CÁC CÁC ĐỊNH ĐỊNH LÝ LÝ HÌNH HÌNH HỌC HỌC NỔI NỔI TIẾNG TIẾNG VÀ VÀ VẬN VẬN DỤNG DỤNG Định lý Stewart *Cho tam giác ABC bất kỳ, D điểm cạnh BC Ta ln có : BC.AD2 = BD.AC2 + DC.AB2 – BC.BD.DC Bài tập áp dụng: Đề: cho tam giác ABC Các đường AD, BE, CK ( D,E,K tương ứng thuộc cạnh BC CA, AB) gọi đường n - tuyến ABC như: BD CE AK BC CA AB n ( n số dương cho trước) Đặt AD=da, BE = db, CK= dc ( gọi da , db , dc độ dài đường n- tuyến) Chứng minh rằng: da2 + db2 + dc2 = n2 n 1 (a b c ) n2 Chú ý: 1) Với toán tổng quát trên, ta thay n số ngun dương cụ thể ta có định lý quen thuộc học.Chẳng hạn, n = đường 2-tuyến trở thành đường trung tuyến tam giác 2) Ngồi ra, n-tuyến có nhiều tính chất lý thú như: tam giác KDE, A’B’C’ ABC có trọng tâm.( ta chứng minh hình học vector ) Cơng thức Euler Cho tam giác ABC Gọi O I tương ứng tâm đường tròn ngoại tiếp nội tiếp tam giác Đặt l = IO Chứng minh rằng: l2= R2 – 2Rr Công thức Euler cho khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp bàng tiếp Ký hiệu O tâm đường tròn ngoại tiếp Ia tâm đ ường trịn bàng tiếp góc A tam giác ABC Đặt da = OIa Chứng minh công thức Euler : da2 = R2 + 2Rr Định lý Euler Cho tam giác nội tiếp đường tròn tâm O M điểm mặt phẳng chứa tam giác chứa tam giác Gọi A1, B1, C1 hình chiếu M lân cạnh BC, CA, AB Chứng minh : S A1 B1C1 = 1 d2 1 MO = d R 4.Bài toán điểm Broca 1) Cho tam giác ABC điểm M tam giác ABC cho MAˆ B MBˆ C MCˆ A Chứng minh : cotg = cotgA + cotgB + cotgC (Điểm M xác định gọi điểm Broca, cịn góc Broca) 2) Chứng minh rằng: 1 1 2 sin sin A sin B sin C 3) Chứng minh : DeThiMau.vn sin = 2S b c c a a 2b 2 4) Chứng minh : sin sin( A ) sin( B ) sin(C ) 5) Gọi Ra, Rb, Rc tương ứng bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác MAB,MAC,MCB Chứng minh RaRbRc = R3 6) Chứng minh : MA.MB.MC = 8R3sin3 Định lý Cacnô Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi ka, kb, kc khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Thì : ka + kb + kc = R + r Chú ý : Định lý Cacnơ cịn viết dạng sau : Trong tam giác ABC : AH + BH +CH = 2(R + r) với H trực tâm tam giác ( Do theo định lý đường thẳng Euler, ta có H,G,O thẳng hàng, với G trọng tâm tam giác ABC GH = 2GO AH = 2OP = 2ka Tương tự BH = 2kb, CH = 2kc) Bài tập ứng dụng Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi ka, kb, kc khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Chứng minh hệ thức: Định lý Ptoleme a b c abc 4 k a kb kc k a kb kc Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O Khi ta có: AC.BD = AB.CD + AD.BC Định lý Peletier Cho tam giác A2B2C2 Lấy ba điểm A,B,C tương ứng nằm cạnh B2C2, C2A2 A2B2 Lấy lại ba điểm A1,B1,C1 tương ứng nằm cạnh BC,CA,AB ABC cho A1B1// A2B2; B1C1//B2C2 C1A1//C2A2.Suy ra: S2ABC = S A1 B1C1 S A2 B2 C S2ABC = SA B C SA B C Hệ định lý Peletier 1) Tam giác ABC nhọn Vẽ ba chiều cao AA’, BB’, CC’ Khi A’B’C’ gọi tam giác trực tâm Tam giác A1B1C1 A1B1, A1C1, B1C1 tương ứng tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC C, B, A 2) Tam giác A1B1C1 gọi tam giác tiếp xúc Và diện tích tam giác ABC trung bình nhân diện tích tam giác trực tâm tam giác tiếp xúc Bài tập ứng dụng Cho tam giác ABC Đường tròn nội tiếp tam giác tiếp xúc với cạnh AB, BC, CA tương ứng C1, A1, B1 Qua A, B, C theo thứ tự kẻ đường thẳng song song với B1C1, C1A1, A1B1 Chúng cắt tạo thành A2B2C2 DeThiMau.vn Đặt AB = c, BC = a, CA = b, gọi R, r tương ứng bán kính đường tròn ngoại tiếp nội tiếp ABC Gọi S2, R2 tương ứng diện tích bán kính đường trón ngoại tíêp A2B2C2 Chứng minh rằng: a) S2 = abc ; b) R2 = 2R 2r Định lý Steine Hai tam giác ABC giả sử AD AE đường đẳng giác Ta có hệ thức sau : BD.BE AB CD.CE AC Hệ định lý Steine Đường thẳng đẳng giác với trung tuyến gọi đường đối trung tam giác Và đường đối trung chia cạnh đối diện thành phần tỉ lệ với bình phương cạnh kề DeThiMau.vn ... MA.MB.MC = 8R3sin3 Định lý Cacnô Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi ka, kb, kc khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Thì : ka + kb + kc = R + r Chú ý : Định lý Cacnơ cịn viết dạng... 2r Định lý Steine Hai tam giác ABC giả sử AD AE đường đẳng giác Ta có hệ thức sau : BD.BE AB CD.CE AC Hệ định lý Steine Đường thẳng đẳng giác với trung tuyến gọi đường đối trung tam giác Và. .. dụng Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi ka, kb, kc khoảng cách từ O xuống BC , AC , AB Chứng minh hệ thức: Định lý Ptoleme a b c abc 4 k a kb kc k a kb kc Cho tứ