Đề thi học sinh giỏi toán lớp 12-Bảng A (Thời gian làm 180 phút) Bài 1: (7 điểm) 1) Xét tính đơn điệu hàm số: y= (2 3x) (x-5) ax bx c 2) Cho hàm số y= x2 Xác định a, b, c biết hàm số có cực trị x=1 đường tiệm cận xiên đồ thị vuông góc với đường thẳng y= x 3)Giải bất phương trình: 5x 3x +2x > 2x.3x 5x 3x + 4x2.3x Bài 2: (4 điểm) Trong tất nghiệm bất phương trình: log x y (x y ) 2 H·y t×m nghiƯm (x; y) mà x + 2y lớn Bài 3(5 điểm) Giải phương trình: 1) x (1 x) 2) sin3x.(1- 4sin2x) = (1 x) x 2 Bài 4:(4 điểm) ABC tam giác cạnh a Trên đường thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (ABC) A, lấy điểm S với AS = h 1) Hy đường thẳng qua trực tâm H tam giác SBC vuông góc với mặt phẳng (SBC) Chứng tỏ S di động Ax đường thẳng Hy luôn qua điểm cố định 2) Hy cắt Ax S' Xác định h theo a để SS' ngắn DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm môn Toán học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D = R 0,25 ®iĨm y'= (-3) (2 3x) (x-5) + (2 3x) 3 ®iÓm = 0,25 x 30 5x 12 + 3(2-3x) = 33 3x 3x 0,25 điểm 12 Điểm tới hạn: x= ; x= ®iĨm x - y' 0,25 2/3 + 12/5 - + + y 0,5 điểm Hàm số đồng biến khoảng (-; 2/3) (12/5; +) 0,25 điểm Hàm số nghịch biến khoảng (2/3; 12/5) 0,25 điểm Câu 2: (2 điểm) ax bx c Đường tiệm cận xiên có hệ sè gãc k = lim =a x x2 ®iĨm 1 Đường tiệm cận xiên vuông góc với đường th¼ng y= x 2 DeThiMau.vn 0,25 ta cã a=2 0,25 ®iĨm XÐt y= x bx c x2 x 8x b c y' = ( x 2) 0,25 điểm Để hàm số có cực trị x=1 điều kiện cần là: y' (1) 6 b c y(1) (2 b c) 0,5 ®iĨm b 3 => c 0,25 ®iĨm Thử lại ta thấy a=2, b=-3, c=0 hàm số x 3x y= thoả mÃn điều kiện x2 ®iĨm 0,25 KÕt ln: a=2, b=-3, c=0 0,25 ®iĨm C©u 3: (3 điểm) Bất phương trình trở thành: ( 5x 3x +2x)(1-2x.3x)>0 (*) 0,5 ®iĨm TËp xác định: -2 x 0,25 điểm 5x 3x x ( I) x 1 x.3 (*) ( II) 5x 3x x 1 x.3 x (1) (2 ) (3) ( 4) điểm DeThiMau.vn 0,5 Xét hệ (I): Giải (1) ta -1< x 1/3 0,5 điểm Đặt f(x) = 1-2x.3x ta thÊy: -1 x hiển nhiên f(x)>1 0,25 điểm Khi 0 NghiƯm cđa (I) lµ: x 0,25 điểm Xét hệ (II): Giải (3) ta x 1 0,25 ®iĨm Nhng f(x) = 1-2x.3x > x nên bất phương trình (4) không thỏa mÃn với giá trị x thuộc khoảng nghiệm (3) Vậy hệ phương trình đà cho vô nghiệm 0,25 điểm Tóm lại, bất phương trình đà cho cã nghiÖm x 0,25 điểm Bài 2: (4 điểm) Xét trường hợp: +TH1: x2+ y2 > ®ã dƠ thÊy bÊt phương trình log x y (x y ) (1) có nghiệm (chẳng hạn x=y=0,9) 0,5 điểm Ta cã (1) x+y x2+ y2 x+2y x2 + y2 + y (2) 0,5 ®iĨm (3) 0,5 ®iÓm 2 Gäi S= x+2y x=S - 2y thay vào (2) ta S(S-2y)2 +y2+y 5y2 -(4S-1)y +S2 - S Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0, Vậy 10 10 S 2 0,5 ®iĨm DeThiMau.vn Víi S = 4S 1 10 = (3) y= 10 2 10 0,25 ®iĨm Suy x= S -2y = (tháa m·n x2+ y2 > 1) 10 2 +TH2: 0< x + y < Khi ®ã (1) AS' = 2h 0,5 ®iĨm a a2 VËy SS' = SA + AS' = h+ 2 =a 2h 0,75 điểm a2 a Dấu "=" xảy h= => h= 2h 0,25 ®iĨm Chó ý: 1)Bài hình hình vẽ không chấm 2)Nếu học sinh làm cách khác mà người chấm cho điểm tương ứng phần DeThiMau.vn ... chấm môn Toán học sinh giỏi Lớp 12 Bài 1: Câu 1: (2 điểm) Tập xác định: D = R 0,25 ®iĨm y'= (-3) (2 3x) (x-5) + (2 3x) 3 ®iĨm = 0,25 x 30 5x 12 + 3(2-3x) = 33 3x 3x 0,25 điểm 12. .. 0,25 2/3 + 12/ 5 - + + y 0,5 điểm Hàm số đồng biến khoảng (-; 2/3) (12/ 5; +) 0,25 điểm Hàm số nghịch biến khoảng (2/3; 12/ 5) 0,25 điểm Câu 2: (2 điểm) ax bx c Đường tiệm cận xiên có hÖ sè gãc... (2) ta S(S-2y)2 +y2+y 5y2 -(4S-1)y +S2 - S Bất phương trình (3) có nghiệm nên ta phải có 0, Vậy 10 10 S 2 0,5 ®iĨm DeThiMau.vn Víi S = 4S 1 10 = (3) y= 10 2 10 0,25 ®iĨm Suy x=