1) Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp (O;R) Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh : a) Bốn điểm A, E, D, B nằm đường trịn Tìm tâm I đường trịn b) MN // DE c) Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác CED không đổi 2) Cho tam giác ABC biết góc ABC 450, góc ACB 600 bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC R Tính diện tích tam giác ABC theo R 3)Cho đường trịn tâm O có hai đường kính AB MN Vẽ tiếp tuyến d đường tròn (O) B Đường thẳng AM, AN cắt đường thẳng d E F a Chứng minh MNFE tứ giác nội tiếp b Gọi K trung điểm FE Chứng minh AK vuông góc với MN 4) Cho đường trịn (O; R) dây BC cố định không qua tâm Trên tia đối tia BC lấy điểm A (A khác B) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AM AN với đường tròn (O) (M N tiếp điểm) Gọi I trung điểm BC 1)Chứng minh A, O, M, N, I thuộc đường tròn IA tia phân giác góc MIN 2)Gọi K giao điểm MN BC Chứng minh 1 AK AB AC 3)Đường thẳng qua M vng góc với đường thẳng ON cắt (O) điểm thứ hai P Xác định vị trí điểm A tia đối tia BC để AMPN hình bình hành 900 điểm A, O, M, N, I thuộc đường trịn đường kính AO ANO AIO 1)Theo giả thiết AMO AIN AMN , AIM ANM (Góc nội tiếp chắn cung) AM AN AMN cân A AMN ANM AIN AIM đpcm 1 AB AC AK ( AB AC ) AB AC AK AI AK AB AC (Do AB AC AI ) 2) ABN đồng dạng với ANC AB AC AN AHK đồng dạng với AIO AK AI AH AO Tam giác AMO vng M có đường cao MH AH AO AM AK AI AM Do AN AM AB AC AK AI 3) Ta có AN NO, MP NO, M AN AN / / MP Do AMPN hình bình hành AN MP x ThuVienDeThi.com AN NO 2x2 Tam giác ANO đồng dạng với NEM NE NE EM R 2x2 TH NE NO OE R R2 x2 x2 R2 R R2 x2 R Đặt R2 x2 t, t x2 R2 t 2t R t R PTTT 2( R t ) R Rt 2t Rt R Do t t R R x R x A B (Loại) TH NE NO OE Đặt 2x2 R R2 x2 x2 R2 R R2 x2 R R2 x2 t, t x2 R2 t 2t R t R PTTT 2( R t ) R Rt 2t Rt R Do t 2t R R x R x R AO R Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hình bình hành 5) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn (O ) Gọi M trung điểm cạnh BC N điểm đối xứng M qua O Đường thẳng qua A vng góc với AN cắt đường thẳng qua B vng góc với BC D Kẻ đường kính AE Chứng minh rằng: a)Chứng minh BA.BC 2BD BE b)CD qua trung điểm đường cao AH tam giác ABC a) Chứng minh BA BC = 2BD BE ABC 900 , EBM ABC 900 Ta có: DBA DBA EBM (1) Ta có: ONA OME (c-g-c) EAN MEO Ta lại có: DAB BAE EAN 900 , BEM BAE MEO 900 DAB BEM (2) Từ (1) (2) suy BDA # BME (g-g) BD BA BC BD BE BA.BM BA BM BE 2BD BE BA.BC b) CD qua trung điểm đường cao AH ABC Gọi F giao BD CA Ta có BD BE BA.BM (cmt) ThuVienDeThi.com BD BM BDM # BAE (c-g-c) BA BE BMD BEA Mà BCF BEA (cùng chắn cung AB) BMD BCF MD / /CF D trung điểm BF Gọi T giao điểm CD AH T H CT (HQ định lí Te-let) BD CD T A CT FCD có T A / /FD (HQ định lí Te-let) FD CD Mà BD FD ( D trung điểm BF ) Từ (3), (4) (5) suy T A T H T trung điểm AH BCD có T H / /BD (3) (4) (5) 6) Cho đường tròn (O; R) dây cung BC R cố định Điểm A di động cung lớn BC cho tam giác ABC nhọn Gọi E điểm đối xứng với B qua AC F điểm đối xứng với C qua AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE ACF cắt K (K không trùng A) Gọi H giao điểm BE CF a) Chứng minh KA phân giác góc BKC tứ giác BHCK nội tiếp b) Xác định vị trí điểm A để diện tích tứ giác BHCK lớn nhất, tính diện tích lớn tứ giác theo R c) Chứng minh AK qua điểm cố định a) Ta có AKB AEB (vì chắn cung AB đường tròn ngoại tiếp tam giác AEB) Mà ABE AEB (tính chất đối xứng) suy AKB ABE (1) AKC AFC (vì chắn cung AC đường tròn ngoại tiếp tam giác AFC) ACF AFC (tính chất đối xứng) suy AKC ACF (2) Mặt khác ABE ACF (cùng phụ với BAC ) (3) Từ (1), (2) , (3) suy AKB AKC hay KA phân giác góc BKC Gọi P, Q giao điểm BE với AC CF với AB 1 Ta có BC R nên BOC 1200 ; BAC BOC 600 Trong tam giác vuông ABP 0 có APB 90 ; BAC 60 ABP 30 hay ABE ACF 300 PHQ 1800 PHQ 1200 BHC 1200 (đối đỉnh) Tứ giác APHQ có AQH APH 1800 PAQ Ta có AKC ABE 300 , AKB ACF ABE 300 (theo chứng minh phần a) Mà BKC AKC AKB AFC AEB ACF ABE 600 suy BHC BKC 1800 nên tứ giác BHCK nội tiếp b) ThuVienDeThi.com 600 BAC Gọi (O’) đường tròn qua bốn điểm B, H,C, K Ta có dây cung BC R 3, BKC nên bán kính đường trịn (O’) bán kính R đường trịn (O) Gọi M giao điểm AH BC MH vng góc với BC, kẻ KN vng góc với BC (N thuộc BC), gọi I giao điểm HK BC 2 Ta có S BHCK S BHC S BCK BC.HM BC.KN BC HM KN S BHCK 1 BC ( HI KI ) BC.KH (do HM HI; KN KI ) 2 Ta có KH dây cung đường trịn (O’; R) suy KH R (không đổi) nên S BHCK lớn KH R HM KN HK R Giá trị lớn S BHCK R 3.2 R R Khi HK đường kính đường trịn (O’) M, I, N trùng suy I trung điểm BC nên ABC cân A Khi A điểm cung lớn BC c) 1200 ; BKC 600 suy BOC BKC 1800 Ta có BOC nên tứ giác BOCK nội tiếp đường tròn OC BKO Ta có OB=OC=R suy OB hay KO phân giác góc BKC CKO theo phần (a) KA phân giác góc BKC nên K ,O, A thẳng hàng hay AK qua O cố định ThuVienDeThi.com ... Rt R Do t 2t R R x R x R AO R Vậy A thuộc BC, cách O đoạn 2R AMPN hình bình hành 5) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ) Gọi M trung điểm cạnh