§Ị thi häc sinh giái líp 12 THPT B¶ng A (Thời gian 180 phút không kể thời gian giao đề) Bài1: (4 điểm) Cho hàm số f(x)=x3- 6x2+9x-1 (C) Khảo sát vẽ đồ thị (C) Từ điểm đường thẳng x=2 ta kẻ tiếp tuyến đến (C) (Đại học ngoại thương khối A năm 2000) Bài2: (4 điểm) TÝnh I= x x x dx Cho f(x) = 2x + m + log2mx2 - 2(m – 2)x+ 2m-1 T×m m để f(x) có tập xác định R Bài3: (4 điểm) Giải phương trình: ln(sinx+1) = esinx-1 Bài4: (2 điểm) x y Giải hệ phương trình: y z z x Bài5: (4 điểm) Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Lấy M đoạn AD', N đoạn BD víi AM=DN=x, (0y=-1 y=0 =>x3-6x2+9x-1=0 Lấy thêm điểm phụ: x=3 =>y=3 x=0 =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ xác đẹp DeThiMau.vn 0,5 Xét A(2,a) đường x=2 Tiếp tuyến A có phương trình là: (2điểm) y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 Tiếp tuyến qua A a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1) Số nghiệm phương trình (1) chÝnh lµ sè tiÕp tuyÕn qua A XÐt g(x)= -2x3+12x2-24x+17 g'(x)=-6(x-2)2 x g(x) nghịch biến có tập giá trị (- ,+ ) phương trình (1) có nghiệm Vậy từ điểm x=2 kẻ tiếp tuyến đến (1) 3 Bµi 2 I= dx = x ( x ) (4®iĨm) (2®iĨm) x x dx = x 1 x dx + = x2 dx - = 0,5 0,5 0,5 0,5 1 0,5 x x x 1 dx 0,5 dx+ x dx - x2 dx 8 + 15 0,5 0,5 Ta chØ cần mx2-2(m-2)x+2m-1>0 x R (2điểm) m Khi ' m 3m m m 4 =>m >1 m 1 VËy m>1 th× f(x) có tập xác định R DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 Bài (4điểm) k (k Z) Đặt ln(sinx+1)=y => sinx+1=ey e sinx y 1(1) ta cã hÖ y e sin x 1(2) §iỊu kiƯn sinx -1, x - 0,5 0,5 LÊy (1) trõ (2) ta cã ph¬ng tr×nh esinx – ey = y-sinx 0,5 NÕu sinx > y esinx > ey Phương trình nghiệm 0,5 Nếu sinx < y esinx < ey Phương trình nghiệm 0,5 Vậy phương trình có nghiệm sinx=y thay vµo (2) ta cã: esinx=sinx+1 (3) 0,5 XÐt f(x)= ex-x-1 víi x -1 0,5 – 1=0 x=1 Vậy phương trình (3) có nghiệm sinx=0 =>x=k f'(x)= Bài (2điểm) ex x y (1) Ta cã y z (2) z x (3) (k Z) 0,5 điều kiện x,y,z Nếu (x,y,z) nghiƯm cđa hƯ gäi x= min(x,y,z) th× x y,x z (4) z 1+ y =x =>z x VËy z=x x y => x y =>1+ x 1+ z z y (5) Từ (4) (5) ta có x=y=z nên x=1+ x => x=y=z= DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 3 0,5 Bµi5 Dùng MM' AD; NN' AD (4điểm) (2điểm) DNN' vuông cân nên AM'=MM' Ta có AM2= x2=2MM'2 =>MM'=AM'= x 2 x 2 => c©n MM'A = c©n NN'D =>AM'=DN'=>AN'=DM' M'N'= AD - 2AN'= x x M'N'=a - 2(a)= x - a MM'N t¹i M' nên MN2 Vì N'DN cân => N'D=N'N= =M'M2+M'N2= x2 x2 x2 +(M'N'2+N'N2)= +(x -a)2 + 2 0,5 0,5 =3x2 -2ax +a2 Đặt f(x)=3x2 -2ax +a2 xÐt trªn 0, a a a VËy f(x) nhá nhÊt x= f'(x)= 6x- 2a =0 x= 0,5 a 2 a - 2a MN2=3 +a2 a 2a 4a 2 a = +a = => MN= 3 DeThiMau.vn 0,5 XÐt MM'D: MD2=MM'2+M'D2 2 (2®iĨm) a 2 a 4a 5a a 2 + a = = a2 2a vµ MN2= DN2=x2= 5a =>MN2+DN2= 2 Ta l¹i cã 9 0,5 5a MD2=MN2+DN2= VËy MDN t¹i N =>MN DB a 2 x 5a + = XÐt AN'N ta cã AN2=AN'2+N'N2= a 5a a a 2 AM=x= MN= nên AM +MN = => AMN t¹i M MN AD Vậy MN đường vuông góc chung AN2=AM2+MN2 Bài6 (2 điểm) 0,5 0,5 0,5 Đặt sinx=a; siny=b; sinz=c a,b,c ,1 2 a b b c c a (a b)(b c)(c a ) c a b abc (a b)(b c)(c a ) 1 Ta chøng minh 1 a,b,c ,1 abc 2 2 a b 1 Đặt u= ; v= ; a b c th× u v ta chøng c c 2 (v u )(1 u )(1 v) minh: 1 uv 2 1 (v )(1 )(1 v) (v u )(1 u )(1 v) 2 ta cã: uv v 2 1 1 = 1+ -v- v = 1 2v v 2 1 DÊu = u= ; v= hay x= ; y= ; z= 2 Ta cã DeThiMau.vn 0,5 0,5 0,5 0,5 ...§¸p ¸n §Ị thi Häc sinh giái líp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài Bài1 (4điểm) Câu (2điểm) Nội dung Điểm Tập xác định: x Chiều biến thi? ?n: y'=3x2-12x+9 y'=0 x=1,... =>y=-1 Vẽ đồ thị: Học sinh vẽ xác đẹp DeThiMau.vn 0,5 Xét A(2,a) đường x=2 Tiếp tuyến A có phương trình là: (2điểm) y=(3x02-12x0+9)(x-x0)+x03-6x02+9x0-1 Tiếp tuyến qua A vµ chØ a=(3x02-12x0+9)(2-x0)+x03-6x02+9x0-1... 2x03-12x02+24x0-17+a=0 (1) Sè nghiệm phương trình (1) số tiếp tuyến qua A XÐt g(x)= -2x3+12x2-24x+17 g'(x)=-6(x-2)2 x g(x) nghịch biến có tập giá trị (- ,+ ) phương trình (1) có nghiệm