điểm SA, AB Trên SC lấy điểm K cho : CK = 3KS Tìm giao điểm đường thẳng BC với mặt phẳng ( IHK ) Giải  Chọn mp phụ (ABC)  BC  Tìm giao tuyến ( ABC ) (IHK) Trong (SAC) ,có IK khơng song song với AC Gọi E’ = AC  IK S K  ( ABC )  ( IHK) = HE’  Trong (ABC ), gọi E = BC  HE’ I E  BC mà BC  ( ABC)  E  ( ABC) E  HE’ mà HE’  ( IHK)  E  ( IHK) A Vậy: E = BC  ( IHK) E' Cho tứ diện SABC Gọi D điểm SA , H E điểm SB F điểm AC ( DE AB E B không song song ) a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) K b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF ) Giải S a Xđ giao tuyến hai mp (DEF) ( ABC ) Ta có : F điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Trong (SAB) , AB không song song với DE D Gọi M = AB  DE  M  AB mà AB  (ABC)  M  (ABC) A  M  DE mà DE  (DEF)  M  (DEF) E F  M điểm chung hai mặt phẳng (ABC) (DEF) Vậy: FM giao tuyến hai mặt phẳng (ABC) (DEF) b Tìm giao điểm BC với mặt phẳng ( DEF ) B N  Chọn mp phụ (ABC)  BC  Tìm giao tuyến ( ABC ) (DEF) Ta có (ABC)  (DEF) = FM hình  Trong (ABC), gọi N = FM  BC N BC S N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF) Vậy: N = BC  (DEF) c Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( DEF )  Chọn mp phụ (SBC)  SC D  Tìm giao tuyến ( SBC ) (DEF) F Ta có: E điểm chung ( SBC ) (DEF)  N  BC mà BC  (SBC)  N  (SBC) A  N  FM mà FM  (DEF)  N  (DEF)  N điểm chung ( SBC ) (DEF) E Ta có (SBC)  (DEF) = EN  Trong (SBC), gọi K = EN  SC B K SC K  EN mà EN  (DEF)  K  (DEF) hình Vậy: K = SC  (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm DeThiMau.vn Trang C C M C K N M Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 SA, SB ,SD a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP ) Giải a Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP )  Chọn mp phụ (SBD)  SO  Tìm giao tuyến ( SBD ) (MNP) Ta có N  MN mà MN  (MNP)  N  (MNP) N  SB mà SB  (SBD)  N  (SBD)  N điểm chung ( SBD ) (MNP) P  MP mà MN  (MNP)  P  (MNP) P  SD mà SD  (SBD)  P  (SBD)  P điểm chung ( SBD ) (MNP)  (MNP)  (SBD) = NP  Trong (SBD), gọi I = SO  NP I  SO I  NP mà NP  (MNP)  I  (MNP) Vậy: I = SO  (MNP) b Tìm giao điểm Q SC với mặt phẳng ( MNP )  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến ( SAC ) (MNP) Ta có M  MN mà MN  (MNP)  M  (MNP) M  SA mà SA  (SAC)  M  (SAC)  M điểm chung ( SAC ) (MNP) I  MI mà MI  (MNP)  I  (MNP) I  SO mà SO  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung ( SAC ) (MNP)  ( SAC)  (SBD) = MI  Trong (SAC), gọi Q = SC  MI Q SC Q MI mà MI  (MNP)  Q  (MNP) Vậy: Q = SC  (MNP) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N trung điểm AC BC K điểm BD không trùng với trung điểm BD a Tìm giao điểm CD (MNK ) b Tìm giao điểm AD (MNK ) Giải a Tìm giao điểm CD (MNK ) :  Chọn mp phụ (BCD)  SC  Tìm giao tuyến ( BCD ) (MNK) Ta có N  (MNK) N  BC mà BC  (BCD)  N  (BCD)  N điểm chung (BCD ) (MNK) K  (MNK) K  BD mà BD  (BCD)  K  (BCD)  K điểm chung (BCD ) (MNK)  (BCD)  (MNK) = NK  Trong (BCD), gọi I = CD  NK I CD I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK) Vậy: I = CD  (MNK) b Tìm giao điểm AD (MNK )  Chọn mp phụ (ACD)  AD  Tìm giao tuyến (ACD ) (MNK) Ta có: M  (MNK) M  AC mà AC  (ACD)  M  (ACD)  M điểm chung (ACD ) (MNK) I NK mà NK  (MNK)  I  (MNK) DeThiMau.vn Trang S P M I N Q D A O C B A J M D K B N C I Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 I  CD mà CD  (ACD)  I  (ACD)  I điểm chung (ACD ) (MNK)  (ACD)  (MNK) = MI  Trong (BCD), gọi J = AD  MI J AD J MI mà MI  (MNK)  J  (MNK) Vậy: J = AD  (MNK) Cho tứ diện ABCD Gọi M,N hai điểm AC AD O điểm bên tamgiác BCD Tìm giao điểm : a MN (ABO ) A b AO (BMN ) Giải a Tìm giao điểm MN (ABO ):  Chọn mp phụ (ACD)  MN M  Tìm giao tuyến (ACD ) (ABO) Ta có : A điểm chung (ACD ) (ABO) Trong (BCD), gọi P = BO  DC Q P BO mà BO  (ABO)  P  (ABO) P CD mà CD  (ACD)  P  (ACD) I  P điểm chung (ACD ) (ABO) N  (ACD)  (ABO) = AP B  Trong (ACD), gọi Q = AP  MN Q MN O Q AP mà AP  (ABO)  Q  (ABO) Vậy: Q = MN  (ABO) b Tìm giao điểm AO (BMN ) :  Chọn mp (ABP)  AO  Tìm giao tuyến (ABP ) (BMN) Ta có : B điểm chung (ABP ) (BMN) Q  MN mà MN  (BMN)  Q  (BMN) Q  AP mà AP  (ABP)  Q  (ABP)  Q điểm chung (ABP ) (BMN)  (ABP)  (BMN) = BQ  Trong (ABP), gọi I = BQ  AO I AO I BQ mà BQ  (BMN)  I  (BMN) Vậy: I = AO  (BMN) 10 Trong mp () cho hình thang ABCD , đáy lớn AB Gọi I ,J, K điểm SA, AB, BC ( K không trung điểm BC) Tìm giao điểm : a IK (SBD) b SD (IJK ) c SC (IJK ) Giải a Tìm giao điểm IK (SBD) S  Chọn mp phụ (SAK)  IK  Tìm giao tuyến (SAK ) (SBD) I N Ta có : S điểm chung (SAK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi P = AK  BD P  AK mà AK  (SAK)  P  (SAK) P  BD mà BD  (SBD)  P  (SBD) Q A  P điểm chung (SAK ) (SBD) J  (SAK)  (SBD) = SP M  Trong (SAK), gọi Q = IK  SP P Q  IK Q  SP mà SP  (SBD)  Q  (SBD) Vậy: Q = IK  (SBD) b Tìm giao điểm SD (IJK ) :  Chọn mp phụ (SBD)  SD  Tìm giao tuyến (SBD ) (IJK) DeThiMau.vn Trang D C P D B K C F Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Ta có : Q điểm chung (IJK ) (SBD) Trong (ABCD), gọi M = JK  BD M  JK mà JK  ( IJK)  M  (IJK) M  BD mà BD  (SBD)  M  (SBD)  M điểm chung (IJK ) (SBD)  (IJK)  (SBD) = QM  Trong (SBD), gọi N = QM  SD N  SD N  QM mà QM  (IJK)  N  (IJK) Vậy: N = SD  (IJK) c Tìm giao điểm SC (IJK ) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (IJK) Ta có : I điểm chung (IJK ) (SAC) Trong (ABCD), gọi E = AC  JK E  JK mà JK  ( IJK)  E  ( IJK) E  AC mà AC  (SAC)  E  (SAC)  E điểm chung (IJK ) (SAC)  ( IJK)  (SAC) = IE  Trong (SAC), gọi F = IE  SC F  SC F  IE mà IE  ( IJK)  F  ( IJK) Vậy : F = SC  ( IJK ) 11.Cho tứ diện ABCD Trên AC AD lấy hai điểm M,N cho MN không song A song với CD Gọi O điểm bên tam giác BCD a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ) b Tìm giao điểm BC với (OMN) N c Tìm giao điểm BD với (OMN) Giải a Tìm giao tuyến (OMN ) (BCD ): Ta có : O điểm chung (OMN ) (BCD ) Q B Trong (ACD) , MN không song song CD Gọi I = MN  CD O  I điểm chung (OMN ) (BCD ) M Vậy : OI = (OMN )  (BCD ) P b Tìm giao điểm BC với (OMN): Trong (BCD), gọi P = BC  OI Vậy : P = BC  ( OMN ) C c Tìm giao điểm BD với (OMN): Trong (BCD), gọi Q = BD  OI Vậy : Q = BD  ( OMN ) D I 12.