Đề thi học sinh giỏi lớp 12 có đáp án môn thi: Toán Đề 2141507

đề thi học sinh giỏi khối 12 Môn: Toán Thời gian: 180 phút Bài 1(4đ): Cho hàm số y= (x-1)2(x+1)2(C) a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Tìm giá trị b để Parabol y= 2x2 + b tiÕp xóc víi (C) ViÕt ph­¬ng trình tiếp tuyến chung chúng tiếp điểm Bài 2(5đ): a) Tính tích phân: dx ( x  1)( x  1) b) Tìm m để hàm số: y x x x 2m có cực đại giá trị cực đại yCĐ  x  (1;0)  (1;) y,< x (;1) (0;1) Hàm số đạt cực đại x= 0, cực tiểu x=-1, x=1 TÝnh låi lâm, ®iĨm n: y,,= 12x2-4 0,25 ®iĨm 0,25 ®iÓm 0,25®iÓm  3 , y,,>  x (; ) ( ;); đồ thị lõm 3 3 y ,,   x ( ; ) đồ thị lồi 0,25 điểm 3 4 Đồ thị hàm sè cã hai ®iĨm n M1(- , ) ; M2( , ) 9 Giíi h¹n lim y  ; lim y   y,,=  x x x Đồ thị tiệm cận Bảng biến thiên x y, y - 0,25®iĨm 0,25®iĨm  3 -1 - + - 3  - + + 9 3) Đồ thị: - Nhận Oy làm trục đối xứng - Cắt Ox hai điểm (1;0); (-1;0) - Cắt Oy (0;1) - Đồ thị hình vẽ DeThiMau.vn - Đi qua (2;9); (-2;9) 0,25 ®iĨm 0,5 ®iĨm x  2x   2x  b c) Parabol y= 2x2+ b tiÕp xóc víi (C)   4 x  x  x d)  4x3- 4x= 4x  x( x  2)   x1  0; x 2,3   cã nghiƯm 0,25®iĨm 0,25 ®iĨm    b  3 tiÕp ®iĨm M1(0;1);M2(- ;1); M3( Ta cã: x1   b  1; x 2,3 ;1) KÕt ln: b= 1; b= -3 0,25 ®iĨm , phương trình tiếp tuyến chung M1: y= y (0)(x-0)+ 1= 0,25điểm - Phương trình tiếp tuyến M2: y= y,(- )(x+ )+ hay tiÕp tun (d2) y=  x  0,25®iĨm , - Phương trình tiếp tuyến M3: y= y ( )(x- )+1 hay(d3) y= x 0,25 điểm Kết luận 0,25 điểm Bài 2(5đ): a)(2,5 ®iĨm) TÝnh I =   dx ( x  1)( x  1) 6t x 1 x 1 t3 1 dt  dx   t3  x x 1 x 1 (1  t ) 1 t3 §ỉi cËn ta cã x=   t  2 ; x= t Đặt t = DeThiMau.vn 0,25 ®iĨm 0,25 ®iĨm  6t 1 1 t (1  t ) Khi ®ã: I =  dt dt  3  1 t3 2  t 1 t3 t A Bt C Tìm A,B,C để = t 1 t  t2 1 t A  B   §ång nhÊt thøc : A  B  C  A  C   1 0,25 ®iĨm 0,25®iĨm 1 t A Bt  C dt =-3  ( )dt=   t t   t  t  2 Khi ®ã: I= -3  = ln t  = ln 1 1 dt t 1 2 t   2 t  t  1dt 1  1 2t  2 (2t  1)    dt  ln   dt  2 t  t 1 2 t  t   1  ln t  t    2 2 dt (t  1)  ( ) 2 3 Đặt t tgu; u  ( ; )  dt  (tg u  1)du 2 2   §æi cËn: Khi t=-2  u  ; t  1  u    (tg u  1)du 1 dt 3 du  = = 2    3  (t  1)  ( ) ( ) (tg u  1) 2 3  KÕt luËn: I= ln + ln    ln  0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm 0,5 ®iÓm 0,25 ®iÓm b) (2,5®): XÐt g(x)=x2+ 2x + 2m, cã ,= 1- 2m XÐt hai tr­êng hỵp sau: -Tr­êng hỵp 1: NÕu ,   m  th× g(x)  víi mäi x Khi ®ã y= x2+ 2x + 2m hàm số cực trị, hay trường hợp loại.0,25 điểm -Trường hợp 2: Nếu , 0m phương trình g(x)= có hai nghiệm ph©n biƯt: x1= -1-  2m ; x  1   2m Khi ®ã ta cã: DeThiMau.vn  x  x  2m; x  x1  x  x y  x  x  2m; x1  x  x 2 x  3; x  x1  x  x  y'    x  1; x1  x  x 0,25 ®iĨm 0,25 điểm Xét khả sau: a.Nếu 3 1  x1  1   2m   2m   m   x  1   2m   2 0,25 điểm ta có bảng biến thiên: x  y, y - 3 x1 1 x2 + +  +   CT Hµm số cực đại b.Nếu 0,5 điểm 3 1  x1  1   2m  m   x  1   2m 0,25 điểm ta có bảng biÕn thiªn : x y, y  3 x1 - +  1 + C§  x2 - CT +  CT 1 1 1 37 )= ( )2- ( )- 2m =  2m  10  m   2  37 KÕt luËn: Víi  m thỏa mÃn yêu cầu toán 8 yCĐ= y( 0,5 điểm 0,25 điểm Bài 3(3đ): a) (1 điểm)Giải phương trình 2x + 3x = 3x + Ta có phương trình tương đương dương với: 2x + 3x –( 3x + 2) = XÐt hµm sè f(x) = 2x + 3x - 3x – trªn tập xác định R DeThiMau.vn Ta có: f,(x) = 2x ln2 + 3x ln3 – 0,25 ®iĨm