Đề thi học sinh giỏi lớp 12 Bảng B Bài I 1.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số y = x3 -3x +2 (C) 2.Giả sử A,B,C ba điểm thẳng hàng phân biệt thuộc (C), tiếp tuyến với (C) A,B,C tương ứng cắt lại (C) A',B',C' Chứng minh A',B',C' thẳng hàng ( Đề ôn luyện số Toán học tuổi trẻ tháng 5/2005) Bài II Giải hệ phương trình x y - 3x y - x +y + x – y = (§Ị thi khèi A bé qc phòng 2002) Giải bất phương trình: ln x - ln(x2-x +1) > (§Ị thi khèi A quốc phòng 2002) Bài III: x Gọi F(x) = dx x5 Bằng phương pháp thêm bớt vào tử số hÃy tính nguyên hàm F(x) (Đề thi Đại học Y khoa năm 1997) Tính I= ∫ ln( x a x)dx (đk a # 0) ( Đề ôn luyện số Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005) Bài IV: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân với AB =AC =a SA=a Cạnh SA vuông góc với đáy, M điểm nằm cạnh SB, N nằm cạnh SC cho MN song song với BC AN vuông góc với CM Tìm tỉ số MS/MB (Đề thi khối A quốc phòng 2002) Bài V: Xét tam giác ABC Tính giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc F = 5cotg2A +16cotg2B + 27 cotg2C ( Đề ôn luyện số Toán học tuổi trẻ tháng 4/2005) DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm (6đ) Bài CâuI (3đ) Tập xác định: R Sự biến thiªn: a y’ = 3x2 -3 = 3(x2-1) => x =-1 x = (0.25đ) y>0 khoảng (-; -1) (1; +) y d1 cắt (C) lần A' có hoành độ: x1' = -2 x1 Tương tự B',C' có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3 (0.5đ) Vì A,B,C có hoành độ xi thoà mÃn phương trình axi + b = xi3 -3 xi + (i = 1,2,3) mµ xi = - xi'/2 =>a(- xi'/2) + b = (- xi'/2)3 -3(- xi'/2) + (0.5®) => -4a xi' + 8b = -xi3 -12 xi+16 xi'3-3 xi' + = (4a + 9) xi' + 18 - 8b hay ba ®iĨm A',B',C' n»m đường thẳng y = (4a + 9) x' + 18 - 8b Bài II (4đ) Câu I: điều kiện x+y 3x +2y Đặt u = x y 0 => x –y = 2v2 -5u2 (0.5®) v = 3x y Ta cã hệ phương trình đà cho u v = -1 (0.5®) u + 2v2 -5u2 = u=2 (0.5®) v=3 VËy x+y=4 x=1 DeThiMau.vn 3x + 2y = y=3 (0.5đ) Thõa mÃn điều kiện Câu II điều kiện x # -1 Ta có bất phương trình ln x 1 > ln(x2-x +1) (0.5®) x > 2(x2-x +1) (1) (0.5®) * NÕu x+1 > x>-1 th× (1) x+1 >2(x2-x +1) 2x2-3x +1-1) (0.5®) * NÕu x + F(x) = x 3 dx dx d (1 x ) 1 ln x ln(1 x ) C 2 x x x (1đ) CâuII (2.5đ) §Ỉt t= - x => I = ln( t a t )dt 1 (0.5®) ln 1 a2 t a2 t 1 1 1 dt ln a dt ln( t a t )dt (1®) I = 2lna2 – I => I = lna2 (1đ) DeThiMau.vn Bài IV: S N A C M B Cho hệ toạ độ Axyz với A(0,0,0) B(a,0,0) C(0,a,0) S(0,0,a) Gi¶ sư M(x,0,a-x) (0 ≤ x ≤ a) Do tam giác SAC vuông cân A MS/MB = NS/NC => N(0,x,a-x) (1®) VËy AN = (0,x,a-x) CM = (x,-a,a-x) Do AN vu«ng gãc víi CM AN CM = (1®) => -ax + (a-x)2 = x2 - 3ax + a2 = x= MS x 1 3 => MB a x (1đ) Bài V:(2đ) F = 5cotg2A + 16cotg2B + 27 cotg2C = (3+2)cotg2A +(12+4) cotg2B +(9+18) cotg2C = (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + cotg2A) (1®) ≥12(cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12 Đẳng thức xảy cotgA = 1,cotgB = 1/2, cotgC =1/3 (1®) DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 0 U(0;2) lồi (0.5đ) e Bảng biÕn thi? ?n: x -∞ -1 y’ + y -∞ - + ∞ + lâm + + (0.25đ) 3.Đồ thị: ( Học sinh tự vẽ) Đồ thị: qua A(-2;0) nhận I(0;2) làm tâm đối xứng DeThiMau.vn + CâuII:(3đ) Giả sử A,B,C... +2 = (3x12-3,)(x- x1,) + x1,3 -3x1, + (x- x1,)2(x+2x1) = (0.5đ) => d1 cắt (C) lần A' có hoành độ: x1' = -2 x1 Tương tự B',C' có hoành độ x2' = -2 x2, x3' = -2 x3 (0.5đ) Vì A,B,C có hoành... cotg2C = (3+2)cotg2A + (12+ 4) cotg2B +(9+18) cotg2C = (3 cotg2A +12 cotg2B) + (4 cotg2B+9 cotg2C) +(18 cotg2C + cotg2A) (1®) ? ?12( cotgA cotgB + cotgC cotgB + cotgA cotgC) =12 Đẳng thức xảy cotgA