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giácSSCD lấy điểm N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) Giải N a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (SAC) :  Chọn mp phụ (SMN)  MN  Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) E Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) O Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN)A M I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung (SMN ) (SAC)  ( SMN)  (SAC) = SI I B  Trong (SMN), gọi O = MN  SI M' DeThiMau.vn Trang D N' C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 O  MN O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC) Vậy : O = MN  ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO  Trong (SAC), gọi E = AO  SC E  SC E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN) Vậy : E = SC  ( AMN ) Dạng : Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp :  Chứng minh ba điểm thuộc hai mp phân biệt  Khi ba điểm thuộc đường thẳng giao tuyến hai mp Bài tập : Cho hình bình hành ABCD S điểm không thuộc (ABCD) ,M N trung điểm S đoạn AB SC a Xác định giao điểm I = AN  (SBD) b Xác định giao điểm J = MN  (SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng Giải a Xác định giao điểm I = AN  (SBD )  Chọn mp phụ (SAC)  AN I  Tìm giao tuyến (SAC ) (SBD) D  ( SAC)  (SBD) = SO J  Trong (SAC), gọi I = AN  SO I  AN O I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD) A E Vậy: I = AN  ( SBD) M b Xác định giao điểm J = MN  (SBD) S  Chọn mp phụ (SMC)  MN  Tìm giao tuyến (SMC ) (SBD) S điểm chung (SMC ) (SBD) Trong (ABCD) , gọi E = MC  BD  ( SAC)  (SBD) = SE  Trong (SMC), gọi J = MN  SE I N J MN J A J SE mà SE  ( SBD)  J  ( SBD) M Vậy J = MN  ( SBD) c Chứng minh I , J , B thẳng hàng O Ta có : B điểm chung (ANB) ( SBD) B E  I  SO mà SO  ( SBD)  I  ( SBD) S  I  AN mà AN  (ANB)  I  (ANB)  I điểm chung (ANB) ( SBD) J  J  SE mà SE  ( SBD)  J ( SBD)  J  MN mà MN  (ANB)  J  (ANB) M L  J điểm chung (ANB) ( SBD) K B Vậy : B , I , J thẳng hàng A Cho tứ giác ABCD S  (ABCD) Gọi I , J hai điểm AD SB , AD cắt BC O E I C OJ cắt SC M F a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC) D b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Giải a Tìm giao điểm K = IJ  (SAC) O  Chọn mp phụ (SIB)  IJ DeThiMau.vn Trang N C B D C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  Tìm giao tuyến (SIB ) (SAC) S điểm chung (SIB ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi E = AC  BI  (SIB)  ( SAC) = SE Trong (SIB), gọi K = IJ  SE K IJ K SE mà SE  (SAC )  K  (SAC) Vậy: K = IJ  ( SAC) b Xác định giao điểm L = DJ  (SAC)  Chọn mp phụ (SBD)  DJ  Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) S điểm chung (SBD ) (SAC) Trong (ABCD) , gọi F = AC  BD  (SBD)  ( SAC) = SF  Trong (SBD), gọi L = DJ  SF L DJ L SF mà SF  (SAC )  L  (SAC) Vậy : L = DJ  ( SAC) c Chứng minh A ,K ,L ,M thẳng hàng Ta có :A điểm chung (SAC) ( AJO)  K  IJ mà IJ  (AJO)  K (AJO)  K  SE mà SE  (SAC )  K  (SAC )  K điểm chung (SAC) ( AJO)  L  DJ mà DJ  (AJO)  L  (AJO)  L  SF mà SF  (SAC )  L  (SAC )  L điểm chung (SAC) ( AJO)  M  JO mà JO  (AJO)  M  (AJO)  M  SC mà SC  (SAC )  M  (SAC )  M điểm chung (SAC) ( AJO) Vậy : A ,K ,L ,M thẳng hàng Cho tứ diện SABC.Gọi L, M, N điểm cạnh SA, SB AC cho LM không song song với AB, LN khơng song song với SC a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao tuyến mp (LMN) (ABC) S Ta có : N điểm chung (LMN) (ABC) Trong (SAB) , LM không song song với AB Gọi K = AB  LM K  LM mà LM  (LMN )  K  (LMN ) L K  AB mà AB  ( ABC)  K  ( ABC) C b Tìm giao điểm I = BC  ( LMN) N  Chọn mp phụ (ABC)  BC  Tìm giao tuyến (ABC ) (LMN)  (ABC)  ( LMN) = NK A I M  Trong (ABC), gọi I = NK  BC I BC I NK mà NK  (LMN )  I  (LMN) Vậy : I = BC  ( LMN) B K Tìm giao điểm J = SC  ( LMN)  Trong (SAC), LN không song song với SC gọi J = LN  SC  J SC J LN mà LN  (LMN )  J  (LMN) Vậy : J = SC  ( LMN) c Chứng minh M , I , J thẳng hàng DeThiMau.vn Trang 10 J Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Ta có : M , I , J điểm chung (LMN) ( SBC) Vậy : M , I , J thẳng hàng Cho tứ giác ABCD S  (ABCD) Gọi M , N hai điểm BC SD a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN  ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng Giải a Tìm giao điểm I = BN  ( SAC)  Chọn mp phụ (SBD)  BN  Tìm giao tuyến (SBD ) (SAC) Trong (ABCD), gọi O = AC  BD  (SBD)  ( SAC) = SO  Trong (SBD), gọi I = BN  SO I BN A I SO mà SO  (SAC )  I  (SAC) Vậy : I = BN  ( SAC) b Tìm giao điểm J = MN  ( SAC) :  Chọn mp phụ (SMD)  MN  Tìm giao tuyến (SMD ) (SAC) B Trong (ABCD), gọi K = AC  DM  (SMD)  ( SAC) = SK  Trong (SMD), gọi J = MN  SK J  MN J  SK mà SK  (SAC )  J  (SAC) Vậy : J = MN  ( SAC) c Chứng minh C , I , J thẳng hàng : S Ta có : C , I , J điểm chung (BCN ) (SAC) Vậy : C , I , J thẳng hàng Dạng : Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng ( ) : Chú ý : Mặt phẳng ( ) cắt số mặt hình chóp Q Cách : Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N , I ba điểm lấy AD , CD , SO Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) Giải Trong (ABCD), gọi J = BD  MN K = MN  AB H = MN  BC Trong (SBD), gọi Q = IJ  SB Trong (SAB), gọi R = KQ  SA Trong (SBC), gọi P = QH  SC K Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N , P trung điểm lấy AB , AD SC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Giải Trong (ABCD) , gọi E = MN  DC F = MN  BC Trong (SCD) , gọi Q = EP  SD Trong (SBC) , gọi R = FP  SB Vậy : thiết diện ngũ giác MNPQR S N I J D O K C M P I R H C B N O J D M A S P R F C B Q M A D N Cho tứ diện ABCD Gọi H,K trung điểm cạnh AB, BC Trên đường thẳng CD E lấy điểm M cho KM khơng song song với BD Tìm thiết diện tứ diện với mp (HKM ) Xét trường hợp : a M C D b M đoạn CD Giải a M C D : DeThiMau.vn Trang 11 Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Ta có : HK , KM đoạn giao tuyến (HKM) với (ABC) (BCD) Trong (BCD), gọi L = KM  BD Trong (ABD), gọi N = AD  HL Vậy : thiết diện tứ giác HKMN A A H M N H L D B D L B M b M đoạn K CD: Trong (BCD), gọi L = KMC BD Vậy : thiết diện tam giác HKL K C S Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm lấy AD DC Tìm thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) Giải Trong (SCD), gọi Q = EN  SC Trong (SAD), gọi P = EM  SA A Trong (ABCD), gọi F = MN  BC Trong (SBC), gọi R = FQ  SB Vậy : thiết diện ngũ giác MNQRP R Q P F B C N D M E Cách :Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ : S Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N trung điểm SB SC Giả sử AD BC không M song song a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC) b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD N A Giải J a Xác định giao tuyến (SAD) ( SBC) : K Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC Vậy : SI = (SAD)  ( SBC) D b Xác định thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD C S Trong (SBC) , gọi J = MN  SI Trong (SAD) , gọi K = SD  AJ N Vậy : thiết diện tứ giác AMNK I Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SBC lấy điểm M tam giác SCD lấy điểm N E D a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC) O b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD Giải A M a Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SAC): N'  Chọn mp phụ (SMN)  MN  Tìm giao tuyến (SAC ) (SMN) I B C Ta có : S điểm chung (SAC ) (SMN) M' Trong (SBC), gọi M’ = SM  BC Trong (SCD), gọi N’ = SN  CD Trong (ABCD), gọi I = M’N’  AC I  M’N’ mà M’N’  (SMN)  I  ( SMN) I  AC mà AC  (SAC)  I  (SAC)  I điểm chung (SMN ) (SAC) DeThiMau.vn Trang 12 B Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11  ( SMN)  (SAC) = SI Trong (SMN), gọi O = MN  SI O  MN O  SI mà SI  ( SAC)  O  ( SAC) Vậy : O = MN  ( SAC ) b Tìm giao điểm cạnh SC với mặt phẳng (AMN) :  Chọn mp phụ (SAC)  SC  Tìm giao tuyến (SAC ) (AMN) Ta có : ( SAC)  (AMN) = AO  Trong (SAC), gọi E = AO  SC E  SC E  AO mà AO  ( AMN)  E  ( AMN) Vậy : E = SC  ( AMN ) c Tìm thiết diện mặt phẳng (AMN) với hình chóp S.ABCD: Trong (SBC), gọi P = EM  SB Trong (SCD), gọi Q = EN  SD Vậy : thiết diện tứ giác APEQ Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’ , C’ ba điểm lấy cạnh SA, SB, SC Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (A’B’C’) Giải Trong (ABCD), gọi O = AC  BD Trong (SAC), gọi O’ = A’C’  SO Trong (SBD), gọi D’ = B’O’  SD Có hai trường hợp :  Nếu D’ thuộc cạnh SD thiết diện tứ giác A’B’C’D’  Nếu D’ thuộc khơng cạnh SD Gọi E = CD  C’D’ F = AD  A’D’  thiết diện tứ giác A’B’C’EF  S Q N O E D A M N' I P B C M' S S A' B' D' A O' O' B' A C' B F D D B O A' O C' E C C DeThiMau.vn Trang 13 D' Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 §1 HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Dạng : Chứng minh hai đường thẳng a b song song : Sử dụng cách sau :  Chứng minh a b đồng phẳng khơng có điểm chung  Chứng minh a b phân biệt song song với đường thẳng thứ ba  Chứng minh a b đồng phẳng áp dụng tính chất hình học phẳng (cạnh đối hình bình hành , định lý talet … )  Sử dụng định lý  Chứng minh phản chứng Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ trung điểm cạnh SA , SB , SC , SD a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành b Gọi M điểm BC Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD Giải S a Chứng minh A’B’C’D’ hình bình hành : AB Trong tam giác SCD, ta có : C’D’ // CD Mặt khác AB // CD Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ //  A’B’ D' A' C' B' D // C’D’ C Vậy : A’B’C’D’ hình bình hành N b Tìm thiết diện (A’B’M) với hình chóp S.ABCD: A Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ M điểm chung (A’B’M) (ABCD) Do giao tuyến (A’B’M) (ABCD) Mx song song AB A’B’ Gọi N = Mx  AD Vậy : thiết diện hình thang