Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 3640176

đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phương trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phương trình với m=1 2) Tìm m để phương trình đà cho có nghiệm ph©n biƯt x    ;   2 Bài 2: 1) Giải phương trình (Sin)x + (tg)x = ()x (víi x lµ tham sè, < x < ) 2) Tìm a để phương trình sau có nghiệm phân biệt 32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ( 3) x 4 x log =0 2( x  Sina   1) Bµi 3: Víi mäi ABC, k 0,  Chøng minh:  4    A B B C CA  Cos  Cos  Cosk ( A  )  Cosk ( B  )  Cosk (C  ) Cos 2 3   a1 ; b1   ; ; voi a b     ai 1  bi  n Bµi 4: XÐt hai d·y sè: n   bi 1   bi  (i=1, ) Chøng minh (a2006 + b2006)2 > 16039 Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD 1) Gäi i (i= 1, 2, , 6) độ lớn góc nhị diện có cạnh cạnh tứ diện Chøng minh:  Cos i 1 i  2) Gọi G trọng tâm tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB M cắt DC N Gọi V, V1 thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD vµ DAMN Chøng minh: V1   V DeThiMau.vn 3) Gọi diện tích mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D tứ diện là: Sa, Sb, Sc, Sd Ilµ néi tiÕp tø diƯn  tâm hình cầu ABCD Chứng minh: Sa IA  Sb IB  Sc IC  Sd ID  DeThiMau.vn H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 Môn: Toán Bảng A Câu Bài 1 Nội dung Cosx Với m =1; Phương trình  §iĨm  4Cos x  2Cosx      x=  k    x  k 2  2  k 2 x     Cosx    Cosx   Cosx    2 2 Cosx  Phương trình 4Cos x 2Cosx  m   * Cosx =0 Cã nghiÖm: x  * Ycbt  4Cosx2  ; x= - Cosx +m - =0 3 Cosx  t (-1  t  1)   f (t )  t  t  m  0,5 0,5  1  t1   t2  : (a) Cã nghiÖm t1, t2 tháa m·n:  (b)  0 VP Vậy phương trình vô nghiệm  x VP  nªn: Sin 1 tg 0,5 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) x  x   ta có: xR thì: nên TXĐ phương trình R x-m Ta có phương trình ( 3) x Xét hàm số: f(t) = 4 x 6   log (t) : t  log ( x  x  6)   3 x m 2 2; + hàm số đồng biến với x[2; +) nên phương trình x2 + 4x +6 = x-m +2  x  x  m   : (1)   x  x   m  : (2)     Sina    Sina   2 0,25 0,5 (*) Theo yêu cầu toán (*) cã nghiƯm ph©n biƯt  (1) cã nghiƯm kÐp x ;(2) cã nghiÖm  x  (2) cã nghiÖm kÐp x ;(1) cã nghiÖm  x1 (1), (2) cã nghiÖm chung; nghiÖm lại khác m    m    (loại) m Vậy theo yêu cầu toán: log (2 x m 2) 0,5 0,25 0,25 0,25   a=-  k 2  5  a   k ' 2    a  -   k "2 Có họ giá trị a cần tìm DeThiMau.vn 0,25 Bài AC AC    Cos 1 4 4    mµ:  k B   B   3B    4   nªn: Cosk B   Cos B   (2) Mäi  ABC cã   (1) 0,5 0,5 Ta cã: 1 AC B C  AC A  C  2B C os  C os  C os Cos   2 2  4  C os AC   3B AC 3    Cos  C os Cos  B  Cosk B   Cosk  B   : (a) 4 4 3 3  0,5 Chøng minh t­¬ng tù cã: 1 BC C  A   C os  C os  Cosk  C   : (b)   2 2  3  CA A B    C os  Cosk A  vµ C os   : (c) 2 2  3  Tõ (a), (b), (c) suy (®pcm) DÊu "=" A=B = C= ABC Bài 0,5 Ta cã Si = (ai + bi) Th× (i=1,2,3….) Si+1 = (a i+1 + bi+1   1  ) =   bi       : (i=1,2, )   bi   