Đề tài những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian

Đề tài Những ứng dụng cơ bản của véc tơ để giải một số bài toán hình học không gian 1 I PhÇn më ®Çu I 1 LÝ do chän ®Ò tµi N¨m häc 2007 2008 T«i ® viÕt S¸ng kiÕn kinh nghiÖm “Nh÷ng øng dông c¬ b¶n cña vÐc t¬ ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n h×nh häc ph¼ng” KiÕn thøc vÒ vÐc t¬ häc sinh míi ®­îc lµm quen ë líp 10 vµ viÖc vËn dông chóng trong h×nh tr­íc ®©y sö dông trong h×nh häc kh«ng gian líp 12, ®Õn líp 12 c¸c em ®­îc häc l¹i vÒ vÐc t¬ song l¹i phÇn lín bá qua viÖc øng dông cña vÐc t¬ vµo gi¶i to¸n, nªn h.

I Phần mở đầu I.1 Lí chọn đề tài - Năm học 2007-2008 Tôi đà viết Sáng kiến kinh nghiệm Những ứng dụng véc tơ để giải số toán hình học phẳng Kiến thức véc tơ học sinh làm quen lớp 10 việc vận dụng chúng hình trước sử dụng hình học không gian lớp 12, đến lớp 12 em học lại véc tơ song lại phần lớn bỏ qua việc ứng dụng véc tơ vào giải toán, nên hầu hết học sinh kể học sinh khá, giỏi lúng túng gặp phải toán phải ứng dụng véc tơ - Việc giải toán hình học không gian véc tơ giúp học sinh rèn luyện kĩ tư duy, sáng tạo lô gíc phép toán véc tơ - Năm học 2007-2008 Trường THPT Bạch Đằng thực chương trình phân ban lớp 11 So với chương trình cũ học sinh học Ban khoa học tự nhiên có thay đổi, véc tơ không gian, đồng phẳng véc tơ đà đưa vào học tiết 32,33 chương trình hình học lớp 11 việc vận dụng tiết tập chương trình Vì lí nên thấy cần phải nâng cao khả học sinh việc vận dụng kiến thức véc tơ vào giải toán hình học không gian Việc vận dụng Tôi đà thực lớp 12 năm học 2006- 2007 lớp 11 Ban khoa học tự nhiên năm học 2007-2008 I.2.Mục đích nghiên cứu: Giúp học sinh nắm Những ứng dụng véc tơ để giải số toán hình học không gian I.3.Thời gian- Địa điểm: Việc thực Những ứng dụng véc tơ để giải số toán hình học không gian Tôi đà tiến hành kiểm nghiệm qua số năm đặc biệt học sinh lớp 12 năm học 2006-2007 học sinh khối 11 ban khoa học tự nhiên năm học 2007-2008 trường THPT Bạch Đằng I.4 Đóng góp mặt lí luận, mặt thực tiễn Qua nội dung Sáng kiến kinh nghiệm học sinh có phương pháp tư sử dụng véc tơ để giải toán hình học không gian II Nội dung II.1 Chương 1: Tổng quan Các kiến thức cần khắc sâu Các dạng toán thường gặp cách giải Kết luận II.2.Chương 2: Nội dung vấn đề nghiên cứu II.2.1 Các kiến thức cần khắc sâu: - Điểm lại phần kiến thức lí thuyết đà học véc tơ không gian: DeThiMau.vn - Định nghĩa véc tơ , độ dài véc tơ , véc tơ không, hai vÐc t¬ cïng ph­¬ng, cïng h­íng, hai vÐc t¬ - Các phép toán véc tơ: phép cộng, trừ, nhân véc tơ với số, tích vô hướng hai véc tơ - Quy tắc ba ®iĨm ®èi víi phÐp céng, phÐp trõ vÐc t¬, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp véc tơ - Tích vô hướng hai véc tơ a b số, kí hiệu a.b xác định c«ng thøc: a.b = a b cos(a,b)   a = b tích vô hướng hai véc tơ a a gọi bình phương vô hướng véc tơ a Nh­ vËy: a 2= a    - Chó ý: a  b  a.b  Khi - Các tính chất tích vô hướng hai véc tơ II.2.2.Các dạng toán thường gặp cách giải Sử dụng kiến thức ta giải số dạng toán như: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, chứng minh hai đường thẳng song song, tính góc hai đường thẳng, tính độ dài đoạn thẳng Sau số ví dụ minh hoạ Dùng đẳng thức tam giác ®èi víi phÐp céng, trõ vÐc t¬, tÝnh chÊt trung điểm đoạn thẳng, tính chất trọng tâm tam giác để chứng minh đẳng thức véc tơ Trong dạng tập cần hướng dẫn học sinh nhận xét , so sánh hai vế đẳng thức để xem biến đổi vế vế lại cần làm xuất yếu tố nào( Chú ý nhận xét điểm đầu điểm cuối véc tơ vế đẳng thức), Hoặc sử dụng phép biến đổi tương đương đưa đẳng thức * Ví dụ 1: Cho t din ABCD 1, Gọi M N trung điểm AB CD Chứng tỏ rằng:     MN  ( AD  BC )  ( AC  BD) 2 2,CMR: G trọng tâm tứ diện khi: a/ GA  GB  GC  GD Gọi M, N trung điểm AC BD b) Với điểm O ta cã:      OG  OA  OB  OC  OD   * Giải: 1, Sử dụng quy tắc điểm ta có: DeThiMau.vn     MN  MA  AD  DN     MN  MB  BC  CN          MN  AD  BC (viMA  MB  0; DN  CN  0)     MN  ( AD  BC ) Tương tự ta CM đẳng thức thứ hai 2, a) Ta cã:       GA GB GC GD     GA GC GB GD     GM GN         G trung điểm MN G träng t©m tø diƯn ABCD      GA  GB  GC  GD            OA  OG  OB  OG  OC  OG  OD  OG  b) Víi ®iĨm O bÊt kú ta cã:       OA  OB  OC  OD  4OG       OG  OA  OB  OC  OD           * VÝ dô 2: Cho hình chóp S.ABCD a,CMR: ABCD hình bình hành khi: SA  SC  SB  SD b, Gọi O giao điểm AC BD Chứng tỏ ABCD hình bình hành      vµ chØ khi: SA  SB  SC  SD  4SO S A B O D C Biểu thị véc tơ qua véc tơ khác: * Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC §Ỉt AA '  a, AB  b, AC  c      1, H·y biĨu thÞ véc tơ B ' C , BC ' qua véc tơ a , b , c DeThiMau.vn     2, Gäi G lµ träng tâm tam giác ABC Biểu thị véc tơ AG ' qua véc tơ a , b , c  c * Gi¶i: A C 1,  b  a B        B ' C  B ' B  BA  AC  a  b  c        BC '  BA  AC  CC '  a  b  c 2, V× G trọng tâm tam giác ABC nên:    AG '  ( AA '  AB '  AC ')       ( AA '  AA '  A ' B '  AA '  A ' C ')     (3a  b  c) * VÝ dơ 5: Cho h×nh hộp ABCD.ABCD Xét điểm M N thuộc đường thẳng AC C’D cho: MA '  k MC , NC ' l ND ( k l khác 1)          Đặt BA a, BB ' b, BC c HÃy biểu thị véc tơ BM BN qua véc tơ a , b ,  c * Gi¶i:  a A D  c B  b M A’ B’ C N D’ C’ Tõ gi¶ thiÕt ta cã:   BA '  k BC    k  BM   BM  a b c 1 k 1 k 1 k 1 k    BC '  l BD     BN   BN   a bc 1 l 1 l l DeThiMau.vn Chứng minh điểm không gian thẳng hàng Tương tự hình học phẳng, học sinh sử dụng tính chất: điều kiện cần đủ để ba điểm phân biệt A,B,C thẳng hàng có số k cho: AB k AC * VÝ dơ 6: Cho tø diƯn ABCD, M N điểm thuộcAB vµ CD     cho: MA  2MB, ND NC Các điểm I, J , K thuộc AD, MN, BC      cho: IA  k ID, JM  k JN , KB  k KC Chứng minh điểm I, J , K thẳng hàng * Giải: Cách 1: A M I B D K J N     IJ  IA  AM  MJ (1)     IJ  ID  DN  NJ (2)      k IJ  k ID  k DN  k NJ     hay : k IJ  