Bài giảng toán lớp 10 Bài 1: Đại cương về phương trình44266

Nguyễn Văn B 4:38:08 PM Chương III PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH 9/26/2016 §1 Đại cương phương trình I Khái niệm phương trình Định nghĩa:(một ẩn) Cho hai h àm số : y = f(x) y = g(x) có tập xác định Df Dg Đặt D = Df  Dg , mệnh đề chứa biến x  D có dạng : f(x) = g(x) gọi phương trình ẩn , x gọi ẩn số phương trình  D : tập xác định phương trình  Nếu tồn x0  D cho f(x0) = g(x0) x0 gọi nghiệm phương trình  Tập hợp x0 gọi tập nghiệm phương trình  Giải phương trình tìm tập nghiệm  Nếu tập nghiệm tập rỗng, ta nói phương trình vơ nghiệm Ví dụ : Cho hai hàm số f(x) = x g(x)=  x Khi : D f  x  | x  R Dg  {x  | x  R} x =  x gọi phương trình theo ẩn số x Điều kiện phương trình là: điều kiện xác định phương trình Ví dụ: Tìm điều kiện phương trình a)  x  x 2 x b)  x3 x 1 c) x2= x Phương trình nhiều ẩn Phương trình có từ hai ẩn trở lên gọi phương trình nhiều ẩn Ví dụ: 2x+3y-z = 2; x2+3xy-2z = Đối với phương nhiều ẩn khái niệm tập nghiệm ,phương trình tương tương đương ,phương trình hệ quả,… tương đương với phương trình ẩn Phương trình chứa tham số Phương trình f(x) = g(x) có chứa chữ ngồi ẩn gọi phương trình chứa tham số Ví dụ : (m+1)x + = chứa tham số m ax+2 = | x-1| chứa tham số a Việc tìm tập nghiệm phương trình chứa tham số gọi giải biện luận phương trình II Phương trình tương đương , phép biến đổi tương đương Phương trình tương đương Hai phương trình (cùng ẩn) gọi tương đương tập nghiệm chúng (có thể rỗng) Nếu tập xác định D gọi tương đương D Nếu hai phương trình: f1(x) = g1(x) f2(x) = g2(x) tương đương, ta viết : f1(x) = g1(x)  f2(x) = g2(x) Ví dụ 1: phương trình 2x-5=0 3x 15 =0 tương đương có nghiệm x= Nguyễn Văn B -1DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM Ví dụ 2: với x>0 hai phương trình x2=1 9/26/2016 x=1 tương đương Phép biến đổi tương đương: phép biến đổi phương trình xác định D thành phương trình tương đương gọi phép biến đổi tương đương D (ta dùng dấu "" để tương đương phương trình) Ví dụ: 2x-5=0  3x 15 =0 Nguyễn Văn B -2DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM 9/26/2016 * Các phép biến đổi tương đương phương trình: Định lí : Cho phương trình f(x) = g(x) có tập xác định D h(x) xác định D phương trình: f ( x )  g ( x )  f ( x )  h( x )  g ( x )  h( x ) f ( x)  g ( x)  f ( x)h( x)  g ( x)h( x) neáu h(x)  với x  D Hệ : Nếu chuyển biểu thức từ vế phương trình sang vế đổi dấu ta phương trình tương đương với phương trình cho * Chú ý: Nếu vế phương trình ln dấu bình phương hai vế nó, ta phương trình tương đương Ví dụ 1: Phương trình hệ a) Định nghĩa: f1(x)=g1(x) gọi phương trình hệ phương trình f(x)=g(x) tập nghiệm chứa tập nghiệm phương trình f(x)=g(x) Khi ta viết: f(x)=g(x) f1(x)=g1(x) b) Phép biến đổi cho phương trình hệ : Khi bình phương hai vế phương trình ta đến phương trình hệ * Chú ý: Phương trình hệ có thêm nghiệm khơng phải nghiệm phương trình ban đầu Ta gọi nghiệm ngoại lai Khi ta phải thử lại nghiệm để loại bỏ nghiệm ngoại lai Ví dụ 1: Giải