TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN LỚP: 7A Thầy Ngọc ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG Năm học: 2014-2015 Mơn thi: Tốn - THCS Câu 1: Thực phép tính 32 33 2000 1) ( – 81)( – 81)( – 81) .( – 81) 2003 2) S = 2010 2009 2008 36 Gợi ý: Trong dãy số có – 81 = – 81 = 81 – 81 = Do tích 2011 2010 2010 2S – S = 2009 2009 2 2 2011 2011 Câu 2: Tìm x biết: a 30 31 x ; 10 12 62 64 c x b 1x 3x x 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 2x 5 5 3 3 2 d 3x 3 30 31 Gợi ý: a 2x 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.31 1.2.3.4 30.31 2x 2x x 36 30 36 1.2.3.4 30.31.2 2 6 4.4 6.6 46 66 6 4 x x x b 2 212 x x 12 2 6 5 3.3 2.2 3 2 2 2 c Nhận xét: x - < x - < x - < x - tích thừa số âm có ba thừa số âm x 1x 3x 5x x 1x 3x x x 1x 3x x x 1; 3; 5; x x 5 x x x x x 1 x x x d 34 x 20 x x 3x 3x 3x 7 x 7 x y y z 2x 3y 4z Tính M = 3x y z a c 2) Cho tỉ lệ thức với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d Chứng minh: b d Câu 3: 1) Cho a b cd 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 3) Chứng minh rằng: Nếu 2(x + y) = 5(y + z) = 3(z + x) x y y z Gợi ý: 1) x y x y y z y z x y z ; 15 20 20 24 15 20 24 ThuVienDeThi.com 2x 3y 4z 2x 3y 4z 3x y z 3x y z 30 60 96 30 60 96 45 80 120 45 80 120 x y z x y z 2x 3x : = : 30 60 96 45 80 120 30 45 2x 3y 4z 245 x y z 186 1 M 186 3x y z x y z 245 a c 2) Cho tỉ lệ thức với a 0, b 0, c 0, d 0, a b, c d b d a b Chứng minh: 2013 cd a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 Ta có: a c a c a b d bd b Mà: a b 2013 c d 2013 Từ (1) (2) a b cd 2013 c d 2013 ac bd 2013 (1) a 2013 c 2013 a 2013 c 2013 b 2013 d 2013 b 2013 d 2013 2013 a 2013 b 2013 c 2013 d 2013 (2) (đpcm) Câu 4: Tìm nghiệm đa thức: a) f ( x) x x 6 b) f x x x x x c) Chứng minh đa thức :f(x) = – 4x4 + 3x3 – 2x2 + x – khơng có nghiệm ngun d) Chứng minh đa thức f(x) = x x x x nghiệm Gợi ý: a) x = 2, x = b, d) Xét khoảng + Xét x lập luận dẫn đến dẫn đến f(x) > + Xét < x < lập luận dẫn đến f(x) > + Xét x lập luận dẫn đến f (x) > Trong ba khoảng có f(x) nên đa thức f(x) khơng có nghiệm c) Nếu đa thứcf(x) = –4x4 + 3x3 – 2x2 + x – có nghiệm nghiệm ước -1 Ta có : f(-1) = -11 0; f(1) = -3 Vậy đa thức cho khơng có nghiệm nguyên Câu 5: Cho số nguyên dương a, b, c, d, e, f biết: a c e af – be = b d f Gợi ý: Chứng minh: d ≥ b + f Gợi ý: Vì af – be = d = d( af – be) = adf – bed = (adf – bcf) + (bcf – bed )= f(ad – bc) + b(cf – ed) Từ a c e ad > bc, cf >ed a, b, c, d nguyên dương nên ad – bc , cf – ed b d f d f.1 + b.1 = f + b Câu 6: 1) Cho hµm sè y = f(x) = x x a Vẽ đồ thị hàm sè trªn b)TÝnh f(x2 + 2) = ? 