IA  k DN  MJ (3)    (1  k ) IJ  AM  k DN Tõ (1) vµ (3) ta cã:   k  hay : IJ  AM  DN 1 k 1 k   k  MB NC Chứng minh tương tự , ta cã: JK   k  k  Mặt khác: MA 2MB, ND 2 NC nªn:   2k  IJ  MB  NC  k 1 k  Tõ ®ã: IJ  JK VËy ®iÓm I, J, K thẳng hàng OA 2OB * Cách 2: MA 2MB nên với điểm O bÊt k× th× OM           OD  2OC  OA  kOD  OB  kOC  OM  kON ON  ; OI  ; OK  ; OJ  1 k 1 k 1 k        1 T­¬ng tù:  OJ  (OA  2OB  kOD  2kOC ) 1 k   1       (1  k )OI  2(1  k )OK   (OI  2OK )  OI  OK k 3 3 DeThiMau.vn Mặt khác:  1 3 VËy ®iĨm I, J, K thẳng hàng 4.Chứng minh điểm không gian thuộc mặt phẳng * Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.ABC Gọi I J trung điểm BB AC §iÓm K thuéc B’C’ cho: KC '  2 KB ' Chøng minh r»ng ®iĨm A, I, J, K thuộc mặt phẳng * Giải: Đặt AA ' a, AB  b, AC  c  c A G  b  a C B I A’ G’ C’ B’         AI  ( AB  AB ')  (b  a  b)  (a  2b)(1) 2         Ta cã: AJ  ( AA '  AC ')  (a  a  c)  (a  2c)(2) 2           AC '  AB ' a  c  2(a  b) 3a  2b  c AK    (3) 3    Tõ (1), (2), (3) ta cã: AK  ( AI  AJ )    VËy: AI , AJ , AK ®ång phẳng, tức điểm A, I, J, K thuộc mặt phẳng 5.Chứng minh hai đường thẳng song song:    b cïng ph­¬ng a ( a  )khi vµ chØ cã mét sè k Ta đÃcó nhận xét: Véc tơ cho: b = k a Do hai đường thẳng AB CD song song khi: điểm đường thẳng không thuộc đường thẳng tån t¹i mét sè k    cho: AB kCD Ngoài phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song học sinh đà biết ta sử dụng nhận xét để chứng minh hai đường thẳng song song * Ví dụ 8: Cho hình lăng trụ tam giác ABCABC Gọi G G trọng tâm tam giác ABC ABC, I giao điểm hai đường thẳng AB AB CMR đường thẳng GI CG song song víi      * Gi¶i: §Ỉt AA '  a, AB  b, AC  c DeThiMau.vn  c A G  b  a C B I A’ G’ C’ B’    AG  (b  c)    AI  (a  b)       3a  b  2c  GI  AI  AG         AG '  ( AA '  AB '  AC ')  a  (b  c) 3           3a  b 2c Mặt khác: CG ' AG ' AC  a  (b  c)  c  3    CG '  2GI Ngoµi điểm G không thuộc đường thẳng CG Vậy GI CG hai đường thẳng song song * Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.ABCD Xét điểm M N thuộc đường thẳng AC CD cho: MA ' k MC , NC '  l ND ( k l khác 1) Xác định số k,l để đường thẳng MN song song với đường thẳng BD Đặt BA a, BB '  b, BC  c * Gi¶i: A D  a  c B  b M A C N D B C Vì BD CD hai đường thẳng chéo N thuộc đường thẳng CD nên đường thẳng MN trùng với đường thẳng BD Vậy đường thẳng MN song song với đường thẳng BD MN  pBD ' DeThiMau.vn    MN  BN  BM  l  1  k   MN  (  )a  (  )b  (1  )c 1 l 1 k 1 l 1 k 1 k  Mặt khác BD ' a b c ( Quy tắc hình hép) mµ a , b , c lµ ba vÐc tơ không đồng phẳng nên: l  l   k  p     l MN  pBD '    p  1 l 1 k k   1 1 k  p   l  1, k  3, p  VËy k = -3, l =-1 đường thẳng MN đường th¼ng BD’ song song víi Chøng minh hai đường thẳng vuông góc * Ví dụ 10: Cho hình lập phương ABCDABCD có cạnh a Trên DC BB lấy điểm M N cho DM=BN=x (  x  a) CMR: AC’  MN * Giải: : Đặt AA '  a, AB  b, AD  c  A b B  