David Hilbert & Chương trình của Hilbert David Hilbert & Chương trình của Hilbert I Giới thiệu David Hilbert (23 tháng 1, 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2, 1943, Göttingen, Đức) là một nhà toán học[.]
David Hilbert & Chương trình Hilbert I.- Giới thiệu David Hilbert (23 tháng 1, 1862, Wehlau, Đông Phổ – 14 tháng 2, 1943, Gưttingen, Đức) nhà tốn học người Đức, công nhận nhà tốn học có ảnh hưởng rộng lớn kỉ 19 đầu kỉ 20 Ông thiết lập tên tuổi nhà toán học nhà khoa học vĩ đại cách phát minh hay phát triển loạt ý tưởng khác nhau, chẳng hạn lý thuyết bất biến, tiên đề hóa hình học, khái niệm khơng gian Hilbert, tảng giải tích hàm Hilbert học sinh ông xây dựng đủ hạ tầng sở toán học cần thiết cho học lượng tử thuyết tương đối rộng Ông sáng lập viên lý thuyết chứng minh, logic toán học phân biệt toán học meta-tốn học Ơng sử dụng bảo vệ lý thuyết tập hợp Cantor số siêu hạn (transfinite number) Một ví dụ tiếng vai trị lãnh đạo giới toán học phát biểu năm 1900 danh sách toán định hướng nghiên cứu toán học kỉ thứ 20 Khi Ơng qua đời, bia mộ Gưttingen, người ta khắc dịng chữ ơng để lại dấu án Chương trình Hilbert : Wir müssen wissen, wir werden wissen - Chúng ta phải biết, biết Trớ trêu thay, trước ngày Hilbert lên câu đó, Kurt Gưdel trình bày luận án mình, chứa đựng định lý bất tồn tiếng- Một lý thuyết đối chọi Chương trình Hilbert II.-Cuộc đời & Sự nghiệp Hilbert sinh Wehlau, gần Kưnigsberg, Đơng Prussia (ngày Znamensk, gần Kaliningrad, Nga) Ơng tốt nghiệp lyceum (phổ thơng trung học) thành phố quê nhà đăng kí vào Đại học Kưnigsberg Ơng nhận tiến sỹ năm 1885, với luận văn, viết hướng dẫn Ferdinand von Lindemann, với tựa đề Über invariante Eigenschaften specieller binärer Formen, insbesondere der Kugelfunctionen ("Về tính chất bất biến dạng nhị phân đặc biệt, đặc biệt hàm vịng") Hermann Minkowski thí sinh tiến sỹ trường đại học vào thời gian đó, ông Hilbert trở thành bạn thân, hai ảnh hưởng lẫn nhiều thời điểm khác nghiệp khoa học họ Hilbert lại Đại học Königsberg giáo sư từ 1886 đến năm 1895, khi, kết can thiệp Felix Klein ông đạt vị trí Trưởng khoa Tốn Đại học Gưttingen, vào thời gian trung tâm nghiên cứu tốn học tốt giới ơng lại cuối đời 1./ Định lý hữu hạn Cơng trình Hilbert hàm bất biến dẫn đến kết năm 1888 định lý hữu hạn tiếng ông Hai mươi năm trước đó, Paul Gordan chứng minh định lý hữu hạn phần tử phát sinh cho dạng nhị phân sử dụng tiếp cận tính tốn phức tạp Những cố gắng tổng quát hóa phương pháp ơng cho hàm số có hai biến thất bại khó khăn tính tốn liên quan Hilbert nhận cần phải theo hướng hồn tồn khác Kết quả, ơng chứng minh định lý sở Hilbert: cho thấy tồn tập hợp hữu hạn phần tử phát sinh, cho bất biến dạng quantic với số lượng biến bất kì, dạng trừu tượng Nghĩa là, chứng minh tồn tập hợp vậy, ông không sử dụng thuật toán mà đưa định lý tồn Hilbert gửi kết cho tạp chí Mathematische Annalen Gordan, chuyên gia lý thuyết bất biến tạp chí Mathematische Annalen, khơng đánh giá cao chất có tính cách mạng định lý Hilbert từ chối báo, phê phán cách trình bày khơng đủ chi tiết Lời phê ông là: Đây Thần học, khơng phải Tốn học! Klein, mặt khác, nhận quan trọng kết này, bảo đảm báo xuất mà không bị thay đổi Được khuyến khích Klein lời phê Gordan, Hilbert báo thứ hai mở rộng phương pháp ông, đưa đánh giá bậc cao tập nhỏ phần tử phát sinh, ông gửi lần cho tạp chí Annalen Sau đọc xong thảo, Klein trả lời thư, rằng: Khơng nghi ngờ cơng trình quan trọng đại số nói chung mà tạp chí Annalen xuất Sau này, sau hữu dụng phương pháp Hilbert công nhận rộng rãi, Gordan nói rằng: Tơi phải thừa nhận thần học có giá trị 2./Tiên đề hóa hình học Cuốn sách Grundlagen der Geometrie (tr.: Nền tảng Hình học) xuất Hilbert vào năm 1899 đưa tập hợp chuẩn, bao gồm 21 tiên đề, thay cho tiên đề Euclid truyền thống Chúng tránh điểm yếu tiên đề Euclid, mà tác phẩm ơng lúc xem sách giáo khoa Độc lập thời gian, học sinh Mỹ 19 tuổi tên Robert Lee Moore xuất tập tiên đề tương tự Một số tiên đề trùng hợp nhau, số tiên đề hệ thống Moore định lý hệ thống tiên đề Hilbert ngược lại Cách tiếp cận Hilbert đánh dấu chuyển đổi sang hệ thống phương pháp tiên đề đại Các tiên đề không xem thật hiển nhiên Hình học xử lý đối tượng, thứ mà có trực giác mạnh, khơng cần phải gán cho nghĩa rõ ràng khái niệm chưa định nghĩa Những phần tử, chẳng hạn điểm, đường thẳng, mặt phẳng, thứ khác, thay thế, Hilbert nói, bàn, ghế, ly bia đối tượng khác Chính quan hệ định nghĩa chúng mà bàn luận Hilbert liệt kê khái niệm chưa định nghĩa: điểm, đường thẳng, mặt phẳng, nằm (một quan hệ điểm mặt phẳng),sự nằm giữa, đồng dạng cặp điểm, đồng dạng góc Những tiên đề thống hình học phẳng hình học khơng gian Euclid hệ thống 3./ Hilbert & 23 toán Hilber đưa danh sách có ảnh hưởng lớn 23 tốn chưa giải Đại hội Toán học giới Paris vào năm 1900 Danh sách nhìn nhận tổng kết thành công sâu sắc tốn chưa có lời giải tạo cá nhân nhà toán học Sau tái thiết lập tảng hình học cổ điển, Hilbert làm tương tự cho phần cịn lại tốn học Tuy nhiên cách tiếp cận ông khác với nhà 'nền tảng học' Russell-Whitehead hay nhà 'từ điển học' Nicolas Bourbaki sau này, khác với người đương thời Giuseppe Peano Cộng đồng toán học nói chung thêm vào danh sách tốn, mà ơng cho khía cạnh quan trọng ngành toán quan trọng Những toán đưa hội thảo "Những tốn Tốn học" trình bày suốt Hội nghị toán học Quốc tế lần thứ tổ chức Paris Ơng trình bày phân nửa tổng số toán Đại hội, xuất báo cáo Đại hội Trong báo kế tiếp, ông mở rộng danh sách, dừng lại hình thức dạng tắc 23 Bài tốn Hilbert Tồn văn danh sách quan trọng, diễn giải tốn vấn đề không tránh khỏi tranh cãi, hỏi toán giải Một số giải thời gian ngắn Một số khác thảo luận suốt kỉ 20, với số xem khơng