PHỊNG GD & ĐT VĨNH TƯỜNG ĐỀ CHÍNH THỨC Câu a) Tính: ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 19 tháng 12 năm 2013 52 2 9 b) Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn điều kiện a b c abc Tính giá trị biểu thức: A a (4 b)(4 c) b(4 c)(4 a ) c(4 a )(4 b) abc Câu Giải phương trình sau: a) x x 1 x x b) 2(x2 + 2) = x3 Câu Tìm tất số nguyên dương x; y; z thỏa mãn x y 2013 y z 2013 số hữu tỉ, đồng thời x y z số nguyên tố Câu Cho tam giác ABC nhọn (AB0 Khi phương trình cho trở thành: 2(a2 + b2) = 5ab (2a-b)(a-2b)=0 2a=b a=2b Với a=2b x =2 x x 4x2-5x+3 = 0, vô nghiệm Với b=2a x x =2 x x2-5x-3 = x x y 2013 m m, n * , m, n y z 2013 n nx my x y m nx my mz ny 2013 xz y y z n mz ny Ta có Câu 37 (thỏa mãn đk x -1.) ThuVienDeThi.com x y z x z xz y x z y x y z x z y 2 x2 y z x y z Vì x y z x y z số nguyên tố nên x y z Từ suy x y z (thỏa mãn) 2 A E F G O H B C M D Câu · · BFC = BEC = 900 ( nhìn cạnh BC) Suy B, C, E, F thuộc đường trịn đường kính BC · Ta có ACD = 900 DC AC Mà HE AC; suy BH//DC (1) Chứng minh tương tự: CH//BD (2) Từ (1) (2) suy BHCD hình bình hành Ta có M trung điểm BC suy M trung điểm HD Do AM, HO trung tuyến AHD G trọng tâm AHD GM AM GM Xét tam giác ABC có M trung điểm BC, AM Suy G tâm ABC a) (0,5điểm) Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: ( a b2 c2 a2 b2 c2 ).( x y z ) ( x y z )2 = x y z x y z ( a b c ) (a+b+c)2 đpcm Câu b) (1 điểm) Vế trái Đặt 2(1 x ) 2(1 y ) 2(1 z ) M 2(1 z ) (1 y ) 2(1 x ) (1 z ) 2(1 y ) (1 x ) x a,1 y b,1 z c với a, b,c >0 Khi M 2a 2b 2c 2a 2b 2c = 2c b 2a c 2b a 2ac ab 2ab bc 2bc ac ThuVienDeThi.com Sau áp dụng bđt phần a) bđt (a b c) 3(ab bc ca ) M Từ có đpcm Gọi xi số ô tô đỏ dòng thứ i xi ( xi 1) x ( x 1) x ( x 1) x2 ( x2 1) 13 13 Vậy tổng số cặp ô đỏ A= 1 2 Chiếu cặp ô đỏ xuống hàng ngang đó, theo giả thiết khơng có cặp đỏ có hình chiếu trùng x ( x 1) x ( x 1) x2 ( x2 1) 13 13 Vậy C213=78 A= 1 2 Ta có: S= x1 + x2 + …+ x13; hàng thứ i số cặp ô đỏ C2xi = Câu 13 13 i 1 i 1 xi2 xi 156 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có: 13 13 s2 ( xi ) 13( xi2 ) s 156 13 i 1 i 1 s -13s-2028 S 52 Dấu = xảy x1 = x2 = …= x13 = (mỗi dịng có tơ đỏ) (Học sinh lập luận S 52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học sinh làm theo cách khác mà cho điểm tối đa./ ThuVienDeThi.com ...PHÒNG GD&ĐT VT Câu HƯỚNG DẪN CHÁM ĐỀ THI HSG NĂM HỌC 2013 - 2014 Nội Dung Ý 2 2 (2 1) 2 Câu ( 1) 2 ( 1) A... x y 2013 m m, n * , m, n y z 2013 n nx my x y m nx my mz ny 2013 xz y y z n mz ny Ta có Câu 37 (thỏa mãn đk x -1.) ThuVienDeThi.com... (Học sinh lập luận S 52 0,25đ) Vẽ hình minh họa: (0,25đ) x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x Vậy giá trị lớn S=52 x x x x x X x x x x x x x x x x x X x x x X x x Xx x x x x x x Lưu ý: Học