ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 (Thời gian: 180 phút không kể thời gian giao đề) mx + (m + 1) x + 4m + m Câu 1: (6,0 điểm) Cho hàm số y = x+m Với m = -1 a, Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (2,0đ) b, Tìm nhánh đồ thị điểm cho khoảng cách chúng nhỏ (2đ) Tìm m để đồ thị hàm số có tương ứng điểm cực trị thuộc góc phần tư (II) điểm cực trị thuộc góc phần tư (IV) mặt phẳng toạ độ (2,0đ) Câu 2: (3,0 điểm) Giải phương trình: Sin3x + Cos3x = - Sin4x (1,0đ) Cho k, l, m độ dài đường trung tuyến ABC, R bán kính đường trịn ngoại tiếp đó: 9R CMR: k + l + m ≤ (2,0đ) x2 y2 Câu 3: (3,0 điểm): Cho (E): + =1 a2 b Hình chữ nhật Q gọi hình chữ nhật ngoại tiếp với E cạnh Q tiếp xúc với E Trong tất hình chữ nhật ngoại tiếp với E Hãy xác định: Hình chữ nhật có Smin (1,0đ) Hình chữ nhật có Smax (1,0đ) Câu 4: (4,0 điểm) Cho a, b hai số dương khác người ta lập dãy số {un} {vn}, cách đặt: u + u1 = a; v1 = b ; un+1 = n vn+1 = un (n = 1, 2, 3, ) C/m Limn + Un = Limn + Vn (2,0đ) a b c Cho m > a, b, c thoả mãn: + + =0 m + m +1 m CMR phương trình: ax2 + bx + c = có nghiệm x (0,1) (2,0đ) Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình vng ABCD cạnh a M điểm di động không gian cho M nhìn AB AD góc vng, gọi O tâm hình vng Chứng minh M ln ln di động đường trịn cố định (1,0đ) mặt phẳng qua AB vng góc với mặt phẳng ABCD Kéo dài DM cắt N CM góc ANB vng (1,0đ) Đặt DM = x Tính MN theo a x Tìm miền biến thiên x, từ suy điều kiện số k để tồn x thoả mãn MN = k (1,0đ) Tìm giá trị lớn VABND (1,0đ) -Hết- DeThiMau.vn ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM CHẤM MƠN TỐN Đề thi học sinh giỏi khối 12 Câu Nội dung Câu 6,00đ Với m = a Khảo sát, vẽ đồ thị (2,0đ) Trình bày đầy đủ, các bước có nhận xét Đồ thị nhận giao điểm đường tiệm cận làm tâm đối xứng Thiếu bước trừ từ 1/4 đến 1/2 điểm tuỳ lỗi nặng nhẹ b Nhận xét x1 < < x2 M1(x1,y1); M2(x2,y2) x1 = - ; x2 = + , > 4 y1 = - - ; y2 = - α β d2 = M1M22 = ( + )2 [ + (1 + ) ] αβ + αβ = d2 8[ + + 4] αβ M1(1 - ; + ); M2(1 + ; - - ) Viết hàm số có điểm cự trị nên phương trình y’ = có nghiệm phân biệt x1 < x2 góc (II) góc (IV) nằm hai phía oy x1 < < x2 m(0) < với (x) = mx2 + 2m2x + 3m3 -3m4 < m (*) Lại có góc (II) & (IV) nằm hai phía trục 0x hàm phân thức bậc t2 bậc yCT > y Điểm CT (II) Điểm CĐ (IV) Đồ thị không cắt ox δ pt y = vô nghiệm < |m| > (**) δ Ta có dấu y’ sau hệ số bậc hai (x) m < (***) Từ (*), (**), (***) m < 3 Câu 3,00đ a Nhận xét: Sin x + Cos x ≤ Sin2 + Cos2x = - Sin4x Sin3x + Cos3x = pt cho Sin4x = DeThiMau.vn Điểm 2.00đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ π + 2k b Giả sử: k, l, m trung tuyến kẻ từ A, B, C k2 + l2 + m2 = (a2 + b2 + c2) a (vì: 2k2 + = b2 + c2 tương tự) Mặt khác: a2 + b2 + c2 = 4R2(Sin2A + Sin2B + Sin2C) mà: 4(Sin2A + Sin2B + Sin2C) = 2(1 - Cos2A + 1- Cos2B) + 4(1 - Cos2C) = + 4CosCCos(A-B) - 4Cos2C = Cos2(A-B) - [2CosC - Cos(A-B)] k + l2 + m2 9R đpcm Câu 3,00đ Đường thẳng Ax + By + C tiếp xúc với E A2a2 + B2b2 = C2 cạnh Q có pt: Ax + By C = (A2a2 + B2b2 = C2) 2C Khoảng cánh chúng là: d1 = A2 + B cạnh lại Q có pt: Bx - Ay D = (A2a2 + B2b2 = D2) 2D Khoảng cánh chúng là: d2 = A2 + B CD SQ = A2 + B S2 Đặt: T = Smin max Tmin max 16 (A a + B b )(a B + b A ) T= (A + B ) Theo Côsi (A2a2 + B2b2)(a2B2 + b2A2) A a + B b + a B + B A ) (A + B )(a + b ) = 2 (a + b ) Tmin = Smin Q vuông Lại có: theo Bunlia Copxki cho dãy (Aa,Bb); (bA,aB) (A2a2 + B2b2)(b2A2 + a2B2) (A2ab + B2ab)2 = a2b2(A2+B2)2 a b (A + B ) T = a2b2 (A + B ) A=0 x= DeThiMau.vn 0.25đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,50đ 0,25đ 0,50đ Tmin = a2b2 Q có cạnh | | ox, oy B=0 Câu 4,00đ a Coi 0