CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” CHƯƠNG I HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG Một số hệ thức cạnh đường cao tam giác vuông Bài tốn 1: Cho hình chữ nhật ABCD, M điểm thuộc miền hình chữ nhật Chứng minh rằng: MA2 + MC2 = MB2 + MD2 *GỢI Ý: Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go Vì lí vẽ đường phụ qua M vng góc với AB E ME cắt DC F Ta có: MF DC Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD hai hình chữ nhật AEFD, EBCF giúp ta tìm lời giải toán! LƯU Ý: Bạn đọc xét trường hợp M nằm ngồi hình chữ nhật Bài tốn 2: + D = 900 Cho tứ giác ABCD có C Chứng minh rằng: AB2 + CD2 = AC2 + BD2 *GỢI Ý: +D = 900 < 1800 nên hai đường thẳng AD BC cắt nhau, gọi E giao điểm AD BC Vì C Từ ta có CED = 900 Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD vuông E, áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác cho ta kết cần chứng minh Điểm E điểm cần vẽ thêm Bài tốn 3: Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = cm, đường chéo BD = cm, hai đường chéo AC BD vng góc với Tính diện tích hình thang ABCD *GỢI Ý: Chỉ cần tính độ dài AC tính diện tích ABCD tứ giác ABCD có AC BD Ta nhận đường phụ BE // AC, E DC giúp ta tính AC Bài tốn 4: Cho tam giác ABC cân A có góc A nhọn, đường cao BH AH AB Chứng minh rằng: 2 1 HC BC *GỢI Ý: Chọn điểm phụ D điểm đối xứng C qua A, ta có tam giác BDC vng B = 900, BH đường cao Áp dụng hệ thức lượng tam giác vng ta tìm lời giải tốn BDC có B Bài tốn 5: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối tia HA AD HE cho AC HA Chứng minh rằng: BED = 900 *GỢI Ý: AD HE ta nghĩ đến vẽ DF AH, F AH Từ AF = HE, HA = FE áp dụng định lí Py-taTừ giả thiết AC HA go ta chứng minh BE2 + ED2 = BD2 Bài toán 6: ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” Cho tam giác ABC, AM trung tuyến BC Chứng minh rằng: AB AC AM *GỢI Ý: Khơng làm tính tổng qt, ta giả sử: AB < AC Ta vẽ đường cao AH để có tam giác vng HAB, HAC, HAM áp dụng định lí Py-ta-go Bài tốn 7: Cho tam giác ABC D điểm thuộc cạnh BC Chứng minh rằng: AB2 CD + AC2 DB – AD2 BC = CD DB BC *GỢI Ý: Ta vẽ thêm đường phụ AH BC, H BC để xuất tam giác vng áp dụng định lí Py-tago Bài tốn 8: a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có: AC2 + BD2 = AD2 + BC2 + 2AB.CD.” b) Chứng minh với tứ giác ABCD, ta có AC2 + BD2 AD2 + BC2 + 2AB.CD Tìm điều kiện cần đủ để dấu đẳng thức xảy (Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu – ĐHQG Tp Hồ Chí Minh 1997 – 1998) *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ AH DC, BK DC, H DC, K DC Bài toán 9: Cho tam giác ABC có cạnh BC = a, AC = b, AB = c đường cao tương ứng ha, hb, hc Chứng minh rằng: a) ha2 (a + b + c)(-a + b + c) b) ha2 + hb2 + hc2 (a + b + c)2 *GỢI Ý: Ta có: ha2 (a + b + c)(-a + b + c) (2ha) (b + c)2 – a2 (2ha)2 + a2 (b + c)2 Ta nghĩ đến định lí Py-ta-go, từ tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng có độ dài 2ha, a cạnh huyền x mà x b + c Ta vẽ đường phụ Ax // BC điểm phụ D đối xứng với B qua Ax Bài tốn 10: Cho hình vng ABCD Qua A vẽ cát tuyến bất kì, cắt cạnh BC CD (hoặc đường thẳng chứa cạnh đó) điểm E F 1 Chứng minh 2 AE AF AD *GỢI Ý: Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức: 1 2 2 h b c ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” Do tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng AE, AF có đường cao AD Điểm G thuộc DC cho GA AF điểm cần vẽ thêm Bài tốn 11: Cho hình thoi ABCD với A = 1200 Tia Ax tạo với tia AB góc BAx 150 cắt cạnh BC M, cắt đường thẳng CD N 1 Chứng minh rằng: 2 AM AN AB *GỢI Ý: 1 Bài tốn 11 có “dáng dấp” tốn 10, đầu gợi ta đến cơng thức Điều cho ta nghĩ đến vẽ h b c đường thẳng phụ AE AN (E DC) AH DC (H DC) AEN có EAN = 900, AH EN nên có: 1 2 AE AN AH Nếu chứng minh được: AE = AM, , ta tìm lời giải toán AH AB Bài toán 12: Cho tam giác ABC có A = 600 Chứng minh rằng: BC2 = AB2 + AC2 – AB.AC (Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Tp Hồ Chí Minh, 1993 – 1994) *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ đường cao CH (hoặc đường cao BK) Với CH: Tam giác HAC nửa tam giác đều, tam giác HBC vng H Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác vng này, ta có điều phải chứng minh Bài toán 13: Cho tam giác cân