Toán học Một số định lí Hình học nổi tiếng và áp dụng34740

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC VŨ VĂN ĐỨC MỘT SỐ ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC NỔI TIẾNG VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Thái Nguyên - 2011 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Cơng trình hồn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Ngọc Phản biện 1: GS TSKH Hà Huy Khoái - Viện Toán học Phản biện 2: PGS TS Lê Thị Thanh Nhàn - Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Luận văn bảo vệ trước hội đồng chấm luận văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Ngày 09 tháng 09 năm 2011 Có thể tìm hiểu Thư viện Đại học Thái Nguyên S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Chương Tam giác 1.1 Kí hiệu hệ thức tam giác 1.2 Định lý Thales định lý Pythagoras 1.2.1 Định lý Thales 1.2.2 Định lý Pythagoras 1.3 Định lý hàm số sin định lý hàm số cosin 1.3.1 Định lý hàm số sin 1.3.2 Định lý hàm số cosin 1.3.3 Bài toán 1.4 Định lý Stewart áp dụng 1.4.1 Định lý Stewart 1.4.2 Định lý đường trung tuyến 1.4.3 Định lý đường phân giác 1.4.4 Cơng thức góc chia đơi 1.5 Công thức diện tích tam giác áp dụng 1.5.1 Cơng thức diện tích tam giác 1.5.2 Tỉ số diện tích hai tam giác 1.5.3 Bài toán 1.6 Tam giác Pedal 1.6.1 Pedal 1.6.2 Pedal trực tâm 1.6.3 Pedal tâm nội tiếp 8 8 11 13 13 13 14 15 15 16 17 18 21 21 23 23 28 28 29 32 Chương Tứ giác 2.1 Ký hiệu hệ thức 2.2 Định lý Ptolemy mở rộng 35 35 38 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 2.2.1 Định lý Ptolemy 2.2.2 Bất đẳng thức Ptolemy 2.2.3 Định lý Bretschneider 2.2.4 Định lý Casey 2.2.5 Định lý Carnot 2.2.6 Bài toán 2.3 Tứ giác đặc biệt 2.3.1 Tứ giác nội tiếp đường tròn 2.3.2 Tứ giác ngoại tiếp đường tròn 2.3.3 Tứ giác đồng thời nội ngoại tiếp 2.3.4 Tứ giác với đường chéo vng góc 2.4 Cơng thức diện tích tứ giác 2.4.1 Cơng thức diện tích tứ giác nội tiếp 2.4.2 Công thức diện tích tứ giác ngoại tiếp 2.4.3 Cơng thức diện tích tứ giác đồng thời nội tiếp ngoại tiếp 2.4.4 Công thức diện tích tứ giác lồi 2.5 Tứ giác điều hồ tính chất 2.5.1 Hàng điểm điều hoà 2.5.2 Tứ giác điều hoà 2.5.3 Tính chất tứ giác điều hồ 2.5.4 Bài toán Chương Các đường thẳng đồng quy 3.1 Định lý Ceva 3.2 Một số mở rộng định lý Ceva mặt phẳng 3.2.1 Định lý Ceva dạng sin 3.2.2 Mở rộng định lý Ceva mặt phẳng 3.3 Mở rộng định lý Ceva không gian 3.3.1 Định lý Ceva không gian 3.3.2 Hệ định lý Ceva không gian 3.4 Các điểm đặc biệt tam giác 3.4.1 Các điểm đặc biệt quen biết S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 38 39 40 41 42 42 46 46 50 55 56 57 57 58 58 59 60 60 60 61 63 67 67 68 68 69 71 71 72 73 73 3.4.2 Một số điểm đặc biệt khác 3.5 Bài toán Chương Các điểm thẳng hàng 4.1 Định lý Menelaus 4.2 Mở rộng định lý Menelaus mặt phẳng 4.2.1 Mở rộng định lý Menelaus tam giác 4.2.2 Mở rộng định lý Menelaus theo diện tích 4.2.3 Mở rộng Định lý Menelaus