đề thi học sinh giỏi lớp 12 Môn: Toán - Bảng A Thời gian làm bài: 180 phút Bài 1: Cho phương trình: m.Cosx + Cos3x - Cos2x =1 1) Giải phương trình với m=1 2) Tìm m để phương trình đà cho có nghiệm ph©n biƯt x ; 2 Bài 2: 1) Giải phương trình (Sin)x + (tg)x = ()x (víi x lµ tham sè, < x < ) 2) Tìm a để phương trình sau có nghiệm phân biệt 32-x - Sin a +1 log (x2 + 4x + 6) + ( 3) x 4 x log =0 2( x Sina 1) Bµi 3: Víi mäi ABC, k 0, Chøng minh: 4 A B B C CA Cos Cos Cosk ( A ) Cosk ( B ) Cosk (C ) Cos 2 3 a1 ; b1 ; ; voi a b ai 1 bi n Bµi 4: XÐt hai d·y sè: n bi 1 bi (i=1, ) Chøng minh (a2006 + b2006)2 > 16039 Bµi 5: Cho tø diÖn ABCD 1) Gäi i (i= 1, 2, , 6) độ lớn góc nhị diện có cạnh cạnh tứ diện Chøng minh: Cos i 1 i 2) Gọi G trọng tâm tứ diện; mặt phẳng () quay quanh AG, cắt DB M cắt DC N Gọi V, V1 thĨ tÝch cđa tø diƯn ABCD vµ DAMN Chøng minh: V1 V DeThiMau.vn 3) Gọi diện tích mặt đối diện với đỉnh A, B, C, D tứ diện là: Sa, Sb, Sc, Sd Ilµ néi tiÕp tø diƯn tâm hình cầu ABCD Chứng minh: Sa IA Sb IB Sc IC Sd ID DeThiMau.vn Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái líp 12 Môn: Toán Bảng A Câu Bài 1 Nội dung Cosx Với m =1; Phương trình §iĨm 4Cos x 2Cosx x= k x k 2 2 k 2 x Cosx Cosx Cosx 2 2 Cosx Phương trình 4Cos x 2Cosx m * Cosx =0 Cã nghiÖm: x * Ycbt 4Cosx2 ; x= - Cosx +m - =0 3 Cosx t (-1 t 1) f (t ) t t m 0,5 0,5 1 t1 t2 : (a) Cã nghiÖm t1, t2 tháa m·n: (b) 0 VP Vậy phương trình vô nghiệm x VP nªn: Sin 1 tg 0,5 2 Đặt Sina -1 =m (-2 m 0) x x ta có: xR thì: nên TXĐ phương trình R x-m Ta có phương trình ( 3) x Xét hàm số: f(t) = 4 x 6 log (t) : t log ( x x 6) 3 x m 2 2; + hàm số đồng biến với x[2; +) nên phương trình x2 + 4x +6 = x-m +2 x x m : (1) x x m : (2) Sina Sina 2 0,25 0,5 (*) Theo yêu cầu toán (*) cã nghiƯm ph©n biƯt (1) cã nghiƯm kÐp x ;(2) cã nghiÖm x (2) cã nghiÖm kÐp x ;(1) cã nghiÖm x1 (1), (2) cã nghiÖm chung; nghiÖm lại khác m m (loại) m Vậy theo yêu cầu toán: log (2 x m 2) 0,5 0,25 0,25 0,25 a=- k 2 5 a k ' 2 a - k "2 Có họ giá trị a cần tìm DeThiMau.vn 0,25 Bài AC AC Cos 1 4 4 mµ: k B B 3B 4 nªn: Cosk B Cos B (2) Mäi ABC cã (1) 0,5 0,5 Ta cã: 1 AC B C AC A C 2B C os C os C os Cos 2 2 4 C os AC 3B AC 3 Cos C os Cos B Cosk B Cosk B : (a) 4 4 3 3 0,5 Chøng minh t¬ng tù cã: 1 BC C A C os C os Cosk C : (b) 2 2 3 CA A B C os Cosk A vµ C os : (c) 2 2 3 Tõ (a), (b), (c) suy (®pcm) DÊu "=" A=B = C= ABC Bài 0,5 Ta cã Si = (ai + bi) Th× (i=1,2,3….) Si+1 = (a i+1 + bi+1 1 ) = bi : (i=1,2, ) bi 2 = bi 1 1 1 1 +2 bi bi bi bi 1 1 bi bi nªn ta cã: (a1 + b1)2 > (a2 +b2)2 > (a2 +b2)2 > (a1 + b1)2 + ……………………… (a2006 +b2006)2 > (a2005 + b2005)2 + Cộng bđt trªn, ta cã: DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 (a2006 +b2006)2 > 2005 = 16040 > 16039 Bµi 0,5 A D1 I D B A1 M C H¹ IA1 (BCD); ID1 (ABC) IB1 (ACD); IC1 (ABD) D1M BC IM BC Dùng A1M BC nªn A1MD1 1 (T¬ng tù víi 2…6) IA1 IB1 IC1 ID1 4r IA1.IB1 IC1.ID1 Ta cã: 1,0 1,0 4r 2r (Cos1 Cos Cos ) Cos i 2: (dpcm) 1,0 i=1 2 DeThiMau.vn A G D M B A' N O C DeThiMau.vn A' trọng tâm BCD Gọi: O trung điểm BC DM DN x y Đặt: DB DC V DM DN DA xy (1) Ta cã: DAMN VABCD DB DC DA dt(DMA') DM DA ' dt ( DMA ') Cã: x: dt(DBO) DB DO dt ( DBC ) dt ( DNA ') Tong tù y : (b) dt ( DBC ) dt ( DMN ) x y Tõ (a), (b) suy ra: dt ( DBC ) dt ( DMN ) DM DN mµ xy x+y=3xy dt ( DBC ) DB DC x y(3x-1) =x: (x ) y= 3x-1 x va x vµ y x 1 x Tong tù, suy ra: x; y V x2 1 VËy: xy f ( x ) : ;1 V 3x 2 3x x Cã: f'(x) = =0 x= (3 x 1) 0,5 (a) 0,5 0,5 vµ: x 2 f'(x) f(x) + 0,5 V1 V DeThiMau.vn D P' M' N' I C A N M P B M=BC x (DAI); M' = AD x (BCI) Gäi N= AC x (DBI); N' = DB x (CAI) P= AB x (DCI); P' = DC x (ABI) I tứ diện, nên: M, M', thuộc cạnh tứ diện Do: (DAM) mặt phẳng phân giác nhị diện cạnh AD nên: d[M; (DAC)] = d[M; (DAB)] MB dt (AMB ) VDAMB dt (DAB ) Sc MC dt (AMC) VDAMC dt (DAC) Sb S điểm M đoạn BC; nªn: MB c MC S b Sb MB Sc MC Sb ( IB IM ) Sc ( IC IM ) Sb IB Sc IC ( Sb Sc ).IM : (1) Chøng minht¬ng tù: Sd ID Sa IA ( Sd Sa ).IM : (2) 0,5 0,5 Mặt khác: I MM' = (AMD) (BCM') nên vecto IM ; IM '; MM '; song song VËy gäivecto: v ( Sa IA Sb IB Sc IC Sd ID) 0,5 th× v ( Sa Sb ) IM ( Sc Sd ).IM ') song song víi MM ' Chøng minh tương tự: v // NN ' v // PP ' Nhng MM ' ; NN ' ; PP '; không đồng phẳng DeThiMau.vn 0,5 nên: v (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn điểm tổng cộng sau đà làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà xác cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn ... tâm hình cầu ABCD Chứng minh: Sa IA Sb IB Sc IC Sd ID DeThiMau.vn Híng dÉn chÊm thi häc sinh giái lớp 12 Môn: Toán Bảng A Câu Bài 1 Nội dung Cosx Với m =1; Phương trình §iĨm... (lo¹i) m 2 VËy theo yêu cầu toán: log (2 x m 2) 0,5 0,25 0,25 0,25 a=- k 2 5 a k ' 2 a - k "2 Có họ giá trị a cần tìm DeThiMau.vn 0,25 Bài AC AC ... phẳng DeThiMau.vn 0,5 nên: v (đpcm) Chú ý: 1)Điểm toàn điểm tổng cộng sau đà làm tròn đến 0,5 điểm (ví dụ: 5,25 làm tròn 5,5) 2) Nếu thí sinh làm cách khác mà xác cho điểm tối đa câu DeThiMau.vn