2 =   bi  1 1 1 1 +2   bi           bi   bi     bi  1 1         bi    bi  nªn ta cã: (a1 + b1)2 > (a2 +b2)2 > (a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + ……………………… (a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + Cộng bđt trªn, ta cã: DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 (a2006 +b2006)2 > 2005 = 16040 > 16039 Bµi 0,5 A D1 I D B A1 M C H¹ IA1  (BCD); ID1  (ABC) IB1  (ACD); IC1  (ABD)  D1M  BC  IM  BC Dùng A1M  BC   nªn ฀ A1MD1  1 (T­¬ng tù víi 2…6)     IA1  IB1  IC1  ID1       4r  IA1.IB1   IC1.ID1   Ta cã:    1,0 1,0  4r  2r (Cos1  Cos  Cos )    Cos i  2: (dpcm) 1,0 i=1 2 DeThiMau.vn A G D M B A' N O C DeThiMau.vn A' trọng tâm BCD Gọi: O trung điểm BC DM DN x y Đặt: DB DC V DM DN DA xy (1) Ta cã: DAMN  VABCD DB DC DA dt(DMA') DM DA ' dt ( DMA ') Cã:    x: dt(DBO) DB DO dt ( DBC ) dt ( DNA ') T­ong tù  y : (b) dt ( DBC ) dt ( DMN ) x  y Tõ (a), (b) suy ra:  dt ( DBC ) dt ( DMN ) DM DN mµ   xy  x+y=3xy dt ( DBC ) DB DC x  y(3x-1) =x: (x  )  y= 3x-1  x va x     vµ  y      x 1 x    T­ong tù, suy ra:  x; y  V x2 1  VËy:  xy   f ( x ) :  ;1 V 3x  2  3x  x Cã: f'(x) = =0  x= (3 x  1) 0,5 (a) 0,5 0,5 vµ: x 2 f'(x) f(x) +  0,5 V1   V DeThiMau.vn D P' M' N' I C A N M P B  M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI)  Gäi  N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI)  P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI)  I tứ diện, nên: M, M', thuộc cạnh tứ diện Do: (DAM) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] MB dt (AMB ) VDAMB dt (DAB ) Sc      MC dt (AMC) VDAMC dt (DAC) Sb S điểm M đoạn BC; nªn: MB   c MC S     b     Sb MB  Sc MC   Sb ( IB  IM )  Sc ( IC  IM )     Sb IB  Sc IC  ( Sb  Sc ).IM : (1) Chøng  minht­¬ng tù:  Sd ID  Sa IA  ( Sd  Sa ).IM : (2) 0,5 0,5 Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM') nên vecto IM ; IM '; MM '; song song VËy gäivecto:    v  ( Sa IA  Sb IB  Sc IC  Sd ID) 0,5 th×     v  ( Sa  Sb ) IM  ( Sc  Sd ).IM ') song song víi MM '     Chøng minh tương tự: v // NN ' v // PP '    Nh­ng MM ' ; NN ' ; PP '; không đồng phẳng DeThiMau.vn 0,5 nên: v (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn điểm tổng cộng sau đà làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà xác cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn ... tâm hình cầu ABCD Chứng minh: Sa IA  Sb IB  Sc IC  Sd ID  DeThiMau.vn H­íng dÉn chÊm thi häc sinh giái lớp 12 Môn: Toán Bảng A Câu Bài 1 Nội dung Cosx Với m =1; Phương trình   §iĨm... (lo¹i)   m  2  VËy theo yêu cầu toán: log (2 x m 2) 0,5 0,25 0,25 0,25   a=-  k 2  5  a   k ' 2    a  -   k "2 Có họ giá trị a cần tìm DeThiMau.vn 0,25 Bài AC AC   ... phẳng DeThiMau.vn 0,5 nên: v (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn điểm tổng cộng sau đà làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà xác cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn