Bài giảng xác suất thống kê đại học

BÀI GIẢNG XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĐẠI HỌC (Số vhp: – số tiết: 30) Biên soạn: Đoàn Vương Nguyên BÀI GIẢNG XÁC SUẤT VÀ THỐNG KÊ ĐẠI HỌC (Số đvhp: – số tiết: 30) Biên soạn: Đoàn Vương Nguyên PHẦN I LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương Xác suất Biến cố Chương Biến ngẫu nhiên Chương Phân phối Xác suất thông dụng – Vector ngẫu nhiên rời rạc Chương Định lý giới hạn Xác suất PHẦN II LÝ THUYẾT THỐNG KÊ (Statistical theory) Chương Mẫu thống kê Ước lượng tham số Chương Kiểm định Giả thuyết Thống kê Tài liệu tham khảo Nguyễn Phú Vinh – Giáo trình Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Thống kê Đinh Ngọc Thanh – Giáo trình Xác suất Thống kê – ĐH Tơn Đức Thắng Tp.HCM Đặng Hùng Thắng – Bài tập Xác suất; Thống kê – NXB Giáo dục Lê Sĩ Đồng – Xác suất – Thống kê Ứng dụng – NXB Giáo dục Đào Hữu Hồ – Xác suất Thống kê – NXB Khoa học & Kỹ thuật Đậu Thế Cấp – Xác suất Thống kê – Lý thuyết tập – NXB Giáo dục Phạm Xuân Kiều – Giáo trình Xác suất Thống kê – NXB Giáo dục Nguyễn Cao Văn – Giáo trình Lý thuyết Xác suất & Thống kê – NXB Ktế Quốc dân Nguyễn Đức Phương – Xác suất & Thống kê – Lưu hành nội 10 F.M.Dekking – A modern introduction to Probability and Statistics – Springer Publication (2005) …………………………………………………………………… LÝ THUYẾT XÁC SUẤT (Probability theory) Chương XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Bài Biến cố ngẫu nhiên Bài Xác suất biến cố Bài Cơng thức tính xác suất Bài BIẾN CỐ NGẪU NHIÊN 1.1 Hiện tượng ngẫu nhiên Người ta chia tượng xảy đời sống hàng thành hai loại: tất nhiên ngẫu nhiên • Những tượng mà thực điều kiện cho kết gọi tượng tất nhiên Chẳng hạn, đun nước điều kiện bình thường đến 1000 C nước bốc hơi; người nhảy khỏi máy bay bay người rơi xuống tất nhiên • Những tượng mà cho dù thực điều kiện cho kết khác gọi tượng ngẫu nhiên Chẳng hạn, gieo hạt lúa điều kiện bình thường hạt lúa nảy mầm khơng nảy mầm Hiện tượng ngẫu nhiên đối tượng khảo sát lý thuyết xác suất 1.2 Phép thử biến cố • Để quan sát tượng ngẫu nhiên, người ta cho tượng xuất nhiều lần Việc thực quan sát tượng ngẫu nhiên đó, để xem tượng có xảy hay khơng gọi phép thử (test) • Khi thực phép thử, ta khơng thể dự đốn kết xảy Tuy nhiên, ta liệt kê tất kết xảy Tập hợp tất kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử đó, ký hiệu Mỗi phần tử ω∈ gọi biến cố sơ cấp Mỗi tập ⊂ gọi biến cố VD Xét sinh viên thi hết mơn XSTK, hành động sinh viên phép thử • Tập hợp tất điểm số: = mà sinh viên đạt khơng gian mẫu • Các biến cố sơ cấp phần tử: ω= ∈ ,ω= • Các biến cố tập : = ,…, ω = ∈ , = ∈ ,… • Các biến cố , phát biểu lại là: “sinh viên thi đạt môn XSTK”; “sinh viên thi hỏng mơn XSTK” • Trong phép thử, biến cố mà chắn xảy gọi biến cố chắn, ký hiệu cố xảy gọi biến cố rỗng, ký hiệu ∅ VD Từ nhóm có nam nữ, ta chọn ngẫu nhiên người • Biến cố “chọn nam” chắn • Biến cố “chọn người nữ” rỗng 1.3 Quan hệ biến cố 