tứ giác 4.3 Mở rộng định lý Menelaus không gian 4.3.1 Mặt phẳng phân giác góc nhị diện 4.3.2 Định lý Menelaus không gian 4.4 Định lý Desargues Định lý Pappus 4.4.1 Định lý Desargues 4.4.2 Định lý Pappus 4.5 Tam giác phối cảnh 4.6 Bài toán 73 75 83 83 84 84 84 85 86 86 86 87 87 88 88 89 Chương Đường trịn 5.1 Phương tích điểm - Trục đẳng phương 5.1.1 Định lý dây cung cắt 5.1.2 Phương tích điểm đường trịn 5.1.3 Trục đẳng phương tâm đẳng phương 5.2 Định lí Euler 5.2.1 Đường thẳng Euler 5.2.2 Đường tròn Euler 5.2.3 Công thức Euler 5.3 Đường tròn Apolonius 5.4 Định lí Simson 5.5 Định lí Steiner 5.5.1 Đường thẳng Steiner 5.5.2 Định lí Steiner 5.6 Định lý Pithot 95 95 95 95 99 100 100 102 103 105 108 111 111 111 113 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 5.7 Định lý Miquel 5.8 Định lý Brianchon 5.9 Định lý Pascal Định 5.9.1 Định lý Pascal 5.9.2 Định lý Newton 5.10 Định lý The’bault Kết luận S hóa b i Trung tâm H c li u – lý Newton i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 113 114 115 115 117 117 119 Mở đầu Các định lý Thales (Talet), Pythagoras (Pitago), định lý đường phân giác, định lý đường trung tuyến, định lý hàm số cosin, định lý hàm số sin định lý hình học phẳng giới thiệu sách giáo khoa hình học bậc phổ thơng hầu hết quốc gia Nhiều tính chất đẹp quan trọng khác hình học phẳng giới thiệu chủ yếu dạng toán nâng cao, hay toán kỳ Olympic Để giải toán thường phải vận dụng định lý định lý Ptolemy (Ptôlêmê) tứ giác nội tiếp, định lý Ceva (Xêva) đường thẳng đồng quy tam giác, định lý Menelaus (Mênêlauys) điểm thẳng hàng, định lý Simson (Simsơn), định lý Euler (Ơle), định lý Brianchon, định lý Newton (Niutơn) Các tính chất rải rác giới thiệu tài liệu dành cho học sinh giỏi Nhiều chuyên gia tài liệu nước ngồi gọi định lý nói "Famous geometry theorems" - "Các định lý hình học tiếng" Hiện tài liệu Tiếng Việt định lý hình học tiếng chưa có nhiều tản mạn Cần thiết phải giới thiệu định lý áp dụng chúng cách đầy đủ Vì vậy, việc tìm hiểu sâu thêm giới thiệu Các định lý hình học tiếng cần thiết cho công việc học tập giảng dạy tốn học bậc phổ thơng Bản luận văn "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" tiến hành vào năm 2010 chủ yếu dựa tài liệu [3,7-9], tài liệu [3] làm quen từ tháng năm 2011 Bản luận văn "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" gồm có: Mở đầu, năm chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tam giác Chương trình bày định lý hình học phẳng dạy bậc trung học sở trung học phổ thông định lý Thales, định lý Pythagoras, định lý đường phân giác, định lý Stewart, định lý Appollonius-Pappus, định lý hàm số sin, hàm số cosin, công thức diện tích tam giác Khác với nhiều tài liệu hình học sơ cấp, luận văn giới thiệu cách chứng minh đơn giản định lý Thales, Pythagoras định lý Stewart Chương cịn trình bày tam giác pedal, pedal trực tâm tìm tịi tác giả Chương trình bày 17 tốn áp dụng định lý