SỐ CHÍNH PHƯƠNG 1) Định nghĩa: Là số có dạng n , n 2) Tính chất: Số phương chẵn chia hết cho 4, số phương lẻ chia cho dư Nếu a=3k a mod ; Nếu a 3k a 1 mod 3 Giữa bình phương hai số ngun liên tiếp khơng có số phương Số phương khơng thể có tận 2, 3, 7, Nếu hiệu hai số ngun 2n tích chúng thêm n2 số phương Nếu a, b phương, (a,b)=1 a phương b phương HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do ab=c12d + Do a1d c12 b c12 vi a1 , c1 c2 + Do c d b c b vi b, d b, a b c ; a d b 2 Nếu số phương chia hết cho p, p- ngun tố số phương chia hết cho p2 Do số a chia hết cho số nguyên tố p số a không chia hết cho p2 a khơng số phương 3) Bài tập Chứng minh tổng hai số chẵn liên tiếp khơng phương HD: 2n (2n 2) 4n mod Chứng minh tổng bình phương số ngun lẻ khơng phương 2n 1 2k 1 mod 2 2n 1 2k 1 2l 1 mod 8 HD: Chứng minh số chẵn khơng phải bội khơng thể phân tích thành hiệu số phương HD: 2k 1 a b a b a b Do vế trái chẵn nên hai số a b có tính chẵn lẻ suy (a-b) (a+b) chẵn Khi vế phải chia hết cho 4 Chứng minh phương trình 13x2 +2 =y2 khơng có nghiệm nguyên HD: + x y tính chẵn lẻ + Khi y chẵn: VP mod ; VT mod ; + Khi y lẻ : VP 1 mod ; VT mod ; Tìm n để 2n 8n phương HD: + n 2n 8n mod DeThiMau.vn + n=2: 25 phương + n=0 khơng thoả mãn Chứng minh khơng tồn n để 24n+41 phương HD: G/s 24n+41=t2 + Nếu t chia hết cho 24n+41=3(8n+13)+2 khơng chia hết cho + Nếu t khơng chia hết cho t 1 mod 3 8n 13 1 mod 3 Chứng minh không tồn n để 7.10n+4 phương HD: 7.10n mod 3 Chứng minh tích số tự nhiên khác khơng liên tiếp khơng phương HD: có n2 < n(n+1) < n2+2n+1 = (n+1)2 Tìm n n2 + 3n phương HD: Dễ thấy n = 0;1 Ngồi ra, có n2+2n+1< n2+3n < n2+4n+4 hay (n+1)2 < n2+3n< (n+2)2 10.Tìm n để n2 + chia hết cho 11 Tìm n để n! + 97 phương HD: Nếu n n!+97 có tận nên khơng phương Nếu n = 24+97 = 121= n2 Nếu n khơng thoả mãn 12 Chứng minh tích số tự nhiên liên tiếp thêm số phương 13.Tổng chữ số số phương 1994 1995 hay khơng? HD: a) N S ( N ) mod 3 Vì 1994 mod 3 nên S(N)=1994 N mod 3 b) 1995 chia hết cho 3, 1995 khơng chia hết tổng chữ số số phương khơng thể 1995 14 Chứng minh tổng bình phương số nguyên liên tiếp khơng phương 2 2 HD: n n 1 n n 1 n n không chia hết cho 25 15 Chứng minh không tồn n để n2+n+2 chia hết cho HD: G/s n để n2+n+2=3k n2+n+2-3k = có nghiệm nguyên dương Có 4k 3 số phương Điều vơ lí mod 3 16 Gọi N=2.3.4…Pn tích n số nguyên tố Chứng minh số N, N-1, N+1 khơng số phương HD: Nếu N chẵn không chia hết N khơng phương Nếu N+1=k2 k lẻ N=(k-1)(k+1) 4! Nếu N mod 3 th ì N-1 khơng phương 17.Chứng minh tổng bình phương số lẻ khơng phương DeThiMau.vn 18.Chứng minh số phương có chứa chữ số lẻ hàng chục chữ số hàng đơn vị HD: xét (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Với b chữ số hàng chục 20n(5n+b) chẵn chữ số hàng chục b2 lẻ nên b=4; 19 Chứng minh số phương lẻ có chữ số hàng chục chẵn HD: Xét (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 với b lẻ, b b 1;3;5;7;9 b 01;09; 25; 49;81 ĐPCM 20 Chứng minh số phương lớn 100 có tận chữ số hàng trăm chẵn HD: Xét (10a+5)2 =100a(a+1)+25 Vì a(a+1) chẵn Ta có ĐPCM 21 Tìm x, y để 2x + 5y phương HD: G/s 22 y k k + Nếu x=0 1+5y=k2 suy k chẵn y mod + Nếu x k lẻ k không chia hết cho y=0: x k 2m 1 x 4m m 1 m 1, x 3, y y , k khơng chia hết k 1 mod Từ giả thiết suy x mod x chẵn, x=2n k n 5a , a b y; a , b n b k Và từ giả thiết suy y (k 2n ) k 2n 2n 1 5b 5a b 1 5b 1, b hay a y 2n 1 y + Nếu y=2t 2n+1=25t-1 chia hết cho + Nếu y lẻ 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1) y>1 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ Vậy y=1 suy x=2 Đáp số x=1; y=2 22.Tìm số có chữ số biết: a) Tổng số số viết theo thứ tự ngược lại số phương b) Hiệu bình phương số số viết theo thứ tự ngược lại số phương HD:a) ab ba 11 a b 11 , số phương chia hết cho 11 chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11 a+b chia hết cho 11 2 2 +) ab ba 10a b 10b a 99 a b 11 2 Vì 0