1.3.1 Quan hệ tương đương Trong phép thử Biến • Biến cố • Hai biến cố gọi kéo theo biến cố xảy ⊂ gọi tương đương với ⊂ = xảy ra, ký hiệu ⊂ , ký hiệu VD Cho trước hộp hộp có q Ơng mở hộp Gọi : “hộp mở lần thứ có q” ( = ); : “Ơng mở hộp có q”; : “Ơng mở hộp có q”; : “Ơng mở hộp có q” Khi đó, ta có: ⊂ , ⊄ , ⊂ = 1.3.2 Tổng tích hai biến cố • Tổng hai biến cố biến cố, biến cố xảy phép thử (ít hai biến cố xảy ra), ký hiệu ∪ + xảy hay xảy • Tích hai biến cố biến cố, biến cố xảy xảy phép thử, ký hiệu ∩ VD Một người thợ săn bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Gọi “viên đạn thứ trúng thú” ( = 1, 2); “con thú bị trúng đạn”; “con thú bị chết” Khi đó, ta có: = ∪ = ∩ VD Xét phép thử gieo hai hạt lúa Gọi “hạt lúa thứ nảy mầm”; “hạt lúa thứ không nảy mầm” ( = 1, 2); “có hạt lúa nảy mầm” Khi đó, khơng gian mẫu phép thử = Các biến cố tích sau biến cố sơ cấp: ω= ω= Biến cố khơng phải sơ cấp = ∪ ω = ω = 1.3.3 Biến cố đối lập Trong phép thử, biến cố gọi biến cố đối lập (hay biến cố bù) biến cố xảy không xảy ngược lại, không xảy xảy Vậy ta có = VD Từ lơ hàng chứa 12 phẩm phế phẩm, người ta chọn ngẫu nhiên 15 sản phẩm Gọi “chọn phẩm”, = Khơng gian mẫu = ∪ ∪ ∪ Biến cố đối lập =∪∪ = 1.4 Hệ đầy đủ biến cố 1.4.1 Hai biến cố xung khắc Hai biến cố gọi xung khắc với phép thử không xảy VD Hai sinh viên thi môn XSTK Gọi “sinh viên thi đỗ”; “chỉ có sinh viên thi đỗ”; “chỉ có sinh viên thi đỗ” Khi đó, xung khắc; không xung khắc Chú ý xung khắc không đối lập 1.4.2 Hệ đầy đủ biến cố Trong phép thử, họ gồm biến cố , = gọi hệ đầy đủ có biến cố , ∈ họ xảy Nghĩa là: 1) ∩ =∅∀ ≠ ; 2) ∪ ∪∪ = VD Trộn lẫn bao lúa vào bốc hạt Gọi Khi đó, hệ Chú ý Trong phép thử, hệ : “hạt lúa bốc bao thứ ”, = đầy đủ đầy đủ với biến cố tùy ý BÀI XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 2.1 Khái niệm xác suất Quan sát biến cố phép thử, khẳng định biến cố có xảy hay khơng người ta đốn khả xảy biến cố hay nhiều Khả xảy khách quan biến cố gọi xác suất (probability) biến cố Xác suất biến cố , ký hiệu , định nghĩa nhiều dạng sau: dạng cổ điển; dạng thống kê; dạng tiên đề Kolmogorov; dạng hình học 2.2 Định nghĩa xác suất dạng cổ điển ω biến cố ⊂ có phần tử Nếu sơ cấp có khả xảy (đồng khả năng) xác suất biến cố định nghĩa Xét phép thử với không gian mẫu = ω biến cố = = VD Một công ty cần tuyển nhân viên Có người nữ người nam nộp đơn ngẫu nhiên (khả trúng tuyển nhau) Tính xác suất để: 1) hai người trúng tuyển nữ; 2) có người nữ trúng tuyển Giải Gọi “cả hai người trúng tuyển nữ”; “có người nữ trúng tuyển” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD Từ hộp chứa 86 sản phẩm tốt 14 phế phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 25 sản phẩm Tính xác suất chọn được: 1) 25 sản phẩm tốt; 2) 20 sản phẩm tốt Giải Gọi “chọn 25 sản phẩm tốt”, “chọn 20 sản phẩm tốt” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… VD Trong vùng dân cư, tỉ lệ người mắc bệnh tim 9%; mắc bệnh huyết áp 12%; mắc bệnh tim