phương trình x  x  3x  (1)   x  x  x2  Điều kiện pt(1) x≠2 x≠2 (1)  (x+2)2+(x2)2= 3x+7 Hoặc: Với điều kiện x≠2 x≠2 (1)(x+2)2+(x2)2= 3x+7 (???) Ví dụ 2: a) |x2|=x+1  (x2)2=(x+1)2 b) x  =x  x1= x2 Ví dụ 3: Giải phương trình x   x (3) Giải Điều kiện x≥ Bình phương hai vế phương trình (3)  x24x+4 = x x25x+4=0 (3') Phương trình (3') có nghiệm x=1 x=4 Thử lại vào phương trình (3), ta thấy x=1 khơng phải nghiệm (3) x=4 nghiệm Vậy pt(3) có ngiệm x=4 BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Tìm điều kiện phương trình 2x  3 x x 4 c) x   x a) x4  1 x x2 x2  3x  x  d) 2x 1 b) Nguyễn Văn B -3DeThiMau.vn Nguyễn Văn B e) x  x 1 x3 4:38:08 PM f) 2x   x 1 x2  Đáp số a) x≤ 3, x≠ ± b) Khơng có giá trị x thỏa f) x≥1 x≠2 2/ Chứng tỏ phương trình sau vơ nghiệm a) 3x   x 3 x  b) 3) Giải phương trình sau a) x   x   x  c) 2x 1 x3  x 3 x 3 3x  e)  x 1 x 1 3x  x  g)  3x  3x  c) x≥1/2 x≠0 d)  x  Re) x>1 x   x  3 4 x b) d) ĐS: a) x=3 b) Vô nghiệm 4) Giải phương trình sau a) x   x  x   c) x   x   x  9/26/2016 x 5  x  2 x 5 2x2  x 1 x 1 c) Vô nghiệm d) x=2 b) x   x  x   d) x   x     x  x  3x  f)  x4 x4 x2   h) x   x 1 x 1 Đáp số: a) x=2 b) x=3 c) VNo d) x=2 e) VNo f) x=0 x=2 g) x=4/3 h) x=2 2 5) Cho phương trình (x+1) =0 (1) ax (2a+1)x+a=0 (2) Tìm a để (1) tương đương (2) HD Giả sử (1)(2) x= 1 (1) nghiệm Thế x=1 (2) ta tìm a=1/4 Khi a=1/4 vào (2)  (x+1)2=0 Vậy (1)  (2) 6) Tìm m để cặp pt sau tương đương a) x+2=0 mx  3m   x3 b) x29=0 2x2+(m5)x3(m+1)=0 c) 3x2=0 (m+3)xm+4 d) x+2=0 m(x2+3x+2)+ m2x+2=0 Đáp số: a) m=1 b) m=5 c) m=18 d) m=1 BÀI TẬP (Đại cương phương trình) 1/ Tìm điều kiện xác định phương trình sau suy tập nghiệm nĩ a) x   x c) 3 x  x  x 3 x 3 b)3 x  x    x  d )x  x 1  x 2/ Giải phương trình sau Nguyễn Văn B -4DeThiMau.vn Nguyễn Văn B a) x  x    x  x c)  x 5 x 5 4:38:08 PM 9/26/2016 b) x  x   0,5  x  x d)  x 5 x 5 3/ Giải phương trình sau a) x  2x 1  x 1 x 1 c) ( x  x  2) x   b) x  2x   x2 x2 d ) ( x  x  2) x   Nguyễn Văn B -5DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM 9/26/2016 4/ Giải phương trình sau cch bình phương hai vế a) x    x c) | x  | x  b) x   x  d ) | x  | x  5/ Tìm nghiệm nguyên phương trình sau cách xét điều kiện a)  x - = b) x  = x -x 2 x + 2 6/ Giải phương trình sau : a/ x 1 = 1 x b/ x + x 3 = + c/ x4 +1= d/ x + x = e/ x2 x2 = 4x x2 7/ Giải phương trình sau : x 1 a/ x + = x2 x2 x x2 c/ =0 x 1 8/ Giải phương trình : a/ x  1 = x + d/ x  3 = 3x  g/ x 1 x = x 1 x Bài 1: Giải phương trình sau a) x = x b) x  =  x +1 f/ b/ x 1 = x 3 x 2 x2 g/ x 1 = x 3 3 x x  (x2  x  6) = d/ +  2x = x 3 x 3 e/ b/ x + 2 = x  1 x 1 x e/ = x x h/ x 1 x2 x 3 = x2  = x2 x3 x2 c/ x  3 = x + x x f/ = x2 x2 2x x 3 BÀI TẬP THÊM x e) x 1 x f) c) x+ x  = 2+ x - x 1   x 1 x 1 d) x+ x  = 1+ x  Bài 2: giải phương trình sau 2x   x 1 x 1 2x  b) x   x2 x2 c) x  (x -3x+2) = x  (x2-x-2) = d) a) x  e) f) x x2 x 4 x 1   x2 x3 x 1  x2  x 1 Bài 3: Giải phương trình sau Nguyễn Văn B -6DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM 9/26/2016 a) x   x  d) x   x  b) x   x  e) f) c) x   x  Bài 4: Giải phương trình sau a) b) -7- x x 1 x2 x 1   x c) x 1 x2 d) x 1 x    2x x 1  x  x 2 x x 1 x2   x 2 x 1 x x2 Nguyễn Văn B DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM 9/26/2016 §2 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI I Phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai Phương trình bậc Giải biện luận phương trình dạng ax+b =  a ≠ 0: Phương trình có nghiệm x=  b a  a = b ≠ 0: Phương trình vơ nghiệm  a = b=0: Phương trình nghiệm với x (vô số nghiệm) * Chú ý: + Trước giải biện luận phương trình bậc ta phải đưa phương trình dạng ax+b = + biện luận a=0 thay giá trị m vừa tìm vào b + Khi a  phương trình ax+b = gọi phương trình bậc ẩn Ví dụ Giải biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - (1) Giải Phương trình (1)  (m - 1)x = m2 + m – (1a) Ta xét trường hợp sau : + Khi (m-1) ≠  m ≠ nên phương trình (1a) có nghiệm x= m2  m  = m – ;nên pt(1) có nghiệm m 1 +) Khi (m – 1) =  m = phương trình (1a) trở thành 0x = 0; phương trình nghiệm với x  R; nên pt(1) với x  R Kết luận : m ≠ : nghiệm x= m-2 (Tập nghiệm S = {m - 2}) m = :  x R (Tập nghiệm S = R) Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: m(x-1) = 2x+1 (2) Giải Ta có (2)  mx-m = 2x+1  (m-2)x = m+1 (2a) (có dạng ax+b =0) Biện luận: + m-2  0 m  (2a) có nghiệm x  m 1 m2 + m-2= 0 m = (2a) trở thành 0x=3; pt vô nghiệm, nên (2) vô nghiệm Kết luận: m  (2) có nghiệm x  m=2 (2) vơ nghiệm m 1 m2 Ví dụ 3: Giải biện luận phương trình m2x+2 = 2m-2 (3) Giải -8- Nguyễn Văn B DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM Ta có: (3) = 2m-2  Biện luận: + Nếu m2-1   m   m2x-x (m2-1)x = 2(m-1) 9/26/2016 (3a) (3a) có nghiệm 2(m  1)  ; nên (3) có nghiệm m 1 m 1 + Nếu m2-1=0  m=  x - với m=1 :(3a) có dạng 0x= 0, (3a) với x  R (phương trình có vơ số nghiệm), nên (3) có vơ số nghiệm - với m=-1: (3a) có dạng 0x=-4; (3a)vơ nghiệm, nên (3) vô nghiệm Kết luận: + m≠1 m≠ -1 (3) có nghiệm x  m 1 + m =1 (3) có vơ số nghiệm + m= -1 (3) vơ nghiệm Ví dụ 4: Giải biện luận phương trình sau theo tham số m : mx  m   1(*) x 1 Giải Với x  -1 (*)  mx-m-3 = x+1  (m-1)x = m+4 (**) Biện luận (**) với x  -1 + Nếu m  (**) có nghiệm x  m4 m4 1 1 m   m 1 m 1 + Nếu m=1: (**) 0x=4, vô nghiệm Kết luận : m  m   m4 (*) có nghiệm x= m 1 1 m   (*) vơ nghiệm   Ví dụ 5:giải biện luận phương trình theo tham số m: mx   x  m  (1) Giải mx   x  m  (2) Ta có (1)  mx   -3x - m  (3) + giải biện luận (2) (2) (m-3)x= m-3 m  (2) có nghịêm x=1 m=3 (2)0x = =>(2) có vơ số nghiệm + giải biện luận (3) (3)(m-3)x=-m+3 m  -3 (3) có nghiệm x= -9-  m 1 m3 Nguyễn Văn B DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM m = -3 (3) 0x=4, vơ nghiệm Kết luận: - với m  m  -3 : (1) có hai nghiệm x1=1 x2 = 9/26/2016  m 1 m3 - với m=3: (1) có vơ số nghiệm - với m=-3:(1) có nghiệm x=1(vì thỏa phương trình (2) ) Phương trình bậc hai (nhắc lại cách giải phương trình bậc hai) Giải biện luận phương trình dạng ax2+bx+c =  a= :Trở giải biện luận phương trình bx + c =  a ≠ Lập = b2  4ac (hoặc ’=b’2-ac) Nếu  > 0: phương trình có hai