ABC, A = 200, AB = AC = b, BC = a Chứng minh rằng: a3 + b3 = 3ab2 *GỢI Ý: Vẽ tia Bx cho CBx = 200, Bx cắt cạnh AC D, ABD = ABC CBx = 600 Ta có: BDC ABC BD BC DC AB AC BC ABD có ABD = 600, đó: AD2 = AB2 + BD2 – AB.BD (Bài tốn 12) Từ tìm đẳng thức cần chứng minh Bài toán 14: Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = cm, trung tuyến AM = cm Tính diện tích tam giác ABC *GỢI Ý: Các số 10, 6, gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go Thật gọi D điểm đối xứng điểm A qua điểm M tứ giác ACDB hình bình hành tam giác ADC vng A (vì có cạnh 10, 6, 8) Từ tìm diện tích tam giác ABC Bài tốn 15: Cho hình vng ABCD Lấy O thuộc miền hình vng cho OA : OB : OC = : : Tính số đo góc AOB ThuVienDeThi.com CHUN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” *GỢI Ý: Sau vẽ hình ta thấy AOB = 1350 Ta vẽ tia OE cho BOE = 450 chứng minh EOA = 900 Tuy nhiên phải vẽ E cho BEO vng cân B tìm lời giải toán Tỉ số lượng giác góc nhọn Một số hệ thức cạnh góc tam giác vng Bài tốn 16: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c a b c Chứng minh rằng: sin A sin B sin C *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ AH đường cao tam giác ABC Từ tam giác vuông HAB, HAC ta có: b c sin B sin C Bài tốn 17: Chứng minh diện tích tam giác nửa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo đường thẳng chứa hai cạnh *GỢI Ý: Gọi góc nhọn tạo hai đường thẳng BA, BC Hẳn bạn nghĩ đến đường phụ đường cao AH tam giác ABC Bài tốn 18: Tính diện tích tứ giác lồi ABCD có đường chéo AC = m, BD = n tạo với góc nhọn *GỢI Ý: Ta có: AOB = COD = Từ tốn 17 nghĩ đến vẽ BH, DK vng góc với AC (H, K AC) Ta có: SABCD = SABC + SADC, từ tìm kết tốn Bài tốn 19: Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c Chứng minh rằng: a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA *GỢI Ý: Ta vẽ đường phụ đường cao CH đường cao BK để xuất tam giác vng có độ dài cạnh a, b, c có A Bài tốn 20: Cho tam giác ABC vng A ABC AC Chứng minh rằng: tan AB BC *GỢI Ý: ABC Để có ta có hai cách vẽ đường phụ: Vẽ phân giác BD ABC ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” ABC Vẽ điểm E tia đối tia BA cho BE = BC, ta có: AEC Cả hai cách cho ta lời giải đẹp Bài tốn 21: Cho tam giác ABC có trung tuyến AM cạnh AC Chứng minh rằng: tan B tan C *GỢI Ý: Để làm xuất “tanB, tanC” ta vẽ đường phụ đường cao AH ABC Mặt khác AMC cân (vì AM = AC), MH = HC, suy ra: BH = 3HC Bài toán 22: Chứng minh rằng: a) sin2 = 2.sin.cos b) cos2 = – 2.sin2 với góc *GỢI Ý: Xét ABC cân A có A = 2, AB = AC = Dễ thấy cần vẽ thêm hai đường phụ AH, BK đường cao tam giác ABC để có tam giác vng, làm xuất tỉ số lượng giác góc 2 Bài tốn 23: Cho hai góc , cho + < 900 Chứng minh rằng: sin( + ) = sin.cos + sin.cos *GỢI Ý: = , C = , + < 900 nên BAC Xét ABC có B góc tù, tốn 17 cho ta: 1 SABC = AB.AC.sinBAK = AB.AC.sin( + ) 2 Hơn SABC = ha.a gợi ta nghĩ đến đường phụ đường cao AH, có “sin, cos” theo “AH, BC, AC, AB”… Và thật tuyệt vời, lời giải đến với ta Bài toán 24: Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c A a Chứng minh rằng: sin bc *GỢI Ý: A A a Vì cần chứng minh: sin Ta vẽ phân giác AD ABC “để có sin ” ta vẽ đường thẳng BI vng bc góc với AD, I AD Bài toán 25: Cho tam giác ABC có trung tuyến BM CN vng góc với Chứng minh: cot B cot C (Đề thi giải Lê Qúy Đôn, lớp 8, Quận 5, Tp Hồ Chí Minh – 1996) *GỢI Ý: ,C vẽ trung tuyến AP ABC , GE BC (E Ta vẽ đường cao AD để có tam giác vng D có B BC) Ta có: ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: “Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” 1 AD, GE GP = BC BD DC cotB = , cotC = AD AD Từ ta có lời giải tốn GE = Bài tập tự luyện Chương I ThuVienDeThi.com ... ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” Do tìm tam giác vng có hai cạnh góc vng AE, AF có đường cao AD Điểm G thuộc DC cho GA AF điểm cần vẽ thêm Bài toán 11: Cho hình. .. ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” *GỢI Ý: Sau vẽ hình ta thấy AOB = 1350 Ta vẽ tia OE cho BOE = 450 chứng minh EOA = 900 Tuy nhiên phải vẽ E cho BEO... Ta vẽ đường cao AD để có tam giác vng D có B BC) Ta có: ThuVienDeThi.com CHUYÊN ĐỀ: ? ?Vẽ thêm yếu tố phụ để giải số tốn hình học 9” 1 AD, GE GP = BC BD DC cotB = , cotC = AD AD Từ ta có lời giải