nói Chương Tứ giác Chương trình bày số định lý liên quan đến tứ giác tốn áp dụng Đó định lý Ptolemy, định lý Bretchneider, định lý Casey, định lý Canot Chương đề cập đến tứ giác đặc biệt tứ giác nội tiếp, tứ giác ngoại tiếp, tứ giác đồng thời ngoại nội tiếp, tứ giác điều hồ, 10 tính chất tứ giác ngoại tiếp tìm tịi tác giả luận văn Trong chương giới thiệu 20 toán áp dụng định lý liên quan đến tứ giác Chương Các đường thẳng đồng quy Chương trình bày kiến thức đường thẳng đồng quy, đặc biệt định lý Ceva với mở rộng mặt phẳng không gian Chương giới thiệu số điểm đặc biệt tam giác tạo nên đường thẳng đặc biệt đồng quy Trong chương trình bày 11 tốn liên quan đến đường thẳng đồng quy, đa phần trích từ đề thi vơ địch Quốc tế Việt Nam Chương Các điểm thẳng hàng Chương trình bày kiến thức liên quan đến điểm thẳng hàng, đặc biệt định lý Menelaus mở rộng tứ giác, không gian Chương giới thiệu định lý Desargues, định lý Pappus 10 toán liên quan đến điểm thẳng hàng S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Đường tròn Chương giới thiệu số định lý hình học tiếng liên quan đến đường tròn định lý Euler đường tròn Euler, định lý Simson đường thẳng Simson, định lý Steiner, định lý Newton, định lý Brianchon số định lý khác Trong chương trình bày 16 tốn liên quan đến đường trịn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc - Viện Toán Học Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K3 - Trường Đại học Khoa học động viên, giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo tỉnh Hà Giang, Ban Giám hiệu đồng nghiệp trường THPT Hùng An, trường THPT Đồng Yên - Huyện Bắc Quang tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hồn thành khố học Thái Nguyên, ngày 25 tháng 06 năm 2011 Tác giả Vũ Văn Đức S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Tam giác 1.1 Kí hiệu hệ thức tam giác Kí hiệu ∆ABC tam giác ABC với đỉnh A, B, C Để thuận tiện, độ lớn góc ứng với đỉnh A, B, C kí hiệu tương ứng A, B, C Độ dài cạnh tam giác: BC = a, CA = b, AB = c a+b+c Nửa chu vi tam giác: p = Đường cao với cạnh: , hb , hc Đường trung tuyến với cạnh: ma , mb , mc Đường phân giác với cạnh: la , lb , lc Bán kính đường trịn ngoại tiếp R, bán kính đường trịn nội tiếp r Bán kính đường trịn bàng tiếp cạnh: Ra , Rb , Rc Diện tích tam giác ABC: S = SABC hay [ABC] Hệ thức góc: A + B + C = 180o (π) Hệ thức cạnh: |b − c| < a < b + c; |c − a| < b < c + a; |a − b| < c < a + b Cơng thức tính diện tích tam giác Diện tích tam giác nửa tích cạnh với đường cao tương ứng: 1 [ABC] = aha = bhb = chc 2 1.2 1.2.1 Định lý Thales định lý Pythagoras Định lý Thales Thales Pythagoras hai nhà toán học xa xưa mà lịch sử Tốn học cịn ghi lại Thales sinh trước Pythagoras nửa kỷ, thầy dạy Pythagoras đánh giá cao tài cậu học trò nhỏ tuổi Thales sinh khoảng năm 620 khoảng năm S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Ngun DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 