Bài tập Hình cầu Hình trụ hình nón40879

III HÌNH CẦU - HÌNH TRỤ - HÌNH NĨN Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc  = 30  1/Tính thể tích khối chóp S.ABC 2/Tính Diện tích xung quanh hình nón ngoại tiếp hình chóp cho 3/Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp cho 4/Tính diện tích xung quanh hình nón nội tiếp hình chóp cho 5/Tính thể tích khối nón nội tiếp khối chóp cho a3 a 21 ĐS 1/ VS ABCD = 4/ S XQ nón = 36 2a 2/ S XQ nón = a 3/ Vnón = 27 72 5/ Vnón = a 108 Bài 2: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = 20 cm,bán kính đáy r = 25 cm a/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón b/ Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 12 cm Hãy xác định thiết diện (P) với khối nón tính diện tích thiết diện ĐS: a/ Sxq  2514,5cm2; V  13089,969 cm3; b/ 500cm2 Bài 3: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = a ,bán kính đáy r = a a/ Tính diện tích tồn phần hình nón thể tích khối nón b/ Một thiết diện qua đỉnh hình nón tạo với đáy góc 600.Tính diện tích thiết diện 3 a ĐS : a/ Stp=  a (2  10) ; V= b/ 2a2 Bài 4: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện tam giác cạnh 2a Tính diện tích xung quanh hình nón tính thể tích khối nón a 3 ĐS S XQ nón = 2a ; Vnón = Bài 5: Cắt hình nón đỉnh S mặt phẳng qua trục ta tam giác vng cân có cạnh huyền a 1/Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón cho 2/Tính thể tích khối nón cho 3/Cho dây cung MN đường trịn đáy hình nón cho mp(SMN) tạo với mặt đáy hình nón góc 600 Tính diện tích tam giác SMN 2a 2a a a ĐS 1/ S XQ = ; S TP nón = =  ฀(  ) 2a 2/ Vnón = 12 2 3/ S SMN = DeThiMau.vn a2 Bài 6: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO Gọi A, B điểm thuộc đường tròn  đáy hình nón cho khoảng cách từ O đến AB a SAO = 300;  SAB = 600 Tính diện tích xung quanh hình nón tính thể tích khối nón ĐS 1/ S XQ nón =  OA.SA = a a 2 2/ Vnón =  OA SO = Bài 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng A, góc B = 600 Một hình nón nội tiếp hình chóp cho với bán kính đáy r, góc đường sinh đáy hình nón  1/Tính diện tích xung quanh thể tích khối nón 2/Tính diện tích xung quanh thể tích hình chóp cho r ĐS 1/ S XQ nón = ; Vnón =C r tan  cos  2/ S XQ chóp =   cosr  1 2 ; Vchóp S ABC =    r tan  Bài 8: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vng góc với mặt phẳng (ABC); BD vng góc với góc với BC.Biết AB = AD = a a/ Chứng minh mặt tứ diện tam giác vng b/ Tính diện tích xung quanh hình nón thể tích khối nón tạo thành quay tam giác ABD xung quanh cạnh AB ĐS: Sxq hình nón = rl   a.a  a 2 a 1 Vkhối nón = r h  a a  3 Bài 9: Một hình trụ có bán kính r chiều cao h = r 1/Tính diện tích xung quanh diện tích tồn phần hình trụ 2/Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho 3/ Cho điểm A B nằm đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 a)Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ b)Tính diện tích thiết diện qua AB song song với trục hình trụ c)Tính góc hai bán kính đáy qua A qua B ĐS 1) S XQ = 3r ; S TP =  r 2/ V = 3r  3/ a) d(AB, OO’) =  r = d(OO’, (ABA’)) ,với AA’ đường sinh hình trụ b) S td = r c) Góc (OA, O’B) = 600 Bài 10: Một hình trụ có hai đáy hình trịn (O;r) (O’; r) Khồng cách đáy OO’ = r Một hình nón có đỉnh O’ đáy hình trịn (O;r) 1/Gọi S1 diện tích xung quanh hình trụ S diện tích xung quanh hình nón Hãy tính S1 =? S2 2/Mặt xung quanh hình nón chia khối trụ thành phần Tính tỷ số thể tích phần DeThiMau.vn ĐS: 1/ S1 = 3r ; S = 2r 2/  S1 = S2 V1 = (với V1 thể tích khối nón V2 thể tích phần cịn lại V2 khối trụ) Bài 11: Một khối trụ có chiều cao 20 cm có bán kính đáy bàng 10 cm Người ta kẻ hai bán kính OA O’B’ nằm hai đáy cho chúng hợp với góc 300.Cắt khối trụ mặt phẳng chứa đường thẳng AB’ song song với trục khối trụ đó.Hãy tính diện tích thiết diện ĐS: 200  Bài 12: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng a/ Tính diện tích xung quanh khối trụ b/ Tính thể tich hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho c/ Tính tỉ số thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ thể tích khối trụ ĐS a/ 4 r b/ 4r3 c/  Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm có khoảng cách hai đáy cm a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ thể tích khối trụ tạo nên b/ Cắt khối trụ mặt phẳng song song với trục cách trục cm.Hãy tính diện tích thiết diện tạo nên ĐS: a/ Sxq= 2rl mà r=5 cm l=OO’=7cm nên Sxq = 2 5.7  70 (cm ) V= r l   2.7  175 (cm ) b/ Gỉa sử mặt phẳng (p) song song với trục OO’ cắt hình trụ theo thiết diện hình chữ nhật EFF’E’.Gọi I trung điểm EF OI  EF OI  EE’ nên OI  (EFF’E’).Suy OI khoảng cách từ OO’ đến (P).theo giả thiết OI=3cm Ta có:IE= r  OI =    EF  cm Vậy SEFF’E’=EF.EE’=8.7=56 cm Bài 14:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu trường hợp sau : a/ Đi qua đỉnh của hình lập phương b/ Tiếp xúc với 12 cạnh hình lập phương c/ Tiếp xúc với mặt bên hình lập phương a ) với O trung điểm AC a a b/ S2(O; ) c/ S3(O; ) 2 ĐS : a/ S1(O; Bài 15: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a cạnh bên b Hãy xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp ĐS : Goi H trọng tâm tam giác ABC I trung điểm SA tâm mặt cầu điểm O nằm đường cao SH cho OI vng góc với SA,bán kính mặt DeThiMau.vn cầu r = 3b 2 3b  a Bài 16: Ba đoạn thẳng SA,SB,SC đơi vng góc với tạo thành tứ diện SABC với SA =a ,SB = b,SC = c.Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ĐS : Goi M trung điểm AB I trung điểm SC Từ M dựng Mx vng góc với mặt phẳng (ABC).Từ I dựng Iy song song với SM Tâm O mặt cầu giao Mx Iy,bán kính mặt cầu r = a  b2  c2 Bài 17: Cho hình chóp SABC cao SA = SB = SC = a có chiều cao h Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tính diện tích mặt cầu ĐS : R = a4 a2 ; S=  h 2h Bài 18: Cho tứ diện ABCD có cạnh a có đường cao AH Gọi O trung điểm AH Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OBCD ĐS : R = a Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có SA = a chiều cao hình chóp đáy ABCD hình thang vng A B; AB = BC = a, AD = 2a Gọi E trung điểm AD Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SCDE ĐS : R = a 11 Bài 20: Cho mặt cầu S(O;r) điểm A biết OA = 2r.Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B kẻ cát tuyến với mặt cầu C D.Cho biết CD = r a/ Tính độ dài đoạn AB b/ Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD ĐS : a/ r b/ r/2 Bài 21:Trong mặt phẳng (  )cho hình vng ABCD có cạnh a.Trên đường thẳng Ax vng góc với (  ) ta lấy điểm S tuỳ ý ,dựng mặt phẳng (  ) qua A vng góc với đường thẳng SC.Mặt phẳng (  ) cắt SB, SC,SD B’,C’,D’ a/ Chứng minh điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ luôn thuộc mặt cầu cố định b/Tính diện tích mặt cầu thể tích khối cầu tạo thành Hướng dẫn giải: a/Ta có: BC  AB  BC  (SAB) AC  SA  BC  AB' Ta lại có: AB’  SC  AB’  (SBC) Do đó: AB’  B’C Chứng minh tương tự ta có:  AD’  D’C.Vậy ABC = ABˆ ' C = ACˆ ' C  ADˆ ' C  ADˆ C  90 Từ  điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ nằm mặt cầu đường kính AC DeThiMau.vn b/ Gọi r bán kính mặt cầu,ta có:r = AC a  2 a 2   2a Vậy S =  r =4      4 a 2   a V= r     3   Bài 22:Cho hình cầu tâm O bán kính r.Lấy điểm A mặt cầu gọi (  )là mặt phẳng qua A cho góc OA   30 a/Tính diện