§Ị thi häc sinh giái líp 12 THPT M«n : Toán Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số: y = x 2mx víi m = x 2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu khoảng cách từ hai điểm ®Õn ®êng th¼ng x + y + = Bài 2: 1) Giải phương trình x2 + 4x2 5 x - 4x 2) HÃy biện luận giá trị nhỏ của: F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 theo a Bài 3: 1) Giải bất phương trình: 2 x 2- x 2 log x - log ( x 6) > 2) Chøng minh điều kiện cần đủ để ABC ®Òu: 2 2 a b c A B C Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SB = x, tất cạnh lại b (b > x ) a) Tính thể tích hình chóp theo b x b) Xác định x để hình chóp tích lớn Bài 5: Cho Elip (E) có phương trình: x2 y2 vµ M(1, 1) Lập phương trình đường thẳng qua M cắt (E) hai điểm A B cho MA = MB Bµi 6: TÝnh : I = x dx x 1 DeThiMau.vn hướng dẫn biểu điểm chấm Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bµi: 180 Bµi Bµi Néi dung 1) Víi m = 1, hµm sè trë thµnh: y = 1.1- Tập xác định: D = R \ 1.2- Sù biÕn thiªn: a) ChiỊu biÕn thiªn: x 2x x 1 x 1 x 1 1 ; cho y’ = =0 x 12 x 1 x 11 x0 x - x - Ta cã: y’ = - Xét dấu y: + -1 -2 Điểm 2đ (x+ 1)2 = 0,25 + Hµm số đồng biến khoảng (- ; -2) (0; + ) nghịch biến khoảng (-2; -1) (-1; 0) b) Cực trị: Tại x = -2 , hàm số đạt giá trị cực đại , yCĐ = y(-2) = -2 Tại x = , hàm số đạt giá trị cực tiểu , yCT = y(0) = c) Tính lồi lõm điểm uốn (kh«ng xÐt) 0,25 x 2x x x 1 x x 2x lim y lim x x 1 x d) Giíi h¹n: lim y lim * (D1): x = -1 tiệm cận đứng * (D2): y = x + tiệm cận xiên lim y = x 1 lim y - (x 1) = lim x =0 x 1 x 0,25 DeThiMau.vn y’ + y -1 - - y (C) + + -2 - + x= -1 e) Bảng biến thiên: x - -2 + - -2 x 0,75 -2 1.3- Đồ thị: Gäi (C): y = x 2x x 1 (C) oy = (0; 2) (C) ox phương trình: x 2x = v« nghiƯm x 1 * NhËn xÐt: Gäi I lµ giao cđa tiƯm cËn I(-1; 0) tâm đối xứng đồ thị (C) 0,5 x 2mx TX§: D = R\ 1 x 1 2 x 2m x 1 - x 2mx x 2x 2m - Ta cã: y’ = x 12 x 12 2) y = x 2x 2m - cã nghiệm phân x 12 biệt đổi dấu qua nghiệm m < (*) Hàm số có cực đại, cực tiểu y = 0,25 * Giả sử điểm cực đại, cực tiểu A1(x1, y1) vµ A2(x2,y2) cã x1, x2 lµ nghiƯm cđa: x2 + 2x + 2m – = vµ cã: y1 = 2x1 + 2m , y2 = 2x2 + 2m Khoảng cách từ A1 A2 tới ®êng th¼ng x + y + = sÏ b»ng x1 y1 x y 3x1 2m 3x 2m 3(x1 + x2) = - (4m + 4) 3(-2) = - (4m + 4) m = (tho¶ m·n (*)) DeThiMau.vn 0,25 VËy m = 4đ Bài 1) Phương trình: x2 + x2 x2 5 + (x - 2) 4x2 5 x - 4x x2 + 2x x 4x 2x + 5 x-2 x-2 x -2 2x 4x 5 x x -2 x -2 0,5 x x - -50 x-2 x-2 x2 Đặt t = x-2 0,25 0,5 , phương trình trë thµnh: t2 – 4t – = * Víi t = -1 * Víi t = t - t 5 x 1 x -1 x2 x - x-2 x - x2 x - x 10 (phương trình vô nghiệm) x-2 0,25 0,25 Vậy phương trình đà cho có nghiệm x = 1; x = - 2) F = (x + y – 2)2 + (x + ay – 3)2 * NhËn xÐt: (x+ y – 2)2 ≥ ; (x + ay – 3)2 ≥ XÐt hÖ: x y x y x ay x ay TH1: HÖ (I) cã nghiÖm D = F ≥0 (I) 0,5 0,25 1 = a – a 1 a Thì (x,y) để F = Min F = 0,25 TH2: HƯ (I) v« nghiƯm D = a – = a = (hÖ sè kh«ng tû lƯ) 2 Víi a = F (x + y – 2) + (x + y 3) Đặt t = x + y ; t R 0,75 F = (t + 1)2 + t2 = 2t2 + 2t + = 2(t2 + 2t = 2(t + 1 ) + ≥ , t 2 DeThiMau.vn 1 + ) Min F = Bài 3: 1 Đạt t = - x + y – = 2 x+y- =0 0,25 0,25 1) Bất phương trình: x 3.2 x log 2x log (2x ) 1 (1) 0,25 * §iỊu kiƯn x > x NhËn xÐt: 2x + 3.2-x > v× x2 (loai ) 0,25 0,5 0,5 (1) 2logxx – log2(x + 6) > 2log2x > log2(x + 6) log2x2 > log2(x + 6) x3 0,25 x2 > x + x – x – > x - (loai) VËy T = (3; + ) 0,25 2a b c (1) 2 A B C (2) 0,25 2) Theo ®Þnh lý Sin, ta cã: a b c 2R SinA SinB SinC 0,5 Thay vµo (1) : 2SinA = SinB + SinC 2SinA = 2Sin Thay (2) : B + C = 2A , ta : SinA = SinA Cos B-C (v× SinA 0) 0,5 S B-C 0 BC Bµi 4: B-C BC Cos 2 0,5 0,25 V× A + B + C = 1800 , kÕt hỵp víi (2) 3A = 1800 A = 600 ABC cân A A = 600 ABC ®Ịu x b b a) Gäi O tâm hình thoi ABCD Xét SAC vµ ADC Cã AC chung, SA = SC = DA = DC = b SAC = ADC SO = OD = OB ABC vuông S A 2 Ta : BD = SB SD x b ODC vuông O DeThiMau.vn đ B C 0,5 H O b D Cã DC = b; OD = x b2 OC2 = DC2 – OD2 = b2 - = (x + b2) 3b - x OC = 0,25 * Tø gi¸c ABCD cã AC BD SABCD = 1 AC BD 3b - x x b (1) 2 0,25 * BSD vuông, gọi H hình chiếu S mặt ph¼ng (ABCD) 1 SH BD 2 SB SD SH 1 b2 x bx b2 x2 (2) SH SH 2 2 2 SH x b b x b x b2 x 0,25 0,25 Tõ (1) vµ (2) 1 bx SH S ABCD 3b - x x b 2 3 b x = bx 3b - x b 1 b) Ta cã: VchãpSABCD = x 3b - x x 3b - x 6 b b = 3b 12 VchópSABCD lớn b ; đạt x = 3b x Bµi : 3 x2 = 3b2- x2 2x2 = 3b2 x2 = b x b (2 ®iĨm) 2 VchãpSABCD = Phương trình đường thẳng (d) qua M (1,1) với hệ sè gãc k cã d¹ng : y = k (x – 1) + (d) : y = kx k + (1) Toạ độ giao điểm A,B cđa (d) vµ (E) lµ nghiƯm cđa hƯ : 4 x y 36 y kx k 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 0,25 x2 + (kx – k +1)2 = 36 (4+ 9k2)x2 – 18k(k-1)x + 9k2 18k 27= (2) Phương trình (2) có hai nghiƯm ph©n biƯt : 9k k 1 - (4+9k2) (9k2 – 18k – 27) > 9k2 (k – 1)2 – (4 + 9k)2 (k2 – 2k – 3) > 32k2 + 8k + 12 > (luôn đúng) Vậy phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt : DeThiMau.vn 0,25 0,5 18 K (k 1) X A X B 9k X X 9k 18k 27 A B 4k2 0,25 Theo gi¶ thiÕt MA = MB xA + xB = 2xM k=Bµi 6: vào (1), ta (d) có phương trình : 4x + 9y – 13 = (2 ®iÓm) Thay k = I= 18k k 1 =2 9k x 0,25 dx x 1 x 1 x 1 x x 1 x x = = = + 6 4 x 1 x 1 x x 1 x 1 x x 1 x 1 x 1 f(x) = I= 0,25 x dx 0 x6 dx 0 x + 0,5 dx I= x 1 §Ỉt x = tg t ; t ;x t dt = (1+tg2t) dt cos t dx = I1 = 1 tg t dt tg t = dt = t 0 = I2 = x dx x6 Đặt u = x3 ; x u Ta cã : du = 3x2dx x2dx = 1 du du I2 = = u 1 u 1 = Khi ®ã I = I1 + I2 = VËy I = du + 12 = DeThiMau.vn 1 = 12 0,25 DeThiMau.vn ... chấm Đề thi học sinh giỏi lóp 12 THPT Môn : Toán Thời gian làm bµi: 180 Bµi Bµi Néi dung 1) Víi m = 1, hµm sè trë thµnh: y = 1.1- Tập xác định: D = R 1.2- Sù biÕn thi? ?n: a) ChiỊu biÕn thi? ?n:... 1 du du I2 = = u 1 u 1 = Khi ®ã I = I1 + I2 = VËy I = du + 12 = DeThiMau.vn 1 = 12 0,25 DeThiMau.vn ... phân biệt : DeThiMau.vn 0,25 0,5 18 K (k 1) X A X B 9k X X 9k 18k 27 A B 4k2 0,25 Theo gi¶ thi? ?t MA = MB xA + xB = 2xM k=Bµi 6: vào (1), ta (d) có phương trình