546 trước Cơng ngun (TCN) Ơng sinh thành phố Miletus giàu có xứ Ionia thịnh vượng ven biển phía tây Tiểu Á Thales đến Ba-bi-lon, Ai Cập thu thập từ xứ sở nhiều kiến thức tốn học Ơng coi người sáng lập toán học Hy Lạp Thales nhà bn, nhà trị triết học, nhà tốn học thiên văn học Ơng người Lịch sử toán học đưa phép chứng minh Ông chứng minh định lý tạo thành đoạn thẳng tỉ lệ (Định lý Thales) định lý hai góc đối đỉnh, hai góc đáy tam giác cân, góc nội tiếp chắn nửa đường trịn Thales đo chiều cao Kim Tự Tháp cách đo bóng nắng chúng, tính khoảng cách từ tàu đến bến cảng nhờ tam giác đồng dạng Thales người Lịch sử toán học đoán trước ngày Nhật thực: Hiện tượng xảy vào ngày mà ông dự đoán, ngày 28 tháng 05 năm 585 TCN, khâm phục người Định nghĩa 1.1 Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A’B’ C’D’ có tỉ lệ thức A′ B ′ AB = ′ ′ CD CD hay AB CD = A′ B ′ C ′D′ (1.1) Định lý 1.1 (Định lý Thales tam giác) Nếu đường cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh cịn lại định hai cạnh lại đoạn thẳng tỉ lệ Chứng minh Xét tam giác ABC giả sử đường thẳng xx′ //BC, cắt cạnh AB AC tương ứng D E Ta chứng minh AD AE = DB EC (1.2) Vì DE song song với BC, nên diện tích tam giác DEB diện tích tam giác S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn Hình 1.1 http://www.lrc-tnu.edu.vn 10 DEC Trong tam giác ABE kẻ đường cao EF Khi AD.EF [ADE] AD = = [BDE] BD BD.EF (1.3) [ADE] AE = [BDE] CE (1.4) Tương tự ta có Từ (1.3) (1.4) suy hệ thức (1.2) (đpcm) Hệ 1.1 Trong tam giác ABC, đường thẳng xx′ cắt AB D cắt cạnh AC E, AC AB = ; AD AE AB AC = DB EC (1.5) Định lý 1.2 (Định lý Thalet đảo) Nếu đường cắt hai cạnh tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác Chứng minh Giả sử đường thẳng xx′ cắt cạnh AB, AC tam AB AC = giác ABC theo thứ tự D E, cho DB EC Ta phải chứng minh DE//BC Qua D kẻ đường thẳng song song với cạnh BC cắt cạnh AC điểm AE ′ AE ′ AE AB = ′ ⇒ ′ = E ′ Theo định lý thuận ta có DB EC EC EC ⇔ AE ′ AE AE ′ + E ′ C AE + EC AC AC + = + ⇔ = ⇔ = , E ′C EC E ′C EC E ′C EC hay E ′ C = EC ′ , tức E ≡ E ′ Do DE//BC (đpcm) Hệ 1.2 Nếu đường thẳng cắt hai cạnh (hoặc phần kéo dài hai cạnh) tam giác song song với cạnh cịn lại tạo thành tam gác có ba cạnh tương ứng tỷ lệ với ba cạnh tam giác cho S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 11 Hệ 1.3 Nhiều đường thẳng song song định hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỷ lệ Bài tốn 1.1 Cho hình thang ABCD với AB//CD M trung điểm CD Gọi I giao điểm AM BC, K giao điểm BM AC Chứng minh IK//AB Lời giải Ta có ∆AIB ∼ ∆M ID (Do AB//M D, AIB = M ID) ⇒ IM MD = IA AB Mặt khác M D = M C, AB//M C (giả thiết) MC IM KM KM = nên = ⇒ KB AB IA KB ⇒ IK//AB (Theo Thalet đảo ta suy điều phải chứng minh) Hình 1.2 1.2.2 Định lý Pythagoras Định lý mang tên nhà triết học nhà toán học Hy Lạp sống vào kỷ thứ VI TCN, định lý biết nhà toán học Ấn Độ, Hy Lạp, Trung Quốc Babylon từ nhiều