1.Định lí Menelaus cho tứ giác: Đường thẳng d cắt cạnh AB, BC, CD, DA ABCD M, AM BN CP DQ = N, P, Q Þ a = MB NC PD QA B Q E M A N F P D C Kẻ AF PBE PCD ïìï AM AF ïï MB = BE ïï ïï BN BE = ïï AM BN CP DQ AF BE CP DP CN CP Þ ïí Þ a= = = Þ dpcm ïï CP CP MB NC PD QA BE CP PD AF = ïï PD PD ïï ïï DQ DP = ïï ïỵ QA AF Định lí Carnot: D ABC H , I, K thứ tự Ỵ AB,BC,CA x; y; z đg t ^ với AB, BC, CA qua 2 2 2 H, I, K x; y; z động quy Û AH - HB + BI - IC + CK - KD = A K H G B I C Thuận: x; y; z đồng quy … 2 2 2 Ta có: GA - GB + GB - GC + GC - GA = Û (AH2 + GH2 )- (HB2 + GH2 )+ (BI2 + GI2 )- (IC2 + GI2 )+ (CK + GK )- (KA + GK ) = Û AH2 - HB2 + BI2 - IC2 + CK - KD2 = (1) 2 2 2 Đảo: Kẻ GI' ^ BC Theo (1) Þ AH - HB + BI' - I'C + CK - KD = Mà AH2 - HB2 + BI2 - IC2 + CK - KD2 = Þ BI2 - IC2 = BI'2 - I'C2 Û I º I' Þ (2) Từ (1), (2) ta có đpcm ThuVienDeThi.com Đường trịn Euler: Chân đg trung tuyến, đg cao, trung đ đoạn thẳng nối trực tâm với đỉnh D điểm thuộc đg tròn tâm I A A9 A1 A7 A2 A8 O I H G A3 A6 B A5 C A4 D Đường thẳng Euler: trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn nội tiếp O tam giác thẳng hàng Kẻ đường kính AD (O) Þ BHCD hình bình hành Þ A trung điểm HD Þ trọng tâm G’ AHD có AG' = AA Mà AG = AA Þ G º G' Þ H;G;O thẳng hàng (đpcm) Định lí bướm: Cho (O), dây AB, dây CD, EF di động qua trung điểm I AB DE, CF cắt AB M, N CMR IM = IN D' D F O M N A I B E C' C Kẻ C’D’ đối xứng với CD qua OI CM tứ giác EC’IM nội tiếp Þ D C 'MI = D CNI Þ MI = NI (đpcm) ThuVienDeThi.com 6.Định lí Steiner: D ABC nội tiếp (O) K thuộc cung BC nhỏ M; N; P đối xứng với K qua BC, AB, CA CMR M; N; P thẳng hàng A P M O K B N C I H K Định lí Newton: Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) E; F; G; H Khi HG, AC, EF đồng quy M B E A K H I F O D G C Giả sử AC Ç EF = { M} Áp dụng định lí Menelaus cho D ABC MEF AE BF CM AE CM AH CM Þ = 1Û = (do EB = BF) Û = (do AE = AH;CF = CG) EB FC MA FC MA GC MA AH DG CM Û = (do DH = DG) DH GC MA Áp dụng định lí Menelaus đảo cho D ADC Þ C;A;M thẳng hàng hay HG, AC, EF đồng quy Tứ giác ABCD ngoại tiếp (O), tiếp xúc với (O) E; F; G; H Khi EG, AC, HF, BD đồng quy Đặt AC Ç EG = {I} AI AK AE AI AE · · · = = hay = Kẻ AK PDC Þ AKE = AEK = DGE Þ AE = AK Þ IC CG CG IC CG AI' AH = Đặt AC Ç FH = {I'} CMTT Þ I' C CF AI AI' = Þ I º I' Þ AC;HF;EG đồng quy Mà AH=AE; CG=CF Þ IC I' C CMTT ta có đpcm ThuVienDeThi.com ( ) Định lí Desargues: Nếu D ABC; D A 'B ' C ' có AA’; BB’; CC’ đồng quy; AB Ç A 'B ' = { P} ; BC Ç B ' C ' = { Q} ;CA Ç C ' A ' = { R} P; Q; R thẳng hàng O A C' B' R P Q B A' C AP BQ CR = 1(Menelaus cho D ABC QPR ) PB QC RA OB ' BQ CC ' OB ' CC ' AP CR = Þ ta CM = (1) Menelaus cho D OBC QB ' C ' Þ B 'B QC C ' O B 'B C ' O PB RA Thật vậy: Áp dụng định lí Menelaus cho: AP BB ' OA ' AR CC ' OA ' D ABO;B 'PA ' D ACO;C 'RA ' Þ = =1 PB B ' O A ' A RC C ' O A ' A AP BB ' AR CC ' AP RC CC ' B ' O Û = Û = Þ (1) duoc CM PB B ' O RC C ' O PB AR C ' O BB ' Hay P; Q; R thẳng hàng (đpcm) 10 Định lí Pascal: Lục giác ACEBFD nội tiếp có giao điểm cặp cạnh đối thẳng hàng Để Q; P; R thẳng hàng ThuVienDeThi.com ... giác thẳng hàng Kẻ đường kính AD (O) Þ BHCD hình bình hành Þ A trung điểm HD Þ trọng tâm G’ AHD có AG' = AA Mà AG = AA Þ G º G' Þ H;G;O thẳng hàng (đpcm) Định lí bướm: Cho (O), dây AB, dây CD, EF... (đpcm) ThuVienDeThi.com 6 .Định lí Steiner: D ABC nội tiếp (O) K thuộc cung BC nhỏ M; N; P đối xứng với K qua BC, AB, CA CMR M; N; P thẳng hàng A P M O K B N C I H K Định lí Newton: Tứ giác ABCD... M} Áp dụng định lí Menelaus cho D ABC MEF AE BF CM AE CM AH CM Þ = 1Û = (do EB = BF) Û = (do AE = AH;CF = CG) EB FC MA FC MA GC MA AH DG CM Û = (do DH = DG) DH GC MA Áp dụng định lí Menelaus