huyết áp 7% Chọn ngẫu nhiên người vùng Tính xác suất để người không mắc bệnh tim không mắc bệnh huyết áp? Giải Gọi : “người chọn không mắc hai bệnh trên” ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 2.3 Định nghĩa xác suất dạng thống kê Nếu thực phép thử lần (đủ lớn), ta thấy có lần biến cố xuất xác suất biến cố theo nghĩa thống kê ≈ VD • Pearson gieo đồng tiền cân đối, đồng chất 12.000 lần thấy có 6.019 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5016); gieo 24.000 lần thấy có 12.012 lần xuất mặt sấp (tần suất 0,5005) • Laplace nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái London, Petecbua Berlin 10 năm đưa tần suất sinh bé gái 21/43 • Cramer nghiên cứu tỉ lệ sinh trai – gái Thụy Điển năm 1935 kết có 42.591 bé gái sinh tổng số 88.273 trẻ sơ sinh, tần suất 0,4825 2.4 Định nghĩa xác suất dạng hình học (tham khảo) Cho miền Gọi độ đo độ dài, diện tích, thể tích (ứng với đường cong, miền phẳng, khối) Xét điểm rơi ngẫu nhiên vào miền Gọi : “điểm rơi vào miền ⊂ ”, ta có: = điểm rơi vào hình trịn nội tiếp tam giác có cạnh cm VD Tìm xác suất Giải Gọi : “điểm rơi vào hình trịn nội tiếp” Diện tích tam giác: Bán kính hình trịn: = ⇒ =π = π ⇒ =π= VD Hai người bạn hẹn gặp địa điểm xác định khoảng từ 7h đến 8h Mỗi người đến (và chắn đến) điểm hẹn cách độc lập, khơng gặp người đợi 30 phút đến khơng đợi Tìm xác suất để hai người gặp Giải Chọn mốc thời gian 7h Gọi (giờ) thời gian tương ứng người đến điểm hẹn, ta có: ≤ ≤ ≤≤ Suy hình vng có cạnh đơn vị Từ điều kiện, ta có: ≤ ⇔ −− ≤≥ − ⇔ −− −+ ≤≥ Suy ra, miền gặp gặp hai người : ≤ ≤ ≤ ≤ − − ≤ − + Vậy = = = ≥ 2.5 Tính chất xác suất 1) ≤ ≤ , biến cố ; 2) ∅ = ; 4) Nếu ⊂ 3) = ; ≤ BÀI CƠNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT 3.1 Cơng thức cộng xác suất Xét phép thử, ta có cơng thức cộng xác suất sau • Nếu hai biến cố tùy ý ∪ • Nếu = − ∩ hai biến cố xung khắc ∪ • Nếu họ + = xung khắc đơi ∪ ∪ ∪ ( = + ) VD Một nhóm có 30 nhà đầu tư loại, có 13 nhà đầu tư vàng, 17 nhà đầu tư chứng khoán 10 nhà đầu tư vàng lẫn chứng khoán Một đối tác gặp ngẫu nhiên nhà đầu tư nhóm Tìm xác suất để người gặp nhà đầu tư vàng hay chứng khoán? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… Đặc biệt =− = + VD Một hộp phấn có 10 viên có viên màu đỏ Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên phấn Tính xác suất để lấy viên phấn màu đỏ ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… 3.2 Xác suất có điều kiện Xét phép thử: có người , thi tuyển vào công ty Gọi : “ thi đỗ”; : “ thi đỗ”; : “ thi đỗ”; : “có người thi đỗ” Khi đó, khơng gian mẫu Ta có: ⇒ = Lúc này, biến cố “2 người thi đỗ có Bây giờ, ta xét phép thử là: , thi đỗ Không gian mẫu trở thành Gọi :“ , = ” ⇒ = ; = = = thi tuyển vào công ty biết thêm thơng tin có người trở thành thi đỗ biết có người thi đỗ” ta ( )= = 3.2.1 Định nghĩa xác suất có điều kiện Trong phép thử, xét hai biến cố với > Xác suất biến cố sau biến cố xảy gọi xác suất với điều kiện , ký hiệu cơng thức tính ∩ ()= VD Từ hộp chứa bi đỏ bi xanh người ta bốc ngẫu nhiên bi Gọi : “bốc bi đỏ”; : “bốc bi xanh” Hãy tính ? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Nhận xét Khi tính với điều kiện xảy ra, nghĩa ta hạn chế khơng gian mẫu xuống cịn hạn chế xuống cịn ∩ Tính chất 1) ≤ () ≤ 3.2.2 Cơng thức nhân xác suất , ∀⊂; 2) ⊂ ()≤ (); 3) ()= − () A = ; B =∪ ∪ ; C =; Câu Có sinh viên , D =∪ , thi môn XSTK Gọi biến cố : “sinh viên Hãy chọn đáp án ? A C = ∪ Câu Có sinh viên thi đỗ” ( = , , ” ; D ⊂ thi môn XSTK : “sinh viên Gọi biến cố : “2 sinh viên thi hỏng có B = ; ; ∪ ); thi đỗ” ( = ); : “có sinh viên thi hỏng” Hãy chọn đáp án ? A ()≥ ( ); B ( C ; ()≥ (); Câu 10 Có sinh viên Gọi biến cố ( , ∪ D = , : “sinh viên Hãy chọn đáp án ? A = ; B ∪ thi môn XSTK thi đỗ” ( = ⊂; ); : “có sinh viên thi hỏng” C ⊂; D = Câu 11 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu đỏ, vàng xanh là: A ; B ; C ; D Câu 12 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu Xác suất chọn màu xanh là: A ; B ; C ; D Câu 13 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A ; B ; C ; D Câu 14 Một hộp đựng 10 cầu gồm: màu đỏ, vàng xanh Chọn ngẫu nhiên từ hộp cầu thấy có màu xanh Xác suất chọn màu đỏ là: A ; B ; C ; D Câu 15 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết có bóng vào rỗ Xác suất để bóng thứ vào rỗ là: A ; B ; C ; D Câu 16 Một cầu thủ ném bóng vào rỗ cách độc lập với xác suất vào rỗ tương ứng 0,7; 0,8; 0,9 Biết bóng thứ vào rỗ Xác suất để có bóng vào rỗ là: A ; B ; C ; D Câu 17 Một xạ thủ bắn viên đạn vào thú thú chết bị trúng viên đạn Xác suất viên đạn thứ trúng thú 0,8 Nếu viên thứ trúng thú xác suất trúng viên thứ hai 0,7 trượt xác suất trúng viên thứ hai 0,1 Biết thú sống Xác suất để viên thứ hai trúng thú là: A ; B ; C ; D Câu 18 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân bị bịnh Mũi phải mổ từ trung tâm là: A ; B ; C ; D Câu 19 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Xác suất để chọn ngẫu nhiên bịnh nhân phải mổ từ trung tâm là: A ; B ; C ; D Câu 20 Một trung tâm Tai–Mũi–Họng có tỉ lệ bịnh nhân Tai, Mũi, Họng tương ứng 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bịnh nặng phải mổ tương ứng 1%, 2%, 3% Chọn ngẫu nhiên bịnh nhân từ trung tâm người bị mổ Xác suất để người chọn bị bịnh Mũi là: –1 0,15 0,10 0,45 0,05 0,25 Giá trị − < ≤ ∪ = là: A 0,9; Câu Cho BNN rời rạc A ; II BIẾN NGẪU NHIÊN Câu Cho BNN rời rạc B 0,8; C 0,7; có bảng phân phối xác suất: B ; C D 0,6 ; D có bảng phân phối xác suất: 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị kỳ vọng A 2,6; Câu Cho BNN rời rạc là: B 2,8; có bảng phân phối xác suất: C 2,65; D 1,97 0,15 0,25 0,40 0,20 Giá trị phương sai A 5,3; là: B 7,0225; C 7,95 ; D 0,9275 Câu Một kiện hàng có sản phẩm tốt phế phẩm Chọn ngẫu nhiên từ kiện hàng sản phẩm Gọi số phế phẩm sản phẩm chọn Bảng phân phối xác suất là: A) B) 2 2 C) D) Câu Cho BNN rời rạc có hàm phân phối xác suất: ≤ =