kỷ trước Hai cách chứng minh cổ Định lý Pythagoras cho nằm "Chu bễ toán kinh" khoảng 500 đến 200 TCN "Các nguyên tố" Euclid khoảng 300 năm TCN Định nghĩa 1.2 Tam giác vuông tam giác có góc vng Cạnh đối diện với góc vng gọi cạnh huyền, hai cạnh kề góc vng gọi hai cạnh kề hay hai cạnh góc vng Cách phát biểu Euclid: Tổng diện tích hai hình vng vẽ hai cạnh góc vng (hai cạnh kề góc vng) diện tích hình vng vẽ cạnh huyền Dùng đại số sơ cấp hay hình học đại số viết định lý Pythagoras dạng đại, ý diện tích hình vng bình phương độ dài cạnh hình vng S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 12 Định lý 1.3 (Định lý Pythagoras thuận) Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh huyền tổng bình phương độ dài hai cạnh góc vng Nếu tam giác ABC vng A a2 = b2 + c2 Chứng minh Cách Khơng tính tổng qt, giả sử b ≥ c Dựng hình vng BCP Q có độ dài cạnh a, dựng vào bên hình vng tam giác vng tam giác vng ABC Ta thấy diện tích hình vng cạnh a tổng diện tích tam giác vng tam giác ABC với diện tích hình Hình 1.3 vng cạnh (b − c) Vậy ta có a2 = .bc + (b − c)2 = 2bc + b2 − 2bc + c2 = b2 + c2 Cách Cách chứng minh cổ điển Bổ đề 1.1 Trong tam giác vng, bình phương độ dài cạnh góc vng tích độ dài cạnh huyền với độ dài hình chiếu cạnh góc vng lên cạnh huyền b2 = ab′ , c2 = ac′ Chứng minh Vì hai tam giác vng ABC HBA có ABC chung nên ∆ABC ∼ ∆HBA Suy BC AB = hay AB = HB.BC Vậy HB AB c2 = ac′ Chứng minh tương tự, ta có Hình 1.4 ∆ABC ∼ ∆HAC Suy b2 = ab′ ′ ′ Theo bổ đề ta có b = ab ; c = ac Cộng vế hai đẳng thức trên, ta b2 + c2 = a(b′ + c′ ) = a2 Định lý 1.4 (Định lý Pythagoras đảo) Nếu bình phương độ dài cạnh tam giác tổng bình phương độ dài hai cạnh kia, góc tam giác nằm hai cạnh góc vng Nếu tam giác ABC mà a2 = b2 + c2 A = 90o S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 13 Kết luận: Một tam giác vng bình phương độ dài cạnh tổng bình phương độ dài hai cạnh 1.3 Định lý hàm số sin định lý hàm số cosin 1.3.1 Định lý hàm số sin Định lý 1.5 Trong tam giác ABC có hệ thức a b c = = = 2R sin A sin B sin C (1.6) Chứng minh Vẽ đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Vì góc A, B, C có vai trị nhau, nên chứng minh (1.6) cho góc A Vẽ đường kính BA′ a) Nếu A = 90o , sin A = 1, a = 2R, nên (1.6) b) Xét trường hợp A nhọn Ta có A = A′ (góc nội tiếp chắn cung nhỏ BC) đó: sin A = sin A′ BC a a = ⇔ = 2R BA′ 2R sin A c) Xét trường hợp A tù Khi A + A′ = 180o , sin A = sin (180o − A′ ) = sin A′ = 1.3.2 Hình 1.5 a a BC ⇔ = 2R = BA′ 2R sin A Định lý hàm số cosin Định lý 1.6 Trong tam giác ABC có hệ thức a2 = b2 + c2 − 2bc cos A; (1.7) b2 = a2 + c2 − 2ac cos B; (1.8) c2 = a2 + b2 − 2ab cos C (1.9) Chứng minh Cách (Dùng cơng cụ vectơ) Vai trị a, b, c nhau, ta chứng minh công thức (1.7) S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 14 − −−→ → −→ − −→ − Để đơn giản ta đặt: → a = BC, b = AC, → c = BA → − − → − − → − −→ − − −c + 2→ Ta có → a = b +→ c ⇒→ a2 =( b +→ c ) = b 2+→ b −c → − − → − −c + 2bc cos (→ ⇔→ a2 = b 2+→ b , −c ) − ⇔→ a = b2 + c2 + 2bc cos (π − A) = b2 + c2 − 2bc cos A Cách (Dùng cơng cụ đại số) Đây ứng dụng định lý Pythagoras Trường hợp hai góc B, C góc nhọn Áp dụng định lý Pythagoras cho hai tam giác vuông ACH ABH ta có AH + CH = AC AH + BH = AB Trừ tương ứng vế đẳng thức ta CH − BH = AC − AB Hình 1.6 ⇒ (BC − BH)2 − BH = AC − AB ⇒ BC − 2BC.BH = AC − AB hay a2 − 2a.BH = b2 − c2 a2 + c2 − b2 (1.10) 2a BH Trong tam giác vng ABH có cos B = Kết hợp với (1.10) ta AB a2 + c2 − b2 hay b2 = a2 + c2 − 2ac cos B suy ra: cos B = 2ac Tương tự ta chứng minh ⇒ BH = c2 = a2 + b2 − 2ab cos C; 1.3.3 a2 = b2 + c2 − 2bc cos A Bài toán Bài toán 1.2 (F.Smarandache) Cho tam giác ABC, D điểm tuỳ ý cạnh BC Giả sử BD = m, CD = n, BAD = α, CAD = β Khi m c sin α = n b sin β (1.11) 1 Lời giải Ta có [BAD] = m.ha = AB.AD sin α; 2 1 [CAD] = n.ha = AC.AD sin β 2 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 15 Từ suy 1 m.h AB.AD sin α a [BAD] 2 = = 1 [CAD] n.ha AC.AD sin β 2 m c sin α ⇔ = (đpcm) n b sin β Hình 1.7 A Hệ 1.4 Giả sử AD phân giác góc A Khi α = β = m c nên từ (1.11) ta có = n b Bài toán 1.3 (J Sandor) Giả sử AD AE hai tia (D, E ∈ BC) tương ứng tạo với AB AC góc α, β Nếu A ≤ 90o α ≤ β BD.BE AB ≤ CD.CE AC (1.12) Lời giải Thật theo cơng thức (1.11) ta có ABD AB sin α BD = = CD ACD AC sin (A − α) Tương tự ta có AB sin (A − α) BE = CE AC sin β BD.BE = ⇒ CD.CE AB AC sin α sin (A − β) sin β sin (A − α) (1.13) Vì < α ≤ β < 90o < A − β ≤ A − α < 90o , từ (1.13) ⇒ (1.12) BD.BE AB Nhận xét rằng, α = β = CD.CE AC 1.4 1.4.1 Định lý Stewart áp dụng Định lý Stewart Định lý 1.7 Cho ∆ABC với độ dài BC = a, CA = b, AB = c Kẻ tia Am góc A, cắt cạnh BC M Giả sử AM = p, BM = m, M C = n Khi đó: a(p2 + mn) = mb2 + nc2 S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn (1.14) http://www.lrc-tnu.edu.vn 16 Chứng minh Áp dụng định lý hàm số cosin cho tam giác AM B AM C, ta có c2 = p2 + m2 − 2pm cos (AM B); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM C) Chú ý cos (AM B) = cos (π − AM B) = − cos (AM C), nên ta có c2 = p2 + m2 + 2pm cos (AM C); b2 = p2 + n2 − 2pn cos (AM C) Suy nc2 + mb2 = p2 (n + m) + mn(m + n) = (m + n)(p2 + mn) = a(p2 + mn) ⇒ a(p2 + mn) = mb2 + nc2 1.4.2 (đpcm) Định lý đường trung tuyến Định lý 1.8 Trong tam giác ba đường trung tuyến gặp điểm gọi trọng tâm tam giác Trên đường trung tuyến, khoảng cách từ trọng tâm đến đỉnh hai lần khoảng cách trọng tâm đến chân đường trung tuyến Định lý 1.9 (Định lý Apollonius - Pappus) Trong tam giác ABC có hệ thức sau đường trung tuyến c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 b2 + c2 a2 − ; m2b = − ; m2c = − (1.15) m2a = 4 Chứng minh Cách 1: Theo phần chứng minh định lý cosin tam giác ta có a2 + c2 − b2 kết quả: BH = 2a Giả sử AB < AC BH < BM nên HM = BM − BH = Từ a a2 + c − b c2 − b2 b2 − c2 − = ⇒ HM = 2a 2a 2a m2a = AM = AH + HM = AB − BH + HM a2 + c2 − b2 =c − 2a c2 + b2 a2 − ⇒ ma = S hóa b i Trung tâm H c li u – + i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn c − b2 2a a4 + 2a2 (c2 − b2 ) =c − 4a2 http://www.lrc-tnu.edu.vn 17 c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 Tương tự ta có = − ; mc = − 4 a Cách 2: Trong công thức (1.14) đặt p = ma , m = n = , ta có m2b a(m2a + a a2 ) = (b2 + c2 ) ⇒ m2a = b2 + c2 a2 − Các công thức cịn lại chứng minh tương tự Bài tốn 1.4 Chứng minh rằng, mb = mc , tam giác ABC cân A Lời giải Theo công thức đường trung tuyến ta có c2 + a2 b2 a2 + b2 c2 − − + 4 = (3c − 3b2 ) = 3(c − b)(c + b) m2b − m2c = = Từ suy b = c ta có điều phải chứng minh 1.4.3 Định lý đường phân giác Định lý 1.10 Đường phân giác góc ứng với đỉnh tam giác chia cạnh đối diện với đỉnh thành hai đoạn tỉ lệ với hai cạnh kề Chứng minh Cho tam giác ABC AD đường phân giác DB AB = góc BAC Ta phải chứng minh AC DC Qua điểm B vẽ đường thẳng song song với cạnh AC, cắt đường thẳng AD điểm E Ta có BAE = EAC (giả thiết) BEA=EAC (so le trong) Suy BAE = BEA Do tam giác BAE cân, nên AB = BE Hình 1.8 Áp dụng hệ định lý DB BE = Thales ta có AC DC S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn 18 AB DB = AC DC Chú ý: Định lý đường phân giác tam giác AB D′B = ′ AC DC Định lý 1.11 (Công thức đường phân giác) Độ dài phân giác la , lb , lc góc A, B, C tam giác ABC tương ứng tính theo cơng thức Nhưng BE = AB, la = A 2bc cos ; b+c lb = 2ca B cos ; c+a lc = 2ab C cos a+b (1.16) Chứng minh Sử dụng cơng thức diện tích tam giác [ABC] = [ADB] + [ADC] A A A ⇔ b.c sin ( ) = AD.c sin ( ) + AD.b sin ( ) 2 A A A ⇔ 2bc sin ( ) cos ( ) = AD sin ( )(b + c) 2 2bc A 2bc A ⇒ AD = cos ( ) ⇒ la = cos ( ) b+c b+c Chứng minh tương tự ta suy công thức: lb = B 2ca cos ( ); c+a lc = 2ab C cos ( ) a+b Định lý 1.12 (Định lý Steiner - Lehmus) Tam giác có hai đường phân giác tam giác cân Chứng minh Giả sử tam giác ABC có lb = lc Ta chứng minh b = c Sử dụng công thức (1.16) biến đổi đại số cần thiết ta có (a + b + c+)(bc + a2 ) + 2abc = lb2 − lc2 = a(a + b + c)(c − b) (1.17) (a + b)2 (a + c)2 Trong công thức (1.17) thừa số khơng c − b, b = c 1.4.4 Cơng thức góc chia đơi Định lý 1.13 Cơng thức góc chia đơi: S hóa b i Trung tâm H c li u – i h c Thái Nguyên DeThiMau.vn http://www.lrc-tnu.edu.vn ... "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" tiến hành vào năm 2010 chủ yếu dựa tài liệu [3,7-9], tài liệu [3] làm quen từ tháng năm 2011 Bản luận văn "Một số định lý hình học tiếng áp dụng" gồm có:... bày định lý hình học phẳng dạy bậc trung học sở trung học phổ thông định lý Thales, định lý Pythagoras, định lý đường phân giác, định lý Stewart, định lý Appollonius-Pappus, định lý hàm số sin,... giới thiệu số định lý hình học tiếng liên quan đến đường tròn định lý Euler đường tròn Euler, định lý Simson đường thẳng Simson, định lý Steiner, định lý Newton, định lý Brianchon số định lý khác