thích hợp tốn mở Một số tiếp tục thách thức hơm cho nhà tốn học 4./ Hilbert & Trường phái Hình thức hóa Trở thành quy chuẩn vào kỉ, danh sách toán Hilbert dạng tuyên ngôn, mở đường cho phát triển trường phái hình thức hóa, ba trường phái lớn tốn học kỉ 20 Theo người thuộc trường phái hình thức hóa, tốn học trị chơi với kí hiệu bị làm ý nghĩa riêng theo quy luật mang tính hình thức đồng ý trước Do hoạt động độc lập suy nghĩ Tuy có nhiều người nghi ngờ quan điểm Hilbert liệu đơn giản theo người theo chủ nghĩa hình thức 5./ Chương trình Hilbert Vào năm 1920 ông đề nghị dự án nghiên cứu rõ ràng (về metamathematics, gọi) mà sau biết đến chương trình Hilbert Ơng muốn tốn học phải hệ thống hóa tảng logic vững đầy đủ Ông tin nguyên tắc điều làm được, cách chứng minh rằng: tất toán học suy từ hệ thống hữu hạn tiên đề chọn cách đắn; hệ thống tiên đề chứng minh tính qn Ơng dường có lý kỹ thuật triết học việc hình thức hóa đề nghị Nó khẳng định khơng thích ông thứ biết ignorabimus, vấn đề tồn suy nghĩ người Đức thời đó, suy ngược nguồn gốc từ Emil du Bois-Reymond Chương trình công nhận tiếng triết học tốn học, nơi mà thường gọi hình thức hóa Ví dụ, nhóm Bourbaki lựa cách theo kiểu trên-xuống đủ cho yêu cầu cho dự án đơi họ (a) bách khoa tồn thư có tính tảng (b) giúp cho phương pháp tiên đề công cụ nghiên cứu Cách tiếp cận thành cơng có ảnh hưởng liên quan đến cơng trình Hilbert đại số giải tích hàm, thất bại cách tiếp cận tương tự với vật lý logic ơng 6./ Hilbert & Cơng trình Gưdel Hilbert nhà toán học tài làm việc nhóm với ơng dành hết tâm huyết cho dự án Cố gắng ông để ủng hộ toán học xây tiên đề nguyên lý xác định trước, làm loại bỏ bất định lý thuyết, nhiên thất bại Gödel chứng minh hệ thống hình thức không chứa đựng mâu thuẫn nào, đủ phức tạp để chứa đụng số học, khơng thể chứng minh tồn vẹn tiên đề Vào năm 1931 định lý bất tồn Gưdel cho thấy chương trình vĩ đại Hilbert phát biểu Điểm thứ hai kết nối cách hợp lý với điểm thứ nhất, miễn hệ thống tiên đề thực hữu hạn Dù nữa, định lý bất tồn khơng nói lên việc biểu diễn tồn vẹn tốn học hệ thống hình thức hóa khác Những thành tựu sau lý thuyết chứng minh làm rõ thêm quán liên hệ đến lý thuyết nằm tầm quan tâm chung nhà tốn học Cơng trình Hilbert khởi đầu cho logic hướng làm rõ này; cần thiết hiểu rõ cơng trình Gưdel sau dẫn đến phát triển lý thuyết đệ quy sau logic tốn học ngành độc lập thập kỉ 1930-1940 Cơ sở cho lý thuyết khoa học máy tính sau này, cơng trình Alonzo Church Alan Turing phát triển trục tiếp từ 'tranh luận' 7./ Trường phái Gưttingen Trong học trị Hilbert, có Hermann Weyl, kiện tướng cờ vua Emanuel Lasker Ernst Zermelo John von Neumann trợ lý ông Tại Đại học Gưttingen, ơng bao quanh nhóm nhà toán học quan trọng kỉ 20, chẳng hạn Emmy Noether Alonzo Church 8./ Hilbert & Giải tích hàm Vào khoảng 1909, Hilbert dành thời gian