A’B’MN Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình thang với cạnh đáy AB CD (AB CD) Gọi M , N trung điểm cạnh SA , SB a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC  (ADN) c Kéo dài AN DP cắt I Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD Tứ giác SABI hình ? Giải a Chứng minh : MN ∕ ∕ CD : Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD hình thang ) Vậy : MN ∕ ∕ CD b Tìm P = SC  (ADN):  Chọn mp phụ (SBC)  SC  Tìm giao tuyến (SBC ) (ADN) Ta có : N điểm chung (SBC ) (ADN) Trong (ABCD), gọi E = AD  AC  ( SBC)  (ADN ) = NE S  N B A P C D E SI // AB // CD ( theo định lí 2) Xét  ASI , ta có : SI // MN ( song song AB) DeThiMau.vn Trang I M  Trong (SBC), gọi P = SC  NE Vậy : P = SC  ( ADN ) c Chứng minh : SI // AB // CD Tứ giác SABI hình ? SI  (SAB)  ( SCD ) AB  ( SAB)  Ta có :  CD  ( SCD ) AB / / CD M B 14 Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 M trung điểm AB  SI // 2MN Mà AB // 2.MN Do : SI // AB Vậy : tứ giác SABI hình bình hành Cho tứ diện ABCD Gọi I ,J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD Giải Gọi E trung điểm AB  I  CE  IJ CD đồng phẳng   J  DE EI EJ Do :   (tính chất trọng tâm) EC ED A E I Ta có : J B C Vậy : IJ // CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang (đáy lớn AB) Gọi I, J trung điểm S a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK) b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD Tìm điều kiện để thiết diện hình bình hành Giải a Tìm giao tuyến (SAB) (IJK): Ta có : AB ∕ ∕ IJ K điểm chung (SAB) (IJK) Vậy : giao tuyến đường thẳng Kx song song AB b Tìm thiết diện (IJK) với hình chóp S.ABCD : Gọi L = Kx  SA Thiết diện hình thang IJKL Do : IJ đường trung bình hình thang ABCD  IJ = (AB + CD) LK SK   Xét SAB có : AB SB IJKL hình bình hành  LK = L K B A J I C D AB  IJ = KL  Vậy : D AD BC , K điểm cạnh SB cho SN = SB (AB + CD) = AB  AB = 3.CD thiết diện IJKL hình bình hành  AB = 3.CD Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N ,P , Q điểm nằm cạnh BC , SC , SD ,AD cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD S K a Chứng minh : PQ // SA b Gọi K = MN  PQ P Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC Giải a Chứng minh : PQ // SA N Xét tam giác SCD : A Ta có : NP // CD Q  Tương tự :  NP CN  DS CS (1) MN // SB CN CM  (2) CS CB B DeThiMau.vn Trang 15 M C t D Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 Tương tự : MQ // CD CM DQ (3)  CB DA DP DQ  Từ (1) , (2) (3), suy DS DA  Vậy : PQ // SA b Chứng minh điểm K nằm đường thẳng cố định M di động cạnh BC  BC // AD  BC  ( SBC )  Ta có :   AD  ( SAD) S  ( SBC )  ( SAD)  giao tuyến đường thẳng St qua S cố định song song BC AD Mà K  (SBC)  (SAD)  K  St (cố định ) Vậy : K  St cố định M di động cạnh BC ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG MẶT PHẲNG Dạng : Chứng minh đường thẳng a song song mặt phẳng (P) : d    Phương pháp : Chứng minh d // a a     d //  Bài tập : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M ,N trung điểm cạnh AB CD a Chứng minh MN // (SBC) , MN // (SAD) b Gọi P trung điểm cạnh SA Chứng minh SB SC song song với (MNP) c Gọi G ,G trọng tâm ABC SBC S Chứng minh G1G // (SAB) Giải a Chứng minh MN // (SBC): MN  ( SBC )  Ta có : MN // BC  BC  ( SBC )  MN  ( SAD)  Tương tự : MN // AD  AD  ( SAD)  Q P  A MN //( SBC ) D N M  B MN //( SAD) DeThiMau.vn Trang 16 C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 b Chứng minh SB // (MNP): SB  ( MNP)  Ta có : SB // MP MP  ( MNP)   SB //( MNP) Chứng minh SC // (MNP): Tìm giao tuyến (MNP) (SAD) Ta có : P điểm chung (MNP) (SAD) MN // AD Do giao tuyến đường thẳng qua P song song MN cắt SD Q  PQ = (MNP)  (SAD) Xét  SAD , Ta có : PQ // AD P trung điểm SA  Q trung điểm SD Xét  SCD , Ta có : QN // SC SC  ( MNP)  Ta có : SC // NQ  NQ  ( MNP)   Chứng minh G 1G  ( SAB)  Do :  G 1G // SA SA  ( SAB)  a b c a Q P G1G2 // (SAB) IG1 IG2 Xét  SAI , ta có :   IA IS  G1G2 // SA c S  N G2 D C SC //( MNP) I : G1 A B M G 1G //( SAB) Cho hình chóp S.ABCD M,N hai điểm AB, CD Mặt phẳng () qua MN // SA S Tìm giao tuyến () với (SAB) (SAC) Xác định thiết diện hình chóp với () Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang P Giải Tìm giao tuyến () với (SAB): M  ( )  ( SAB)  Ta có :  // SA SA  ( SAB)  D A M N R  ()  (SAB) = MP với MP // SA Tìm giao tuyến () với (SAC): Gọi R = MN  AC C B S  R  ( )  ( SAC )  Ta có :  // SA SA  ( SAC )   ()  (SAC) = RQ với RQ // SA Xác định thiết diện hình chóp với (): Thiết diện tứ giác MPQN c Tìm điếu kiện MN để thiểt diện hình thang:  MP // QN Ta có : MPQN hình thang    MN // PQ Q b D A N (1) (2) DeThiMau.vn Trang Q P M R B 17 C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 SA // MP  MP//QN SA // QN Do :  QN  ( SCD ) Xét (1) ,ta có   SA // QN SA //( SCD ) ( vơ lí ) BC  (ABCD)  (SBC)  Xét (2) ,ta có MN  (ABCD) PQ  (SBC)    PQ    ( SBC )  Ngược lại, MN // BC MB  ( )  BC  ( SBC )  MN // BC  MN // PQ Vậy để thiết diện hình thang MN // BC Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lẩy trung điểm M , cạnh BC lẩy trung điểm N Gọi (  ) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (  ) với tứ diện ABCD b Xác định vị trí N CD cho thiết diện hình bình hành Giải a Hãy xác định thiết diện mặt phẳng (  ) với tứ diện ABCD ( ) // CD  Ta có : CD  ( ACD ) M  ( )  ( ACD )  ( ) // CD  Tương tự : CD  ( BCD )  N  ( )  ( BCD )  A  MP // CD (1) M P  NQ // CD (2) D B Q Từ (1) (2), ta : MP // NQ Vậy: thiết diện hình thang MPNQ b Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành Ta có : MP // NQ MP = N C A CD M MP // NQ MPNQ hình bình hành   MP  NQ  MP // NQ   MP  NQ  CD P D B Q N Do : N trung điểm BC C Vậy : N trung điểm BC MPNQ hình bình hành Cho hình thang ABCD có đáy lớn AB S điểm ngồi mặt phẳng hình thang Gọi M điểm CD ; () mặt phẳng qua M song song với SA BC a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng (  ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình gìS? b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Giải a Hãy tìm thiết diện mặt phẳng (  ) với hình chóp S.ABCD: ( ) // BC  Ta có :  BC  ( ABCD ) M  ( )  ( ABCD)   ( ) // SA  Tương tự : SA  ( SAB )  N  ( )  ( SAB)   MN // BC t (1) B A NP // SA D 18 N Q M I DeThiMau.vn Trang P C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 ( ) // BC   BC  ( SBC )  P  ( )  ( SBC )   PQ // BC (2) Từ (1) (2) , ta : MN // PQ Vậy : thiết diện hình thang MNPQ b Tìm giao tuyến () với mặt phẳng (SAD) Trong (ABCD) , gọi I = AD  BC  I điểm chung () (SAD) ( ) // SA  Ta có : SA  ( SAD )  I  ( )  ( SAD)  Vậy : giao tuyến đường thẳng qua I song song với SA Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm cạnh SC () mặt phẳng chứa AM song song với BD a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD b Gọi I giao điểm ME CB , J giao điểm MF CD Hãy chứng minh ba điểm I,J, A thẳng hàng Giải a Hãy nêu cách dựng giao điểm E, F mặt phẳng () với cạnh SB, SD Giả sử dựng E, F thỏa toán : ( ) // BD   BD  ( SBD)  EF  ( )  ( SBD)  S  BD // EF Do điểm E ,F ,A ,M thuộc mặt phẳng () Trong () , gọi K = EF  AM  K  EF mà EF  (SBD)  K  (SBD)  K  AM mà AM  (SAC)  K  (SAC)  K  (SAC)  (SBD) Do (SAC)  (SBD) = SO  K  SO Cách dựng E, F : Dựng giao điểm K AM SO , qua K dựng EF // BD b.Chứng minh ba điểm I , J , A thẳng hàng : Ta có :  I  ME   I  BC   mà mà ME  ( ) BC  ( ABCD) M F D K J C E O A  I  ( )  I  ( ABCD) B S I P I  ()  (ABCD) Tương tự , Ta có  A  ( )  ( ABCD)   J  ( )  ( ABCD) I , J , A điểm chung () (ABCD) N B Vậy : I , J , A thẳng hàng Q O ˆ = 60 , AB = a Gọi O trung điểm Trong mặt phẳng () cho tam giác ABC vuông A , B BC Lấy điểm S mặt phẳng () cho SB = a SB  OA Gọi M mọt điểm cạnh AB , mặt phẳng () qua M song song với SB OA , cắt BC ,SC , SA Mtại N , P , Q Đặt x = BM ( < x < a ) a Chứng minh MNPQ hình thang vng A b Tính diện tích hình thang theo a x Tính x để diện tích lớn  Giải DeThiMau.vn Trang 19 C Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 a Chứng minh MNPQ hình thang vng : (  ) // OA  Ta có : OA  ( ABC ) MN  (  )  ( ABC )   MN // OA (1) (  ) // SB  SB  ( SAB) MQ  (  )  ( SAB)   MQ // SB (2) (  ) // SB  SB  ( SBC )  NP  (  )  ( SBC )   NP // SB (3) Từ (2) (3) ,suy MQ // NP // SB (4)  MNPQ hình thang OA  SB  MN // OA MQ // NP // SB  Từ (1) (4) , ta có :  MN  MQ  MN  NP Vậy : MNPQ hình thang vng , đường cao MN b Tính diện tích hình thang theo a x Ta có : S MNPQ  ( MQ  NP ).MN Tính MN : Xét tam giác ABC AB AB BC   BC cos B  BC  2a  BO = a  Bˆ  60  ABO Do   BA BO  MN BM BN Có MN // AO    AO AB BO  MN  MB  BN  x cos B  Ta có : Tính MQ : Xét tam giác SAB , ta có : MQ // SB  MQ AM  SB AB  MQ  AM Tính NP : Xét tam giác SBC , ta có : NP // SB  NP CN  SB CB Do : S MNPQ   NP  CN SB a  (a  x)  a  x AB a SB a 2a  x  (2a  x)  CB 2a x ( 4a  x )  x.(4a  x) 12 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho số dương 3x 4a  3x 3x.( 4a  3x)  ( x  4a  x )  4a²  S MNPQ a²  4a ²  12 DeThiMau.vn Trang 20 ... Chứng minh MNPQ hình thang vng A b Tính diện tích hình thang theo a x Tính x để diện tích lớn  Giải DeThiMau.vn Trang 19 C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 a Chứng minh MNPQ hình thang vng... C Trên m ta lấy hai điểm A, B điểm S không gian Biết giao điểm đường thẳng SA với mặt phẳng () DeThiMau.vn Trang D C Bài tập Hình Học Không Gian – Lớp 11 điểm A’ Hãy xác định giao điểm đường... EN  (DEF)  K  (DEF) hình Vậy: K = SC  (DEF) Cho hình chóp S.ABCD Gọi O giao điểm AC BD M, N, P điểm DeThiMau.vn Trang C C M C K N M Bài tập Hình Học Khơng Gian – Lớp 11 SA, SB ,SD a Tìm giao