Đề khảo sát chất lượng HSG năm học: 20142015 môn thi: Toán 7 THCS (Đề 1)45131

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN LỚP: 7A Thầy Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG Năm học: 2014-2015 Mơn thi: Tốn - THCS Câu 1: Thực phép tính 32 33 2000 1) ( – 81)( – 81)( – 81) .( – 81) 2003 2) S = 2010  2009  2008   36 Gợi ý: Trong dãy số có – 81 = – 81 = 81 – 81 = Do tích 2011 2010 2010 2S – S =    2009  2009  2  2     2011  2011   Câu 2: Tìm x biết: a 30 31  x ; 10 12 62 64 c x b  1x  3x  x   45  45  45  45 65  65  65  65  65  65  2x 5 5 3 3 2 d 3x    3 30 31 Gợi ý: a  2x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 1.2.3.4 30.31  2x  2x x  36 30 36 1.2.3.4 30.31.2 2 6 4.4 6.6 46 66 6 4 x x x b  2 212  x  x  12      2 6 5 3.3 2.2 3 2 2 2 c Nhận xét: x - < x - < x - < x - tích thừa số âm có ba thừa số âm x  1x  3x  5x      x  1x  3x  x   x  1x  3x  x       x  1;  3;  5;     x    x      5 x    x    x    x    x   1 x     x    x   d  34  x   20    x    x     3x     3x   3x         7  x    7  x y y z 2x  3y  4z   Tính M = 3x  y  z a c 2) Cho tỉ lệ thức  với a  0, b  0, c  0, d  0, a  b, c   d Chứng minh: b d Câu 3: 1) Cho  a b    cd  2013  a 2013  b 2013 c 2013  d 2013 3) Chứng minh rằng: Nếu 2(x + y) = 5(y + z) = 3(z + x) x  y  y  z Gợi ý: 1) x y x y y z y z x y z    ;       15 20 20 24 15 20 24 ThuVienDeThi.com 2x 3y 4z 2x  3y  4z 3x y z 3x  y  z        30 60 96 30  60  96 45 80 120 45  80  120 x  y  z x  y  z 2x 3x  : = : 30  60  96 45  80  120 30 45 2x  3y  4z 245 x  y  z 186 1 M   186 3x  y  z x  y  z 245 a c 2) Cho tỉ lệ thức  với a  0, b  0, c  0, d  0, a  b, c   d b d  a b  Chứng minh:   2013  cd  a 2013  b 2013 c 2013  d 2013 Ta có: a  c  a  c   a  b d bd b Mà:  a  b   2013 c   d  2013 Từ (1) (2)   a  b  cd   2013 c   d  2013  ac    bd  2013 (1) a 2013 c 2013 a 2013  c 2013   b 2013 d 2013 b 2013  d 2013 2013  a 2013  b 2013 c 2013  d 2013 (2) (đpcm) Câu 4: Tìm nghiệm đa thức: a) f ( x)  x  x  6 b) f x   x  x  x  x  c) Chứng minh đa thức :f(x) = – 4x4 + 3x3 – 2x2 + x – khơng có nghiệm ngun d) Chứng minh đa thức f(x) = x  x  x  x  nghiệm Gợi ý: a) x = 2, x = b, d) Xét khoảng + Xét x  lập luận dẫn đến dẫn đến f(x)  > + Xét < x < lập luận dẫn đến f(x) > + Xét x  lập luận dẫn đến f (x) > Trong ba khoảng có f(x)  nên đa thức f(x) khơng có nghiệm c) Nếu đa thứcf(x) = –4x4 + 3x3 – 2x2 + x – có nghiệm nghiệm ước -1 Ta có : f(-1) = -11  0; f(1) = -3  Vậy đa thức cho khơng có nghiệm nguyên Câu 5: Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết: a  c  e af – be = b d f Gợi ý: Chứng minh: d ≥ b + f Gợi ý: Vì af – be =  d = d( af – be) = adf – bed = (adf – bcf) + (bcf – bed )= f(ad – bc) + b(cf – ed) Từ a  c  e  ad > bc, cf >ed a, b, c, d nguyên dương nên ad – bc  , cf – ed  b d f  d  f.1 + b.1 = f + b Câu 6: 1) Cho hµm sè y = f(x) = x  x a Vẽ đồ thị hàm sè trªn b)TÝnh f(x2 + 2) = ? 