c D M C  a N B’ A’ D’    Ta cã: a  b  c  a C’     AC '  a  b  c        MN  AN  AM  AB  BN  ( AD  DM )  x   x  x  x    b  a  (c  b)  a  (1  )b  c a a a a       x  x    AC '.MN  (a  b  c)  a  (1  )b  c  a a    x 2 x 2 x  a  (1  )b  c  x.a  (1  )a  a  a a a    AC '.MN  VËy AC’  MN DeThiMau.vn 7.Chøng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng- Hai mặt phẳng vuông góc với * Ví dụ 11: Cho hình lập phương ABCD ABCD.Trên cạnh DC, BB AD lấy điểm M,N,P cho DM = BN = AP Chứng minh đường thẳng AC vuông góc với mặt phẳng qua M,N,P * Giải: : Đặt AA ' a, AB  b, AD  c  A b D  c M B C  a N A’ P D’ B C * Giải : mp( MNP) ta cần chøng minh AC’  MN, AC’  MP hay * §Ĩ chøng minh  AC’     cÇn chøng minh: AC '.MN  0; AC '.MP           2 2 *Đặt: AA ' a, AB b, AD  c  a.b  b.c  c.a  0; a  b  c *V× DM = BN = AP nên tồn số k 0,1 cho:          DM  k DC  k b, BN  k BB '  k a, A ' P  k A ' D '  k c          MN  MD  DA  AB  BN  kb  c  b  k a         k a  (1  k )b  c   *Cã: AC '  a  b  c,        AC '.MN  (a  b  c)  k a  (1  k )b  c  2 2 2   k a  (1  k )b  c  a (k   k  1)  Do ®ã AC’  MN T­¬ng tù AC’  MP VËy AC’  mp( MNP) Từ việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng học sinh từ áp dụng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với Tính ®é lín cđa mét gãc       * VÝ dơ 12: VÐc t¬ a  3b vuông góc với véc tơ 7a 5b véc tơ a 4b vuông góc với véc tơ 7a 2b Tính góc hai véc tơ a b * Giải: Theo giả thiết ta có:      7 a  16a.b  15 b  ( )(7 ) a  b a  b    (1)  2       2 (a  4b)(7 a  2b)   a  30a.b  b    (2) DeThiMau.vn 2 2  b - Khö a hƯ trªn ta cã: a.b    Thay (3) vµo (1) ta cã: a  b (4)    a.b Tõ (3) vµ (4) ta cã: cã( a, b )=    a b   VËy ( a, b )= 600 (3) * Ví dụ 13: Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Tính góc hai đường thẳng AB CD * Giải: A D B C Việc tính góc hai đường thẳng thông thường học sinh phải nêu cách xác định góc hai đường thẳng đưa góc vào xét tam giác biết độ dài ba cạnh áp dụng định lý côsin để tính Trong số trường hợp hợp sinh không thiết phải làm mà dựa vào cách xác định góc hai véc tơ, đặc điểm góc hai đường thẳng ®Ĩ tÝnh vµ tõ ®ã kÕt ln ®é lín cđa góc hai đường thẳng   AB.CD ( AC  CB).CD cos( AB, CD)     a2 AB CD     AC.CD  CB.CD a cos 600  a cos 600   0 a2 a2    ( AB, CD)  900  k 3600   Nh­ng ( AB, CD)  1800 VËy gãc đường thẳng AB CD 900 Tính độ dài đoạn thẳng *Ví dụ14: Cho lăng trụ tam giác ABC.ABC coa cạnh AB = d Tính ®­êng cao cña nã biÕt AB’  BC’ 10 DeThiMau.vn * Giải: Đặt AA '  a, AB  b, AC  c  c A  a C  b B A’ C’ B’           AB '  a  b, BC '  BB '  B ' C '  a  c  b        * AB '  BC '  AB '.BC '   (a  b)(a  c  b)       2 a.b  a.c   a.2  b.c  b   d2 * * AB  BC  CA  b.c  d cos 600  d  AA '  * VÝ dô 15 : Cho hình tứ diện ABCD cạnh a Gọi I J trung điểm AD BC Tính độ dài đoạn I J * Gi¶i: A I D B J C Víi vÝ dơ học sinh đưa I J vào tam giác BIJ áp dụng công thức tính độ dài trung tuyến