nghiên cứu phương trình vi phân phương trình tích phân; cơng trình ơng có ảnh hưởng trực tiếp đến giải tích hàm đại Để tiến hành nghiên cứu này, Hilbert giới thiệu khái niệm không gian Euclid vô hạn chiều, sau gọi khơng gian Hilbert Các cơng trình ơng phần giải tích cung cấp đóng góp quan trọng cho tốn dùng vật lý cho hai mươi năm sau đó, theo hướng khơng dụ đốn trước Sau này, Stefan Banach mở rộng khái niệm này, định nghĩa không gian Banach Không gian Hilbert ý tưởng quan trọng lĩnh vực giải tích hàm phát triển xung quanh suốt kỉ 20 9./ Hilbert & Vật lý Cho đến 1912, Hilbert nhà toán học túy Khi chuẩn bị ghé thăm từ Bonn, nơi đắm chìm nghiên cứu vật lý, nhà tốn học bạn ông Hermann Minkowski đùa ông phải khử trùng 10 ngày trước có khả ghé thăm Hilbert Thực ra, Minkowski dường có trách nhiệm hầu hết nghiên cứu vật lý Hilbert trước năm 1912, kể buổi hội thảo hợp tác hai ông năm 1905 Vào năm 1912, ba năm sau bạn qua đời, ông quay sang tập trung nghiên cứu môn gần hầu hết thời gian Ơng bố trí để có người đến giảng riêng vật lý cho ơng Ơng bắt đầu nghiên cứu Lý thuyết khí động chuyến sang lý thuyết xạ lý thuyết phân tử vật chất Ngay sau chiến tranh nổ vào năm 1914, ông tiếp tục hội thảo lớp học nơi mà cơng trình Einstein người khác theo dõi cách cặn kẽ Hilbert mời Einstein đến ĐH Göttingen để giảng tuần tháng năm 1915 lý thuyết tương đối lý thuyết trọng lực mà ông phát triển (Sauer 1999, Folsing 1998) Sự trao đổi ý tưởng dẫn đến dạng cuối phương trình trường thuyết tương đối, phương trình trường Einstein tác động Einstein-Hilbert Mặc cho kiện Einstein Hilbert không tranh cơng chúng, có vài bàn cãi khám phá phương trình trường Thêm vào đó, cơng trình Hilbert dự đốn giúp cho số tiến triển tốn học hóa học lượng tử Cơng trình ơng khía cạnh quan trọng cơng trình Hermann Weyl John von Neumann tương đương toán học học ma trận Werner Heisenberg phương trình sóng Erwin Schrưdinger khái niệm khơng gian Hilbert đóng vai trị quan trọng lý thuyết lượng tử Vào năm 1926 von Neuman chứng minh trạng thái nguyên tử hiểu vectơ khơng gian Hilbert, chúng tương ứng với lý thuyết phương trình sóng Schrodinger ma trận Heisenberg Suốt q trình đắm chìm vật lý, ơng đặt chặt chẽ vào toán học vật lý Trong phụ thuộc nhiều vào toán cao cấp, nhà vật lý thường khơng xác sử dụng chúng Đối với nhà toán học túy Hilbert, điều ảnh hưởng đến trình bày làm cho lý thuyết khó hiểu Khi ơng bắt đầu hiểu vật lý nhà vật lý sử dụng tốn nào, ơng phát triển lý thuyết tốn chặt chẽ cho mà ơng khám phá ra, quan trọng ngành phương trình tích phân Khi đồng nghiệp ơng Richard Courant viết sách kinh điển Các phương pháp Toán Vật lý gồm số ý tưởng Hilbert, ông thêm tên Hilbert vào đồng tác giả Hilbert khơng đóng góp trực tiếp vào q trình viết sách Hilbert nói "Vật lý khó cho nhà vật lý", ngụ ý toán học cần thiết vượt khả họ; sách CourantHilbert