Phịng GD- ĐT Nam Trực Trường THCS Nam Tồn ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 Mơn Tốn- Lớp ( Thời gian 120 phút) Bµi1 ( ®iĨm) a, Cho a + b +c = Chøng minh r»ng a3 +a2c – abc + b2c + b3 = b, Phân tích đa thức thành nh©n tư: M = bc(a+d)(b-c) –ac ( b+d) ( a-c) + ab ( c+d) ( a-b) x2 y2 x2 y2 Bài ( điểm) Cho biÓu thøc : P x y 1 y x y 1 x x 11 y 1.Rút gọn P 2.Tìm cặp số (x;y) Z cho giá trị P = Bài (3 điểm) Giải phương trình: a, 1 1 x x x x 12 x x 20 x 11x 30 b, (x+1)4 + (x+3)4 = 16 Bài (4 điểm) a, Cho số a; b; c tho¶ m·n : a + b + c = Chøng minh r»ng : a2 + b2 + c2 b, T×m giá trị lớn nhỏ biểu thức A = 27 12 x x2 Bài 5( điểm) Cho h×nh thang ABCD (AD//BC) cã hai ®êng chÐo, c¾t ë O TÝnh diƯn tÝch tam giác ABO biết diện tích tam giác BOC 169 cm2 diện tích tam giác AOD 196 cm2 Bài 6( điểm) Cho tam gi¸c ABC nhọn( AB > AC ) 1) Kẻ đường cao AP, BM, CN cđa tam gi¸c, chúng cắt I Chøng minh r»ng: a) gãc AMN b»ng gãc ABC b) Tính IA IB IC + + AP BM CN 2) Trªn cạnh AB lấy điểm K cho BK = AC Gọi E trung điểm BC; F trung ®iĨm cđa AK Chøng minh r»ng: EF song song víi tia phân giác Ax góc BAC ThuVienDeThi.com Đáp án Bài 1: điểm a, 1,5 im Ta có: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = (a3 + b3) + ( a2c –abc + b2c)= (a + b) ( a2 –ab =b2 ) + c( a2 - ab +b2) = ( a + b + c ) ( a2 – ab + b2 ) =0 ( V× a+ b + c = theo gi¶ thiÕt) 2 VËy a +a c –abc + b c + b = b, 1,5 ®iĨm Ta cã: M= bc(a+d) (b –c) – ac( b +d) (a-c) + ab(c+d) ( a-b) = bc(a+d) [ (b-a) + (a-c)] – ac(a-c)(b+d) +ab(c+d)(a-b) = -bc(a+d )(a-b) +bc(a+d)(a-c) –ac(b+d)(a-c) + ab(c+d)(a-b) = b(a-b)[ a(c+d) –c(a+d)] + c(a-c)[ b(a+d) –a(b+d)] = b(a-b) d(a-c) + c(a-c) d(b-a) = d(a-b)(a-c)(b-c) Bµi điểm a, 1,5 điểm Víi x 1; x y; y MTC : x y x 11 y P x 1 x y 1 y x y x y x y 1 x 1 y P x y xy Víi x 1; x y; y x y 1 x 1 y x y xy x y 1 x 1 y giá trị biểu thức xác định b, 1,5 điểm Víi x 1; x y; y ta có P =3 x y xy x y xy x 1y Các ước nguyên : 1; 2 Suy ra: x 1 x y 2 y 3 x 1 x y y (lo¹i) ThuVienDeThi.com x 1 x y y x 2 x 1 (lo¹i) y 1 y 2 VËy víi (x;y) = (3;0) (x;y) = (0;-3) P = Bài 3.(3 điểm) a, 1,5 im Điều kiện xác định: x x x x x Ta cã : x x x x x x 12 x x x x 20 x x x 11x 30 x x Phương trình ®· cho t¬ng ®¬ng víi : x x 3 x 3x x x x x 1 1 1 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 x 6 x 5 1 x 6 x 2 x x x x 20 x 10 x x 10 thoả mÃn điều kiện phương trình x Phương trình có nghiệm : x = 10; x = -2 b, 1,5 im Đặt y = x + ta phương trình: (y 1)4 + (y +1)4 = 16 2y4 + 12y2 + = 16 ThuVienDeThi.com y4 + 6y2 -7 = Đặt z = y2 ta phương tr×nh: z2 + 6z – = cã hai nghiƯm lµ z1 = vµ z2 = -7 y2 = cã nghiÖm y1 = ; y2 = -1 øng víi x1 = -1 ; x2 = -3 y2 = -7 kh«ng cã nghiƯm Bài 4( điểm) a,2 điểm 1 Ta cã: a2 a2 a a2 a 2 4 1 T¬ng tù ta cịng cã: b2 b ; c2 c 4 Céng vế với vế bất đẳng thức chiều ta ®ỵc: 3 a b c Vì a b c nên: a b c 4 DÊu “=” x¶y a = b = c = a2 b2 c2 b, im Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc A 27 12 x x2 2 x2 27 12 x x 12 x 36 x 1 A x 9 x2 x A đạt giá trị nhỏ -1 x hay x =6 x 36 x 12 x x 3 27 12 x A đạt GTLN A= x 9 x2 x 9 2 x 3 x Bi 5(3 im): Theo đề ta phải tính diện tích tam giác ABO, biết SBOC = 169 cm2 SAOD = 196 cm2 Ta nhËn thÊy SABD = SACD (vì có chung đáy AD đường cao t¬ng øng b»ng nhau) Suy SABO = SCOD ThuVienDeThi.com B C O A D Tõ c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch tam gi¸c ta rót r»ng: tû sè diƯn tích hai tam giác có chung đường cao tỷ số hai đáy tương ứng Do đó: S ABO AO S AOD => SABO.SCOD = SBOC.SAOD S BOC OC S COD Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD SBOD = 169.196 = 132 142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) Bài 6(4điểm) 1, điểm a) 1im Chng minh ABM đồng dạng CAN suy ra: AB AM AMN đồng dạng ABC AC AN AMN = ABC ( hai gãc t¬ng øng) b) 1điểm Tính IA IB IC + + =2 AP BM CN 2) im K Cy // AB cắt tia Ax H BAH = CHA ( so le trong, AB // CH) mµ CAH = BAH ( Ax tia phân giác) Suy ra: CHA = CAH nên CAH cân C : CH = CA => CH = BK vµ CH // BK BK = CA Vậy tứ giác KCHB hình bình hành suy ra: E trung điểm KH Do F trung điểm AK nên EF đường trung bình tam giác KHA Do EF // AH hay EF // Ax ( ®fcm) ThuVienDeThi.com ... SBOC.SAOD S BOC OC S COD Mà SABO = SCOD nên: S2ABO = SAOD SBOD = 169.196 = 132 142 => SABO = 13.14 = 182 (cm2) Bài 6(4điểm) 1, im a) 1im Chng minh ABM đồng dạng CAN suy ra: AB AM AMN ®ång d¹ng