Đề thi học sinh giỏi lớp 9 huyện Vĩnh Tường năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán46060

PHỊNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu a) Tính: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 52 2 9 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a  b  c  abc  Tính giá trị biểu thức: A  a (4  b)(4  c)  b(4  c)(4  a )  c(4  a )(4  b)  abc Câu Giải phương trình sau: a) x  x 1  x   x   b) 2(x2 + 2) = x3  Câu Tìm tất số nguyên dương x; y; z  thỏa mãn x  y 2013 y  z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x  y  z số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB0 Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab  (2a-b)(a-2b)=0  2a=b a=2b Với a=2b  x  =2 x  x   4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a  x  x  =2 x   x2-5x-3 =  x  x  y 2013 m  m, n  ฀ * , m, n   y  z 2013 n nx  my  x y m  nx  my mz  ny  2013       xz  y y z n mz  ny  Ta có Câu  37 (thỏa mãn đk x  -1.)  ThuVienDeThi.com  x  y  z  x  z   xz  y  x  z   y  x  y  z x  z  y  2  x2  y  z  x  y  z Vì x  y  z  x  y  z số nguyên tố nên  x  y  z  Từ suy x  y  z  (thỏa mãn) 2 A E F G O H B C M D Câu · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường trịn đường kính BC · Ta có ACD = 900  DC  AC Mà HE  AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến AHD  G trọng tâm AHD GM   AM GM  Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, AM Suy G tâm ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ( a b2 c2 a2 b2 c2   ).( x  y  z )  ( x y z )2 = x y z x y z ( a  b  c )  (a+b+c)2  đpcm Câu b) (1 điểm) Vế trái  Đặt 2(1  x ) 2(1  y ) 2(1  z )   M 2(1  z )  (1  y ) 2(1  x )  (1  z ) 2(1  y )  (1  x )  x  a,1  y  b,1  z  c với a, b,c >0 Khi M 2a 2b 2c 2a 2b 2c      = 2c  b 2a  c 2b  a 2ac  ab 2ab  bc 2bc  ac ThuVienDeThi.com Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a  b  c)  3(ab  bc  ca )  M  Từ có đpcm Gọi xi số ô tô đỏ dòng thứ i xi ( xi  1) x ( x  1) x ( x  1) x2 ( x2  1)    13 13 Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 1 2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết khơng có cặp đỏ có hình chiếu trùng x ( x  1) x ( x  1) x2 ( x2  1)    13 13 Vậy C213=78  A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi =  Câu 13 13 i 1 i 1  xi2   xi  156 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 ( xi )  13( xi2 )   s  156 13 i 1 i 1  s -13s-2028   S  52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dịng có tơ đỏ) (Học sinh lập luận S  52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa./ ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT VT Câu HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2013 - 2014 Nội Dung Ý  2     2  (2  1)    2 Câu   (  1)   2  (  1)   A...  x  y 2013 m  m, n  ฀ * , m, n   y  z 2013 n nx  my  x y m  nx  my mz  ny  2013       xz  y y z n mz  ny  Ta có Câu  37 (thỏa mãn đk x  -1.)  ThuVienDeThi.com... (Học sinh lập luận S  52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học