2x 2) Tìm công thức hàm số g(x) biÕt r»ng g (1+ ) = x x2 Gợi ý: 1) b) Ta cã f(x2 + 2) = ( x  2)  + (x2 + 2) + = 2x2 + VËy f(x2 + 2) = 2x2 + x 2) Cách 1: Đặt + = =y x x 2x  2x  x2  2x  x 1 Khi ®ã g (1+ ) = g (y) = = +1 = -1 = = ( ) - = y2 - 2 x x x x x Hay g(y ) = y2 - g(x) = x2 - ThuVienDeThi.com Cách 2: Đặt + 1 = y ThÕ th× x = x y 1 Thay vào công thức hàm sè ta cã: g(y) = y  = y2 -  g(x) = x2 - 1 ( ) y 1 Câu 7: Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by 1 CMR : P = + + =2 a 1 b 1 c 1 Gợi ý: Tõ gi¶ thiÕt ta suy : x + y + z = ( ax + by + cz ) (1) Tõ biÓu thøc x = by + cz  ax + x = ax + by + cz  x ( a + 1) = ax + by + cz ax  by  cz x a+1=  = (1®) x a  ax by cz Hoàn toàn tương tự: ax by  cz y Tõ biÓu thøc y = ax + cz  b + =  = y b  ax  by  cz ax  by  cz z Tõ biÓu thøc z = ax + by c + =  = z c  ax  by  cz 1 x y z x yz Suy P = + + = + + = (2) a  b  c  ax  by  cz ax  by  cz ax  by  cz ax  by  cz 2(ax  by  cz ) Tõ (1) vµ (2) ta suy P = =2 ax  by  cz 2 2 Câu 8: a) Chứng minh : 3( x  1)  x y  y  > với x, y Q ( x  y)2  2 b) So sánh hai biểu thức sau: A  y ( x  1)  x  , B  y ( x  1)  x  2 y 1 y 2 Gợi ý: b) Ta có: A  y ( x  1)  x   ( y  1)( x  1)  x  2 y 1 B y 1 y ( x  1)  x  ( y  2)( x  1)   x 1 y2  y2  Câu 9: 1) Cho ba số a, b, c thõa mãn:  a  b   c  a + b + c = Tìm giá trị nhỏ c 2) Cho a, b ,c số thuộc đoạn 1;2(–1  a, b, c  2) thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2  Gợi ý: 1) Vì:  a  b   c  nên  a  b   c   c   c   c     3c  (vì a + b + c = 1) Hay 3c  2  c   Vậy giá trị nhỏ c là: - a + b = 3 Ta có: (a + 1)  0, (a + 2)  0, suy (a + 1)(a – 2)  Suy ra: a2 – – a  0, suy a2  + a Tương tự, cộng vế với vế suy đpcm Câu 10: Cho a > b > So sánh A B biết: ThuVienDeThi.com n 1 A =  a  a   a n  a  a   a Gợi ý: Ta có: n 1 B =  b  b   b n  b  b   b 1 an 1 1 n 1  n 1 1 1  a  a   a A  a  a   a  n 1   n n a a a a bn 1 1 1 n 1  n 1 1 1  b  b   b B  b  b   b  n 1   n n b b b b Do a > b > nên   A > B A B Câu 11: Cho a, b, c thảo mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng:        a b2 c2  a b c  2 Gợi ý: Khai triển      … Suy đpcm a b c Câu 12: Cho a, b, c thoả mãn a + b + c > 0, ab + bc + ca > abc > Chứng minh a, b, c số dương Gợi ý: Vì abc > nên phải có số dương Khơng tính tổng quát, giả sử a > Mà: abc >  bc > Nếu: b, c <  b + c < Từ: a + b + c >  b + c > - a  (b + c)2 < – a(b + c)  b2 + 2bc + c2 < – ab – ac  ab + bc + ca < – b2 – c2 – bc < 0, vô lý Vậy: b, c >  a, b, c > Câu 13: Cho x, y z số dương Chứng minh rằng: x y z    2x  y  z y  z  x 2z  x  y Gợi ý: x y z x y z Ta cã: P     1 1 1 2x  y  z  2y  z  x 2z  x  y 2x  y  z 2y  z  x 2z  x  y x yz x yz x yz x yz x yz x yz     (   )3 2x  y  z y  z  x 2z  x  y 2x  y  z y  z  x 2z  x  y  ( x  y  z )( 1   )3 2x  y  z y  z  x 2z  x  y Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ( x  y  z )  (2 x  y  z )  ( x  y  z )  ( x  y  z )   3 (2 x  y  z )( x  y  z )( x  y  z ) (*) 1 1 (**)    33 2x  y  z y  z  x 2z  x  y (2 x  y  z )( x  y  z )( x  y  z ) 1 Lấy (*) nhân (**) ta được: ( x  y  z )(   ) 2x  y  z y  z  x 2z  x  y Suy ra: P     , dấu “=” xảy x = x = z 4 Câu 14: Tìm tổng hệ số đa thức sau khai triển: (1  x  x ) 2014 (1  x  x ) 2015 Gợi ý: (1   3) 2014 (1   3) 2015  Câu 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  2013  x  3014  x  2015 ThuVienDeThi.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A  x  2008  x  2009  y  2010  x  2011  2012 Gợi ý: A  x  2013  x  3014  x  2015 Ta có: A   x  2013  2015  x  x  3014  x  2013  2015  x  x  2014   x  2014 Mà: x  3014   A  x  20132015  x  2013  x  2014 Dấu sảy     x  2014  x  2014  x  2014 Vậy GTNN A =2 x  2014 Câu 17: a) Cho hai só tư nhiên a b, với a > b thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a – b) Tìm thương hai số a b b) Tìm số nguyên dương a, b, c biết rằng: a3 – b3 – c3 = 3abc