làm dễ dàng cho họ 10./ Hilbert & Số học Hilbert thống ngành số học đại số (algebraic number theory) với tác phẩm năm 1897 Zahlbericht (dịch sát "báo cáo số") Ơng bác bỏ tốn Waring theo nghĩa rộng Ông sau xuất thêm số kết quả; vượt lên dạng modular Hilbert (Hilbert modular form) luận văn học sinh làm tên ông liên quan xa lãnh vục lớn Ơng có loạt đốn lý thuyết lớp trường (class field theory) Những khái niệm có nhiều ảnh hưởng lớn, đóng góp ơng thấy tên Hilbert class field kí hiệu Hilbert lý thuyết class field địa phương Các kết chúng chứng minh hầu hết hết năm 1930, sau cơng trình xun phá Teiji Takagi thiết lập tên tuổi ông nhà tốn học Nhật có tầm cỡ giới Hilbert không làm việc với ngành trung tâm giải tích số học (analytic number theory), tên ông biết đến qua đốn Hilbert-Pólya, lý mà khơng biết rõ 11./ Các đóng góp khác Hilbert Nghịch lý Grand Hotel Hilbert, suy nghĩ tính chất kỳ lạ khái niệm vơ hạn, thường nói đến dân gian số đếm (cardinal number) vô hạn 12./ Hilbert & CN phát xít Đức Hilbert sống ngày nhìn thấy quân phát xít Đức loại trừ nhiều giáo sư tiếng Đại học Göttingen, vào năm 1933 Trong số người bi buộc thơi việc có Hermann Weyl, người nắm chức vụ Hilbert ông hưu vào năm 1930, Emmy Noether Edmund Landau Một người phải rời Đức Paul Bernays, cộng Hilbert logic toán học, đồng tác giả sách quan trọng Grundlagen der Mathematik (cuối xuất hai tập, vào năm 1934 1939) Đây phần theo Những nguyên lý lý thuyết logic Hilbert-Ackermann từ năm 1928 Khoảng năm sau, ông tham dự bữa chiêu đãi, đặt ngồi cạnh Bộ trưởng Giáo dục mới, Bernhard Rust Rust hỏi rằng, "Toán học Göttingen sau giải phóng khỏi ảnh hưởng Do Thái?" Hilbert trả lời, "Tốn học Gưttingen? Thực chẳng cịn nữa".[2] Cho đến Hilbert vào năm 1943, phát xít Đức gần tổ chức lại trường đại học, nhiều giáo sư trước Do Thái lập gia đình với Do Thái phải bỏ Trường Đám tang Hilbert tham dự với mười hai người, có hai người giáo sư đại học.[3] Trên bia mộ, Göttingen, người ta đọc dịng chữ ơng để lại: Wir müssen wissen, wir werden wissen - Chúng ta phải biết, biết Trớ trêu thay, trước ngày Hilbert lên câu đó, Kurt Gưdel trình bày luận án mình, chứa đựng định lý bất tồn tiếng: Có thứ biết thật, chứng minh Nguồn : Bách khoa toàn thư mở Wikipedia ... cá nhân nhà toán học Sau tái thiết lập tảng hình học cổ điển, Hilbert làm tương tự cho phần cịn lại tốn học Tuy nhiên cách tiếp cận ông khác với nhà ''nền tảng học'' Russell-Whitehead hay nhà ''từ... góc Những tiên đề thống hình học phẳng hình học khơng gian Euclid hệ thống 3./ Hilbert & 23 toán Hilber đưa danh sách có ảnh hưởng lớn 23 toán chưa giải Đại hội Toán học giới Paris vào năm 1900... suốt kỉ 20 9./ Hilbert & Vật lý Cho đến 1912, Hilbert nhà toán học túy Khi chuẩn bị ghé thăm từ Bonn, nơi đắm chìm nghiên cứu vật lý, nhà tốn học bạn ơng Hermann Minkowski đùa ông phải khử trùng