f,,(x) = 2xln22 + 3x ln23 > x  R suy f,(x) đồng biến R 0,25 điểm hay phương trình f,(x) = nghiệm Do phương trình f(x) = nghiƯm 0,25 ®iĨm NhÈm nghiƯm ta thÊy x = 0; x = hai nghiệm phương trình 0,25 điểm b) (2 điểm)Giải hệ phương trình: 2  x  y   2  ( y  1) ( x  y )   x  y ( y  y )    x  y    2 ( y  1) ( x  y )   x  y (( y  1)  1) x  y    1 (x+y)(y-1)  x  y   y    x y y 1    t XÐt hµm sè f(t) = t  ; t  ; f , ( x)   0,25 ®iÓm 0,25 ®iÓm > t  Suy f(t) đồng biến t2 R\{0} 0,25 điểm 0,25 ®iĨm Khi ®ã (2)  x  y  y  HƯ trë thµnh:  x  y    x  1; y   2  x  y   x  y    y   x  1  x  1    y   y    5 y  y     x      x  1    y    y     2 2 x  y   x  y    y     x  y  y   x  y  y 1   x  y   y Kết luận: Hệ có hai cặp nghiệm (-1;2) ( 0,25 ®iĨm 0,5 ®iĨm 1  , ) 0,25điểm 5 Bài 4(4đ): a)(2điểm) Chøng minh r»ng víi mäi x  0;1 ta ®Ịu cã: ex x4 x  1 x  x 1 2( x  1) DeThiMau.vn ex x4 x4 Ta cã:  x   1 x   x  x  e x   x  x 1 2( x  1) 2  x  x  e  x (1)   x4 x e x (2)      Ta cã: x  0;1 th× -x2 –x  -x2 < 1-x2 0,5®iĨm + Ta chøng minh 1- x2  e  x x :  x  ThËt vËy: xÐt hµm sè f(u) = eu - u – đoạn 1;0 0,25điểm , u f (u) = e -1  0u   1;0  f (u ) nghịch biến đoạn xét suy f (u )  f (0)  hay eu – u –  suy eu  u + víi u = -x2   1;0  (1) chứng minh 0,5điểm + Chứng minh (2): §Ỉt t= - x2   1;0 (2)  e t   t  ThËt vËy: g ( x)  e t   t  t2 0,25®iĨm t2 t2 ; g,,(t) = et – 1< t   1;0  g,(t) nghÞch biến khoảng xét Suy g , (0)  g , (t )  g , (1)   g , (t )  e 1 g(t) đồng biến 1;0 g (1)  g (t )  g (0)  e t   t  t  Bài toán g,(t) = et t chứng minh 0,5điểm b)(2điểm) Cho A, B nhọn tháa m·n Sin2A + Sin2B = SinC + NÕu C < 900 th× A + B > 900 suy Cos( A+B) < 0,25®iĨm  Cos A  Cos B  2    Cos ( A  B)Cos ( A  B)  Sin A  Sin B  2 Nên SinC vô lÝ + NÕu C > 900 th× A+ B < 900 Từ giả thiết ta suy 0,5điểm Sin2A + Sin2B = Sin( A  B)  Sin ( A  B) 0,25 ®iĨm  Sin A  Sin B  Sin ACos B  Sin BCos B  SinA.CosA.CosB.SinB 0,25 ®iĨm  Sin ASin B  Sin BSin A  SinA.CosA.CosB.SinB  SinASinB  CosACosB Cos(A+B) vô lý 0,5 điểm 2 + C = 90 tháa m·n Sin A  Sin B  SinC = 0,25 ®iĨm Bài5 :(4 điểm): (Vẽ hình cho 0,25 điểm) DeThiMau.vn 1.Hạ OH vuông góc với BC AH vuông góc với BC(định lí ba đường vuông góc) 0,5điểm 1 b2  c2 b 2c 2     OH  b2  c2 OH b c b 2c Ta cã L¹i cã AH  OA2  OH  a  0,25®iĨm b 2c a 2b  b c  c a  b2  c2 b2  c2 0,25 ®iĨm BC2=b2+c2 Do Diện tích tam giác ABC= AH BC a 2b  b c  c a 2 0,25 ®iĨm 2.Ta cã V AOBC  OA.S OBC  abc 0,5 điểm Từ giả thiết ta có k a  b  c  AB  BC  CA  a  b  c  a  b  b  c  c  a  33 abc  ( ab  bc  ca )   k  abc  abc  3(1  )abc  abc   abc    3(1  2)  3(1  )  3 k 1,5 ®iĨm 1    3(1  )  Tõ ®ã VOABC   Chó ý: k 1    a  b  c 0,5®iĨm  3(1  )  VËy ma x V=  k -Häc sinh không vẽ hình hình không chấm điểm -Học sinh giải cách khác cho điểm tối ®a C B O A DeThiMau.vn DeThiMau.vn ...hướng dẫn chấm đề tham gia xây dựng đề thi học sinh giỏi khối 12 Bài 1(4đ): a) điểm: 1) TX§: D= R 2) y,= 4x3- 4x =4x(x2-1) y,= x= hc x=...  c 0,5®iĨm  3(1  )  VËy ma x V=  k -Häc sinh không vẽ hình hình không chấm điểm -Học sinh giải cách khác cho điểm tối ®a C B O A DeThiMau.vn DeThiMau.vn ... 2 0,25 điểm ta có bảng biến thi? ?n: x  y, y - 3 x1 1 x2 + +  +   CT Hµm số cực đại b.Nếu 0,5 điểm 3 1  x1  1   2m  m   x  1   2m 0,25 điểm ta có bảng biÕn thi? ?n : x y, y