tam giác để tính Ngoài học sinh sử dụng phép biến đổi véc tơ làm xuất độ dài I J để tính I trung điểm AD, J trung điểm Bc nên ta cã:         IJ  IB  IC  IJ  IA  AB  ID  DC        IJ  AB  DC ( IA  ID  0)      IJ  AB  DC  AB.DC  2a  2a cos( AB, DC ) 11 DeThiMau.vn   Theo kÕt qu¶ vÝ dơ 11 th× AB  CD cos( AB, DC )=0  IJ  2a  IJ  a2 a  IJ  2 10 Tính tỷ số độ dài đoạn thẳng * Ví dụ16: Cho hình lăng trụ tam giác ABCA1B1C1 có cạnh a Trên AB1 BC1 lấy hai điểm M N cho: MN AB MN= mà M chia đoạn thẳng BC1 A a T×m tû sè C B b A1  d  c C1 B  1        B1 B  b, B1C1  c, B1 A1  d  b  c d a, Đặt:    a b.c  b.d  0, c.d      B1M   B1 A   (b  d )     BN   ' BC   '(c  b)          MN  MB1  B1 B  BN   (b  d )  b   '(c  b)     (1     ')b   ' c   d     *MN  AB  MN d    ' a   a     2 '      MN  (1  3 ).b  2 c   d  a a  MN  MN  3  (1  3 ) a  4 a   a  (2 ) a )  a2 2 2  Gi¶ sư:   9  6  4    2  1     ;  3       Nh­ vËy:   ,  '  Tøc lµ: MA  2MB1 , NB  2 NC1 3  12  6  12 DeThiMau.vn Hc 2  ; 2 '     1  tøc lµ: MA  6MB1 , NB   NC1 II.3 Ch­¬ng 3: Ph­¬ng pháp nghiên cứu- Kết nghiên cứu Các dạng toán Tôi đề cập học hỏi trình tích luỹ qua trình giảng dạy Tôi đà áp dụng vào giảng dạy khối lớp 12 lớp 11 Kết cho thấy học sinh đà hiểu cách làm, biết lựa chọn cách giải hợp lý, biết vận dụng vào kiểu tập tương tự Tuy nhiên dạng phương pháp Tôi lựa chọn chưa hẳn tối ưu chưa đầy đủ, chắn phải bổ xung thêm cho việc giảng dạy chương trình phân ban phần tốt Rất mong có đóng góp đồng nghiệp III Phần kết luận kiến nghị: - Nếu có quỹ thời gian thích hợp tiếp tục theo hướng mở rộng nâng cao Tôi nghĩ đề tài trở thành đề tài có nhiều tác dụng hỗ trợ thiết thực bổ ích việc rèn luyện phát triển tư góp phần giải nhiều dạng toán trình dạy học sinh phân ban nói chung trình bồi dưỡng học sinh khá, giỏi - Nếu có tư giải tập hình học không gian phương pháp véc tơ ®Õn líp 12 häc sinh häc vỊ to¹ ®é véc tơ không gian học sinh có hướng giải hình không gian phương pháp toạ độ dễ dàng - Kiến nghị: Giờ tập hình không gian lớp 11Ban khoa học tự nhiên ít, phân phối chương trình phần giÃn nhiều tập thực việc giải toán tập cho học sinh IV Tài liệu tham khảo- Phụ lục - Sách giáo khoa, sách tập hình học lớp 11 Ban Ban khoa học tự nhiên - Sách giáo khoa sách tập hình học lớp 12 - Đề thi đại học năm học tr­íc 13 DeThiMau.vn 14 DeThiMau.vn ...- Định nghĩa véc tơ , độ dài véc tơ , véc tơ không, hai véc tơ phương, hướng, hai véc tơ - Các phép toán véc tơ: phép cộng, trừ, nhân véc tơ với số, tích vô hướng hai véc tơ - Quy tắc ba... trình dạy học sinh phân ban nói chung trình bồi d­ìng häc sinh kh¸, giái - NÕu cã sù t­ giải tập hình học không gian phương pháp véc tơ đến lớp 12 học sinh học toạ độ véc tơ không gian học sinh... mặt phẳng học sinh từ áp dụng chứng minh hai mặt phẳng vuông góc với Tính độ lớn gãc       * VÝ dô 12: Véc tơ a 3b vuông góc với véc tơ 7a 5b véc tơ a 4b vuông góc với véc tơ 7a 2b