Định giá quyền chọn trong toán học tài chính

BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TỐN HỌC TÀI CHÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TỐN HỌC TÀI CHÍNH Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN CHÍ LONG Thành phố Hồ Chí Minh - 2011 LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS.Nguyễn Chí Long - người thầy tận tình hướng dẫn em q trình hồn thành luận văn Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo khoa Tốn-Tin học, phịng Sau đại học giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập trường Đồng thời, xin cảm ơn bạn lớp cao học Giải tích khóa 19, chun ngành Giải tích nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Tôi xin cảm ơn tác giả viết sách giúp tơi có nguồn tài liệu tham khảo q giá q trình tìm hiểu Tốn học tài Tp Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng năm 2011 Học viên Đặng Thị Kiêm Hồng Mục lục Lời nói đầu Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các khái niệm hội tụ 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.2 Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số 1.2.4 Xác suất có điều kiện 1.2.5 Mac-tin-gan 10 1.2.6 Quá trình Wiener (chuyển động Brown) 14 1.3 Tích phân ngẫu nhiên Itô 1.3.1 Nhắc lại số kiến thức Giải tích 1.3.2 Một số khái niệm liên quan đến trình ngẫu nhiên 1.3.3 Tích phân ngẫu nhiên Ito 1.4 Vi phân ngẫu nhiên Itô Công thức Itô 1.4.1 Vi phân Itô 1.4.2 Công thức Itô 1.4.3 Biến phân bậc hai hai trình ngẫu nhiên 1.4.4 Công thức tích phân phần 15 15 16 17 26 26 27 28 29 1.5 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 29 Chương Mơ hình tài 31 2.1 Giới thiệu mơ hình 31 2.2 Các khái niệm 34 2.2.1 Phương án đầu tư 2.2.2 Phương án đầu tư tự điều chỉnh 2.2.3 Phương án đầu tư chênh lệch thị giá 2.2.4 Sản phẩm phái sinh 34 34 37 38 2.2.5 Nguyên lý đáp ứng khái niệm thị trường đầy đủ 39 2.3 Biến đổi độ đo xác suất định lí Girsanov 41 2.3.1 Các độ đo xác suất tương đương 2.3.2 Định lí Girsanov 41 42 2.4 Định lí biểu diễn Mac-tin-gan 45 2.5 Sự đầy đủ 49 2.6 Công thức Black-Scholes định giá bảo hộ quyền chọn kiểu Châu Âu 52 2.6.1 Định giá quyền chọn mua bán 2.6.2 Bảo hộ quyền chọn mua bán 2.6.3 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes 54 56 58 2.7 Định lí tốn tài Phụ lục 60 62 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 LỜI NĨI ĐẦU Tốn học tài lý thuyết tốn học thị trường tài chính, nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài chính, nhằm xây dựng mơ hình tốn học ứng dụng chúng vào việc tính tốn sản phẩm tài thị trường thực tế Đây lĩnh vực mới, quan tâm nghiên cứu năm gần Việt Nam Sự phát triển vượt bậc lý thuyết phái sinh tài đánh dấu báo Black Scholes năm 1973 Hai ơng tìm cơng thức tiếng để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có quyền mua bán loại cổ phiếu thời điểm tương lai với giá trị định trước áp dụng rộng rãi thực tế Ngày nay, giới, thị trường phái sinh tài phát triển rộng lớn thị trường cổ phiếu chứng khốn Nói cách khác, lượng tiền đầu tư vào Quyền Chọn dựa cổ phiếu nhiều lượng tiền đầu tư vào cổ phiếu Nội dung luận văn nói việc định giá Quyền Chọn giới hạn phạm vi mô hình tài với thời gian liên tục Luận văn chia thành chương: Chương 1: Một số vấn đề giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mơ hình tài Chương kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho việc thực đề tài Ở đây, diễn giải cụ thể khái niệm trình ngẫu nhiên, đặc biệt mac-tin-gan trình Wiener Chúng tơi đưa cách xây dựng tích phân ngẫu nhiên Itơ, khái niệm quan trọng trình làm việc với mơ hình tài thời gian liên tục Nội dung luận văn trình bày chi tiết chương Ở đề cập đến việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục mơ hình thị trường tài gồm hai tài sản sở để đầu tư trái phiếu khơng rủi ro chứng khốn có rủi ro Việc hiểu rõ hoạt động thị trường mơ hình đơn giản tảng để mở rộng nghiên cứu lên mơ hình thị trường tổng quát Tuy có nhiều cố gắng chắn luận văn tránh khỏi có sai sót cách trình bày Mong góp ý xây dựng q thầy bạn Xin chân thành cảm ơn! Chương Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 1.1 Không gian xác suất 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1 Cho Ω tập cho trước, σ -đại số F Ω họ tập Ω có tính chất sau (i) 0/ ∈ F , Ω ∈ F (ii) A ∈ F ⇒ A ∈ F (iii) A1 , A2 , ∈ F ⇒ ∞ Ai ∈ F i=1 Bộ (Ω, F ) gọi không gian đo Một độ đo xác suất P không gian đo (Ω, F ) hàm P : F → [0, 1] cho (a) P(0) / = 0, P(Ω) = (b) Nếu A1 , A2 , ∈ F {Ai }∞ / i = j) i=1 rời (Ai ∩ A j = 0, ∞ P( ∞ Ai ) = ∑ P(Ai ) i=1 i=1 Bộ ba (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Định nghĩa 1.2 Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm X : Ω → Rn gọi F -đo X −1 (U) = {ω ∈ Ω, X(ω) ∈ U} ∈ F Một biến ngẫu nhiên X hàm F -đo được, X : Ω → Rn 1.1.2 Các khái niệm hội tụ Cho (Ω, F , P) không gian xác suất bản, P độ đo đủ Định nghĩa 1.3 Hội tụ hầu chắn (hay với xác suất 1) Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên xác định không gian xác suất (Ω, F , P) Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } gọi hội tụ hầu chắn (hay với xác suất h.c.c 1) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu Xn −−→ X, P{ω : lim Xn (ω) = X(ω)} = n→∞ Định nghĩa 1.4 Hội tụ theo xác suất Dãy biến ngẫu nhiên {Xn } hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu P Xn − → X, lim P {ω : |Xn (ω) − X(ω)| ≥ ε} = 0, với ε > n→∞ h.c.c P • Xn −−→ X ⇒ Xn − → X h.c.c P • Xn − → X ⇒ ∃{Xnk } ⊂ {Xn } : Xnk −−→ X Định nghĩa 1.5 Hội tụ trung bình Giả sử {Xn } ⊂ L p , p ∈ (0, +∞) Lp Dãy {Xn } hội tụ trung bình cấp p đến X, kí hiệu Xn −→ X, lim E |Xn − X| p = n→∞ Lp P • Xn −→ X, p ∈ (0, +∞) ⇒ Xn − → X 1.2 Quá trình ngẫu nhiên 1.2.1 Quá trình ngẫu nhiên Ta muốn diễn tả trình mà tiến triển theo thời gian ngẫu nhiên Một đối tượng trình ngẫu nhiên Định nghĩa 1.6 Xét không gian xác suất (Ω, F , P) tập hợp số I (vô hạn đếm hay không đếm được) Ta xem I tập hợp số thời gian; I tập N, (−∞, +∞); (0, +∞) hay [0, T ] Xét họ biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F , P) lấy số I - Họ không đếm biến ngẫu nhiên {X(t)}t∈I gọi trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục - Họ đếm {X(t)}t∈I (I đếm được) biến ngẫu nhiên gọi trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Một cách tổng quát hơn, cho hai không gian đo (Ω, F ), (E, ξ ) I tập hợp số Một trình ngẫu nhiên xác định Ω, lấy giá trị E ánh xạ: X : I × Ω → E đo độ đo tích I × Ω Q trình ngẫu nhiên X, đơi viết X(t, •) hay X(t) hay Xt ,t ∈ I Định nghĩa 1.7 Nếu cố định ω ∈ Ω, {X(t, ω)}t∈I gọi quỹ đạo mẫu hay thể hay hàm mẫu trình ngẫu nhiên (liên kết với ω) Định nghĩa 1.8 Nếu X lấy giá trị khơng gian Rn (n ≥ 1) ta có q trình ngẫu nhiên n chiều 1.2.2 Q trình ngẫu nhiên thích nghi với lọc Định nghĩa 1.9 Một họ σ - đại số (Ft ,t ≥ 0) F , Ft ⊂ F , gọi lọc thỏa mãn điều kiện thơng thường nếu: • Đó họ tăng theo t, tức Fs ⊂ Ft s < t, • Họ liên tục phải, tức Ft = ∩ Ft+ε , ε>0 • Với A ∈ F P(A) = A ∈ F0 (và A nằm Ft ) Định nghĩa 1.10 Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt ,t ≥ 0) Xét σ - đại số FtX sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s ≤ t : FtX = σ (Xs , s ≤ t), σ - đại số chứa đựng thơng tin diễn biến q khứ q trình X thời điểm t Ta gọi lọc tự nhiên trình X, lịch sử X, hay gọi trường thông tin X Định nghĩa 1.11 Cho lọc (Ft ,t ≥ 0) (Ω, F ) Một trình ngẫu nhiên X gọi thích nghi với lọc nếu: Xt đo σ -đại số Ft Mọi trình X = (Xt ,t ≥ 0) thích nghi với lịch sử (FtX ,t ≥ 0) Định nghĩa 1.12 Một không gian xác suất (Ω, F , P) có lọc (Ft )t≥0 gọi không gian xác suất lọc, kí hiệu (Ω, F , (Ft ), P) 1.2.3 Kỳ vọng có điều kiện lấy σ - đại số Định nghĩa 1.13 Cho (Ω, F , P) không gian xác suất, X : Ω → Rn biến ngẫu nhiên cho E(X) < ∞ G σ - đại số F , G ⊂ F Khi đó, biến ngẫu nhiên Z gọi kỳ vọng có điều kiện X σ - đại số G , nếu: • Z biến ngẫu nhiên đo G • Với tập A ∈ G ta có ZdP = A XdP A Biến ngẫu nhiên Z ký hiệu E (X|G ) Nếu ta chọn σ - đại số G σ - đại số σ (Y ) sinh biến ngẫu nhiên Y đó, kỳ vọng có điều kiện X lấy σ (Y ) ký hiệu E (X|Y ) Một số tính chất kỳ vọng có điều kiện Giả sử X,Y : Ω → Rn hai biến ngẫu nhiên với E(X) < ∞, E(Y ) < ∞ Tất hệ thức phát biểu theo nghĩa hầu chắn: Nếu G σ - đại số tầm thường {0, / Ω} E (X|G ) = EX E (X +Y |G ) = E (X|G ) + E (Y |G ) Nếu X đo G E (XY |G ) = XE (Y |G ) Nói riêng, c số E (cY |G ) = cE (Y |G ) Nếu G1 ⊂ G2 E (E (X|G2 ) |G1 ) = E (X|G1 ) Nói riêng, E (E (X|G )) = EX Nếu X độc lập với G E (X|G ) = EX Mệnh đề 2.6 Giá trị thời điểm t quyền chọn Châu Âu có lợi nhuận thời điểm đáo hạn CT = f (ST ) Vt = F (t, St ), −r(T −t) √ r − σ /2 (T − t) + σ y T − t ∞ F(t, x) = e f x exp −∞ exp −y2 /2 √ dy × 2π Chứng minh Từ định lí (2.8) ta biết giá trị thời điểm t Vt = EQ e−r(T −t) f (ST ) Ft , (2.15) Q độ đo mac-tin-gan có từ bổ đề (2.1) Dưới độ đo này, Wˆ t = Wt + (µ − r)t/σ chuyển động Brown d Sˆt = σ Sˆt dWˆ t Nghiệm phương trình SˆT = Sˆt exp σ Wˆ T − Wˆ t − σ (T − t) Thế vào (2.15) ta Vt = EQ e−r(T −t) f St er(T −t) exp σ Wˆ T − Wˆ t − σ (T − t) Ft Vì độ đo Q, điều kiện Ft , Wˆ T − Wˆ t biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với giá trị trung bình phương sai (T − t) Do Vt = F (t, St ) e−r(T −t) f St er(T −t) exp σ z − σ (T − t) −∞ ∞ = × z2 exp − × dz 2(T − t) 2π(T − t) ∞ √ −r(T −t) =e f St exp r − σ (T − t) + σ y T − t −∞ y2 × √ exp − 2π dy Mệnh đề chứng minh 53 × 2.6.1 Định giá quyền chọn mua bán a Giá quyền chọn mua Đối với quyền chọn mua kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) = (ST − K)+ Đặt θ = T − t Khi đó: Hệ 2.1 Giá trị quyền mua kiểu Châu Âu thời điểm t Vt = St N (d1 ) − Ke−rθ N (d2 ) (2.16) N(.) kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn y N (y) = √ 2π u2 e− du (2.17) −∞ d1 , d2 hai giá trị cho St σ2 √ d1 = ln + r + K σ θ √ d2 = d1 − σ θ (2.18) θ (2.19) Chứng minh Thay f x vào công thức chứng minh mệnh đề (2.6) ta có St eσ F(t, St ) = E √ θ Z−σ θ /2 + − Ke−rθ , Z ∼ N(0, 1) Ta có: St eσ √ θ Z−σ θ /2 > Ke−rθ ⇔ Z > K √ ln St σ θ + σ2 θ − rθ Do tích phân (2.20) khác Z + d2 ≥ Vì vậy: St eσ F(t, St ) = E √ θ Z−σ θ /2 √ σ θ y−σ θ /2 ∞ = St e −d2 −∞ = St − Ke √ −σ θ y−σ θ /2 d2 = − Ke−rθ 1Z+d2 ≥0 St e d2 −rθ e−y /2 √ dy 2π − Ke −rθ e−y /2 √ dy 2π −y2 /2 √ −σ θ y−σ θ /2 e √ dy − Ke−rθ N (d2 ) 2π e −∞ √ Thay z = y + σ θ tích phân dịng cuối ta Vt = F(t, St ) = St N(d1 ) − Ke−rθ N(d2 ) 54 (2.20) b Giá quyền chọn bán Đối với quyền chọn bán kiểu Châu Âu có giá trị đáo hạn K, ta có f (ST ) = (K − ST )+ Đặt θ = T − t Khi đó: Hệ 2.2 Giá trị quyền bán kiểu Châu Âu thời điểm t Vt = Ke−rθ N (−d2 ) − St N (−d1 ) (2.21) Φ(.) kí hiệu cho hàm phân phối chuẩn y N (y) = √ 2π u2 e− du (2.22) −∞ d1 , d2 hai giá trị cho S σ2 √ ln t + r + K σ θ √ d2 = d1 − σ θ d1 = (2.23) θ (2.24) Chứng minh Tương tự chứng minh công thức định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu, áp dụng mệnh đề (2.6) ta có −rθ F(t, St ) = E Ke √ + σ θ Z−σ θ /2 − St e , Z ∼ N(0, 1) Ta có: Ke−rθ > St eσ √ θ Z−σ θ /2 ⇔Z< K √ ln St σ θ + σ2 θ − rθ Do tích phân (2.25) khác Z + d2 ≤ Vì vậy: F(t, St ) = E = Ke −rθ −d2 Ke −∞ −rθ = Ke √ σ θ Z−σ θ /2 − St e −rθ Z+d2 ≤0 √ σ θ y−σ θ /2 − St e N (−d2 ) − St −d2 e−y /2 √ dy 2π −y2 /2 √ −σ θ y−σ θ /2 e e −∞ √ Thay z = y + σ θ tích phân dịng cuối ta Vt = F(t, St ) = St N(d1 ) − Ke−rθ N(d2 ) 55 √ dy 2π (2.25) 2.6.2 Bảo hộ quyền chọn mua bán Trước hết ta đưa phương án đầu tư đáp ứng cho quyền chọn kiểu Châu Âu Mệnh đề 2.7 Đối với quyền chọn kiểu Châu Âu, trình (φt )0≤t≤T để xác định số cổ phiếu nắm giữ phương án đầu tư định lí (2.8) cho φt = ∂F (t, x) ∂x x=St Ở đây, F(t, x) hàm số định nghĩa mệnh đề (2.6) Chứng minh Từ kết định lí (2.8) ta có Vˆt = e−rt F(t, St ) Ta thấy hàm F thuộc lớp C∞ [0, T ] × R Đặt ˆ x) = e−rt F t, xert F(t, ta có Vˆt = Fˆ t, Sˆt Theo cơng thức vi phân Itơ ta có: dVˆt = d Fˆ t, Sˆt = ∂ Fˆ ∂ Fˆ ∂ Fˆ t, Sˆt + t, Sˆt d Sˆt + t, Sˆt d Sˆ t , ∂t ∂x ∂ x2 với d Sˆt = Sˆt σ dWt Sˆ t = σ Sˆt2 dt Vì vậy: Vˆt = Fˆ t, Sˆt = Fˆ 0, Sˆ0 + t t Ku du + σ ∂ Fˆ u, Sˆu Sˆu dWu ∂x Vì Vˆt = Fˆ t, Sˆt mac-tin-gan Q nên trình Ku = Q − h.c.c Từ ta có: t ∂ Fˆ Fˆ t, Sˆt = Fˆ 0, Sˆ0 + σ u, Sˆu Sˆu dWu ∂x t ∂ Fˆ = Fˆ 0, Sˆ0 + u, Sˆu d Sˆu ∂x Vì vậy, ta xác định φt bởi: ∂ Fˆt ∂F t, Sˆt = (t, St ) ∂x ∂x φt0 = Fˆ t, Sˆ − φt Sˆt φt = (2.26) (2.27) Và chiến lược (x, Φ) với Φ = φt0 , φt tự điều chỉnh tài đạt mục tiêu 56 a Bảo hộ cho quyền chọn mua: Hệ 2.3 Sử dụng kí hiệu hệ (2.1), quyền chọn mua kiểu Châu Âu ta có ∂F (t, x) = N (d1 ) ∂x Chứng minh Theo hệ (2.1) ta có F(t, x) = E √ x exp σ θ Z − σ θ /2 − K + , Z ∼ N(0, 1) θ = T − t Khi √ ∂F (t, x) = E exp σ θ Z − σ θ /2 1Z+d2 ≥0 ∂x ∞ √ = exp σ θ y − σ θ /2 − y2 /2 √ dy d2 2π √ Trước tiên thay u = −y sau thay z = u + σ θ rút gọn ta ∂F (t, x) = N(d1 ) ∂x b Bảo hộ cho quyền chọn bán: Hệ 2.4 Sử dụng lí hiệu hệ (2.2), quyền chọn bán kiểu Châu Âu ta có ∂F (t, x) = −N (−d1 ) ∂x Chứng minh Tương tự hệ (2.3) Nhận xét 2.10 ∂F thường gọi "Đen-ta" quyền lựa chọn Tổng quát ∂x hơn, hàm giá trị thời điểm t danh mục đầu tư Π(t, St ) đại lượng ∂Π (t, St ) đo độ nhạy danh mục đầu tư trước thay đổi giá chứng khoán ∂x thời điểm t đại lượng gọi "Đen-ta" danh mục đầu tư Người ta gọi "Ga-ma", "Tê-ta", "Vê-ga" cho đại lượng sau: Đại lượng Γ= ∂ 2Π ∂Π ∂Π , Θ= , V= ∂x ∂t ∂σ 57 2.6.3 Phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes Giá Quyền Chọn xem nghiệm phương trình đạo hàm riêng Với cách này, ta sử dụng cơng cụ tốn học dễ dàng tính tốn xấp xỉ giá Quyền Chọn thực tế a Thiết lập phương trình Gọi V giá QMKCA dựa chứng khoán S thời điểm t Khi V hàm theo hai biến S,t ta viết V (S,t) Giả thiết V (S,t) khả vi đến cấp Ta xây dựng phương trình đạo hàm riêng V , gọi phương trình Black – Scholes, qua bước sau đây: i Khai triển chuỗi Taylor hàm hai biến V (S,t): ∂V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V 2 V (S,t) = V (0, 0)+ ∂V ∂ S (0, 0) S+ ∂t (0, 0)t + ∂ S2 (0, 0) S + ∂ S∂t (0, 0) St + ∂t (0, 0)t + số hạng bậc cao Ta viết ∂V ∂V ∂ 2V ∂ 2V ∂ 2V dV = dS+ dt + (dS) + dSdt + (dt)2 +các số hạng bậc cao 2 ∂S ∂t ∂S ∂ S∂t ∂t (2.28) ii Thay dS biểu thức mơ hình Black - Scholes bỏ qua số hạng bậc cao: Ta có dS = µSdt + σ SdW nên (dS)2 = µ S2 (dt)2 + 2µσ S2 dtdW + σ S2 (dW )2 , dSdt = (µSdt + σ SdW ) dt = µS (dt)2 + σ SdW dt √ Ta biết vi phân dW chuyển động Brown xấp xỉ dW ≈ Z dt , Z biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn Φ(0, 1) , dW dt ≈ Z (dt)3/2 , (dW )2 ≈ Z dt Thay giá trị vào phương trình (2.28) lược bỏ vi phân bậc cao, ta ∂V ∂V 2 ∂ 2V dV = (µSdt + σ SdW ) + dt + σ S Z dt ∂S ∂t ∂ S2 hay dV = ∂V ∂V ∂ 2V + µS + σ S2 Z 2 ∂t ∂S ∂S dt + σ S ∂V dW ∂S (2.29) Ta thay Z giá trị kỳ vọng E Z = , cuối ta viết dV = ∂V ∂V 2 ∂ 2V + µS + σ S ∂t ∂S ∂ S2 58 dt + σ S ∂V dW ∂S (2.30) iii Cân V với giá phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA: Do thị trường đầy đủ nên tồn phương án đầu tư tự tài trợ bảo hộ cho QMKCA Gọi phương án đầu tư tự tài trợ (x, Φ) với Φ = (φ , ψ) gồm φ cổ phiếu ψ trái phiếu Ta có phương trình : V (St ,t) = φ St + ψBt với t ∈ [0, T ] (2.31) St giá cổ phiếu Bt giá trái phiếu thời điểm t Ta biết giá cổ phiếu S thỏa mãn phương trình dS = µSdt + σ SdW Còn giá trái phiếu B chịu ảnh hưởng lãi suất không rủi ro r nên ta giả thiết độ dB thay đổi tương đối giá tỉ lệ thuận với độ dài thời gian dt theo hệ số tỉ lệ B r Nói cách khác, ta có dB = rBdt Phương trình (2.31) trở thành dV = (µφ S + rψB) dt + σ φ SdW (2.32) Cân biểu thức dV theo (2.29) (2.31), ta được: φ (t) = rψB = ∂V (S,t) ∂S ∂V 2 ∂ 2V + σ S ∂t ∂ S2 (2.33) Nhưng theo (2.30) ∂V ∂S ∂V 2 ∂ 2V = + σ S hay ∂t ∂ S2 ψB = V − φ S = V − S Thay (2.34) vào (2.33) ta r V − S ∂V ∂S ∂V ∂V 2 ∂ 2V + σ S + rS − rV = ∂t ∂S ∂S Đó phương trình đạo hàm riêng Black – Scholes (2.34) (2.35) iv Tìm điều kiện biên cho phương trình Black - Scholes: Để tính giá Quyền Chọn, chẳng hạn QMKCA phương trình (2.35) phải kết hợp với điều kiện biên sau: Tại thời điểm đáo hạn T , ST > K nhà đầu tư thực thi hợp đồng thu lợi nhuận St − K ; ST < K người giữ khơng thực thi hợp đồng thực thi bị lỗ Do lợi nhuận nhà đầu tư thời điểm đáo hạn (ST − K)+ = ST − K ST > K, ST < K Vì vậy, giá quyền chọn mua thời điểm đáo hạn V (S, T ) = (ST − K)+ 59 (2.36) b Giải phương trình Sau số phép biến đổi sơ cấp, đưa phương trình BlackScholes phương trình truyền nhiệt Cách giải chi tiết chúng tơi đề cập [1] Trong tính tốn kỹ thuật, ta có nhiều phương pháp khác để giải gần nghiệm phương trình đạo hàm riêng nói chung phương trình truyền nhiệt nói riêng Do vậy, nói hướng tư đại mà Black-Scholes người đề cập đến 2.7 Định lí tốn tài Trong mục này, chúng tơi giới thiệu định lí lý thuyết định giá tài sản Việc chứng minh định lí trường hợp tổng qt cần nhiều cơng cụ tốn học phức tạp nên không đề cập Định nghĩa 2.13 Cho không gian xác suất (Ω, F , Ft , P) Một trình ngẫu nhiên St gọi nửa mac-tin-gan viết dạng St = Mt + At , Mt mac-tin-gan liên tục phải At q trình tăng thích nghi với lọc Ft Định lí 2.11 Nếu St nửa mac-tin-gan liên tục thị trường khơng có độ chênh thị giá tồn độ đo mac-tin-gan tương đương Q Chứng minh Giả sử ta có phân tích St = Wt + f (t), Wt mac-tin-gan liên tục phải f (t) hàm liên tục tăng xác định Để đạt độ đo mac-tin-gan tương đương ta đặt t Mt = exp − f (s)dWs − t ( f (s))2 ds Để Mt có nghĩa ta cần f khả vi Một kết từ lý thuyết độ đo nói f khơng khả vi ta tìm tập A [0, ∞) cho 0t IA (s)ds = tổng giá trị tăng f tập A số dương(∗) Nghĩa ta có t IA (s)d f (s) > 0, tích phân theo nghĩa Riemann-Stieljes Khi ta giữ Hs = IA (s) cổ phiếu thời điểm s, lợi nhuận t t Hs dSs = t IA (s)dWs + 60 IA (s)d f (s) Số hạng thứ dương tổng giá trị tăng f tập A Số hạng 0, E 0t IA (s)dWs = 0t IA (s)2 ds = Vì lợi nhuận khơng ngẫu nhiên dương, nói cách khác ta tạo khoản lợi khơng rủi ro Điều mâu thuẫn với việc khơng có độ chênh thị giá Vậy, Mt có nghĩa Gọi Q độ đo xác suất xác định Q(A) = A Mt (ω)dP, ∀A ∈ Ft Áp dụng định lí Girsanov, ta có St mac-tin-gan độ đo xác suất Q Nói cách khác, Q độ đo xác suất tương đương cần tìm Một ví dụ minh họa cho (*): Trước hết ta sử dụng tập Cantor: Đặt E1 = [0, 1], E2 tập có từ tập E1 cách bỏ khoảng mở 31 , 32 , chia đoạn E2 thành ba phần bỏ khoảng phần ta E3 tiếp tục Tập hợp giao E = ∩∞ n=1 En tập Cantor tập đóng, khác rỗng, khơng đếm khơng chứa khoảng Ta có độ đo Lebesgue tập E Ta thiết lập tập A = E Gọi f hàm Lebesgue-Cantor Đây hàm có giá trị (−∞, 0], [1, ∞), 12 đoạn 13 , 32 , 14 19 , 92 , 34 79 , 98 định nghĩa tương tự đoạn thành phần tập A Như ta định nghĩa hàm f tập A cho liên tục tăng khơng khả vi 01 IA (s)d f (s) = Vì A f ví dụ rõ ràng cho ta đề cập (*) 61 PHỤ LỤC: MỘT SỐ CƠNG CỤ TÍNH TỐN TRONG TỐN TÀI CHÍNH A Sử dụng maple tính tốn Tốn tài Maple phần mềm quen thuộc nhà toán học khoa học - kỹ thuật Trong tài chính, hỗ trợ nhiều cơng cụ tính tốn như: lập hàm tài theo yêu cầu cách linh hoạt, vẽ đồ thị sử dụng số thủ tục có sẵn Đây cơng cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giảng dạy nghiên cứu Tốn tài Ở đây, chúng tơi giới thiệu hai nội dung điển hình hàm định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu theo công thức Black-Scholes cách sử dụng mơ hình BlackScholes có sẵn Maple A.1 Định giá quyền chọn mua kiểu Châu Âu Sử dụng gói thủ tục (package) finance cách gọi lệnh: > with(finance): Hàm blackscholes để định giá quyền chọn mua có cấu trúc sau: blackscholes(S, K, r, n, σ ) Trong đó: - S giá cổ phiếu thời điểm tính - K giá thực thi quyền chọn - r lãi suất không rủi ro T - n số năm tính đến thời điểm đáo hạn ( n = 365 với T số ngày đến thời điểm đáo hạn) - σ bậc hai phương sai giá cổ phiếu Ví dụ: Giả sử quyền chọn có giá thực 49U (đơn vị tiền tệ) 199 ngày đến ngày đáo hạn Giá cổ phiếu 50U Giả sử phương sai giá trái phiếu 0.09 lãi suất phi rủi ro 7%/năm Lệnh tính giá quyền chọn sau: √ , 0.09) : > B := blackscholes(50, 49, 0.07, 199 365 > eval f (B) : 5.849179520 Ở lệnh eval f (B) dùng để lấy giá trị B Như vậy, giá quyền chọn thời điểm gần 5.85U 62 Ta kiểm tra xem giá quyền chọn thay đổi tham số khác thay đổi Chẳng hạn, tăng giá cổ phiếu √ > eval f (blackscholes(50 + 1, 49, 0.07, 199 0.09)) : , 365 6.511554996 giá quyền chọn tăng Tăng giá thực thi √ > eval f (blackscholes(50, 49 + 1, 0.07, 199 , 0.09)) : 365 5.326914003 giá quyền chọn giảm Tăng lãi suất không rủi ro √ 199 , 0.09)) : > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07 + 0.01, 365 5.994210290 giá quyền chọn tăng Tăng thời gian đáo hạn √ , > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 199+1 0.09)) : 365 5.864587748 giá quyền chọn tăng Tăng độ biến động giá cổ phiếu √ 199 > eval f (blackscholes(50, 49, 0.07, 365 , 0.09 + 0.01)) : 6.072347530 giá quyền chọn tăng Ta coi giá quyền chọn hàm giá cổ phiếu Khi ta sử dụng chức giải phương trình vẽ đồ thị maple để có minh họa trực quan Gán hàm f sau: √ > f := x− > blackscholes(x, 49, 0.07, 199 365 , 0.09) : Muốn giá quyền chọn đạt mức 6.5 phải đợi giá cổ phiếu đạt mức: > solve( f (x) = 6.5, x); 50.98296423 Ta vẽ đồ thị liên hệ giá cổ phiếu giá quyền chọn giá cổ phiếu biến thiên từ 20 đến 100 sau: > plot( f (x) , x = 20 80, labels = [‘giacophieu‘, ‘giaquyenchon‘]) 63 A.2 Sử dụng mơ hình Black-Scholes có sẵn maple Bấm ctrl+F1 để vào maple help, sau vào thư mục Application and Example worksheet, chọn Black-Scholes model Khi đó, ứng dụng mơ hình Black-scholes Trong ứng dụng này, ta tính giá quyền chọn ba phương pháp khác Phương pháp đưa giá quyền chọn dựa công thức BlackScholes, bạn cần điền đầy đủ thơng tin giống phần A.1 vào có sẵn bấm nút Calculate Option price có kết Điểm ta minh họa thay đổi giá quyền chọn thông qua giá cổ phiếu độ biến động Phương pháp thứ hai tính giá quyền chọn thơng qua mơ Monte Carlo dựa mơ hình Black-Scholes để ước lượng giá cổ phiếu Phương pháp thứ ba giải phương trình đạo hàm riêng Black-Scholes để tính giá quyền chọn Điểm có hình ảnh minh họa biến động giá quyền chọn thông qua biến động giá cổ phiếu cách rõ nét sống động B Sử dụng phần mềm "The Hoadley Finance Add-in for Excel" Đây phần mềm tập trung đầy đủ hàm định giá quyền chọn khác tính tốn phương án đầu tư bảo hộ cho quyền chọn cách chi tiết Vì hữu ích tính tốn kinh doanh Tham khảo chi tiết http://www.hoaley.net/options 64 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề việc định giá Quyền Chọn với thời gian liên tục mơ hình tài đơn giản gồm hai tài sản sở để đầu tư trái phiếu không rủi ro (hay tài khoản ngân hàng) chứng khoán có rủi ro (cổ phiếu) Trong đó, luận văn đưa công thức định giá phương án đầu tư bảo hộ cho Quyền Chọn tổng quát Bên cạnh đó, luận văn chứng minh thị trường tài xét đầy đủ, giới thiệu định lí mơ hình tài Điều quan trọng luận văn trình bày cách hệ thống trình xây dựng khái niệm làm rõ cơng cụ tốn học cần thiết cho việc tìm hiểu nội dung định giá Quyền Chọn Việc hiểu rõ mơ hình tài tạo tảng vững cho việc nghiên cứu mở rộng lên mơ hình tài tổng quát Ngày nay, vấn đề mở rộng nhiều khía cạnh để mơ tả thực chất thị trường thực tế Chẳng hạn vận dụng vào toán định giá Quyền Chọn có tiêu dùng, Quyền Chọn trao đổi chứng khốn, Quyền Chọn chuyển đổi tiền tệ, mơ hình lãi suất, mơ hình trái phiếu, tốn ngăn ngừa rủi ro bảo hộ, mở rộng không gian nhiều chiều, Hơn nữa, thị trường thực tế thường có chi phí giao dịch, khơng đầy đủ diễn biến phức tạp tác động số yếu tố Do việc nghiên cứu khơng có điểm dừng ngày phức tạp 65 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Thị Kiêm Hồng - Nguyễn Chí Long (2011), "Giải phương trình BlackScholes cách đưa phương trình truyền nhiệt", Tập san hội thảo khoa học quốc tế Giải tích Tốn ứng dụng, Trường Đại học Sài Gịn [2] Nguyễn Văn Hữu - Vương Qn Hồng (2007), Các phương pháp tốn học tài chính, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Chí Long (2008), Xác suất thống kê trình ngẫu nhiên, NXB Đại học Quốc gia TP HCM [4] Nguyễn Chí Long (2010), “ Nguyên lý định giá tài sản thị trường Tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr 38-51 [5] Nguyễn Chí Long (2011), “ Bổ đề Farkas ứng dụng thị trường tài chính”, Tạp chí khoa học Trường Đại học Sư phạm Tp HCM, 21(55), tr 3851 [6] Trần Hùng Thao (2009), Nhập mơn Tốn học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật Hà Nội [7] Nguyễn Đặng Thiên Thư (2010), Phương trình vi phân ngẫu nhiên, Luận văn tốt nghiệp đại học, Đại học Sư Phạm Qui Nhơn [8] A.W van der Vaart (2005), Financial Stochastic, Wiley [9] Alison Etheridge (2002), A course in Financial Calculus, Cambridge university press [10] Freddy Delbaen, Walter Schachermayer (1994), "A general version of the fundamental theorem of asset pricing", Mathematlsche Annalen, 300, tr 463-520 [11] Lawrence C Evans (2003), An introduction to Stochastic Differential Equations, version 1.2, UC Berkeley 66 [12] Richard F Bass (2003), The basics of financial mathematics, University of Connecticut, Spring [13] http://www.hoadley.net/options [14] http://www.mat.univie.ac.at/ schachermayer/pubs/ 67 ... lý thuyết Mac-tin-gan Tốn học tài Ý tưởng sau: Trong Tốn học tài chính, giá tài sản tài (như giá cổ phiếu St , giá trái phiếu Bt ) giá sản phẩm phái sinh (như giá quyền chọn Vt ) xem trình ngẫu...BỘ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Đặng Thị Kiêm Hồng ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN TRONG TỐN HỌC TÀI CHÍNH Chun ngành: Giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI... Nói cách khác, quyền chọn mua kiểu Châu Âu quyền tài có dạng f (ST ) = (ST − K)+ Trong luận văn ta quan tâm chủ yếu đến việc: Làm xác định giá trị quyền tài thời điểm t = 0? Quyền chọn bán kiểu