Một số bài Toán hình hay16372

1) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh : a) Bốn điểm A, E, D, B nằm đường trịn Tìm tâm I đường trịn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED không đổi 2) Cho tam giác ABC biết góc ABC 450, góc ACB 600 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Tính diện tích tam giác ABC theo R 3)Cho đường trịn tâm O có hai đường kính AB MN Vẽ tiếp tuyến d đường tròn (O) B Đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d E F a Chứng minh MNFE tứ giác nội tiếp b Gọi K trung điểm FE Chứng minh AK vuông góc với MN 4) Cho đường trịn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC ฀ 1)Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2)Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1   AK AB AC 3)Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành ฀ ฀ ฀  900  điểm A, O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính AO  ANO  AIO 1)Theo giả thiết AMO  ฀AIN  ฀AMN , ฀AIM  ฀ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM  AN  AMN cân A  ฀AMN  ฀ANM  ฀AIN  ฀AIM  đpcm 1    AB AC  AK ( AB  AC )  AB AC  AK AI AK AB AC (Do AB  AC  AI ) 2) ABN đồng dạng với ANC  AB AC  AN AHK đồng dạng với AIO  AK AI  AH AO Tam giác AMO vng M có đường cao MH  AH AO  AM  AK AI  AM Do AN  AM  AB AC  AK AI 3) Ta có AN  NO, MP  NO, M  AN  AN / / MP Do AMPN hình bình hành  AN  MP  x ThuVienDeThi.com AN NO 2x2 Tam giác ANO đồng dạng với NEM    NE  NE EM R 2x2 TH NE  NO  OE   R  R2  x2  x2  R2  R R2  x2 R Đặt R2  x2  t, t   x2  R2  t  2t   R t  R PTTT 2( R  t )  R  Rt  2t  Rt  R    Do t   t  R  R  x  R  x   A  B (Loại) TH NE  NO  OE  Đặt 2x2  R  R2  x2  x2  R2  R R2  x2 R R2  x2  t, t   x2  R2  t  2t  R t   R PTTT 2( R  t )  R  Rt  2t  Rt  R    Do t   2t  R  R  x  R  x  R  AO  R Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hình bình hành 5) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O ) Gọi M trung điểm cạnh BC N điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua A vng góc với AN cắt đường thẳng qua B vng góc với BC D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a)Chứng minh BA.BC  2BD BE b)CD qua trung điểm đường cao AH tam giác ABC a) Chứng minh BA BC = 2BD BE ฀ ฀ ฀ ฀  ABC  900 , EBM  ABC  900  Ta có: DBA ฀ ฀  DBA  EBM (1)  Ta có: ONA  OME (c-g-c) ฀ ฀  EAN  MEO ฀ ฀ ฀ Ta lại có: DAB  BAE  EAN  900 , ฀ ฀ ฀ BEM  BAE  MEO  900 ฀ ฀  DAB  BEM (2)  Từ (1) (2) suy BDA # BME (g-g) BD BA BC   BD BE  BA.BM  BA BM BE  2BD BE  BA.BC  b) CD qua trung điểm đường cao AH  ABC  Gọi F giao BD CA Ta có BD BE  BA.BM (cmt) ThuVienDeThi.com BD BM   BDM # BAE (c-g-c) BA BE ฀ ฀ ฀ ฀  BMD  BEA Mà BCF  BEA (cùng chắn cung AB) ฀ ฀  BMD  BCF  MD / /CF  D trung điểm BF   Gọi T giao điểm CD AH T H CT  (HQ định lí Te-let) BD CD T A CT FCD có T A / /FD   (HQ định lí Te-let) FD CD Mà BD  FD ( D trung điểm BF )  Từ (3), (4) (5) suy T A  T H  T trung điểm AH BCD có T H / /BD  (3) (4) (5) 6) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC  R cố định Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi E điểm đối xứng với B qua AC F điểm đối xứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H giao điểm BE CF ฀ a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ giác theo R c) Chứng minh AK qua điểm cố định a) Ta có ฀AKB  ฀AEB (vì chắn cung ฀AB đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB) Mà ฀ABE  ฀AEB (tính chất đối xứng) suy ฀AKB  ฀ABE (1) ฀AKC  ฀AFC (vì chắn cung ฀AC đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC) ฀ACF  ฀AFC (tính chất đối xứng) suy ฀AKC  ฀ACF (2) ฀ Mặt khác ฀ABE  ฀ACF (cùng phụ với BAC ) (3) Từ (1), (2) , (3) suy ฀AKB  ฀AKC ฀ hay KA phân giác góc BKC Gọi P, Q giao điểm BE với AC CF với AB 1฀ ฀ Ta có BC  R nên BOC  1200 ; ฀BAC  BOC  600 Trong tam giác vuông ABP ฀ 0 ฀ ฀ có APB  90 ; BAC  60  ABP  30 hay ฀ABE  ฀ACF  300 ฀ ฀ ฀ ฀  PHQ  1800  PHQ  1200  BHC  1200 (đối đỉnh) Tứ giác APHQ có ฀AQH  ฀APH  1800  PAQ Ta có ฀AKC  ฀ABE  300 , ฀AKB  ฀ACF  ฀ABE  300 (theo chứng minh phần a) ฀ ฀ ฀ Mà BKC  ฀AKC  ฀AKB  ฀AFC  ฀AEB  ฀ACF  ฀ABE  600 suy BHC  BKC  1800 nên tứ giác BHCK nội tiếp b) ThuVienDeThi.com ฀ ฀  600  BAC Gọi (O’) đường tròn qua bốn điểm B, H,C, K Ta có dây cung BC  R 3, BKC nên bán kính đường trịn (O’) bán kính R đường trịn (O) Gọi M giao điểm AH BC MH vng góc với BC, kẻ KN vng góc với BC (N thuộc BC), gọi I giao điểm HK BC 2 Ta có S BHCK  S BHC  S BCK  BC.HM  BC.KN  BC HM  KN  S BHCK  1 BC ( HI  KI )  BC.KH (do HM  HI; KN  KI ) 2 Ta có KH dây cung đường trịn (O’; R) suy KH  R (không đổi) nên S BHCK lớn KH  R HM  KN  HK  R Giá trị lớn S BHCK  R 3.2 R  R Khi HK đường kính đường trịn (O’) M, I, N trùng suy I trung điểm BC ฀ nên ABC cân A Khi A điểm cung lớn BC c) ฀ ฀ ฀  1200 ; ฀BKC  600 suy BOC  BKC  1800 Ta có BOC nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn ฀ ฀  OC ฀  BKO ฀ ฀ Ta có OB=OC=R suy OB hay KO phân giác góc BKC  CKO ฀ theo phần (a) KA phân giác góc BKC nên K ,O, A thẳng hàng hay AK qua O cố định ThuVienDeThi.com ...  Rt  R    Do t   2t  R  R  x  R  x  R  AO  R Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hình bình hành 5) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ) Gọi M trung điểm cạnh