a2 = 2(b + c) Gợi ý: a) a : b = b) Cách 1: a3 - b3 - c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2) Từ (2) suy a2 chẵn  a chẵn Từ (1) suy a > b; a > c  2a > b + c  4a > 2(b + c) kết hợp với (2)  a2 < 4a  a <  a = thay vào (2) được: b + c =  b = c =1 (vì b, c nguyên dương) Thử lại thấy a = 2; b = c = Cách 1: Dùng đẳng thức Câu 18: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác chu vi 2p = a + b + c Chứng minh rằng:        p a p b p c a b c Dấu bất đẳng thức xảy tam giác có đặc điểm gì? Gợi ý: Áp dụng BĐT   , với x, y dương x y x y Câu 19: Tìm x, biết: x 1 a) (2x – 1)(3 – x)(5x – 3) < b) 0 (4 x  3)(5  x) c) (x – 1)2(1 – 2x)(x + 5)  C©u 20: Cho góc xOy = 90o, tia phân giác Oz Trên tia Oz lấy điểm A Từ A kẻ AB Ox; AC Oy (B Ox; C Oy) D điểm tuỳ ý đoạn thẳng OB Nối AD Tia phân giác góc CAD cắt Oy E Chứng minh AD = CE + BD Gợi ý: Trªn Ox lÊy ®iÓm F cho BF = CE  CE + DB = BF + DB = DF dÔ chøng minh vuông ACE = vuông ABF ( c.g.c) CEA = BFA.(1) Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong) L¹i cã CAE = EAD ( AE tia phân giác ) CAE = BAF ( Do  vu«ng ACE =  vu«ng ABF )  EAD = BAF  EAB = DAF (3)( cïng céng víi DAB) Tõ (1); (2); (3) ta cã DAF = BFA DAF cân D AD = DF = CE + DB ( đccm) Câu 21: Cho tam giác nhọn ABC, có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M điểm thuộc miền tam giác Hạ MH,MK,MP vng góc với BC, CA, AB a/ Chứng minh : AP2 + BH2 + CK2 = BP2 + CH2 + AK2 b/ Tìm giá trị nhỏ của: AP2 + BH2 + CK2 (tính theo a,b,c) Gợi ý: a) Ta có: AP2 + BH2 + CK2 = AM2 - MP2 + MB2 - MH2 + MC2 - MK2 = AM2 - MK2 + MC2 - MH2 + MB2 - MP2 = AK2 + CH2 + BP2 (đpcm) b) Từ câu a suy ra: 2( AP2 + BH2 + CK2 ) = (AP2 + BP2) + (KA2 + KC2) + (CH2 + BH2 )  AP  BP   2  AK  CK   2 CH  BH   2 = a  b2  c2 ThuVienDeThi.com A P K M C B H Vậy GTNN AP2 +BH2 +CK2 a  b2  c2  M giao điểm ba đường trung trực tam giác C©u 22: Cho tam giác ABC,đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho AH = DH Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ BD vẽ tia Dx cho góc BDx có số đo 150 Dx cắt tia AB E Chứng minh: EH = DH Gợi ý: A ฀ Ta có BAH  300 ; ฀AED  450 ฀ ฀ - Giả sử ฀AEH  300  HED  150 = HDE  HD  HE  AH  EH , vô lý ฀ ฀ - Giả sử ฀AEH  300  HED  150 = HDE  HD  HE  AH  EH , vô lý B C D H Vậy ฀AEH  300 nên tam giác AHE cân, suy ra: EH = HE = HD E Câu 23: Gọi O điểm nằm tam giác ABC cho ฀ABO  ฀ACO Vẽ OH  AB, OK  AC Gọi M trung điểm BC ฀ ฀ K a) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm OB OC Chứng minh OEH  OF b) MH = MK Gợi ý: a) Các tam giác vng OHB OKC có HE KF đường tẻung tuyến ứng với ฀1  F ฀ (1) ฀  2B ฀ 1, F ฀  2C ฀ , E cạnh huyền nên E ฀ ฀ b) Từ (1) suy MEH Từ MEH  KFM (c.g.c) nên MH = MK  MFK Câu 24:  ABC cân A, đường cao AD Kẻ DH vng góc với AC Gọi I trung điểm DH Chứng minh AI  BH Gợi ý: Gọi M trung điểm CH DM//DH Ta chứng minh AIDM MI đường trung bình  HDC nên MI//DC Do MI  AD  ADM có I trực tâm nên AI  DM Do AI  BH Hết ThuVienDeThi.com ... y Thế x = x y 1 Thay vào công thức hµm sè ta cã: g(y) = y  = y2 -  g(x) = x2 - 1 ( ) y 1 Câu 7: Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by 1 CMR : P = + + =2 a 1 b 1 c 1 Gợi ý: Tõ gi¶ thiÕt...  2013  x  2014 Dấu sảy     x  2014  x  2014  x  2014 Vậy GTNN A =2 x  2014 Câu 17: a) Cho hai só tư nhiên a b, với a > b thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a – b) Tìm thương hai số a b b)