tích thiết diện tạo   hình cầu b/Đường thẳng  qua A vng góc với mặt phẳng   cắt mặt cầu B.Tính độ dài đoạn AB Hướng dẫn giải: a/ Gọi H hình chiếu vng góc tâm O mặt phẳng   Theo giả thiết ta có OAˆ H  30 Do đó:HA = OA cos 30 =r Vậy diện tích thiết diện tạo   hình cầu S=  HA  3r b/ Mặt phẳng  ABO  qua tâm O hình cầu nên cắt mặt cầu theo đường trịn lớn qua A B.Gọi I trung điểm đoạn AB ta có OI  AB.Vì AB//OH nên AIOH hình chữ nhật Do AI = OH = AO r  2 Vậy AB = 2AI = r Chú ý: Có thể nhận xét  OAB cân O OA  OB  góc OAˆ B  60 nên OAB tam giác  AB=AO=OB=r Bài 23:Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a có đườngcao h a/ Một hình trụ có đường trịn đáy tiếp xúc với cạnh tam giác đáy gọi hình trụ nội tiếp lăng trụ Hãy tính diện tích xung quanh hình trụ nội tiếp b/ Gọi I trung điểm cạnh BC.Đường thẳng A’I cắt hình trụ nội tiếp nói theo đoạn thẳng.Tính độ dài đoạn thẳng 3 ah 3a  4h ĐS :a/ b/ 3 Bài 24:Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a a/Tính diện tích xung quanh hình trụ có đường trịn hai đáy ngoại tiếp hình vng ABCD A’B’C’D’ b/Tính diện tích mặt cầu qua tất đỉnh hình lập phương c/ Tính diện tích xung quanh hình nón trịn xoay nhận đường thẳng AC’ làm trục sinh cạnh AB Hướng dẫn giải: a/ Hình trụ có chiều cao h = a bán kính đáy r = Do ta có: Sxq=2 rh  a 2 DeThiMau.vn a 2 b/Gọi I tâm hình lập phương.Tất đỉnh hình lập phương có khoảng cách đến I r= a nên chúng nằm mặt cầu tâm I bán kính a Ta có diện tích mặt cầu S=4 r  3a 2 c/Đường trịn đáy hình nón trịn xoay đình A tạo nên cạnh AB đường tròn ngoại tiếp  A’BD,tam giác có cạnh a có đường cao a Do đường trịn đáy hình nón có bán kính r’= a Vậy hình nón trịn xoay có đường sinh l =a có diện tích xung quanh a a Sxq= r ' l   a 3 Bài 25:Cho tứ diện ABCD cạnh a.Gọi H hình chiếu vng góc đỉnh A xuống mặt phẳng (BCD) a/ Chứng minh H tâm đường trịn ngoại tiếp  BCD.Tính độ dài đoạn AH b/ Tính diện tích xung quanh thể tích khối trụ có đường trịn đáy ngoại tiếp  BCD chiều cao AH Hướng dẫn giải: a/Vì AH  (BCD) AB=AC=AD nên HB=HC=HD.Vậy H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.Trong tam giác BCD cạnh a,ta có a a 3a a   Vậy AH= AB  BH = a  3 b/ Sxq trụ =2 rl a a a a 2a 2 Ta có: r = ,l =AH= => Sxq=2   3 3 a V= r h  BH= Bài 26: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Gọi A', B', C', D' trung điểm SA, SB, SC, SD Cmr A, B, C, D, A', B', C', D' thuộc mặt cầu tính diện tích mặt cầu Bài 27: Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân cạnh huyền AB = 2a SA vng góc với đáy a/ Xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC b/ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC góc mp (ABC) (SAB) 300 ĐS : R = a 42 Bài 28: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a Hãy tính diện tích xung quanh thể tích khối nón có đỉnh tâm O hình vng ABCD đáy hình trịn nội tiếp hình vng A’B’C’D’ Hướng dẫn giải: Khối nón có chiều cao a có bán kính đáy r = DeThiMau.vn a Sxq =  rl l = 3 a a a a = a   = 2 2 a 2 V= Bh = r h     a = a 12 DeThiMau.vn = a ... tồn phần hình trụ 2/Tính thể tích khối trụ tạo nên hình trụ cho 3/ Cho điểm A B nằm đường trịn đáy cho góc đường thẳng AB trục hình trụ 300 a)Tính khoảng cách đường thẳng AB trục hình trụ b)Tính... thể tích hình lăng trụ nội tiếp hình trụ thể tích khối trụ ĐS a/ 4 r b/ 4r3 c/  Bài 13: Một hình trụ có bán kính đáy r =5 cm có khoảng cách hai đáy cm a/ Tính diện tích xung quanh hình trụ thể... diện ĐS: 200  Bài 12: Một khối trụ có bán kính đáy r có thiết diện qua trục hình vng a/ Tính diện tích xung quanh khối trụ b/ Tính thể tich hình lăng trụ tứ giác nội tiếp hình trụ cho c/ Tính