kú thi häc sinh giái líp 12 THPT - -M«n thi Toán bảng A Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Bµi (4 điểm) x2 Tìm trục hoành điểm kẻ đến đồ thị hàm số y hai tiÕp x 1 tun t¹o víi mét gãc 450 TÝnh thÓ tÝch vËt thÓ sinh bëi phép quay quanh trục Ox hình giới hạn bởi: y log x ; x + y = 3; y = Bài (4 điểm) x m x 2m Tìm m để hệ có nghiệm x m x m Giải phương trình x x x Bµi (4 điểm) Giải phương trình cos6x cos4x + 4cos3x + = Trong tam gi¸c ABC, chøng minh r»ng: cos A cos B cos C 13 cos A cos B cos C Bài (4 điểm) Giải phương trình x 3log x log x 3 x TÝnh lim x 0 x 3x x Bµi (4 điểm) Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; -1; 1), biết qua đường thẳng x y z cã hai mỈt phẳng vuông góc với tiếp xúc với mặt cầu x y 2z 1 Với a, b, c dương R, chøng minh r»ng: a b c a 1 b 1 c 1 b c c a a b b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1 .HÕt DeThiMau.vn Híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái líp 12 THPT Môn: toán - bảng A (đáp án có trang) Bài ý Nội dung Điểm TXĐ D = R\{1} M Ox M(x0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình: y = k(x – x0) () x2 k x x0 x 1 () lµ tiếp tuyến đồ thị hệ: có nghiÖm x 2x k x 12 x x2 x 2x x x 12 x x0 xx0 1x x0 x x0 Voi x0 1 x0 0.5® Víi x0 = k = 0, Víi x0 = x0 x0 k= x0 x0 12 0.5đ Để thỏa mÃn yêu cầu toán thì: tg 450 I x0 k1 k =±1 k1k x0 12 x0 2 M1( 2 ; 0), M2( 2 ; 0) 0.5® 0.5® Giao ®iĨm cđa đồ thị hàm số y log x , đường thẳng x +y = - 3 1 lµ A(2; 1) V = log xdx 3 x 2 dx =V1+ V2 0.5® 2 1 V1= log xdx = log e. ln xdx = y = log e.2 ln 1 O x V2 = 3 x 2 dx = = V=[ x m 2x 2m x m x 7m 0.5® + log e.2 ln 1 ] (®vtt) 0.5® (1) (2) 1 = (m – 2)2 ≥ vµ 2 = (m – 7)2 ≥ m = m = hệ phương trình vô nghiệm II 0.5đ 0.5đ m m tập nghiệm (1) D1 R+ tËp m Víi nghiƯm (2) D2 R- nên hệ phương trình v« nghiƯm Víi m < tËp nghiƯm D1= (m; 2) vµ tËp nghiƯm D2= (-7; -m) hƯ phương trình có nghiệm Hệ phương trình cã nghiƯm víi m < DeThiMau.vn 0.5® 0.5® 0.5đ Bài ý Nội dung x x 3 x x x x x x 1 x 13 x x x 2 x x x 17 x x 1 x x 3x 1 13 17 KÕt luËn: x vµ x lµ nghiÖm 2 cos 3x cos 3x cos s x 2cos 3x 1 sin 2 x cos x 1 sin x 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® k 2 x x l 0.5® KL: NghiƯm x = + 2k III 0.5® A B C = t 1< t ≤ 2 1 XÐt f(t) = t trªn (1; ], cã f’(t) = > hàm số đồng t t biÕn trªn (1; ] 2 13 3 t (1; ] th× f(1) < f(t) ≤ f( ) = 2 13 VËy cos A cos B cos C cos A cos B cos C DÊu b»ng x¶y khi: cos A cos B cos C = hay tam giác x2 Pt log x 5 log x 3 = víi x > x 3 Hµm sè y = log x log x đồng biến (5; + ) x2 5 Hµm sè y = có y= < nghịch biến (5; + ) x x 32 đặt cos A cos B cos C = 1+ sin sin sin phương trình có nghiệm x = IV 3 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® L2 = lim x 0 0.5® 0.5® x 3x 3x 3x x 1 2x 1 3x = lim + lim = L + L2 3x x0 x x x 1 2x 1 2x = =1 3x lim x L1 = lim x0 x 0 x x 2x L = lim x0 Điểm 0.5đ 3x 3x = lim =1 x 0 3 x x x x 1 VËy L = 0.5® 0.5® 0.5® 0.5® DeThiMau.vn Néi dung Bµi ý 2 x y z x y 2z 1 ( P) I ( P) ta nhËn thÊy vµ (P) (Q) (Q) I (Q) §iĨm hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu nhận (Q) làm mặt phẳng phân giác mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu hai mặt phẳng phân giác góc sinh (P) (Q) Nên phương trình mặt phẳng hai mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu là: x 4y z - 3x - 3z - |2x + 4y – z -3| = |x 2y -2z -1| Bán kính mặt cầu cần lập: R = d(I/) = 5đ 4 = 3 0.5đ Phương trình mặt cầu cần lập là: x 12 y 12 z 12 Gi¶ sö a ≥ b ≥ c > 16 a a 1 b b 1 c c 1 0 1 1 1 1 1 1 b c c a c a a b a b b c 1 a b a 1 1 1 b 1 1 1 b c c a b c c a c c 1 1 1 a b a b 1 1 1 1 b a b c a c 1 c b c a b a a 1 b b c b 1 c 1 c a c 1 a 1 V 0.5® c 1 a 0.5® 0.5® 0.5® 1 c c a b 1 c a a c 1 b 1 0.5® 1 a 1b 1 a b 1 1 c a c 1 a 1 b c b c 1 b 1c 1 b c 1 1 a b a 1 b 1 c a c a 1 c 1a 1 c a 1 1 b c b 1 a 1 a b a b Điều với a b ≥ c > vµ > 1, R dÊu b»ng x¶y a = b = c > DeThiMau.vn 0.5® ...Híng dÉn chÊm bµi thi häc sinh giái líp 12 THPT Môn: toán - bảng A (đáp án có trang) Bài ý Nội dung Điểm TXĐ D = R{1} M Ox M(x0; 0), đường thẳng qua M với hệ số góc k có phương trình: y... x0 Voi x0 1 x0 0.5® Víi x0 = k = 0, Víi x0 = x0 x0 k= x0 x0 12 0.5đ Để thỏa mÃn yêu cầu toán thì: tg 450 I x0 k1 k =±1 k1k x0 12 x0 2 M1( 2 ; 0), M2(... Với m < tập nghiệm D1= (m; 2) vµ tËp nghiƯm D2= (-7; -m) hệ phương trình có nghiệm Hệ phương trình có nghiệm với m < DeThiMau.vn 0.5đ 0.5đ 0.5đ Bài ý Nội dung x x 3 x x x