nghiệm phân biệt b   b   v x= x= 2a 2a b Nếu  = : phương trình có nghiệm kép : x = 2a Nếu  < : phương trình vơ nghiệm Ví dụ 1: Giải biện luận phương trình mx2-2(m+1)x+m+1 = Giải Phương trình cho có dạng phương trình học Biện luận: Nếu m = ( thay m = vào phương trình ta -2x+1= => x= Nếu m  , tính ' = m+1, : + ' <  m < -1  pt vô nghiệm + ' =  m = -1  pt trình có nghiệm kép x1=x2 = + ' >  m > -1  pt có hai nghiệm phân biệt x1,2 = * Kết luận: Ví dụ 2: Định m để phương trình mx2-2(m-2)x+m-3 = có nghiệm m 1 m 1 m Định lí Viét Nếu phương trình bậc hai ax2+bx+c = (a  0) có hai nghiệm x1, x2 tổng (S) tích (P) hai nghiệm là: S = x1+x2 =  b a P = x1.x1 = c a Ngược lại, hai số u, v có S=u+v; P=u.v u, v nghiệm phương trình x2Sx+P = Ví dụ 1: tìm hai số biết S =19 , P = 84 Giải Hai số cần tìm nghiệm phương trình bậc hai x2-19x+84 = ,pt có hai nghiệm  x1  x    x2  12  x2  12  -10- hai số cần tìm 12 Nguyễn Văn B 10 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B * Chú ý: điều kiện để phương trình kiện để tồn hai số có tổng S, tích P * Ứng dụng 4:38:08 PM x2-Sx+p =0 có nghiệm 9/26/2016 S2  4P Đây điều x12  x22  ( x1  x2 )  x1 x2  S  P 1 S   x1 x2 P x13  x23  ( x1  x2 )3  x1 x2 ( x1  x2 )  S  3PS x14  x24   x12  x22   x12 x22 =(S22P)22P2 Ví dụ 1: Cho phương trình x24x+m1= Xác định m để phương trình có hai nghiệm x12  x22 =10 Điều kiện pt có nghiệm '≥0  5m≥0  m≤5  S22P = 10  m =4 Ví dụ 2: Xác định m để phương trình x2-4x+m-1= có hai nghiệm x1, x2 thỏa xệ thức x  x  40 Giải Phương trình có nghiệm   '   m  Theo giả thiết x13  x23  40 S3-3PS=40  64-12(m-1)=40  m= (nhận) 3 * Xét dấu nghiệm phương trình bậc hai Giả sử phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 thì: x1< < x2  P < (hai nghiệm trái dấu) P   x1  x2 <    ( hai âm) S   P   < x1  x2    (hai dương) S   Ví dụ: cho phương trình x2+5x+3m-1 = (1) a) Định m để phương trình có hai nghiệm trái dấu b) Định m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt Giải a) pt(1) có hai nghệm trái dấu c  P <    3m    m < a  P  3m     b) để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt     25  12m    S      -11- Nguyễn Văn B 11 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B  m  29    m 12 m  29  12 4:38:08 PM 9/26/2016 29  m  pt(1) có hai nghiệm âm phân biệt 12 II Phương trình quy phương trình bậc nhất, bậc hai Phương trình trùng phương Phương trình dạng ax4 + bx2 + c =0 Cách giải: + đặt t=x2, đk: t≥ + Giải phương trình: at2 + bt + c=0 + kết hợp điều kiện  x Ví dụ: Giải phương trình x48x29 = Đặt y = x2 , y  Khi đó: y  -1 (loại) (*) y2-8y-9 =   y  với y =  x2 =  x =  Ví dụ 2: Cho phương trình x4+(1-2m)x2+m2-1 = Định m để : a) Phương trình vô nghiệm b) Phương trình có nghiệm c) Phương trình có nghiệm phân biệt d) Phương trình có nghiệm phân biệt e) Phương trình có nghiệm phân biệt -12- Nguyễn Văn B 12 DeThiMau.vn Nguyễn Văn B 4:38:08 PM 9/26/2016 Phương trình chứa giá trị tuyệt đối Cách giải: Sử dụng định nghĩa bình phương hai vế để khử (bỏ) dấu giá trị tuyệt đối Các dạng Dạng 1: |f(x)| = c (với c  R) Nếu c