đề thi học sinh giỏi lớp 12 môn toán (Thời gian lµm bµi 180 phót) Bµi 1.Cho hµm sè: y=x3-(m+1)x2-(2m2-3m+2)x+2m(2m-1) (m-tham số) a.Tìm điểm mà đồ thị hàm số qua với m b.Xác định m để hàm số đồng biến (2;+ ) Bài a.Với giá trị m bất phương tr×nh sau : x2- 2mx + x m +5 < Cã Ýt nhÊt mét nghiƯm b.T×m a để phương trình sau có nghiệm tìm nghiệm: Log x a Log a2 x Log x a Log a2 Log x a (1) Bài 3.Cho tứ diện ABCD.Gọi P, Q trung điểm cạnh AB CD.Hai điểm R,S lấy cạnh AC BD cho AC AR BD k (k > 0) BS Chứng minh bốn điểm P,Q,R,S nằm mặt phẳng Bài Cho tứ diện ABCD có BAD =900 chân đường vuông góc hạ từ D xuống mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm tam giác ABC Chøng minh r»ng : (AB +BC +CA)2 6(AD2 +BD2 +CD2) Bµi 5.Cho hai sè thùc x, y bÊt kỳ thoả mÃn điều kiện : 2y x2 ; y -2x2 + 3x Chøng minh r»ng : x2 + y2 Họ tên thí sinh: Sè b¸o danh: (Giám thị coi thi không giải thích thêm) DeThiMau.vn Hướng dẫn chấm Bài 1.(4điểm) a.(2điểm) Điểm A(x0;y0) điểm mà đồ thị qua với m 0.5đ x 03 (m 1) x 02 (2 m 3m 2) x m(2 m 1), m 2(2 x )m ( x 02 x 2)m ( x 03 x 02 x y ) 0, m 2 x x x 02 x y x x x y0 0.5đ Vậy điểm A(2;0) điểm mà đồ thị qua m 0.5đ b.(2điểm) Ta cã: y , g ( x) x 2(m 1) x (2m 3m 2) 0.5® ∆’ =7m2 –7m +7 = 7(m2-m+1) > , m 0.5® y, g (2) 0, x (2;) S 0.5® 2 m m 3 m m 0.5® Bài 2.(6điểm) a.(3điểm) Bất phương trình đà cho tương đương víi : ( x m) x m m (*) 0.5đ đặt: t = x m 0.5đ điều kiện : t, DeThiMau.vn 0.5® t 2t m (1) t (*)trở thành 0.5đ ' t HƯ cã nghiƯm (t2 lµ nghiƯm lín) 0.5® m m 0.5d 0 m 0.5d b.(3điểm) Đ/k : x>0 , x , a>0 , a 0.5® (1) log log a Đặt : t = x x a2 log x log x log a a log a a log x log log x a log a x , b= a log a a x log a log a x 0.5® Ta phương trình: 2b t b t t b t 2b (2) t t -NÕu t b th× (2) t 2t 4b (3) (3) cã nghiÖm ' b Lóc ®ã (3) cã hai nghiÖm t1 1 4b ; t 4b 0.5đ Rõ ràng t10 nên a 0.5đ -Nếu t< b (2) t 2t V× t ( x 1) nên t=2 Theo điều kiện t< b, ta ph¶i cã: b>2 loga a a 0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm a > Khi 12 loga a a 0.5đ Kết hợp hai trường hợp phương trình (1) có nghiệm a > Khi 1