đề thi học sinh giỏi 12 môn: toán thời gian: 180' (không kể thời gian giao đề) Đề bài: x mx Bài 1: (5 điểm) Cho hµm sè: y = x 1 1) Khi m = 1: a) Khảo sát hàm số (C1) 2đ b) Tìm nhánh (C1) diểm A B cho AB bé 2đ 2) Xác định m để hàm số có yCĐ, yCT yCĐ.yCT > 1đ Bài 2: (4 điểm) a) phương Giải trình: x 1 x 1 x2 1 2đ b) Tìm x, y Z thoả mÃn 2® log x 2x 3 y 8 y 3y Bµi 3: (4 ®iĨm) Cho d·y sè I n e x sin xdx (n = 1, 2, ) 2e n 1,2, In n a) CMR: 3® b) TÝnh 1® x2 y2 Bài 4: (4 điểm) Cho Elíp cã a > b a b DeThiMau.vn lim In n XÐt Mo(Xo, Yo) E ; O lµ gốc toạ độ 1) CMR: a OM b 2đ 2) CMR: tiếp tuyến với E MO (x0 > 0;y0 > 0)cắt chiều dương OX OY A, B tồn vị trí MO để độ dài AB 2đ Bài 5: (3 điểm) Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông SA = 1; SB = 2; SC = M điểm thuộc ABC Gọi P tổng khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m = 1: a) Khảo sát hàm sè: cã d¹ng y = x + x 1 TX§: R - {-1) b) y' = 0,5® y' = x 12 x = -2 hc x = dÊu y' + - -2 - -1 + x 0,25đ Hàm sè ®ång biÕn (-, -2) (0 + ) hàm số nghịch biến (-2, -1) (-1, 0) Có xLĐ = -2, yCĐ = -3 xCT = yCT = TiÖm cËn: ®øng x = -1 v× lim x x 1 x 1 DeThiMau.vn 0,5® TiƯm cËn xiên y = x lim x =0 x Bảng biến thiên: x - -2 y' + -1 - - - + + + -3 y + - DeThiMau.vn Vẽ đồ thị (0,5d) y y=x -2 -1 x -1 -3 b) Gọi A nhánh phải; B nhánh trái A (-1 +, -1 + + 1 ) vµ (-1 -, -1 - - ) víi vµ d¬ng 2 2 BA = AB = ( + ) + ( + ) = ( + ) 1 1 = 8 => 0,5® 2 4 12 +8 88 AB 1điểm DeThiMau.vn = = 1 A ;1 2 1 B ;1 2 0,5đ Bài 2: a) x = nghiệm phương trình chia vÕ cho 6 0,5® x ta cã: x 1 x 1 x 1 đặt t (t 0) x 1 x 1 x 1 t ta cã: t t2 - t - = t 1 (t 1 loạ i) 0,5đ 6 x 1 x 1 x 1 1 x 1 1® b) NhËn xÐt r»ng: x2 + 2x + = (x + 1)2 + log2(x2 + 2x + 3) x R điều kiện cần phải có - y + 3y + 1 y2 + DeThiMau.vn 0,75® y1 yZy=1 0,5® x2 + 2x + x = -1 0,5® x 1 ( Z) y BPT cã nghiÖm 0,25 Bài 3: Đặt I n e sin nxdx x2 u e x du 2xe x dx, sin nxdx cos nx n 2 I n ex cos n x 0 xex cos nxdx n n In => (1) n e e Jn Jn In n n n n 2 (1)n e J n ; n n 2 1,0® J n 0 xex cos nxdx 2 1,0đ mặt khác có: J n 0 xe x cos nxdx 0 xe x cos nxdx J n 0 xe x dx e 2e In n 2 = 2 1,0đ 2e 2e Do n n 2 nªn In 0 theo nguyªn lí kẹp Bài 4: DeThiMau.vn (1đ) x O2 y O2 1) ®iĨm: tõ MO E a b vµ OM2 = x O y O vµ tõ a > b ta cã: 2 2 1,0® x0 y0 x0 y0 + + 1= b b2 a b2 2 2 x0 y0 x0 y0 vµ 1= + + a a a b b x0 + y0 a2 x + y (1) (2) tõ (1) vµ (2) a2 OM2 b2 a OM b 2) Đường thẳng AB có dạng 1,0đ x y m n víi A(m,o); B(n,o) a2 b2 theo t/c tiÕp tuyÕn => m n 0,5® vËy AB2 = m2 + n2 = (m2 + n2).1 = b2 m2 n2 a 2 = m n a b b a n m m n a2 + b2 + 2ab = (a + b)2 0,5® m2 n2 dÊu = cã b a n m m b n a a2 b2 1 n m m a ab ABmin = a + b n b ab S Bài 5: Đặt ASM = , BSM = , CSM = Ta cã: P = sin + 2sin + 3sin DeThiMau.vn 1® M tính sin2 + sin2 + sin2 = 0,5® sin + sin + sin sin2 + sin2 + sin2 = C => sin + sin - - sin 2(sin + sin) - - sin 0,5® 2sin + 3sin + sin + = 1,0® A Pmin = sin = sin2; sin = sin2; sin = sin2 => sin = 0, sin = sin = = 900, = 900, = 00 Pmin = M C DeThiMau.vn B 0,5® ... DeThiMau.vn 0,5đ Tiệm cận xiên y = x v× lim x =0 x 1 Bảng biến thi? ?n: x - -2 y' + -1 - - - + + + -3 y + - DeThiMau.vn Vẽ đồ thị (0,5d) y y=x -2 -1 x -1 -3 b) Gäi A nhánh phải; B nhánh... Cho hình chóp SABC có góc tam diện đỉnh S vuông SA = 1; SB = 2; SC = M lµ điểm thuộc ABC Gọi P tổng khoảng cách từ A, B, C lên đường thẳng SM tìm vị trí M để Pmin Hướng dẫn đáp án: Bài 1: 1) m =... số: có dạng y = x + x TXĐ: R - {-1) b) y' = 0,5® y' = x 12 x = -2 hc x = dÊu y' + - -2 - -1 + x 0,25đ Hàm số đồng biÕn (-, -2) (0 + ) hµm sè nghịch biến (-2, -1) (-1, 0) Có xLĐ