2x 2) Tìm công thức hàm số g(x) biÕt r»ng g (1+ ) = x x2 Gợi ý: 1) b) Ta cã f(x2 + 2) = ( x 2) + (x2 + 2) + = 2x2 + VËy f(x2 + 2) = 2x2 + x 2) Cách 1: Đặt + = =y x x 2x 2x x2 2x x 1 Khi ®ã g (1+ ) = g (y) = = +1 = -1 = = ( ) - = y2 - 2 x x x x x Hay g(y ) = y2 - g(x) = x2 - ThuVienDeThi.com Cách 2: Đặt + 1 = y ThÕ th× x = x y 1 Thay vào công thức hàm sè ta cã: g(y) = y = y2 - g(x) = x2 - 1 ( ) y 1 Câu 7: Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by 1 CMR : P = + + =2 a 1 b 1 c 1 Gợi ý: Tõ gi¶ thiÕt ta suy : x + y + z = ( ax + by + cz ) (1) Tõ biÓu thøc x = by + cz ax + x = ax + by + cz x ( a + 1) = ax + by + cz ax by cz x a+1= = (1®) x a ax by cz Hoàn toàn tương tự: ax by cz y Tõ biÓu thøc y = ax + cz b + = = y b ax by cz ax by cz z Tõ biÓu thøc z = ax + by c + = = z c ax by cz 1 x y z x yz Suy P = + + = + + = (2) a b c ax by cz ax by cz ax by cz ax by cz 2(ax by cz ) Tõ (1) vµ (2) ta suy P = =2 ax by cz 2 2 Câu 8: a) Chứng minh : 3( x 1) x y y > với x, y Q ( x y)2 2 b) So sánh hai biểu thức sau: A y ( x 1) x , B y ( x 1) x 2 y 1 y 2 Gợi ý: b) Ta có: A y ( x 1) x ( y 1)( x 1) x 2 y 1 B y 1 y ( x 1) x ( y 2)( x 1) x 1 y2 y2 Câu 9: 1) Cho ba số a, b, c thõa mãn: a b c a + b + c = Tìm giá trị nhỏ c 2) Cho a, b ,c số thuộc đoạn 1;2(–1 a, b, c 2) thỏa mãn a + b + c = Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 Gợi ý: 1) Vì: a b c nên a b c c c c 3c (vì a + b + c = 1) Hay 3c 2 c Vậy giá trị nhỏ c là: - a + b = 3 Ta có: (a + 1) 0, (a + 2) 0, suy (a + 1)(a – 2) Suy ra: a2 – – a 0, suy a2 + a Tương tự, cộng vế với vế suy đpcm Câu 10: Cho a > b > So sánh A B biết: ThuVienDeThi.com n 1 A = a a a n a a a Gợi ý: Ta có: n 1 B = b b b n b b b 1 an 1 1 n 1 n 1 1 1 a a a A a a a n 1 n n a a a a bn 1 1 1 n 1 n 1 1 1 b b b B b b b n 1 n n b b b b Do a > b > nên A > B A B Câu 11: Cho a, b, c thảo mãn điều kiện: a + b + c = Chứng minh rằng: a b2 c2 a b c 2 Gợi ý: Khai triển … Suy đpcm a b c Câu 12: Cho a, b, c thoả mãn a + b + c > 0, ab + bc + ca > abc > Chứng minh a, b, c số dương Gợi ý: Vì abc > nên phải có số dương Khơng tính tổng quát, giả sử a > Mà: abc > bc > Nếu: b, c < b + c < Từ: a + b + c > b + c > - a (b + c)2 < – a(b + c) b2 + 2bc + c2 < – ab – ac ab + bc + ca < – b2 – c2 – bc < 0, vô lý Vậy: b, c > a, b, c > Câu 13: Cho x, y z số dương Chứng minh rằng: x y z 2x y z y z x 2z x y Gợi ý: x y z x y z Ta cã: P 1 1 1 2x y z 2y z x 2z x y 2x y z 2y z x 2z x y x yz x yz x yz x yz x yz x yz ( )3 2x y z y z x 2z x y 2x y z y z x 2z x y ( x y z )( 1 )3 2x y z y z x 2z x y Áp dụng BĐT Cơ-si ta có: ( x y z ) (2 x y z ) ( x y z ) ( x y z ) 3 (2 x y z )( x y z )( x y z ) (*) 1 1 (**) 33 2x y z y z x 2z x y (2 x y z )( x y z )( x y z ) 1 Lấy (*) nhân (**) ta được: ( x y z )( ) 2x y z y z x 2z x y Suy ra: P , dấu “=” xảy x = x = z 4 Câu 14: Tìm tổng hệ số đa thức sau khai triển: (1 x x ) 2014 (1 x x ) 2015 Gợi ý: (1 3) 2014 (1 3) 2015 Câu 15: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 2013 x 3014 x 2015 ThuVienDeThi.com Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A x 2008 x 2009 y 2010 x 2011 2012 Gợi ý: A x 2013 x 3014 x 2015 Ta có: A x 2013 2015 x x 3014 x 2013 2015 x x 2014 x 2014 Mà: x 3014 A x 20132015 x 2013 x 2014 Dấu sảy x 2014 x 2014 x 2014 Vậy GTNN A =2 x 2014 Câu 17: a) Cho hai só tư nhiên a b, với a > b thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a – b) Tìm thương hai số a b b) Tìm số nguyên dương a, b, c biết rằng: a3 – b3 – c3 = 3abc a2 = 2(b + c) Gợi ý: a) a : b = b) Cách 1: a3 - b3 - c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2) Từ (2) suy a2 chẵn a chẵn Từ (1) suy a > b; a > c 2a > b + c 4a > 2(b + c) kết hợp với (2) a2 < 4a a < a = thay vào (2) được: b + c = b = c =1 (vì b, c nguyên dương) Thử lại thấy a = 2; b = c = Cách 1: Dùng đẳng thức Câu 18: Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác chu vi 2p = a + b + c Chứng minh rằng: p a p b p c a b c Dấu bất đẳng thức xảy tam giác có đặc điểm gì? Gợi ý: Áp dụng BĐT , với x, y dương x y x y Câu 19: Tìm x, biết: x 1 a) (2x – 1)(3 – x)(5x – 3) < b) 0 (4 x 3)(5 x) c) (x – 1)2(1 – 2x)(x + 5) C©u 20: Cho góc xOy = 90o, tia phân giác Oz Trên tia Oz lấy điểm A Từ A kẻ AB Ox; AC Oy (B Ox; C Oy) D điểm tuỳ ý đoạn thẳng OB Nối AD Tia phân giác góc CAD cắt Oy E Chứng minh AD = CE + BD Gợi ý: Trªn Ox lÊy ®iÓm F cho BF = CE CE + DB = BF + DB = DF dÔ chøng minh vuông ACE = vuông ABF ( c.g.c) CEA = BFA.(1) Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong) L¹i cã CAE = EAD ( AE tia phân giác ) CAE = BAF ( Do vu«ng ACE = vu«ng ABF ) EAD = BAF EAB = DAF (3)( cïng céng víi DAB) Tõ (1); (2); (3) ta cã DAF = BFA DAF cân D AD = DF = CE + DB ( đccm) Câu 21: Cho tam giác nhọn ABC, có BC = a, CA = b, AB = c Gọi M điểm thuộc miền tam giác Hạ MH,MK,MP vng góc với BC, CA, AB a/ Chứng minh : AP2 + BH2 + CK2 = BP2 + CH2 + AK2 b/ Tìm giá trị nhỏ của: AP2 + BH2 + CK2 (tính theo a,b,c) Gợi ý: a) Ta có: AP2 + BH2 + CK2 = AM2 - MP2 + MB2 - MH2 + MC2 - MK2 = AM2 - MK2 + MC2 - MH2 + MB2 - MP2 = AK2 + CH2 + BP2 (đpcm) b) Từ câu a suy ra: 2( AP2 + BH2 + CK2 ) = (AP2 + BP2) + (KA2 + KC2) + (CH2 + BH2 ) AP BP 2 AK CK 2 CH BH 2 = a b2 c2 ThuVienDeThi.com A P K M C B H Vậy GTNN AP2 +BH2 +CK2 a b2 c2 M giao điểm ba đường trung trực tam giác C©u 22: Cho tam giác ABC,đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D cho AH = DH Trên nửa mặt phẳng khơng chứa A có bờ BD vẽ tia Dx cho góc BDx có số đo 150 Dx cắt tia AB E Chứng minh: EH = DH Gợi ý: A Ta có BAH 300 ; AED 450 - Giả sử AEH 300 HED 150 = HDE HD HE AH EH , vô lý - Giả sử AEH 300 HED 150 = HDE HD HE AH EH , vô lý B C D H Vậy AEH 300 nên tam giác AHE cân, suy ra: EH = HE = HD E Câu 23: Gọi O điểm nằm tam giác ABC cho ABO ACO Vẽ OH AB, OK AC Gọi M trung điểm BC K a) Gọi E, F theo thứ tự trung điểm OB OC Chứng minh OEH OF b) MH = MK Gợi ý: a) Các tam giác vng OHB OKC có HE KF đường tẻung tuyến ứng với 1 F (1) 2B 1, F 2C , E cạnh huyền nên E b) Từ (1) suy MEH Từ MEH KFM (c.g.c) nên MH = MK MFK Câu 24: ABC cân A, đường cao AD Kẻ DH vng góc với AC Gọi I trung điểm DH Chứng minh AI BH Gợi ý: Gọi M trung điểm CH DM//DH Ta chứng minh AIDM MI đường trung bình HDC nên MI//DC Do MI AD ADM có I trực tâm nên AI DM Do AI BH Hết ThuVienDeThi.com ... y Thế x = x y 1 Thay vào công thức hµm sè ta cã: g(y) = y = y2 - g(x) = x2 - 1 ( ) y 1 Câu 7: Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by 1 CMR : P = + + =2 a 1 b 1 c 1 Gợi ý: Tõ gi¶ thiÕt... 2013 x 2014 Dấu sảy x 2014 x 2014 x 2014 Vậy GTNN A =2 x 2014 Câu 17: a) Cho hai só tư nhiên a b, với a > b thỏa mãn: 3(a + b) = 5(a – b) Tìm thương hai số a b b)