ài tốn phương trình logarit khác số Huỳnh Đức Khánh – 0975.120.189 Giải tích – ĐH Quy Nhơn Descartes Phương trình logarit với số khác ln vấn đề gây khó dễ cho học sinh gặp phải đề thi Học sinh thường lúng túng biến đổi, gặp khó khăn để đưa số đưa phương trình Tơi viết xin đóng góp vài mẫu vấn đề này, dùng phương pháp: Đổi số, đặt ẩn phụ để đưa phương trình mũ, biến đổi tương đương, đánh giá hai vế Ví dụ Giải phương trình: + + = Điều kiện: > Với điều kiện phương trình tương đương + + = ⇔ ( ⇔ = + + )= − + (do ⇔ = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm + − ≠ ) = Ví dụ Giải phương trình: ( − Điều kiện: > Đặt: = ⇔ − > = ⇔ Phương trình trở thành: ( ⇔ − = ⇔ − + > − − + )= − )= − = + (*) = + + tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, = hàm Do phương trình (*) có nghiệm Hàm số hàm Ta có: = + + Suy phương trình (*) có nghiệm Với = ⇒ = = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm = Page DeThiMau.vn = Ví dụ Giải phương trình: ( Điều kiện: > Đặt: = ⇔ = ( )= + + = ⇔ + = (*) tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm + hàm Do phương trình (*) có nghiệm Hàm số = Phương trình trở thành: ⇔ )= + = Ta có: + = Suy phương trình (*) có nghiệm Với = ⇒ = = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm = = Ví dụ Giải phương trình: ( + + )= ( Điều kiện: ⇔ + > > Đặt: = + Phương trình (1) trở thành: Xét phương trình (2) Ta đặt: Phương trình (2) trở thành: ⇔ ⇔ ( = ⇔ + )= + = + ( = + ) + )= (1) (2) = (3) = + tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm hàm Do phương trình (3) có nghiệm Hàm số Ta có: + Với = ⇒ = Suy phương trình (3) có nghiệm = = ⇒ Vậy phương trình có nghiệm + ⇔ = =− − =− − =− + =− + Page DeThiMau.vn = (thỏa mãn) = Ví dụ Giải phương trình: ( )+ + ( + > Điều kiện: ⇔ >− + > Đặt: ( + ) = ⇔ + = , suy ra: ( + Phương trình trở thành: ( ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ − ⇔ = + = − )= − − = + + tổng hàm nghịch biến nên y nghịch biến, hàm hàm Do phương trình có nghiệm = Ta có: Với = Hàm số = )= )= − ⇔ + = ⇒ + + = Suy phương trình có nghiệm ⇔ = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm Cách khác: ● Kiểm tra ● Nếu > ( ( ● Nếu < = = = nghiệm phương trình + )> + )> ( + )< + )< ( + )= + )= ⇒ ( + )+ ( + )> + )= + )= ⇒ ( + )+ ( + )< ( ( ( ( Vậy phương trình có nghiệm = Page DeThiMau.vn Ví dụ Giải phương trình: ( − + − Điều kiện: − > − > )+ + ( ( ( ⇔ ⇔ ⇔ ( ⇔ ( − )= ⇔ ( − )= Ví dụ Giải phương trình: + + ( < ( + − ) ( + − + + + ⇔ − = ⇔ = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm = Điều kiện: − − )= + )= − + ) − > )+ ( − )+ ( )+ ( − )= ) ( − )= + − ( − > Với điều kiện phương trình tương đương ( − )( − ) + ( − ⇔ )= − + )+ + ( + + )= (1) ≠− Với điều kiện phương trình tương đương ( + Đặt: = • Với = = ) + + ( + + ( + )( )+ + ( + ) ⇔ + ( + )+ ⇔ + ( + )+ + + • Với + ⇒ ⇒ ( ⇔ + + ) = = = (2) ) Phương trình (2) trở thành + = + ( ( − + + Vậy phương trình có nghiệm + = )= )= ⇔ ⇔ = ⇔ = + + + = = =− Page DeThiMau.vn ⇔ + = − (loại) ⇔ =− =− ( ) ) Ví dụ Giải phương trình: ( Điều kiện: ● Nếu < ● Nếu < < > + ≠ + > , ta có ( + )< + > , ta có ( + )> )= = = = = ( + < > Vậy phương trình vơ nghiệm Ví dụ Giải phương trình: + Điều kiện: ● Kiểm tra ● Nếu < ( + )= )+ ( > = nghiệm phương trình < + + > > > + > Suy + + > + > + + > , ⇒ + > ) ( > ( ⇒ + + )> ) ( + ) Suy ( + + )> > , ta ( + )< ● Tương tự cho trường hợp + Vậy phương trình có nghiệm = ( + )+ ( + ) ( + )+ ( + ) Ví dụ 10 Giải phương trình: ( Điều kiện: Đặt: )= ( ) ( ( )= )= ⇔ = ( > ( Suy ra: )= = ( )= = ⇔ ( Từ (1) suy ra: = = Khi ⇔ = ) Page DeThiMau.vn ⇔ = = ) Bài tập tương tự Giải phương trình sau: ( ( ( + )= − )= − − )= ( ( − − ) ( )= + + = ) ( − + ) = Page DeThiMau.vn ... = Phương trình trở thành: ⇔ )= + = Ta có: + = Suy phương trình (*) có nghiệm Với = ⇒ = = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm = = Ví dụ Giải phương. .. nghiệm = = Ví dụ Giải phương trình: ( + + )= ( Điều kiện: ⇔ + > > Đặt: = + Phương trình (1) trở thành: Xét phương trình (2) Ta đặt: Phương trình (2) trở thành: ⇔ ⇔... Do phương trình có nghiệm = Ta có: Với = Hàm số = )= )= − ⇔ + = ⇒ + + = Suy phương trình có nghiệm ⇔ = (thỏa mãn) Vậy phương trình có nghiệm Cách khác: